Devore-Cap4

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EST-I: Devore Capı́tulo 4:
Variables Aleatorias Continuas
Material docente en preparación
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Universidad de los Andes
June 16, 2021
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Capı́tulo 4
Contenido
Introducción
4.1 Funciones densidad
4.2 Funciones de distribución acumuladas y valores esperados
4.3 Distribución normal
4.4 Distribuciones exponenial y gama
4.5 Otras distribuciones continuas
4.5 Gráficos de probabilidad
Ejercicios suplementarios
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones de densidad de probabilidad. Pp 138- [Ed. 2019]
Ejemplo 4.1 X = profundidad de un lago
Ejemplo 4.2 X = pH de un quı́mico (número entre 0 y 14)
Ejemplo 4.3 X = tiempo de espera en una cola
Distribuciones de probabilidad de vvaa continuas
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones de densidad de probabilidad. Pp 142-146 [Ed. 2019]
Recuerde:
Definición de distribución continua
• Masa 1 (total) distribuida sobre un intervalo [I,S], I < S.
• Ningún punto c, c ∈ [I,S], tiene masa acumulada (> 0)
sobre el.
Para una va X sobre [I,S]: FX (x) = P(X ≤ x).
(X no necesariamente continua)
Más rigurosamente: x ∈ [I,S], FX (x) = P(I ≤ X ≤ x).
Para X continua sobre el intervalo [I,S],
Para a,b ∈ [I,S], a < b : P(a < X ≤ b) = FX (b)− FX (a), y
P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X ≤ b)
Este punto es básico en la definición de función densidad
(próxima lámina).
Sea h > 0. La aproximación de Taylor, para FX (x + h) es,
FX (x + h) ≈ FX (x) + h × F
′
X (x)
(también puede usar la definición de F
′
X (x))
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Definición de densidad media sobre [x , x + h] :
Sea x < x̄h < x + h
Defina f̄ (x̄h) = (FX (x + h)− FX (x))/h.
f̄ (x̄h) = densidad media en el intervalo [x , x + h]
Nota: f̄ (x̄h) depende del valor de h > 0.
Densidad puntual en x =
lim
h↓0
FX (x + h)− FX (x)
h
= F
′
X (x) ≡ fX (x).
La función fX (x) se llama función densidad de X ,
(o simplemente densidad).
Interpretación de la función densidad: para h > 0 chico,
P(x < X ≤ x + h) = FX (x + h)− FX (x) ≈ h × fX (x).
Probabilidad acumulada en [x , x + h] ≈ h × fX (x).←
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Propiedades: Sea X una VA continua sobre [I,S] y x ∈ [I,S]
Con la densidad fX (x) usted pude calcular la fda FX (x) :
FX (x) =
∫ x
I fX (u)du
= Área bajo fX , sobre y = 0, entre I y x , x > I.
P(a ≤ X ≤ b) =
∫ b
a fX (u)du
= área bajo fX sobre [a,b]
Definición
Se dice que f : R→ R es una función densidad si y sólo si,
1 fX es una función positiva
(posiblemente cero en algunos puntos),
2 con integral 1 sobre R
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Densidad uniforme sobre [A,B]
fX (x) =
{
1
B−A , si A ≤ x ≤ B
0, si x 6∈ [A,B]
Notación: X ∼ U(A,B)
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Ejemplo 4.4 (modificado) Montos insolutos de créditos
El banco EST ha mantenido una polı́tica atractiva para créditos
de consumo de montos de hasta $10 MM. Datos históricos
indican que el monto insoluto X de estos créditos tiene
distribución U(A,B), con A = 0 y B = 10MM.
Use la densidad para calcular aproximadamente la fracción de
préstamos cuyo saldo
1) está entre 4,5 MM y 5,8 MM.
2) es menor que 5,3 MM.
3) Determine la fda FX .
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Ejemplo 4.4 (modificado) Montos insolutos de créditos
Solución: X tiene distribución U(A,B), con A = 0 y B = 10 MM.
x ∈ [0,10] =⇒ fX (x) = 1/(10− 0) = 0.1.
1) P(4,5 MM ≤ X ≤ 5,8 MM)
=
∫ 5,8
4,5
fX (x) dx =
∫ 5,8
4,5
0,1 dx
= 0,1× (5,8− 4,5) = 0,1× x
∣∣∣5,84,5
= 0,1× 1,3 = 0,13.
2) P(X ≤ 5,3 MM)
3) Determine la fda FX .
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Ejemplo 4.5 Tiempo entre eventos consecutivos en un
proceso puntual (proceso Poisson)
X = tiempo que transcurre entre eventos consecutivos
f (x) =
{
λ× e−λx , x ≥ 0
0, e.o.c.
Se dice que X tiene distribución exponencial con parámetro λ.
(λ > 0).
Recuerde: primitiva de ex :
∫
exdx = ex .
primitiva de ea×x :
∫
ea×xdx =?
Obtenga la fda FX .
Si x > 0, FX (x) =
∫ x
0 fX (x)dx
=
∫ x
0 λ× e
−λxdx = 1− e−λx .
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Ejemplo: Distribución exponencial desplazada.
Considere la densidad,
f (x) =
{
0.15× e−0.15(x−0.5), x ≥ 0.5
0 e.o.c.
Se dice que X tiene distribución exponencial sobre
[a = 0.5,+∞[
(o exponencial desplazada en a.)
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Capı́tulo 4
4.1 Funciones densidad
Ejemplo 4.5 Tiempo entre eventos consecutivos (cont)
Calcule •
∫∞
−∞ fX (x)dx
• P(X ≤ 5)
• FX (x) = P(X ≤ x)
• P(a ≤ X ≤ b), 0 < a < b.
Devore: Ejercicios 1-10, pp. 146-147 [Ed. 2019]
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Cálculo de la fda
FX (x) = P(X ≤ x) =
∫ x
−∞ fX (y)dy .
Gráficos de FX y de fX
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Ejemplo 4.6 X ∼ U(A,B), A < B.
Cálculo de FX (x) y gráfico
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Uso de FX para calcular probabilidades
Sea X una va continua con densidad f y fda F . Entonces,
P(X > a) = 1− F (a), a ∈ R
P(a ≤ X ≤ b) = F (b)− F (a), a,b ∈ R, con a < b
Ejemplo 4.7 Distribución del gasto en una compra
X = monto de la compra de un cliente ($ mm)
f (x) =
{ 1
8 +
3
8x , 0 ≤ x ≤ 2
0, e.o.c.
Para x ∈ [0,2], FX (x) =
P(1 ≤ X ≤ 1.5) = FX (1.5)− FX (1)
P(X ≥ 1) = 1− P(X ≤ 1) = 1− FX (1) =?
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados (A)
(demostración de uso)
Nota: Esta NO es la mejor forma de calcular la fda de
distribuciones conocidas (use la forma pdistr(q,...).
Por ejemplo: pnorm(q, mean, sd ) (distr. normal)
# defincion de la funcion (acentos omitidos)
f4.7 <- function(x) if( (0 <= x) && (x <= 2) )
(1/8) + (3/8)*x else 0
integrate( f4.7, 0, 2) # comando calcula la
# integral de f4.7 entre 0 y 2
1 with absolute error < 1.1e-14
Nota: La salida de comando integrate( f4.7, 0, 2) tiene dos partes: el resultado de la integral, el número
1, y el mensaje sobre el error numérico del cálculo: el texto with absolute error < 1.1e-14.
El error numérico no significa que el cálculo se haya hecho de modo incorrecto. Muchos cálculos computacionales
son aproximaciones. El error es una estimación de la diferencia entre el valor exacto y la aproximación.
Para hacer cálculos con los valores aproximados de la integral, uno debe aislar el valor numérico del resultado del
mensaje. Esto se hace con
integrate( f4.7, 0, 2)$value
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados (X)
# ayuda para la funcion integrate:
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/
stats/html/integrate.html
integrate( f4.7, 0, 1.5)
# integral de f.47 entre 0 y 2
# Definicion de la Fda como funcion R
F_X <- function(x) integrate(f4.7, 0, x)
F_X(1.5) # P(X <= 1.5)
[1] 0.609375
F_X(1.5)$value - F_X(1.0)$value #P(1<=X<=1.5)
[1] 0.296875
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados / Ejemplo 4.7 (X)
Gráfico de la función de distribución acumulada
F_X <- function(x) if( (0 < x) && (x < 2) )
integrate(f4.7, 0, x) # fda
F_X(1.)$value # prueba
out <- NULL # para guardar los valores y (y=F_X(x) )
for( x in seq(0.1 ,1.9,0.1 ) ){
print(c(x=x))
y <- F_X(x=x)$value
print(c(y=y))
out <- c(out, y)
}
out # mostrar los valores de y en la consola
plot(x=seq(0.1 ,1.9,0.1 ), y=out,
ylab="F_X(x)", xlab="x",
main="Funcio\’n de Distribucio\’n Acumulada,
Ej 4.7", type="b")
rm(f4.7, F_X, x, y, out) # limpiar
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Obtención de f (x) a partir de F (x)
Recuerde: para X discreta con X (S) = {x1, x2, . . .}, y con
función frecuencia pX (x), las probabilidades
P(X = xi) = pX (xi), i = 1,2, . . . ,
se pueden calcular a partir de la fda FX (x), mediante,
pX (xi) = FX (xi)− FX (xi−1) = salto de FX (x) en xi .
(más generalmente pX (xi) = FX (xi)− FX (x), con x = xi − �,
� > 0 suficientemente chico)
El siguientees el resultado análogo para X continua.
Proposición
Sea X una va continua con fda FX (x). Entonces,
fX (x) = F
′
X (x),
(para valores de x donde F
′
X (x) existe)
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Ejemplo 4.8 (cont. del Ejemplo 4.6)
X ∼ U(A,B).
FX (x) =?
FX (x) es derivable para x ∈]A,B[,
pero no en x = A, ni en x = B.
Cálculo de f (x) :
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Percentiles de una distribución continua
Definición: percentil-p
Sea p ∈]0,1[. El percentil (100× p)% de la distribución de una
va X continua con fda FX (x) estrictamente creciente y
denotado por η(p), se define como el valor tal que,
p = FX (η(p))
(
=
∫ η(p)
−∞
fX (y)dy
)
.
Nota: percentil (100× p)% = cuantil p.
Notas: usa q para cuantiles
Ejemplo: qnorm(p=0.3, mean=0, sd=1)
calcula el cuantil q(0.3) de la distribución N(0,1)
La definición de cuantil (percentil) es más complicada para
distribuciones discretas ( lo hace con ciertas
convenciones)
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Dado p, el cuantil correspondiente η(p) se encuentra
resolviendo para η(p) la ecuación p = FX (η(p))
Ejemplo 4.9 (modificado)
Sea X (fracción de luca) el monto del vuelto que recibe un
cliente que hace una compra en efectivo.
f (x) =
{ 3
2(1− x
2), 0 ≤ x ≤ 1
0 e.o.c.
x ∈ [0,1], FX (x) = 32(x −
x3
3 ).
La ecuación para el cuantil-p es,
p = F (η(p)) =
3
2
(
η(p)− η(p)
3
3
)
.
Si p = 0.5, entonces η(0.5) = 0.347.
Interpretación: ?
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Ejemplo 4.9 (modificado, cont.)
Ilustración con
p.f <- function(eta) 1.5 * (eta - (eta**3)/3 )
p.f(eta=.5)
plot(p.f) # note uso de plot con argumento
# funcion
plot(p.f, xlab="eta", ylab="prob(eta)")
Use varios valores de η para acercarse a F (η) = 0.5.
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Cuantiles especiales.
Mediana
η̃ = η(0.5) = mediana = percentil 50 = cuantil 0.5.
Nota: η̃ es tal que la mitad de la masa esta a la izquierda de η̃.
En sı́mbolos: P(X ≤ η̃) = 0.5.
Primer y tercer cuantiles (percentiles 25 y 75, resp.)
η(0.25) = primer cuartı́l = percentil 25
η(0.75) = tercer cuartı́l = percentil 75
Ejemplo: X ∼ U(I,S), I < S.
x ∈]I,S[ =⇒ FX (x) =?
Cálculo de η = η(0.25) : resuelva 0.25 = FX (η)
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Valor Esperado o valor medio
(Estudio individual)
µX = E(X ) =
∫ ∞
−∞
x × f (x)dx
Ejemplo 4.10 (cont. ejemplo 4.9)
X = fracción de luca
(vuelto que recibe un cliente que hace una compra en efectivo)
f (x) =
{ 3
2(1− x
2), 0 ≤ x ≤ 1
0 e.o.c.
Vuelto esperado = E(X ) =
∫ 1
0
x × 3
2
(1− x2)dx =?
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Proposición E(h(X ))
E(h(X )) =
∫ ∞
−∞
h(x)× f (x)dx
Ejemplo 4.11 (“palo quebrado”)
X = proporción de ventas de Lı́der (competidor 1),
? = proporción de ventas de los “otros” supermecados
(competidor 2))
Suponga que X ∼ U(0,1)
Proporción de marcado (“market-share” )
del competidor dominante = h(X )
Problema: calcule h(X ) y E(h(X ))
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Caso especial importante: h(X ) = a× X + b.
E(h(X )) = E(a× X + b) = a× E(X ) + b
(este resultado vale tanto para el caso continuo como para el
discreto)
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Varianza de una va continua
σ2X = Var(X ) =
∫ ∞
−∞
(x − µX )2f (x) dx = E [(X − µX )2].
Desviación estándar de X : σX =
√
Var(X )
Varianza: cálculo alternativo
Var(X ) = E(X 2)− [E(X )]2
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Capı́tulo 4
4.2 Funciones de distribución acumulada y valores esperados
Ejemplo 4.12 (cont. ejemplo 4.10)
X = fracción de luca
(vuelto que recibe un cliente que hace una compra en efectivo)
f (x) =
{ 3
2(1− x
2), 0 ≤ x ≤ 1
0 e.o.c.
Vuelto esperado = E(X ) = 3/8.
Varianza de X : Var(X ) = E(X 2)− E(X )2
E(X 2) =
∫ 1
0 x
2 × 32(1− x
2)dx = 1/5
Luego, Var(X ) = 1/5− (3/8)2 = 0.059375, y
σX =
√
Var(X ) = 0.243669 �
Caso especial importante: h(X ) = a× X + b.
Var(h(X )) = Var(a× X + b) = a2 × Var(X ) = a2 × σ2X
(vale para los casos continuos y discretos)
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Resuelva:
Problemas 11-27, pp. 142-144.
El examen tendrá una versión modificada
de uno de los problemas 11-17.
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Definición: distribución normal con parámetros µ y σ (o σ2)
Se dice que X tiene distribución normal con parámetros µ y σ
si su densidad es,
fX (x) =
1√
2πσ
exp
{
−1
2
(
x − µ
σ
)2}
, −∞ < x <∞
Tambien se llama distribución Gauss (o gaussiana)
Notación: N(µ, σ2)
Distribución normal estándar N(0,1)
Notación: φ(x) = densidad; Φ(x) = Fda (no tiene fórmula)
Z ∼ N(0,1)
Densidad normal estándar: φ(x) =
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Valor esperado y varianza
Si X ∼ N(µ, σ2), entonces,
E(X ) = µ
Var(X ) = σ2.
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Gráficos de densidades normales
dnorm(x=1) # valor en x=1
#de la densidad con mean = 0, sd=1
plot(dnorm, xlim=c(-3,3)) # forma simple
#————————————————————–
x.q <- seq(from=-3,to=3, by=0.1)
dnorm(x=x.q) # valores de la densidad normal
# con mean = 0, sd=1
plot(x=x.q, y=dnorm(x.q))# grafico incompleto
# grafico con informacion adecuada:
plot( x=x.q, y=dnorm(x.q),
xlab="x",ylab="densidad normal",
main="grafico de la densidad N(0,1)",
type="l")
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144) (X)
# densidad N( mean=1/2,sigma2 = 1/4)
plot( x=x.q, y=dnorm(x.q, mean=0.5, sd=1/2),
xlim=c(-3,3), xlab="x",
ylab="densidad normal",
main="grafico de la densidad
N( mean=1/2,sigma2 = 1/4)", type="l")
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Sea Z una va con Z ∼ N(0,1) (Notación frecuente)
Ejemplo 4.13 Calcule:
(a) P(Z ≤ 1.25), (b) P(Z > 1.25), (c) P(Z ≤ −1.25), y
(d) P(−0.38 ≤ Z ≤ 1.25).
Soluciones:
(a) pnorm(q=1.25, mean=0, sd=1)
[1] 0.8943502
Por defecto, el comando pnorm() usa
pnorm(q, mean=0, sd=1),
de modo que puede omitir
mean=0, sd=1
en cálculos de probabilidades con la distribución normal
estándar.
Resuelva (b), (c), y (d) usando pnorm() y propiedades de
probabilidades.
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Percentiles de la distribución normal estándar
Ejemplo 4.14
Notación zα
Sea 0 < α < 1. Entonces zα es tal que P(Z ≥ zα) = α.
Nota: esta definición puede cambiar de un texto a otro.
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Cálculo de percentiles con R:
Sea α ∈]0; 1[. En el texto (Devore), zα es tal que
P(Z ≥ zα) = α.
Equivalentemente, P(Z ≤ zα) = 1− α.
Con R, uno calcula zα con,
qnorm(p= 1 - alpha, mean=0, sd=1),
o bien con,
qnorm(p= alpha, mean=0, sd=1, lower.tail=F),
Estos cálculos se pueden hacer con una distribución normal no
estándar.
Ejemplo: Z ∼ N(0,1), α = 0.1. Con R uno calcula zα con
alpha <- 0.1
qnorm(p= 1 - alpha, mean=0, sd=1)
[1] 1.281552
o bien
qnorm(p= alpha, mean=0, sd=1, lower.tail=F)
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
zα = percentil 100(1− α)% de la distribución normal estándar.
(también se conoce como valor crı́tico.)
Por simetrı́a: P(Z ≥ −zα) = α.
Tabla 4.1: Percentiles normales estaándar y valores crı́ticos
% en cola inferior 90 95 97.5 99 99.5 99.9 99.95
α (área de cola superior) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 0.0005
zα = percentil 1.28 1.645 1.96 2.33 2.58 3.08 3.27
100× (1− α)%
Ejemplo 4.15 (p. 148) (práctica individual)
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Distribuciones normales no estándar
Proposición
Para µ y σ dados, sea X ∼ N(µ, σ2).
Entonces Z = (X − µ)/σ es una va con Z ∼ N(0,1).
Uso de este resultado:
P(a ≤ X ≤ b) = P
(
a− µ
σ
≤ Z ≤ b − µ
σ
)
= Φ
(
b − µ
σ
)
− Φ
(
a− µ
σ
)
P(X ≤ a) = Φ
(
a− µ
σ
)
, P(X ≥ b) = 1− Φ
(b − µ
σ
)
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Ejemplo 4.16 (p. 150)
La va X tiene distribución normal con valor medio 1.25 s y
desviación estándar 0.46 s.
Calcule 1.00 ≤ X ≤ 1.75
a) con la distribución de X y
b) con la distribución N(0,1)
Ejemplo 4.17 (p. 150) (modificado)
Se sabe que el precio en CLP de un EURO tiene distribución
normal. Determine la probabilidad que el precio de un EURO
esté dentro de una desviación estándar de su valor medio.
Sea X el precio CLP de un EURO. Suponga X ∼ N(µ, σ2).
P(µ− σ < X < µ+ σ) =?
Otros probabilidades notables:
P(−2 ≤ Z ≤ 2) = 0.9544
P(−3 ≤ Z ≤ 3) = 0.9974
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144) (X)
Percentiles de una distribución normal arbitraria
Proposición
Sean µ y σ dados y sea
ηµ,σ2(p) = percentil (100p)% de la N(µ, σ2). Entonces,
ηµ,σ2(p) = µ+ η0,1(p)× σ
Ejemplo 4.18 (p. 151) (estudio individual)
Distribución normal y poblaciones discretas (p. 152)
Ejemplo 4.19 (p. 152) (estudio individual)
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Aproximación Normal a la distribución Binomial
Sea X ∼ Bin(n,p). Si n es grande y la distribución binomial es
aproximadamente simétrica, entonces la distribución de X es
aproximadamente N(µ, σ2), con µ = n × p, y σ2 = np(1− p).
En particular, si x está en X (S),
P(X ≤ x) = B(x ; n,p) ≈ Φ
(
x + 0.5− np√
np(1− p)
)
En la práctica, esta aproximación se usa cuando np ≥ 10, y
n(1− p) ≥ 10.
Ejemplo Ilustración con (Próxima lámina)
Ejemplo 4.20 (estudio individual) (p. 153)
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Gráfico de la función frecuencia Bin(n = 50,p = 0.6) y la
densidad N(µ, σ2) aproximante.
# Aproximacion Normal a la Binomial
# grafico de la funcion frecuencia binomial:
plot(dbinom(x=seq(from=1, to=49, by=1),
size=50, prob=0.6),
xlab="n de caras en size=50 lanzamientos",
ylab="prob de observar x caras")
# superponer la densidad normal aproximante
points(dnorm(x=seq(from=1, to=49, by=1),
mean=30, sd=sqrt(50*0.6*0.4)), pch="+")
graphics.off() # cierre ventanas graf́icas
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
0 10 20 30 40 50
0.
00
0.
02
0.
04
0.
06
0.
08
0.
10
nº de caras en size=50 lanzamientos
pr
ob
 d
e 
ob
se
rv
ar
 x
 c
ar
as
Funcion de frecuencia Binomial y densidad Normal aproximante 
 (intervalos en el eje-x son de largo unitario)
++++++++++++++++++++
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+++++++++++
Figure: “o” = Binomial frequency, “+” = Normal density
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Capı́tulo 4
4.3 Distribución normal (144)
Resuelva:
Problemas 28-50, pp. 154-156.
El examen tendrá una versión modificada
de uno de los problemas 28-34.
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Capı́tulo 4
4.4 Distribuciones exponencial y gama (157)
Definición: distribución exponencial
Se dice que una va X tiene distribución exponencial con
parámetro λ (λ > 0) si su función densidad es,
fX (x) =
{
λe−λx , x ≥ 0
0, e.o.c.
Notas:
A veces esta distribución se usa con el parámetro β = 1/λ.
Notación: X ∼ exp(λ). (No confundir con la función exp)
Cuando use programas/paquetes de computación, tenga
claro el parámetro (β o λ) que el programa usa.
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Capı́tulo 4
4.4 Distribuciones exponencial y gama (157)
Media y varianza de la distribución exponencial
Si X ∼ exp(λ) entonces,
E(X ) =
1
λ
, Var(X ) =
1
λ2
.
Ejemplo
http://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/
stats/html/Exponential.html
dexp(x, rate = 1, log = FALSE)
pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p =
FALSE)
qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, log.p =
FALSE)
rexp(n, rate = 1)
Nota: rate = λ
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Capı́tulo 4
4.4 Distribuciones exponencial y gama (157)
# grafico de la dens. exponencial con rate=1
x <- seq(from=0,to=5,by=0.1)
y <- dexp(x=x, rate=1) # note: rate=1
plot(x,y, xlab="x", ylab="dens. exponencial",
main="Densidades exponenciales", type="l")
# puntos de la dens. exponencial con rate=0.5
points(x,dexp(x=x, rate=0.5), type="p",
pch="2") # note: rate=0.5
graphics.off()
q()
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Capı́tulo 4
4.4 Distribuciones exponencial y gama (157)
Fda de la distribución exponencial
Si X ∼ exp(λ) entonces,
FX (x) =
{
1− e−λx , x ≥ 0
0, e.o.c.
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Capı́tulo 4
4.4 Distribuciones exponencial y gama (157)
Ejemplo 4.21 (p. 158)
X = tiempo de respuesta a una consulta en un computador
(el tiempo transcurrido entre el final de la consulta de un
usuario y el inicio de la respuesta del sistema a dicha consulta)
X tiene una distribución exponencial con tiempo de respuesta
esperado de 5 s.
E(X ) =?
λ =?
Calcule la prob. que el tiempo de respuesta no exceda 10 s.
Calcule la prob. que X exceda su media en una desviación
estándar
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Capı́tulo 4
4.4 Distribuciones exponencial y gama (157)
Ejemplo 4.21 (p. 158)
X = tiempo de respuesta a una consulta en un computador
(el tiempo transcurrido entre el final de la consulta de un
usuario y el inicio de la respuesta del sistema a dicha consulta)
X tiene una distribución exponencial con tiempo de respuesta
esperado de 5 s.
E(X ) = 1/λ = 5 =⇒ λ = 0.2
P(X ≤ 10) :
pexp(q=10, rate=0.2)
[1] 0.8646647
Calcule la prob. que X exceda su media en una desviación
estándar
P(X ≥ µ+σ) = P(X ≥ 5+5) = 1−P(X ≤ 10) = 1−0.8646647
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