Variables Aleatorias Lehi Castillo - Lehi Castillo

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INGENIERÍA EN LOGÍSTICA 
 PROGRAMA EDUCATIVO 
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA 
MATERIA 
CASTILLO SAN JUAN LEHI LEMUEL 
ALUMNO 
26 DE OCTUBRE, 2022 
FECHA DE ENTREGA 
CARLOS ADRIÁN CABRERA MIJANGOS 
DOCENTE 
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DEL OCCIDENTE DEL ESTADO DE HIDALGO 
MIXQUIAHUALA DE JUÁREZ, HIDALGO 
VAREABLES ALEATORIAS 
TEMA 
 
Variables Aleatorias 
Definir una variable aleatoria en un experimento aleatorio consiste en asociar un 
valor numérico a cad-a suceso elemental del experimento. Interesa 
fundamentalmente asignar probabilidades a dichos valores numéricos. 
Formalmente, dados un experimento aleatorio 𝜀, un espacio muestral Ω, una 
familia de sucesos en Ω con una probabilidad 𝑃, diremos que una función 𝑋: 𝛺 → 𝑅 
es una variable aleatoria si 𝑋−1(−∞ , 𝑥 ] = { 𝜔 ∈ 𝛺 ∶ 𝑋 ( 𝜔 ) ≤ 𝑥 } es un suceso. 
Esta definición asegura que sea posible realizar cálculos de probabilidades 
sobre sucesos definidos en R a partir de valores de las variables aleatorias. No 
utilizaremos esta definición en forma explícita en lo que sigue. 
En ocasiones los sucesos elementales de un experimento aleatorio son 
números, en esta situación esos números coinciden con el valor de una variable 
aleatoria. 
Ejemplo 
𝜀 = se arroja un dado y se observa el resultado de la tirada 
𝛺 = {1,2,3,4,5 ,6} 
Sucesos = cualquier subconjunto de Ω 
𝑋: 𝛺 → 𝑅 la función identidad 
Valores posibles de X = {1,2,3,4,5 ,6} = RX 
Para un dado que no está cargado asignamos equiprobabilidad a los valores 
posibles de la variable aleatoria X: P(X=1) = P(X=2) = P(X=3) = P(X=4) = P(X=5) = 
P(X=6) = 1/6 
Clasificación De Las Variables Aleatorias 
 Variable aleatoria discreta: solo puede tomar valores numéricos aislados (fijados 
dos consecutivos, no puede existir ninguno intermedio). 
 
 Variable aleatoria continua: puede tomar cualquier valor numérico dentro de un 
intervalo, de modo que entre cualesquiera dos de ellos siempre existe otro posible 
valor. 
Variable Aleatoria Discreta 
Identificación de una variable aleatoria discreta X: es preciso conocer el 
conjunto de los posibles resultados de 𝑋: {𝑥1, 𝑥2, . . . , 𝑥𝑘, . . . } y el conjunto de las 
probabilidades siguientes: 
𝑝1 = 𝑃(𝑋 = 𝑥1) 
𝑝2 = 𝑃(𝑋 = 𝑥2) 
. 
. 
. 
𝑝𝑘 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑘) 
Función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X: 
𝑝𝑖 = 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖𝑖) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑖 = 1, 2, . . . , 𝑘, . .. 
Propiedades importantes de la función de probabilidad: 
 𝑃𝑖 ≥ 0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑖. 
 ∑ 𝑃𝑖 = 1. 
 Función de distribución de una variable aleatoria discreta 𝑋: 
𝐹𝑋(𝑡) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑡) para toda 𝑡 
 Media de una variable aleatoria discreta 𝑋: 
µ = 𝐸(𝑋) = ∑ 𝑥𝑖 𝑝𝑖 
 Varianza de una variable aleatoria discreta 𝑋: 
𝜎2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = ∑ (𝑥𝑖 − µ)2 𝑝𝑖 = (∑ 𝑥𝑖
2𝑃𝑖) − µ
2 
 Desviación típica de una variable aleatoria discreta 𝑋: 
𝜎 = √𝜎2 
 
Variable Aleatoria Continuas 
Las variables aleatorias continuas, por ejemplo estaturas y pesos, lapso de vida útil 
de un producto en particular o un error experimental de laboratorio, pueden tomar 
los infinitamente numerosos valores correspondientes a puntos en un intervalo de 
una recta. 
Si se trata de asignar una probabilidad positiva a cada uno de estos numerosos 
valores, las probabilidades ya no sumarán 1, como es el caso con variables 
aleatorias discretas. Por tanto, se debe usar un método diferente para generar la 
distribución de probabilidad para una variable aleatoria continua. 
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquiera de un número infinito de 
valores de la recta real, en forma semejante al número infinito de granos de arena 
en una playa. La distribución de probabilidad es creada al distribuir una unidad de 
probabilidad a lo largo de la recta, igual que como se puede distribuir un puñado de 
arena. 
La distribución de probabilidad 𝑓 (𝑥); 𝑃 (𝑎 < 𝑥 < 𝑏 ) es igual al área sombreada 
bajo la curva. 
Ejemplos 
Variable Aleatoria Discreta: Lance al aire dos monedas imparciales y sea x igual 
al número observado de caras. Encuentre la distribución de probabilidad para x. 
 
Solución. Los eventos simples para este experimento con sus respectivas 
probabilidades se muestran en la tabla 1.1. Como 𝐸1= HH resulta en dos caras, este 
evento simple resulta en el valor x = 2. Del mismo modo, el valor x = 1 se asigna a 
𝐸2, y así sucesivamente. 
Para cada valor de 𝑥, se puede calcular 𝑝(𝑥) al sumar las probabilidades de los 
eventos simples en ese evento. Por ejemplo, cuando x = 0, 
𝑝(0) = 𝑃(𝐸4) =
1
4
 
 y cuando x = 1, 
𝑝(1) = 𝑃(𝐸2) + 𝑃(𝐸3) =
1
3
 
Los valores de 𝑥 y sus probabilidades respectivas, 𝑝(𝑥), aparecen en la siguiente 
tabla. Observe que las probabilidades totalizan 1. 
 
Variable Aleatoria Continua: La variable aleatoria uniforme se emplea para 
modelar el comportamiento de una variable aleatoria continua cuyos valores estén 
uniforme o exactamente distribuidos en un intervalo dado. Por ejemplo, es probable 
que el error x introducido al redondear una observación a la pulgada más cercana 
tenga una distribución uniforme en el intervalo de .5 a .5. La función de densidad de 
probabilidad f(x) sería “plana” como se muestra en la imagen. La altura del 
 
rectángulo está fija en 1, de modo que el área total bajo la distribución de 
probabilidad es 1. 
¿Cuál es la probabilidad de que el error de redondeo sea menor a .2 en magnitud? 
Solución. Esta probabilidad corresponde al área bajo la distribución entre 
𝑥 = − .2 𝑦 𝑥 = .2. Como la altura del rectángulo es 1 
P(−.2 < x < .2) [. 2 − (. 2)] ∗ 1 = .4 
Ejercicios 
Ejercicio 1. Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Si el 
único premio del sorteo es de 1800 euros, calcular el resultado que debe esperar 
una persona que compra 3 billetes 
Solución. Consideramos la variable aleatoria discreta 
ξ = ‘cantidad de dinero obtenido en el juego’ 
Los posibles valores de ξ son dos: 
Si se gana la rifa, se obtiene un beneficio de 1800−3 = 1777 euros. Por la Ley de 
Laplace, la probabilidad de que ocurra este hecho es de 3/5000. 
 Si no se gana la rifa, resulta una pérdida de 3 euros. Nuevamente por la Ley 
de Laplace, la probabilidad de que esto ocurra es de 4997/5000. 
 El resultado que debe esperar una persona que compra 3 billetes es 
𝐸[𝜉 ] = 1777 ·
3
500
 − 3 ·
4997
5000
= −
9660
5000
 = −1.932, 
 
Ejercicio 2. Una variable aleatoria discreta toma todos los valores enteros 
entre 0 y 4 con la siguiente función de densidad: 
 
 
 
Calcular su esperanza y varianza. 
Solución. La esperanza matemática de la variable 𝑋 viene dada por: 
𝐸[𝑋] = ∑ 𝑥𝑖
4
𝑖=0
∗ 𝑓(𝑥𝑖) = (0 ∗ 0.3) + (1 ∗ 0.25) + (2 ∗ 0.25) + (3 ∗ 0.1) + (4 ∗ 0.1) = 1.45 
La varianza viene dada por Var[𝑋] = 𝐸[𝑋2] − (𝐸[𝑋])2. Calculamos la esperanza de la 
variable 𝑋2 
𝐸[𝑋2] = ∑ 𝑥𝑖
2
4
𝑖=0
∗ 𝑓(𝑥𝑖
2) = ∑ 𝑥𝑖
2
4
𝑖=0
∗ 𝑓(𝑥𝑖) = (0
2 ∗ 0.3) + (12 ∗ 0.25) + (22 ∗ 0.25) + (32 ∗ 0.1) + (42 ∗ 0.1) = 3.75 
𝑉𝑎𝑟[𝑋] = 3.75 − 1.422 = 1.6475 
Ejercicio 3. Suponiendo que es equiprobable el tener hijo o hija, determinar 
el número esperado de varones en una familia de ocho hijos, así como la 
probabilidad de que efectivamente resulte este número. 
Solución. Consideramos la variable aleatoria ξ = ‘número de hijos varones en 
el total de ocho’. Al ser equiprobable el tener hijo o hija, la probabilidad de éxito (el 
tener un hijo) es 𝑝 = 0.5. Además, el sexo de un hijo no influye en el de los 
restantes. Por tanto, la variable ξ sigue una distribución binomial de parámetros 𝑛 =
 8 𝑦 𝑝 = 0.5, y su función de densidad es 
𝑓(𝑥) = (
8
𝑥
) · 0.5𝑥 · (1 − 0.5)8−𝑥 = (
8
𝑥
) · 0.5𝑥 · 0.58−𝑥 = (
8
𝑥
) · 0.58 (𝑥 ∈ {0,1,2, . . . ,8}) 
El número esperado de hijos varones viene dado por la esperanza matemática de 
la variable aleatoria ξ ,esto es: 
𝐸[𝜉] = 𝑛𝑝 = 8 · 0.5 = 4 hijos varones 
 
Por otra parte, la probabilidad de que nazcan exactamente 4 hijos varones es: 
𝑃(𝜉 = 4) = (
8
4
) · 0.58 =
8!
4! · 4!
· 0.58 = 0.2734 
𝑋 0 1 2 3 4 
𝑓(𝑥) 0.3 0.25 0.25 0.1 0.1 
 
lo que supone un 27.34%. 
Ejercicio 4. La función de distribución de la variable aleatoria que representa 
la duración en minutos de una llamada telefónica es 
Hallar su función de densidad, así como la probabilidad de que una llamada dure 
entre 3 y 6 minutos. 
Solución. Sabemos que la función de densidad de probabilidad coincide con 
la derivada de la función de distribución. Por tanto, la función de densidad será 
La probabilidad de que una llamada dure entre 3 y 6 minutos es: 
 
Ejercicio 5. Una confitura puede ser calificada de «almíbar» si contiene entre 
420 y 520 gramos de azúcar por kilo de confitura. Un fabricante comprueba 200 
botes de confitura de 1 kilogramos encontrando que el peso medio de azúcar es de 
465 gramos, con una desviación típica de 30 gramos. Sabiendo que el contenido de 
azúcar se distribuye normalmente (porque proviene de frutas con un contenido 
variable de azúcar), calcular el porcentaje de la producción del fabricante que no 
 
debe ser etiquetado como almíbar, considerando la muestra como representativa 
de la producción total. 
Solución. Sea la variable aleatoria ξ = ‘contenido de azúcar (gr) en botes de 
confitura de 1 kg’. 
Sabemos que el contenido de azúcar en dichos botes se distribuye 
normalmente con un peso medio por bote de 465 gr (esto es, µ = 465 gr) y una 
desviación típica de 30 gr (esto es, σ = 30 gr). Simbólicamente: ξ ∼ N(465,30). 
Considerando la muestra de 200 botes como representativa de la producción total, 
el porcentaje de producción que puede ser calificado de almíbar es el P(420 < ξ < 
520)· 100%. Al tipificar la variable ξ resulta que ξ = 30Z +465, donde Z es la normal 
estándar. Se tiene entonces: 
Encontramos así que el 89.96% de la producción total puede ser calificada de 
almíbar. El resto, un 10.04%, no debe ser calificado como tal. 
Ejercicio 6. La longitud de ciertos tornillos (en centímetros) es una variable 
aleatoria con la siguiente función de densidad: 
Para hacer cierto trabajo se prefieren tornillos con longitud entre 1,7 cm y 2,4 cm. 
¿Cuál es la probabilidad de que un tornillo tenga dicha longitud? 
Solución. La variable es 𝑋: longitud de ciertos tornillos (en cm). 
Calculamos la probabilidad pedida 𝑃(1,7 ≤ 𝑋 ≤ 2,4) cómo el área bajo la curva de 
densidad entre 𝑥 = 1,7𝑥 = 1,7 𝑦 𝑥 = 2,4𝑥 = 2,4: 
 
 
Referencias 
Mendenhall, W., Beaver, R. J., Beaver, B. M., & Velázquez Arellano, J. A. 
 (2015). Introducción a la probabilidad y estadística (14a. ed. --.). México, D.F.: 
 Cengage Learning. 
Fede. (2018, July 18). Variable Aleatoria Continua: Ejercicios Resueltos. Retrieved 
November 30, 2022, from PROBA FÁCIL website: https://probafacil.com/variable-
aleatoria-continua-ejercicios-resueltos/