Libro de ejercicios con soluciones

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Material de Estudio EAF200A
Uso exclusivo para el curso EAF200A
No distribuir.
Versión: 2 de diciembre 2020
i
Versión con Soluciones
Índice general
Prefacio III
1. Funciones de Varias Variables 1
2. Técnicas de Estática Comparativa 14
3. Optimización sin Restricciones 30
4. Optimización con Restricciones de Igualdad 55
5. Optimización con Restricciones de Desigualdad 78
6. Ecuaciones en Diferencias de Primer Orden 109
7. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden 125
8. Ecuaciones en Diferencias de Segundo Orden o Superior 127
A. Matrices 134
ii
Prefacio
Dentro de este material de estudio encontrarán varios ejercicios del curso EAF200A. Se espera que los
alumnos utilicen este material para complementar su aprendizaje con las cátedras del curso.
Los ejercicios contenidos en el material de estudio se encuentran separados según los contenidos que se
ve en cada unidad del curso. Asimismo, en el titulo de cada uno de los ejercicios se especifica el subtema
que cada ejercicio ayuda a profundizar, con la finalidad de que cada alumno refuerce los contenidos que
estime necesarios. Particularmente, algunos de los ejercicios al final de cada caṕıtulo tratan temas de varias
unidades, por lo que se recomienda a los alumnos revisarlos para integrar su conocimiento y prepararse mejor
para las evaluaciones del curso.
En el material también encontrarán una pauta tentativa a algunos de los ejrecicios, por lo tanto este
archivo quedará en actualización para incorporar las soluciones a los ejercicios restantes. Aún aśı se reco-
mienda a los alumnos que intenten resolverlos y tomarlo como un desaf́ıo, pues esto les ayudará a profundizar
algunos de los contenidos vistos en el curso. De todas formas, si tienen dudas con la resolución de algunos
de los ejercicios siempre pueden recurrir al Equipo Docente para resolver sus dudas.
El documento también contiene una serie de apéndices para que los alumnos puedan profundizar en ciertos
puntos espećıficos del cursos. Es recomendable que los alumnos revisen los antes de realizar los ejercicios
contenidos en el material de estudio.
Finalmente, se espera que este material facilite y complemente el aprendizaje de los alumnos del curso
EAF200A y les permita prepararse mejor para los cursos posteriores de la carrera. Les deseamos mucha
suerte en el curso y en lo que resta de la carrera.
Se agradece la colaboración de los profesores Rafael Águila, Felipe Del Canto, Caio Machado, Bernardo
Quiroga, José Tessada y Mat́ıas Villagra al facilitar los ejercicios que han utilizado en versiones anteriores
del curso.
Cualquier problema que se encuentre al documento por favor indicar al siguiente mail: rpino2@uc.cl.
Atte. Equipo Docente Aplicaciones Matemáticas.
iii
mailto:rpino2@uc.cl
Caṕıtulo 1
Funciones de Varias Variables
1.1. Dominio de Funciones
Determine los valores de x e y para los cuales las siguientes funciones están definidas en los reales.
1. x
2+y2
y−x+2
2.
√
2− (x2 + y2)
3.
√
(4− x2 − y2) (x2 + y2 − 1)
1.2. Curvas de Nivel
Determine y grafique a mano alzada, las curvas de nivel: f (x, y) = c , para c = −1 , c = 0 y c = +1 de
las siguientes funciones
1. f (x, y) = x2 − y2
2. f (x, y) = xy
1.3. Derivadas parciales de segundo orden
Derivadas parciales de segundo orden Obtenga las derivadas de primer y segundo orden para las siguientes
funciones y verifique que se cumple el teorema de Young.
1. f(x, y) = x7 − y7
2. f(x, y) = xβ ln(y), con β ∈ R
3. f (x, y) = (x2 − ay2)δ, con δ ∈ R
1.4. Funciones de Utilidad y TMS
Para cada una de las siguientes funciones de utilidad encuentre las tasas marginales de sustitución (TMS)
usando el diferencial total (donde x1 y x2 son los bienes consumidos y u es el nivel de utilidad).
1
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 2
1. u(x1, x2) = ax1 + bx2, a, b ∈ R+.
Al sacar el diferencial e igualar a 0, lo que estamos haciendo es encontrar todos los puntos en donde la
utilidad se mantiene constante. Es por ello que podemos obtener una relación de cambio en la cantidad
de bienes x1, x2 que mantiene la utilidad constate, lo que llamamos tasa marginal de sustitución (TMS)
dU = ∂U
∂x1
dx1 +
∂U
∂x2
dx2 = 0
0 = adx1 + bdx2
Reordenando:
a
b
= −dx2
dx1
= TMS
2. u(x1, x2) = xα1x
β
2 , α, β ∈ (0, 1).
dU = ∂U
∂x1
dx1 +
∂U
∂x2
dx2 = 0
0 = (αxα−11 x
β
2 )dx1 + (xα1 βx
β−1
2 )dx2
Reordenando:
αx2
βx1
= −dx2
dx1
= TMS
3. u(x1, x2) = aln(x1) + bx2, a, b ∈ R+.
dU = ∂U
∂x1
dx1 +
∂U
∂x2
dx2 = 0
0 =
(
a
x1
)
dx1 + bdx2
Reordenando:
a
bx1
= −dx2
dx1
= TMS
1.5. TMST e Interpretación Económica
Considere los siguientes procesos productivos:
a. Un metro cuadrado de lana sintética (L) se puede fabricar con medio kilo de nylon (N) o dos kilos de
polyester(P)
b. Un miligramo de Tropigrafeno (T), un elemento qúımico encontrado en las montañas de Costa Rica,
puede fabricarse si se combinan tres miligramos de Kriptonita (K) con un miligramo de Vanadio (V)
Para cada proceso responda lo siguiente:
i. Determine la función de producción de cada proceso (a) L(N,P ) = 2N + 12P
(b) T (K,V ) = mı́n{K/3, V }
ii. Encuentre la TMST para cada tecnoloǵıa e interprétela
(a) TMSTP,N (N,P ) = PMgN/PmgP = 21/2 = 4. 4 unidades de polyester siempre se puede sustituir
por una unidad de nylon, de manera a mantener la producción constante. Por esto cuando la TMS es
constante, como en este caso, decimos que los factores son sustitutos perfectos.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 3
(b) En este caso, la función de producción no es diferenciable en todo punto (y además tiene derivadas
parciales cero en varios puntos), aśı que no podemos directamente aplicar el teorema de la función
impĺıcita. Todav́ıa, uno puede ver que si K/3 > V , una reducción marginal en K no afecta la producción
total (en este caso, TMSV,K = 0). De manera similar, si V > K/3, una reducción marginal en V no
afecta la producción total (en este caso, TMSK,V = 0). Los factores son complementos perfectos en
este caso.
iii. Grafique el mapa de isocuantas para los niveles de producto 1, 2, 4 de lana sintética (L) y 1, 3, 6 de
Tropigrafeno (T)
(Las isocuantas azules corresponden a lo nivel de producción mas bajo, y las rojas al nivel de producción
mas alto).
1.6. Derivadas Parciales y Funciones de Varias Variables
El mercado de los burritos está descrito por una función de demanda Bd = f(p,m) y por una función de
oferta Bs = g(p, h) donde Bd es la cantidad demandada de burritos, Bs es la cantidad ofrecida de burritos,
p es el precio de los burritos, m es el ingreso promedio de los hogares, y h es un indicador del costo de la
harina de máız.
1. Explique el signo que debeŕıan tener las derivadas parciales de las funciones de demanda y oferta con
respecto a p, m y h de acuerdo a lo que usted ha aprendido hasta ahora en cursos de economı́a
∂f
∂p < 0 La cantidad demandada debeŕıa ser decreciente en precio del bien. Si aumenta el precio, debeŕıa
disminuir la cantidad demandada.
∂g
∂p > 0 La cantidad ofrecida debeŕıa aumentar con los precios. Si aumenta el precio del bien debeŕıa
querer producir más del bien.
∂f
∂m > 0 Si los burritos son un bien normal, es decir, a mayor ingreso mayor consumo. También existen
bienes inferiores, en donde la demanda caeŕıa al aumentar el ingreso.(Tendŕıamos que la derivada seŕıa
negativa)
∂g
∂h < 0 Al aumentar el precio del máız se hace más caro producir burritos por lo que la cantidad
ofrecida es menor a un mismo precio.
2. Defina F (p,m, h) como la función de exceso de oferta de burritos en el mercado. ¿Cómo obtendŕıa esa
función usando f(·) y g(·)?
F (p,m, h) = Bs −Bd = g(p, h)− f(p,m)
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 4
3. Si el mercado de burritos está en equilibrio, ¿qué valor debeŕıa tener la función F (·)? Explique cómo
usted podŕıa calcular el valor del precio de equilibrio usando esta condición.
El mercado está en equilibrio cuando Bs = Bd es decir: F (p,m, h) = g(p, h) − f(p,m) = 0 Esto nos
permite calcularel precio de equilibrio como el valor tal que Bs = Bd para un par de valores m y h.
4. Encuentre las derivadas parciales del precio de equilibrio pe con respecto a m y h. ¿Puede determinar
el signo de estas derivadas?
Tenemos que cuando, Bs = Bd
g(pe, h)− f(pe,m) = 0
Notemos que pe es una función de m y h, pe = pe(m,h) Calculando las derivadas:
Con respecto a m.
∂pe
∂m
= ∂g
∂p
∂pe
∂m
− ∂f
∂p
∂pe
∂m
− ∂f
∂m
= 0
∂pe
∂m
(∂g
∂p
− ∂f
∂p
) = ∂f
∂m
∂pe
∂m
=
∂f
∂m
∂g
∂p −
∂f
∂p
(∗)
Con respecto a h.
∂pe
∂h
= ∂g
∂p
∂pe
∂h
+ ∂g
∂h
− ∂f
∂p
∂pe
∂h
= 0
∂pe
∂h
(∂g
∂p
− ∂f
∂p
) = −∂g
∂h
∂pe
∂h
= −
∂g
∂h
∂g
∂p −
∂f
∂p
(∗∗)
Note que (*) tiene el mismo signo que ∂f∂m ya que
∂g
∂p −
∂f
∂p debe ser positivo porque
∂g
∂p > 0 y
∂f
∂p < 0
En el caso de (**) el signo es positivo porque ∂g∂h < 0 y denominador es positivo, mismo caso (*).
1.7. Derivadas Parciales e Interpretación Económica
(Basado en ejemplo 15.21 de Sydsaeter et al, primera edición) Supongamos que el bienestar W de un
grupo de habitantes en una sociedad depende de dos variables: el total de bienes consumidos “x” y el nivel
de contaminación “c”, tal que W = f (x, c)
1. ¿Qué signo esperaŕıa usted que tuvieran las derivadas parciales de f con respecto a x y c? Explique la
intuición económica detrás de esto.
2. ¿Qué signo esperaŕıa usted que tuvieran las derivadas de segundo orden ∂
2f
∂x2 ,
∂2f
∂c2 ? Explique la intuición
económica detrás de esto.
3. Supongamos que ∂
2f
∂c∂x < 0, ¿cuál es la interpretación matemática de este supuesto? ¿Qué implica esto
en cuanto a la economı́a del problema?
4. Como los bienes deben ser producidos de alguna manera, podemos pensar que la contaminación es una
función c(x). ¿Qué signo espera tenga la derivada c’?
5. Encuentre la ecuación que muestra el efecto de un mayor consumo en el bienestar con el supuesto
adicional introducido en la parte anterior. Interprete los términos en esta ecuación.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 5
1.8. TMS y Aproximación por Plano Tangente
Suponga la siguiente función de utilidad de una persona que consume dos bienes,
U =
√
x+ 2√y
1. Calcule la tasa marginal de sustitución. Use derivación impĺıcita.
2. Si la persona consume normalmente 4 unidades del bien x y 9 unidades del bien y, ¿cuántas unidades
del bien x cree usted que debeŕıa estar dispuesta a sacrificar por una unidad adicional del bien y?
3. Encuentre la gradiente en el punto (x; y) = (4; 9). Use el resultado para aproximar cuánto cambia la
utilidad al moverse al punto (x; y) = (4, 2; 8)
1.9. Derivadas Parciales y Aproximación por Plano Tangente
Considere una función de demanda dada por A = 6p−2a p
3/2
b donde A es la cantidad demandada de viajes
en avión, pa es el precio de los viajes en avión y pb es el precio de los viajes en bus. Suponga que los precios
actuales en el mercado son pa = 3 y pb = 4,5.
1. Calcule la cantidad viajes en avión demandada a los precios de mercado observados
2. Obtenga las derivadas parciales de la demanda por viajes en avión con respecto a los precios de viajes
(ambos)
3. Obtenga las derivadas parciales de segundo orden de la función de demanda con respecto a los precios
de ambos bienes (incluida la derivada cruzada)
4. Use las derivadas parciales recién calculadas para obtener una aproximación de la cantidad demandada
si pa sube en 0,5 y pb baja en 0,5.
5. Repita el paso anterior, partiendo de los mismos valores iniciales, pero para el caso en que ambos
precios bajan en 0,25
6. Calcule ahora los valores exactos de la cantidad demandada en ambos casos. ¿Qué tan buena era su
aproximación?
1.10. Aproximación por Plano Tangente
a) El radio de la base y la altura de un cono circular recto miden 10 cm y 25 cm, respectivamente, con
un posible error en la medición de 0,1 cm en cada uno. Utilice diferenciales para estimar en forma
aproximada. el mayor error posible en el volumen calculado del cono.
b) Las dimensiones de una caja rectangular son 75, 60 y 40 cm, y cada medida no difiere 0.2 cm del valor
real. Mediante diferenciales estime el error más grande posible cuando el volumen de la caja se calcula
a partir de esas medidas.
1.11. Aproximación por Plano Tangente
Un fabricante ha modelado su producción anual como una función Q (el valor de toda la producción en
millones de dólares) como una función de CD.
Q (L,K) = 1, 47L0,65K0,35
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 6
donde L es el número en horas de mano de obra (en miles) y K es el capital invertido (en millones de dólares).
Supongamos que cuando L = 30 y K = 8, la fuerza laboral disminuye a razón de 2000 horas de mano de
obra por año y el capital está creciendo a razón de $500 000 por año.
1. Encuentre la razón de cambio de la producción
1.12. Modelamiento de Funciones Económicas (Equilibrio de Mer-
cado)
Consideremos el modelo de oferta y demanda de un determinado bien:
Qd = nd − Pmd ; nd,md > 0
Qs = −ns + Pms ;ns,ms > 0
donde Qd es la cantidad demandada y Qs es la cantidad ofrecida del bien Q, P es el precio de mercado, y
nd,md, ns y ms son constantes.
1. Obtenga el precio y cantidad de equilibrio en este mercado como función de los parámetros de la
demanda
2. Describa que ocurre con el precio y cantidad de equilibrio en las siguientes situaciones
a) Solo aumenta parámetro nd (todos los otros parámetros permanecen constantes)
b) Solo aumenta parámetro md
c) Solo aumenta parámetro ns
d) Solo aumenta parámetro ms
1.13. Modelamiento de Funciones Económicas (Utilidad del Agen-
te)
En economı́a y finanzas se utiliza bastante funciones de utilidad del tipo:
U (c1, c2) =
c1−σ1
1− σ +
c1−σ2
1− σ
Estas funciones se usan para considerar decisiones en que hay consumo en distintos momentos del tiempo
o cuando no tenemos certeza de qué ocurrirá en un peŕıodo futuro.
1. Calcule las utilidades marginales de ambos consumos. ¿Para qué valores de σ son positivas estas
utilidades marginales?
∂U
∂c1
= c−σ1
∂U
∂c2
= c−σ2
Ambas son positivas para cualquier valor de σ
2. Calcule las derivadas parciales de segundo orden. ¿Para qué valores de σ es decreciente la utilidad
marginal?
∂2U
∂c21
= −σc−σ−11
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 7
∂2U
∂c22
= −σc−σ−12
Son negativas si σ > 0, Para que tengamos Umg decrecientes necesitamos que σ > 0
3. Calcule la tasa marginal de sustitución usando el diferencial total
dU = ∂U
∂c1
dc1 +
∂U
∂c2
dc2
dU = c−σ1 dc1 + c−σ2 dc2
Igualamos dU = 0 para ver pendiente de curva de indiferencia
0 = c−σ1 dc1 + c−σ2 dc2
dc2
dc1
= −c
−σ
1
c−σ2
= −
(
c2
c1
)σ
TMS =
(
c2
c1
)σ
4. ¿Como cambia la tasa marginal de sustitución cuando cambia σ?
Definamos T = dc2dc1 en una curva de indiferencia. Usamos esta propiedad para encontrar (
dab
db = ab ln a):
dT
dσ
= −
(
c2
c1
)σ
ln
(
c2
c1
)
El término −( c2c1 )
σ es negativo. La parte ln
(
c2
c1
)
es negativa si c1 > c2 y positiva si c2 > c1. Entonces
dT
dσ
< 0 si c2 > c1
dT
dσ
> 0 si c2 < c1
Como T es negativo, esto implica que al aumentar σ, T se hace más negativo si c2 > c1. Si c1 > c2,
entonces T se vuelve menos negativo.
5. Partiendo de un punto en que c1 = c2 muestre gráficamente qué ocurre con la forma de la curva de
indiferencia si σ aumenta de 0,5 a 0,75. ¿Qué interpretación económica tiene este resultado?
La nueva curva de indiferencia tiene una pendiente más negativa al aumentar σ cuando c2 > c1. Cuando
c1 > c2, el aumento de σ hace que la pendiente sea menos negativa
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 8
1.14. Modelamiento de Funciones Económicas (Poĺıticas Sociales)
En un reciente trabajo publicado el profesor Francisco Gallego junto a otros investigadores estudian el
efecto que tiene en rendimiento escolar el sustituir libros impresos por libros electrónicos entregados a un
computador. En esta pregunta escribiremos funciones de producción que reflejen algunas de las hipótesis que
ellos estudian en el trabajo mencionado. (Nota: la cita completa del art́ıculoes: Rosangela Bando, Francisco
Gallego, Paul Gertler, Dario Romero Fonseca, 2017, “Books or laptops? The effect of shifting from printed
to digital delivery of educational content on learning,” Economics of Education Review, 61, págs. 162-173.)
Nos concentraremos en la parte de oferta de libros y el costo de entregarlos.
En este caso pensaremos en el costo de entregar una cierta cantidad de libros L a los alumnos. Llamaremos
e a la fracción de libros que son entregados en formato electrónico, tal que el total de libros entregados en
formato electrónico es eL y en formato impreso es (1− e)L. El costo de entregar libros electrónicos tiene un
costo fijo a y un costo variable b por libro (el costo variable no es función de L), mientras que el costo de
libros impresos tiene un costo fijo c y un costo variable d por libro (el costo variable no es función de L).
1. Escriba la función de costos totales de entregar L libros como función de L y e, además de los parámetros
de costos fijos y marginales.
C(L, e) = a+ beL+ c+ d(1− e)L
Donde: a+ beL es el costo de libros electrónicos
Y c+ d(1− e)L es el costo de los libros impresos
2. Encuentre la función de costos marginales, esto es el aumento en la función de costos totales al aumen-
tar la cantidad de libros producidos. Interprete sus resultados.
Costo marginal:
∂C
∂L
= be+ (1− e)d = d+ e(b− d)
3. ¿Cómo cambia el costo marginal al cambiar e? Explique la intuición detrás del resultado
Ahora necesitamos
∂2C
∂e∂T
= b− d
El costo marginal de entregar un libro aumenta al aumentar la fracción de libros en formato electrónico
si y solo si (ssi) el costo marginal de un libro electrónico, b, es más alto que el costo marginal de un
libro impreso, d.
1.15. Modelamiento de Funciones Económicas (Utilidad Espera-
da)
En finanzas se utiliza bastante funciones de utilidad del tipo:
U (µ, σ) = µ− A2 σ
2 con A > 0
donde µ es el retorno esperado de una inversión financiera y σ es una medida de la variabilidad o qué tan
inciertos son los retornos que entregará esta inversión.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 9
1. Calcule la utilidad marginal de µ y de σ. ¿Qué interpretación económica o financiera tiene el signo de
estas utilidades marginales?
Tomando las derivadas parciales:
∂U
∂µ
= 1
∂U
∂σ
= −Aσ
La interpretación es la siguiente: cuando sube el retorno sube la utilidad del agente, pero cuando sube
la volatilidad baja la utilidad, pues no le gusta riesgo a este agente.
2. Calcule la tasa marginal de sustitución usando el diferencial total de una curva de indiferencia asociada
a esta función de utilidad. (Nota: alternativamente usted puede trabajar con la pendiente de la curva
de indiferencia, recordando que la TMS es esta pendiente pero con el signo cambiado: TMS = −dσ/dµ
en este caso).
Tomando el diferencial total
dU = ∂U
∂µ
dµ+ ∂U
∂σ
dσ
Igualamos a cero de forma de obtener la curva de indiferencia:
dU = ∂U
∂µ
dµ+ ∂U
∂σ
dσ = 0
Y reemplazando las derivadas parciales obtenidas en el inciso anterior:
TMS = −∂σ
∂µ
= 1
−Aσ
3. Dibuje la curva de indiferencia cuando A = 1 y U = 1. Sea cuidadoso en definir los puntos en que
cruza los ejes, si es que los cruza.
Cuando σ = 0, el valor de µ debe ser 1. Por otro lado, no es posible que la curva de indiferencia intercepte
el eje de horizontal (µ = 0) ya que no hay valores de σ que permitan U = 1 en ese caso. La pendiente
de la curva es positiva, y la curva de indiferencia esta dada por µ = 1 + A2 σ2 ⇔ σ =
√
2(µ− 1)/A.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 10
4. ¿Cómo cambia la tasa marginal de sustitución cuando aumenta A? Interprete la intuición de este
resultado.
En este caso la TMS se vuelve menos negativa, o la pendiente de la curva de indiferencia se hace
más pequeña (disminuye en valor). Esto significa que la curva ahora gira hacia la derecha, siempre
desde el punto en que σ = 0 y µ = 1 (vea el gráfico abajo). Esto implica que ahora para mantener
el mismo nivel de utilidad, el inversionista quiere una mayor cantidad de retorno por cada unidad en
que aumenta la variabilidad de estos retornos: “requiere mayor compensación.”Nota: esto es lo que en
finanzas conocemos como aversión al riesgo y este parámetro A es como lo reflejamos en este tipo de
funciones de utilidad.
1.16. Desaf́ıo: Equilibrio General
Considere una economı́a con dos agentes, A e B, y dos bienes, 1 e 2. Los agentes A y B tienen las
siguientes funciones utilidad u(xA1 , xA2 ) = α ln(xA1 ) + ln(xA2 ) e u(xB1 , xB2 ) = ln(xB1 ) + α ln(xB2 ), donde x
j
i
representa la cantidad consumida del bien i por el agente j y α > 1. Perciba que al agente A le gusta mas
el bien 1, y a lo agente B le gusta mas el bien 2. Algunas curvas de indiferencia están representadas abajo.
Las ĺıneas sólidas representan las curvas de indiferencia del agente A y las rayadas del agente B. Esté atento
también a la dirección de los ejes.
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 11
Un planificador central tiene 10 unidades del bien 1 y 5 unidades del bien 2, y esta pensando como distribuir
(asignar) estos bienes entre los dos agentes. Encuentre todas las posibles distribuciones (asignaciones) que
satisfacen el siguiente requerimiento: no se puede subir la utilidad de un agente sin bajar la utilidad del otro
agente.
La primera cosa que deben entender es como leer el gráfico. Cada punto en el gráfico representa una
posible asignación. Por ejemplo, en el punto P1 abajo, el planificador asigna: 1 unidad de cada bien para el
agente A; 9 unidades del bien 1 y 4 unidades del bien 2 para el agente B. En el punto P2, el planificador
central asigna: 6 unidades del bien 1 y 3 unidades del bien 2 para el agente A; 4 unidades del bien 1 y 2
unidades del bien 2 para el agente B.
El problema es elegir los puntos que satisfacen el requerimiento del enunciado. Para ver esto, deben percibir
que si una asignación es tal que las curvas de indiferencia se cruzan, el planificador siempre puede mejorar
la utilidad de un agente sin bajar la utilidad del otro agente. Para esto considere un planificador que elige la
asignación P1 en el gráfico siguiente. Hay curvas de indiferencia de los dos agentes pasando por este punto y
estas curvas se cruzan. Perciba que si el planificador elige la asignación P2, esto mantendŕıa la utilidad del
agente B constante (curva de indiferencia roja) y subiŕıa la utilidad del agente A, que estaŕıa en una curva
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 12
de indiferencia mas arriba. Aśı, siempre que las curvas de indiferencia se cruzan en un punto, se puede hacer
un desv́ıo que mejora la utilidad de un agente, sin empeorar la del otro. Esto no es posible cuando las curvas
son tangentes (punto P3) – en otras palabras, la TMS de los agentes debe ser la misma.
Por lo tanto, lo que tenemos que hacer es encontrar todas las asignaciones posibles tales que las curvas
de indiferencia sean tangentes. Usando el teorema de la función impĺıcita, La TMS del agente A es:
TMSA =
αxA2
xA1
Y la TMS del agente B es:
TMSB =
xB2
αxB1
Luego tenemos que la asignación debe satisfacer:
αxA2
xA1
= x
B
2
αxB1
(1.1)
Pero dado la cantidad disponible tenemos que
xB2 = 5− xA2 (1.2)
xB1 = 10− xA1 (1.3)
Reemplazando (1.2) y (1.3) en (1.1) tenemos:
αxA2
xA1
= 5− x
A
2
α
(
10− xA1
)
Resolviendo para xA2 tenemos:
xA2 =
5xA1
xA1 + (10− xA1 )α2
(1.4)
Todas asignaciones con xA1 ∈ [0, 10] que cumplen (1.4) satisfacen el requerimiento de que no se puede subir la
utilidad de un agente sin bajar la utilidad del otro agente. Gráficamente, estas son todas asignaciones donde
las curvas de indiferencia son tangentes (representado por la linea amarilla en el gráfico abajo).
CAPÍTULO 1. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 13
1.17. Función Cobb-Douglas y Algunas de sus Propiedades
Suponga que podemos modelar la producción “Y” de una firma usando una función Cobb-Douglas donde
Xi es la cantidad del factor de producción “i” utilizada por la firma, y ai ∈ R son parámetros de la función
deproducción.
Y = Xa11 × Xa22 × ....×Xann
1. Qué restricciones debemos imponer a los valores que pueden tomar los parámetros ai para que la
productividad marginal de los factores sea positiva y decreciente?
2. Muestre que la productividad marginal de un factor Xi, PMgi se puede escribir como:
PMgi = ai YXi
3. Use el resultado anterior para mostrar que para esta función se cumple que:∑n
i=1XiPMgi = Y
∑n
i=1 ai
Caṕıtulo 2
Técnicas de Estática Comparativa
2.1. Regla de la Cadena
Suponga la función y = 3x1x22 + 2x2 y que x1(t) = −3t2 y x2(t) = 4t3 + t.
1. Use la regla de la cadena para encontrar una expresión para la derivada de y con respecto a t
dy
dt
= 3x22
dx1
dt
+ (6x1x2 + 2)
dx2
dt
= 3(4t3 + t)2 ×−6t+ (−18t2(4t3 + t) + 2)
2. Encuentre la función y = g(t) que se obtiene la sustituir directamente x1 y x2 como funciones de t
3. Obtenga la derivada de y con respecto a t usando al función g(·) que usted acaba de obtener
2.2. Regla de la Cadena
Suponga la función y = 0,5 ln(x1) + 0,5 ln(x2) y que x1(t) = e0,2t y x2(t) = e0,4t.
1. Use la regla de la cadena para encontrar una expresión para la derivada de y con respecto a t.
dy
dt
= ∂y
∂x1
dx1
dt
+ ∂y
∂x2
dx2
t
= 0
dy
dt
= 0, 5exp(0, 2t)0, 2 exp(0, 2t) +
0, 5
exp(0, 4t)0, 4 exp(0, 4t)
=0, 1 + 0, 2 = 0, 3
2. Encuentre la función y = g(t) que se obtiene al sustituir x1 y x2 como funciones de t.
y =0, 5 ln(x1) + 0, 5 ln(x2)
y =0, 5 ln(exp(0, 2t)) + 0, 5 ln(exp(0, 4t))
=0, 1t+ 0, 2t = 0, 3t
3. Obtenga la derivada de y con respecto a t usando la función g(·) que usted acaba de obtener.
dy
dt
= 0, 3
14
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 15
2.3. Regla de la Cadena e Interpretación Económica
Usted está encargado de comprar bebidas para un asado de generación y los organizadores le piden
que compre l botellas de 2 litros. Usted se encuentre en un supermercado y observa que el precio es p̄ por
botella. Usted necesita decidir si seguir buscando en otros supermercados o sencillamente comprar en el que
se encuentra actualmente. Llamaremos b al tiempo que usted pasará buscando en otros supermercados y
podemos suponer que mientras más tiempo busque menor será el precio p al que podrá comprar.
Su función de utilidad U tiene dos componentes. Primero, usted aumenta su felicidad por cada peso que
ahorra en bebidas (lo llamaremos s), condicional en comprar lo requerido. Segundo, usted no quiere pasarse
la tarde entera buscando bebidas más baratas, por ello su utilidad disminuye mientras mayor sea b.
1. ¿Qué signo debeŕıan tener las derivadas parciales de U con respecto a s y b?
2. ¿Qué signo debeŕıa tener la primera derivada de p con respecto a b?
3. Obtenga la derivada de la función de utilidad con respecto al tiempo ocupado buscando bebidas más
baratas. ¿Qué interpretación tienen cada uno de los términos que lo componen?
4. ¿Puede usted mostrar la condición que describe el tiempo de búsqueda que maximiza su utilidad?
2.4. Regla de la Cadena e Interpretación Económica
Supongamos que la función de utilidad U = U(C,P ) de la sociedad depende de dos elementos: el consumo
de bienes adquiridos en el mercado, C, y la disponibilidad de bienes provistos por el sector público, P , y la
utilidad es creciente en ambas variables. La persona consume una fracción a de su ingreso neto de impuestos
M − T donde M es el ingreso y T son los impuestos. La disponibilidad de bienes públicos es una función
creciente de los impuestos cobrados P = P (T ).
1. Encuentre la derivada de la función de utilidad con respecto a los impuestos. Llame p′ a la derivada
de P con respecto T .
2. Explique intuitivamente lo que reflejan los componentes de su resultado en la parte anterior.
3. ¿Qué sucede con la utilidad “marginal” de los impuestos cuando p′ aumenta? Explique intuitivamente
2.5. Regla de Cadena e Interpretación Económica
Supongamos que la función de demanda de un bien que depende del precio sin impuestos “P” y del IVA
unitario “t”, está dada por:
Qd = f(t, P )
Supongamos que la función de oferta está dada por: Qs = g(P ). Supongamos además que el precio de
equilibrio es función del IVA “t”, esto es,P = P (t).
1. Utilizando la ecuación de equilibrio obtener:
dP
dt
= P ′(t)
2. . Analice su signo y concluya
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 16
2.6. Derivadas Impĺıcitas
a) Obtener y′ = dy
dx
donde x3 + y3 = 6xy
b) Obtener ∂z
∂x
y ∂z
∂y
donde x3 + y3 + z3 + 6xyz = 1
2.7. Derivadas Implicitas y Direccionales
Dada la función:
f (x, y) = x2 + y2
1. Dado el punto P =
(√
2,
√
2
)
. Obtener la derivada direccional en la dirección del vector (cos 45, sin 45)
2. Dado el punto P = (2, 0).Obtenga la derivada direccional en la dirección del vector (cos 0, sin 0)
3. Dado el punto P = (0, 2). Obtenga la derivada direccional en la dirección del vector (cos 90, sin 90)
4. Hacer un gráfico a mano alzada con los tres resultados anteriores y comentar.
5. ¿Qué pasaŕıa con la derivada direccional del problema anterior, si esta es calculada en un punto “P”
sobre una misma curva de nivel, es decir, sobre una circunferencia cualesquiera de radio” r”
2.8. Derivadas Direccionales y Vector Gradiente
Considere la función cóncava: f (x, y) = −
(
x2 + y2
)
, se considera un punto “P” sobre una curva de
nivel cualquiera, es decir, un punto “P” sobre una circunferencia de radio “r” entonces: Obtenga la derivada
direccional, considere un punto sobre la curva de nivel o circunferencia de radio “r”, considere un vector
unitario û que esté en la misma dirección del vector gradiente.
2.9. Derivadas Impĺıcitas
Considerando que en el Teorema de la Derivación Impĺıcita:
dy
dx
= y′ = −Fx (x, y)
Fy (x, y)
= −Fx
Fy
1 Representa la pendiente de la curva de nivel de F (x, y) = c Se pide demostrar que:
y′′ =d
2y
dx2
= 1
(Fy)3
∣∣∣∣∣∣
0 Fx Fy
Fx Fxx Fxy
Fy Fyx Fyy
∣∣∣∣∣∣
2.10. Teorema de Leibniz
Encuentre la derivada con respecto a t de las siguientes funciones:
1Fx es una notación alternativa para la derivada parcial de F con respecto a x
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 17
1. f(t) =
∫ at
t
ln(tz)dz
Utilizando el teorema de Leibniz
df
dt
= a ln tat− ln tt+
∫ at
t
1
tz
zdz
df
dt
= a ln at2 − ln t2 +
∫ at
t
1
t
dz
Utilizando las propiedades del logaritmo
df
dt
= a ln a+ 2a ln t− 2 ln t+
∫ at
t
1
t
dz
Resolviendo la integral y factorizando
df
dt
= a ln a+ 2(a− 1) ln t+ at
t
− t
t
df
dt
= a ln a+ 2(a− 1) ln t+ a− 1
2. g(t) = e−rt
∫ T
t
f(τ)e−r(τ−t)dτ , donde r y T son números positivos.
Utilizando el teorema de Leibniz
dg
dt
= −re−rt
∫ T
t
f(τ)e−r(τ−t)dτ + e−rt(−f(t)e−r(t−t) +
∫ T
t
f(τ)re−r(τ−t)dτ)
Sabemos que (por enunciado): g(t) = e−rt
∫ T
t
f(τ)e−r(τ−t)dτ , reemplazamos y obtemos que:
dg
dt
= −rg(t)− f(t)e−rt + re−rt
∫ T
t
f(τ)e−r(τ−t)dτ
= −rg(t)− f(t)e−rt + rg(t)
= −f(t)e−rt
Notar que alternativamente ustedes pueden hacer lo siguiente
g(t) =e−rt
∫ T
t
f(τ)e−r(τ−t)dτ = e−rt
∫ T
t
f(τ)e−rτertdτ
=
∫ T
t
f(τ)e−rτdτ
donde en la primera ĺınea se separa el exponencial dentro de la integral, y luego en la segunda ĺınea
se introduce el exponencial que estaba afuera. Estos se cancelan y tenemos ahora una integral más
simple. Podemos aplicar Leibniz a esta integral, donde ahora únicamente el ĺımite inferior es función
de la variable que estamos derivando y obtenemos
dg
dt
= −f(t)e−rt
Esto corresponde a la derivada del ĺımite inferior de la integral multiplicada por el integrando evaluado
en el ĺımite inferior. Notar que el componente del ĺımite superior y la integral de la derivada del
integrando son 0 porque no quedan como función de t.
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 18
2.11. Teorema de Leibniz
Calcule dy
dt
si
y =
∫ 2t
t
e−r(z−t)
(
z(a+ t) + b2 t
2
)
dz
donde a, b son constantes.
dy
dt
=e−r(2t−t)(2t(a+ t) + b2 t
2)− e−r(t−t)(t(a+ t) + b2 t
2) +
∫ 2t
t
(
re−r(z−t)(z(a+ t) + b2 t
2) + e−r(z−t)(z + bt)
)
dz
=e−rt(2at+ ( b2 + 2)t
2)− (at+ ( b2 + 1)t
2) +
∫ 2t
te−r(z−t)(rza+ rzt+ r b2 t
2 + z + bt)dz
=e−rt(2at+ ( b2 + 2)t
2)− (at+ ( b2 + 1)t
2) +
∫ 2t
t
e−r(z−t)((ra+ 1)z + (rz + b)t+ r b2 t
2)dz
2.12. Teorema de Leibniz
Una empresa enfrenta a una demanda incierta D y tiene un inventario I. Hay costos unitarios distintos
por tener demasiadas o pocas existencias. La empresa desea por tanto elegir el nivel Q de existencias para
minimizar la función:
g (Q) = c (Q− I) + h
∫ Q
0
(Q−D) f (D) dD + p
∫ a
Q
(D −Q) f (D) dD
Donde: c,I,h,p, y a son constantes positivas con p > c y f una f.d.p. tal que
∫ a
0 f (D) dD = 1
1. Calcular g′ (Q) y g′′ (Q)
2. Demostrar que “g” es convexa
3. Sea F (Q∗) =
∫ Q∗
0 f (D) dD, donde Q
∗ Es el mı́nimo de g(Q). Usar las condiciones de minimización de
g de primer orden, para hallar una ecuación para F (Q∗) = Pr (D ≤ Q∗). Use esta ecuación para hallar
el valor de F (Q∗) cuando Q∗ es óptimo.
2.13. Miscelanea de Preguntas Cortas I
Conteste las siguiente preguntas, cada una es independiente de la anterior:
1. Muestre que la función de utilidad U = mı́n(ax1, bx2) tiene una elasticidad de sustitución igual a 0.
Explique matemáticamente.
2. Suponga la siguiente función Z = ln x + 8 ln y + 10, ¿es esta función homogénea? ¿Tiene retornos
crecientes a escala?
3. ¿Es homogénea la función y = k + l1,5? ¿Tiene retornos crecientes a escala?
4. Encuentre la derivada de A con respecto al tiempo t si A = 6c−2d3/2 y tanto c como d son funciones
del tiempo.
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 19
5. Encuentre una ecuación para el cambio porcentual en A = 6c−2d3/2 en el tiempo como función de las
elasticidades de A con respecto a c y d.
Preguntas cortas:
1. Una piscina circular de alto h metros y de radio r metros, contiene πhr2 metros cúbicos de agua.
¿Cuándo necesitaŕıa mas agua para llenarla, si el alto aumenta un 5 % o si el radio aumenta un 3 %?
Para responder esta pregunta utilizaremos elasticidades parciales ya que estas nos da una aproximación
de como afectan los cambios porcentuales. En este caso podemos ver como afecta un cambio porcentual
en h al cambio porcentual del volumen (V ). En este caso
�V,h =
h
V
∂V
∂h
Reemplazando
�V,h =
h
πhr2
πr2 = 1
Tenemos que un cambio porcentual de 1 % en h genera un cambio porcentual de 1 % en V . Si h cambia
5 % el volumen cambiara en un 5 % Idem para el caso del radio:
�V,r =
r
V
∂V
∂r
Reemplazando
�V,r =
r
πhr2
2πhr = 2
Tenemos que un cambio porcentual de 1 % en r genera un cambio porcentual de 2 % en V . Si cambia
r en un 3 % tendremos que el volumen cambiara en un 6 %.
2. ¿Es la función f definida por f(L) = cos(
√
L)− 3 para todo L ∈ [π2, 4π2] homotética?
Verdadero.
√
L es una función homogenea de grado 1/2 y cos(h)− 3 es una transformación monótona
creciente en [π, 2π].
3. Para duplicar el nivel de producción, lo eficiente es duplicar la escala de la firma. Es decir, utilizar el
doble de todos los insumos. ¿Verdadero o Falso?
Falso. Esto va a depender si la función de producción es homogénea de grado 1. Si la función es
homogénea sabemos que la TMS es constante a lo largo de rayos a partir de la origen. Considere
ademas que el grado de homogeneidad es 1. En este caso, si una empresa esta a producir Q unidades
de manera óptima (minimizando los costos), cuando decide producir 2Q debe también debe duplicar el
monto utilizado de cada insumo, para mantener la isocuanta que quiere alcanzar tangente a la isocosto
(haga un dibujo para le ayudar a visualizar esto). Por lo tanto, si la función fuera homogénea de grado
1 seria verdadero, pero como el enunciado no dice esto, es falso (como contra ejemplo, considere una
función de producción F (K,L) homogenea de grado mayor que uno y perciba que la manera mas
barata de duplicar la produccion es multiplicar la utilizacion de los factores por una constante menor
que 2).
4. Sea f una función de producción de n insumos productivos. Demuestre que si f es homogénea de grado
1, entonces la productividad marginal de cada factor se mantiene invariante ante un aumento en la
contratación de todos los factores de 40 %.
Si f es homogénea de grado 1, para todo t > 0
f(tx1, ..., txn) = tf(x1, ..., xn)
Sacando la derivada parcial con respecto a algún factor xi de los lados de la expresión arriba:
∂f
∂xi
(tx1, ..., txn) · t = t
∂f
∂xi
(x1, ..., xn)
∂f
∂xi
(tx1, ..., txn) =
∂f
∂xi
(x1, ..., xn)
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 20
2.14. Estática Comparativa en Retornos a Escala
Su amigo Jesús, productor estrella de Kg. de pan, utiliza trabajo (L) y capital (K), ambas variables
continuas, y posee la siguiente función de producción:
f(L,K) = LαKβ
con α, β > 0. En base a esta información y considerando todos los casos posibles, responda las siguientes
preguntas:
1. ¿Se cumple la ley de rendimientos marginales decrecientes para cada factor?
Como PMgL = αLα−1Kβ y PMgK = βKβ−1Lα la ley de rendimientos marginales decrecientes se
cumple para K y L śı, y solo si, α, β < 1.
2. Suponga un nivel de capital fijo K > 0 y α > 1. Si Jesús no puede contratar mas de 10 horas de
trabajo, ¿Cuál es el número de horas que maximiza la productividad marginal del trabajo?
Como PMgL = αLα−1K
β y la función de producción es diferenciable, entonces:
∂PMgL
∂L
= α(α− 1)Lα−2Kβ
Luego, si α > 1, entonces la productividad marginal del trabajo es estrictamente creciente y alcanza
su máximo en L = 10.
3. ¿Cómo son los retornos a escala de esta función?
Dado que para λ > 1 tenemos que f(λL, λK) = λα+βLαKβ , entonces la función tiene retornos cre-
cientes a escala si α+ β > 1, decrecientes a escala si α+ β < 1 y constantes a escala si α+ β = 1.
4. Si Jesús utiliza L = 1 y K = 2 y piensa en aumentar la utilización de trabajo marginalmente. ¿Cuántas
unidades de capital puede dejar de utilizar si desea seguir produciendo 2β Kg. de pan?
Podemos ocupar la TMST para responder esta pregunta:
TMST = PMgL
PMgK
= αL
α−1Kβ
βLαKβ − 1 =
αK
βL
Cuando Jesús utiliza L = 1 y K = 2, entonces TMST = 2α/β. Es decir “Jeús puede dejar de utilizar
2α/β unidades de capital por hora de trabajo y seguir produciendo 2β Kg de pan”.
5. Si el Estado le regala a Jesús una unidad de trabajo, tal que su función de producción ahora está
definida por
f(L,K) = (L+ 1)αKβ
¿Cómo son los retornos a escala (localmente) cuando Jesús utiliza L = 1 y K = 2?
Ahora la función de producción no es homogénea. Sin embargo, podemos ocupar la elasticidad producto
total para responder como son los retornos a escala:
EPT (q) =
PMgL
PMeL
+ PMgK
PMeK
= EL(q) + EK(q)
Calculamos:
EL(q) =
PMgL
PMeL
= α(L+ 1)
α−1Kβ
(L+ 1)αKβL−1 =
αL
L+ 1
EK(q) =
PMgK
PMeK
= β(L+ 1)
αKβ−1
(L+ 1)αKβ−1 = β
Luego, cuando L = 1 y K = 2:
EPT (q) =
αL
L+ 1 + β =
α
2 + β
Es decir, si α + 2β > 2 la función de producción tiene retornos crecientes a escala. Si α + 2β = 2 la
función de producción tiene retornos constantes a escala y si α+ 2β < 2 la función de producción tiene
retornos decrecientes a escala.
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 21
2.15. Elasticidad Sustitución
Calcule la elasticidad de sustitución de la función de utilidad dada por U(x1, x2) = ax1 + bx2. Explique
intuitivamente su resultado.
2.16. Elasticidades Parciales
Encuentre las elasticidades pedidas en cada uno de los siguientes casos:
1. Elasticidad de y con respecto a x cuando M = x2 + y2.
Cuando queremos calcular la elasticidad, lo que estamos haciendo es calcular el cambio porcentual en
una variable, dado un cambio porcentual en otra variable. Para ello, utilizaremos la siguiente formula:
�y,x =
∂y
∂x
x
y
Donde �y,x es la elasticidad de y con respecto a x.
En este caso, para calcular la elasticidad debemos derivar impĺıcitamente de forma de encontrar ∂y∂x .
Por el teorema de la función impĺıcita:
∂y
∂x
= −2x2y =
−x
y
Finalmente:
�y,x =
−x
y
x
y
= −x
2
y2
2. Elasticidad de y con respecto a t cuando y = evtxα1 (t)x
β
2 (t) donde v, α y β son constantes, y xi(t)
indica que la variable es una funciónde t.
Note que:
∂y
∂t
=vevtxα1x
β
2 + evtαxα−11 x
β
2
dx1
dt
+ evtβxα1x
β−1
2
dx2
dt
∂y
∂t
=vy + αy
x1
dx1
dt
+ βy
x2
dx2
dt
Luego:
�y,t =
dy
dt
t
y
=vy
y
t+ α
x1
y
t
y
dx1
dt
+ β
x2
y
t
y
dx2
dt
�y,t =vt+ α
t
x1
dx1
dt
+ β t
x2
dx2
dt
Además:
�x1,t =
t
x1
dx1
dt
y
�x2,t =
t
x2
dx2
dt
Finalmente:
�y,t =vt+ α�x1,t + β�x2,t
Podemos notar en este caso que α es la elasticidad de y con respecto x1 y β es la elasticidad de y con
respecto x2.
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 22
2.17. Elasticidad Sustitución y Retorno al Capital y Trabajo
Considere una empresa que usa capital (K) y trabajo (L) para producir un bien. La función de producción
es dada por Y = A
[
(AlL)
θ−1
θ + (AkK)
θ−1
θ
] θ
θ−1 , donde θ > 0, A > 0, Al > 0 y Ak > 0.
1. Compute la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo, σK,L.
Primero, encontramos la TMS de esta función de producción. Sea c > 0 una constante y considere la
siguiente isocuanta:
A
[
(AlL)
θ−1
θ + (AkK)
θ−1
θ
] θ
θ−1 =c
Por el teorema de la función impĺıcita tenemos que:
dK
dL
=−
(
θ
θ−1
)
A
[
(AlL)
θ−1
θ + (AkK)
θ−1
θ
] 1
θ−1 ( θ−1
θ
)
(AlL)−
1
θ Al(
θ
θ−1
)
A
[
(AlL)
θ−1
θ + (AkK)
θ−1
θ
] 1
θ−1 ( θ−1
θ
)
(AkK)−
1
θ Ak
dK
dL
=− (AlL)
− 1θ Al
(AkK)−
1
θ Ak
= −
(
Al
Ak
) θ−1
θ
(
K
L
) 1
θ
Luego la TMS es dada por:
TMSK,L =
(
Al
Ak
) θ−1
θ
(
K
L
) 1
θ
Y por lo tanto:
K
L
= (TMSK,L)θ
(
Ak
Al
)θ−1
ln
(
K
L
)
=θ ln (TMSK,L) + (θ − 1) ln
(
Ak
Al
)
Aśı tenemos que:
σK,L = �(K/L),TMSK,L =
∂ ln (K/L)
∂ ln (TMSK,L)
= θ
2. Suponga ahora que la remuneración por unidad de trabajo (salario) es igual a la productividad marginal
del trabajo (PmgL) y que la remuneración por unidad de capital (interés) es igual a la productividad
marginal del capital (PmgK). Compute la remuneración del capital como proporción de la remunera-
ción total ( PmgK·KPmgK·K+PmgL·L ) como función de la razón capital-producto, K/Y .
Podemos escribir la productividad marginal del capital y trabajo como:
PmgK = ∂Y
∂K
= A θ
θ − 1
=(Y/A)1/θ︷ ︸︸ ︷[
(AlL)
θ−1
θ + (AkK)
θ−1
θ
] 1
θ−1 θ − 1
θ
(AkK)−
1
θ Ak = (AkA)
θ−1
θ
(
K
Y
)− 1θ
PmgL =∂Y
∂L
= A θ
θ − 1
[
(AlL)
θ−1
θ + (AkK)
θ−1
θ
] 1
θ−1︸ ︷︷ ︸
=(Y/A)1/θ
θ − 1
θ
(AlK)−
1
θ Al = (AlA)
θ−1
θ
(
L
Y
)− 1θ
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 23
Aśı tenemos que
PmgK ·K
PmgL · L+ PmgK ·K =
(AkA)
θ−1
θ
(
K
Y
)− 1θ K
(AkA)
θ−1
θ
(
K
Y
)− 1θ K + (AlA) θ−1θ ( LY )− 1θ L
= Y
1
θA
θ−1
θ (AkK)
θ−1
θ
Y
1
θA
θ−1
θ
[
(AkK)
θ−1
θ + (AlL)
θ−1
θ
]
︸ ︷︷ ︸
=(Y/A)
θ−1
θ
= (AkK)
θ−1
θ(
Y
A
) θ−1
θ
=
(
AkA
K
Y
) θ−1
θ
(2.1)
3. Históricamente, se ha observado que cuando el ratio capital-producto sube (K/Y ) la remuneración
del capital como proporción de la remuneración total también sube, todo lo demás constante. ¿Que
valores del parámetro θ son consistentes con esta observación? ¿Que nos dice esta observación sobre la
elasticidad de sustitución?
La expresión en (2.1) es creciente en K/Y cuando θ−1θ > 0⇔ θ > 1. Por lo tanto, dado la observación
emṕırica que alzas en K/Y están asociadas a alzas en la remuneración del capital como fracción de
la remuneración total, debeŕıamos esperar que la elasticidad de sustitución entre capital y trabajo es
mayor que 1.
2.18. Funciones Homógeneas
Determine si las siguientes funciones son homogéneas y en caso de que lo sean, encuentre el grado de
homogeneidad
1. y = x1/21 x
1/3
2 + x
3/2
2
Cuando vemos la homogeneidad de una función lo que estamos viendo es el comportamiento multi-
plicativo que tienen los argumentos en la función. Esto va a ser muy relevante a la hora de analizar
comportamiento de funciones de producción por ejemplo, ya que veremos como se comportan los ar-
gumentos (factores) ante cambios multiplicativos en ellos. Una función homogénea de grado k cumple
con:
y(tx1, tx2) = tky(x1, x2)
Sea la función del enunciado:
y(x1, x2) = x1/21 x
1/3
2 + x
3/2
2
Multiplicamos los argumentos de la función por un mismo factor
y(tx1, tx2) = (tx1)1/2(tx2)1/3 + (tx2)3/2
Factorizamos t
= t5/6x1/21 x
1/3
2 + t3/2x3/2 6= tky(x1, x2)
Como no podemos factorizar t la función no es homogénea.
2. y = x21x2 − x32
y(x1, x2) = x21x2 − x32
Multiplicamos los argumentos de la función por un mismo factor:
y(tx1, tx2) = (tx1)2(tx2)− (tx2)3
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 24
Factorizamos por t:
= t3(x21x2 − x32) = t3y(x1, x2)
Como el k = 3, decimos que la función es homogénea de grado 3
3. y = x
α
1x
β
2
xγ1 + x
γ
2
Multiplicamos los argumentos de la función por un mismo factor:
y(tx1, tx2) =
txα1 tx
β
2
txγ1 + tx
γ
2
= t
αxα1 t
βxβ2
tγxγ1 + tγx
γ
2
Factorizamos por t:
= tα+β−γ x1αx
β
2
xγ1 + x
γ
2
= tα+β−γy(x1, x2)
Como el k = α+ β − γ, decimos que la función es homogénea de grado α+ β − γ.
2.19. Funciones Homogéneas y Teorema de Euler
Suponga la función Cobb-Douglas Y = AKαLβ donde A es una medida de productividad, K es el capital
usado y L es la cantidad de trabajo empleada y los parámetros α y β son positivos.
1. Muestre que esta función es homogénea y determine el grado de homogeneidad.
2. Muestre que para esta función se cumple el teorema de Euler.
2.20. Funciones Homogéneas y Elasticidades Parciales I
Asuma que la producción total en una región está dada por
Y = AKαLβ
con A,α, β > 0 y α+ β < 1 constantes.
1. Suponiendo que tanto K como L son funciones del tiempo t, calcule εy,t (la elasticidad de y con respecto
a t).
Utilizando logaritmo:
lnY = lnA+ αlnK + βlnL
1
Y
dY
dt
= α 1
K
dK
dt
+ β 1
L
dL
dt
/ ∗ t
t
Y
dY
dt
= α t
K
dK
dt
+ β t
L
dL
dt
�y,t = α�K,t + β�L,t
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 25
2. Suponga ahora que mediante la acumulación de capital se logra ir generando nuevas “ideas”, lo que se
refleja en un A más alto tal que A(K) con A = φKν con φ, ν > 0.
a) Calcule el grado de homogeneidad de la función A(K). Se puede reemplazar:
Y = φKνKαLβ = φKν+αLβ
Homogénea de grado (α+ β) + ν. Sera mayor o menor a 1 dependiendo si :
v > 1− (α+ β) ó v < 1− (α+ β)
b) Calcule el producto marginal del capital en este caso.
dY
dK
= ∂Y
∂K
+ ∂Y
∂A
dA
dK
= AαKα−1Lβ +KαLβνφKν−1
= φαKν+α−1Lβ + φαKα+ν−1Lβ
= φ(α+ ν)Kα+ν−1Lβ
2.21. Preguntas Conceptuales de Funciones Homogéneas
a) Sea f una función de producción de n insumos productivos. Demuestre que si f es homogénea de grado
1, entonces la productividad marginal de cada factor se mantiene invariante ante un aumento en la
contratación de todos los factores de 40 %.
b) Sea Fk el conjunto de todas las funciones de n variables con dominio Rn homogéneas de grado k.
Demuestre que Fk es un R-espacio vectorial.
2.22. Estática Comparativa en el Problema de la Firma
Suponga la siguiente función de producción de una determinada empresa:
Q(L,K) = 2KL+ 3K2
Donde Q representa la producción, K es la cantidad de horas-máquina y L se refiere a la cantidad de
horas-trabajador. En la actualidad, K = 2, L = 1 y Q = 16.
1. Encuentre la TMS (−dKdL ), entre K y L, como función del uso de factores. Muestre que depende
únicamente de la razón K/L.
Productividad Marginal respecto a K:
PMgK = QK =
∂Q
∂K
= 2L+ 6K
Productividad Marginal respecto a L:
PMgL = QL =
∂Q
∂L
= 2K
Tasa Marginal de Sustitución entre K y L=
TMSK,L = −
dK
dL
= PMgL
PMgK
= 2K2L+ 6K =
K
L+ 3K =
K
L
1 + 3KL
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 26
2. ¿Es la función homogénea? ¿Homotética? Explique clara y detalladamente su respuesta, dejando claro
lo que entiende por homogénea y homotética.
Q(tK, tL) = 2(tK)(tL) + (3tK)2 = t2
(
2KL+ 3K2
)
= t2Q(K,L)
La función Q(K,L) = 2KL + 3K2 es Homotética ya que: Por teorema, toda función Homogénea,
también es Homotética
3. Calcule la elasticidad de la producción respecto al trabajo (εQ,L) y respecto al capital (εQ,K). Evalúelas
en el punto en que se encuentra en la actualidad.
εQL =
L
Q
∂Q
∂L
= L
Q
(2K) = 2KL
Q
Por lo tanto:
εQL (K= 2;L = 1;Q = 16) =
2 ∗ 2 ∗ 1
16 = 0, 25
La elasticidad parcial de la producción respecto al capital K está dada por:
εQK =
K
Q
∂Q
∂K
= K
Q
(2L+ 6K) = 2KL+ 3K
2 + 3K2
Q
= Q+ 3K
2
Q
= 1 + 3K
2
Q
Por lo tanto:
εQK (K = 2;L = 1;Q = 16) = 1 + 3 ∗
4
16 = 1, 75
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 27
2.23. Estática Comparativa en Funciones Cobb-Douglas
Dada la siguiente función de producción Cobb-Douglas Y = AKαLβ donde A es una medida de pro-
ductividad, K es el capital usado y L es la cantidad de trabajo empleada. Los parámetros α y β están el
intervalo (0, 1).
1. Encuentre la pendiente de una isocuanta de esta función de producción.
Para calcular la pendiente de una isocuanta podemos calcular el diferencial total e igualar a cero (otra
manera seria aplicar directamente el Teorema de la Función Impĺıcita):
dY = ∂Y
∂K
dK + ∂Y
∂l
dL = 0
∂Y
∂K
dK = −∂Y
∂L
dL
dK
dL
= −
∂Y
∂L
∂Y
∂K
= − AβK
αlβ−1
AαKα−1Lβ
= −βK
αL
2. Muestre si la función es homogénea y si lo es indique su grado.
y(tx1, tx2) = A(tK)α(tL)β
y(tx1, tx2) = tαtβAKαLβ
y(tx1, tx2) = tα+βAKαLβ
Tenemos que la función es homogénea de grado α+ β.
3. Suponga que la remuneración del capital y del trabajo (por unidad) es igual a sus productividades
marginales. Discuta que sucede en los siguientes casos, α+ β < 1 , α+ β = 1 , α+ β > 1.
Dado que la función de producción es homogénea podemos dividir la análisis en tres casos.
Caso 1: Rendimiento decrecientes a escala, α + β < 1. En este caso tenemos que cuando
subimos la utilización de los factores en, por ejemplo, 10 % la cantidad producida sube menos que
10 %. Es decir, a medida que aumentan la utilización de los factores, la producción va creciendo pero
en una proporción que lo crecimiento de la utilización de los factores.
Caso 2: Rendimiento constantes a escala, α+β = 1. En este caso tenemos que la función crece
a tasa constante en los factores K y L. Esto quiere decir que si la cantidad utilizada de los factores
duplica, la cantidad producida también duplica.
α+ β > 1
.
Caso 3: Rendimiento crecientes a escala, α + β > 1. En este caso tenemos que la función
creciente en los factores K y L. Esto quiere decir que a medida que la producción crece una tasa
mayor que la utilización de los factores. Mas precisamente, si la utilización de los factores duplica, la
producción mas que duplica.
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 28
Remuneración total de los factores. También podemos ver como la remuneración total de los
factores (RTF ) depende del grado de homogeneidad de la función producción. Usando el supuesto del
enunciado tenemos que
RTF = ∂Y
∂L
× L+ ∂Y
∂K
×K
Por el teorema de Euler, tenemos que
RTF = (α+ β)Y
Luego, si tenemos retornos decrecientes, tenemos que la RTF es menor que la producción total Y (la
producción es mayor que la remuneración de los factores y queda producto para distribuir). Si tenemos
retornos crecientes tenemos que RTF > Y (la producción total no alcanza remunerar los factores).
Si tenemos retornos constantes, RTF = Y (la remuneración de los factores agota la producción de la
firma).
4. Muestre que la elasticidad de sustitución es constante e igual a 1. ¿Cuál es el significado económico de
este número?
De lo obtenido en ı́tem 1, tenemos que:
TMST = βK
αL
Además sabemos que la elasticidad de sustitución la obtenemos de la siguiente forma:
σK,L =
d(K/L)
K/L
dTMST
TMST
= dln(K/L)
dln(TMST ) =
K/L
TMST
TMST
K/L
Luego la TMST que obtuvimos de a), podemos obtener:
TMST = βK
αL
K
L
= α
β
TMST
Luego
ln
(
K
L
)
= ln
(
α
β
TMST
)
ln
(
K
L
)
= ln
(
α
β
)
+ ln(TMST )
Luego derivamos con respecto a ln(TMST ), para encontrar la elasticidad:
σK,L =
d ln(K/L)
d ln(TMST ) = 1
Esta ecuación nos dice que cuando el precio del trabajo relativo al capital sube 1 %, la proporción
capital-trabajo sube 1 %.
CAPÍTULO 2. TÉCNICAS DE ESTÁTICA COMPARATIVA 29
2.24. Funciones Homogéneas y Homotéticas
Responda VERDADERO o FALSO para las siguientes afirmaciones subrayadas. Debes justificar de ma-
nera clara sus respuestas, mencionando los resultados que estas utilizando o un contra-ejemplo cuando
necesario.
1. Toda función homotética es homogénea.
Falso. La función f(x, y) = xy+ 100 es homotética, pues es una transformación creciente de la función
xy (que es homogénea). Todav́ıa, no es homogénea pues, para todo t > 0, f(tx, ty) = t2xy + 100 6=
tk(xy + 100) = tkf(x, y), para cualquier escalar k.
2. Considere un consumidor con función utilidad u(x, y), donde x e y son las cantidades consumidas de
dos bienes. La función u es homotética, pero no es homogénea. Suponga que los canastos (x, y) = (5, 10)
y (x, y) = (10, 5) están en la misma curva de indiferencia (i.e., curva de nivel) para este consumidor. En-
tonces, los canastos (x, y) = (10, 20) y (x, y) = (20, 10) también están en la misma curva de indiferencia.
Verdadero. Si una función f : D → R es homotética tenemos que:
f(x1) = f(x2)⇒ f(tx1) = f(tx2), para todo t > 0
Como los canastos (x, y) = (5, 10) y (x, y) = (10, 5) están en la misma curva de indiferencia, tenemos
que:
u(5, 10) = u(10, 5)⇒ u(2× 5, 2× 10) = u(2× 10,2× 5)⇔ u(10, 20) = u(20, 10)
3. Suponga que una empresa tiene una función de producción F (K,L) que es homogénea de grado
1 (K y L representan las cantidades utilizadas de capital y trabajo, respectivamente). Entonces,
cuando esta empresa duplica la utilización de los dos factores de producción, la productividad marginal
underlineginal del trabajo se duplica.
Falso. De un teorema presentado en clase, sabemos que una función homogénea de grado k tiene deriva-
das parciales homogéneas de grado k−1. Luego, la productividad marginal del trabajo es homogénea de
grado cero y tenemos PmgL = ∂F∂L (2K, 2L) = 20
∂F
∂L (K,L) =
∂F
∂L (K,L) y por lo tanto la productividad
marginal del trabajo se mantiene constante.
Caṕıtulo 3
Optimización sin Restricciones
Para profundizar más sobre los menores principales se recomienda revisar el apéndice A.1.
3.1. Formas Cuadráticas en Dos Variables
Utilice la definición de concavidad para demostrar que la función de producción g : R2+ → R, definida
por g(L,K) = min(L,K) es cóncava. ¿Es g estrictamente cóncava? Demuéstrelo.
Considere la función h definida por
h(L,K) := L+K − |L−K|2
Nótese que la función g es igual a la función h pues si L < K, g(L,K) = L y h(L,K) = L+K+L−K2 = L,
mientras que si L ≥ K, se tiene que g(L,K) = K y h(L,K) = L+K−L+K2 = K. Ahora bien, la función
h es una suma de una función lineal (que es cóncava y convexa) y la función convexa | · − ? |/2 pues si
(L1,K1), (L2,K2) son dos vectores no negativos arbitrarios y λ ∈ [0, 1] luego
|(λL1 + (1− λ)L2)− (λK1 + (1− λ)K2)|
2
= |(λ(L1 −K1)− (1− λ)(K2 − L2)|2 ≤
|(λ(L1 −K1)|
2 +
(1− λ)(K2 − L2)
2
= λh(L1,K1) + (1− λ)h(L2,K2)
3.2. Condiciones de Primer y Segundo Orden
Encuentre los puntos estacionarios de las siguientes funciones. Use las condiciones de segundo orden para
determinar si son máximos, mı́nimos o puntos silla.
Obs: En esta pregunta y en la respuesta que sigue, mı́nimo y máximo se refieren a mı́nimos y máximos
locales.
1. y = 0,5x21 + 2x22
Único punto cŕıtico x1 = 0 y x2 = 0
H =
[
1 0
0 4
]
Matriz es positiva definida por lo que el punto es un mı́nimo.
30
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 31
2. y = x1 + x2 − x21 − x22 + x1x2
Único punto cŕıtico x1 = 1 y x2 = 1
H =
[
−2 1
1 −2
]
Matriz es negativa definida por lo que el punto es un máximo.
3. y = x31 + x32 − 4x1x2
Dos puntos cŕıticos (0, 0) y (4/3, 4/3) Derivadas de segundo orden: ∂
2y
∂x21
= 6x1, ∂
2y
∂x22
= 6x2, ∂
2y
∂x1x2
= −4,
Hessiano en (0, 0):
H =
[
0 −4
−4 0
]
No es mı́nimo ni máximo.
Hessiano en (4/3; 4/3):
H =
[
8 −4
−4 8
]
Matriz positiva definida, el punto es un mı́nimo.
4. y = 2x21 − 4x22
Único punto cŕıtico x1 = 0 y x2 = 0
H =
[
4 0
0 −8
]
No es mı́nimo ni máximo.
3.3. Optimización sin Restricciones I
Obtenga elpuntos cŕıticos de las siguiente funciones y determine si es máximo, mı́nimo o punto silla:
1. f (x, y) = x2 + y2 − 2x− 6y + 14
2. f (x, y) = x4 + y4 − 4xy + 1
3.4. Optimización sin Restricciones II
Calcule la distancia más corta desde del punto (1, 0, 2) al plano x+ 2y + z = 4.
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 32
3.5. Optimización sin Restricciones III
Determine los mı́nimos, máximos y puntos sillas de las siguientes funciones. Además mencione si son
globales o locales según corresponda:
a) f(x, y) = 12x2 − 4xy + 9y2 + 3x− 14y +
1
2
Lo que primero que haremos es encontrar los puntos cŕıticos, para ello, obtendremos las CPOs. Usando
notación matricial, tenemos que:
∇f =
(
fx
fy
)
= 0
fx = x− 4y + 3 = 0
fy = −4x+ 18y − 14 = 0
Tenemos un sistema de ecuaciones, dos incógnitas, dos ecuaciones. Por lo tanto: x = 1 e y = 1, con lo
que tenemos un punto critico (x∗, y∗) = (1, 1).
Para determinar, si es máximo/mı́nimo/punto silla, tenemos que encontrar la matriz Hessiana y eva-
luarla en el punto critico (x∗, y∗) que hemos obtenido y definir en torno al siguiente criterio (existen
otros):
Es mı́nimo local si f ′′11(x∗, y∗) > 0 y
∣∣∣∣ f ′′11(x∗, y∗)− f ′′12(x∗, y∗)f ′′21(x∗, y∗)− f ′′22(x∗, y∗)
∣∣∣∣ > 0 (i.e., los menores principales
dominantes son todos > 0);
Es máximo local si f ′′11(x∗, y∗) < 0 y
∣∣∣∣ f ′′11(x∗, y∗) f ′′12(x∗, y∗)f ′′21(x∗, y∗) f ′′22(x∗, y∗)
∣∣∣∣ > 0 (i.e., los menores principales
dominantes de orden par son > 0 y los de orden impar son < 0);
Es punto silla si
∣∣∣∣ f ′′11(x∗, y∗) f ′′12(x∗, y∗)f ′′21(x∗, y∗) f ′′22(x∗, y∗);
∣∣∣∣ < 0 (i.e., existe un menor principal dominante de
orden par que es < 0).
En nuestro caso, tenemos que:
Hf =
(
1 −4
−4 18
)
⇒ D2 =
∣∣∣∣ 1 −4−4 18
∣∣∣∣ = 18− 16 = 2 > 0
Además, tenemos que fxx(1, 1) = D1 = 1 > 0. Luego, Hf es positiva definida. Como la matriz hessiana
es igual en todos los puntos (x, y) (lo que implica que su signo no depende de los valores en cuales
evaluemos), tenemos que el punto critico es no solo un mı́nimo local, sino que también un mı́nimo
global único. (Recuérdense que si la hessiana es positiva definida en todo punto del dominio de la
función, tenemos una función estrictamente convexa, lo que implica que un punto critico interior es
el único mı́nimo global.)
b) f(x, y) = 2x3 + (x− y)2 − 6y
La condiciones de primer orden son:
∇f =
(
fx
fy
)
= 0
fx = 6x2 + 2x− 2y = 0
fy = −2x+ 2y − 6 = 0
Aislando y en la segunda ecuación tenemos y = x + 3, que reemplazando en la primera nos da una
ecuación cuadrática en x. Al resolver la ecuación cuadrática vamos a tener que la soluciones son x1 = 1
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 33
y x2 = −1. Luego reemplazamos los valores de x en y = x+ 3 para obtener los valores de y. Si x = 1 ,
entonces y = 4.Si x = −1 , entonces y = 2.Tenemos dos puntos cŕıticos los cuales son (x1, y1) = (1, 4)
y (x2, y2) = (−1, 2).
La hessiana es
H =
(
12x+ 2 −2
−2 2
)
Podemos darnos cuenta que el signo de la matriz hessiana va a depender del valor de los puntos en los
que la evaluemos. Es por esto, que en este caso estaŕıamos hablando de condiciones locales no globales
como en el caso anterior.Ahora evaluamos nuestros puntos cŕıticos en la matriz hessiana.
Si (x1, y1) = (1, 4) la hessiana es
Hf(1, 4) =
(
14 −2
−2 2
)
⇒ D2 =
∣∣∣∣ 14 −2−2 2
∣∣∣∣ = 24 > 0
Como además, D1 = fxx(1, 4) = 14 > 0, tenemos que (1, 4) es un mı́nimo local (Hf(1, 4) es
positiva definida).
Si (x2, y2) = (−1, 2) la hessiana es:
Hf(−1, 2) =
(
−10 −2
−2 2
)
⇒ D2 =
∣∣∣∣ −10 −2−2 2
∣∣∣∣ = −24 < 0
Luego tenemos que (−1, 2) es un punto silla (Hf(−1, 2) es indefinida).
3.6. Optimización sin Restricciones (Aplicación a Econometŕıa I)
Suponga que un estad́ıstico tiene razón en creer que dos cantidades x e y se pueden modelar en forma
aproximada de acuerdo a una dependencia de tipo lineal, esto es:
y = β0 + β1x
Donde β0 y β1 son los parámetros del modelo que desea estimar-
Para estimar los parámetros, el estad́ıstico ejecuta un experimento y procesa información en la forma de
puntos: (x1, y1);(x2, y2); (x3, y3);. . .;(xn, yn). Luego los representa en un gráfico, de tal modo que los puntos
no quedan exactamente sobre una recta, de acuerdo al siguiente gráfico:
Para estimar los parámetros β0 y β1 el estad́ıstico utiliza el Método de Mı́nimos Cuadrados, que consiste
en lo siguiente: Sea di = yi − β0 + β1xi la distancia vertical desde un punto cualesquiera (xi, yi) hasta la
recta se trata de obtener (estimar) β0 y β1 minimizando la expresión: S2 =
∑i=n
i=1 d
2
i
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 34
1. Demostrar que los estimadores de Mı́nimos Cuadrados están dados por las siguientes expresiones
β∗1 = β̂1 =
∑i=n
i=1 xiyi − nx̄ȳ∑i=n
i=1 x
2
i − nx̄2
;
β∗0 = β̂0 = ȳ − hatβ1x̄
Donde x̄ =
∑i=n
i=1
xi
n ȳ =
∑i=n
i=1
yi
n (PROMEDIOS MUESTRALES)
3.7. Optimización sin Restricciones (Aplicación a Econometŕıa II)
En estad́ıstica inferencial, en muchas ocasiones se necesita resolver aplicaciones de tiempos de duración
de aparatos electrónicos, para ello se utiliza la llamada función o modelo exponencial:
f (t) = λe−λt t ≥ 0
Donde λ > 0 es el parámetro del modelo
Para medir los tiempos de “n” aparatos, se utiliza la llamada “Función de Verosimilitud”, definida por:
L (t1, t2, . . . , tn) =
i=n∏
i=1
f (ti)
Nótese que: L : D ⊆ Rn → R
1. Se pide obtener el valor del parámetro λ, que maximiza la Función de Verosimilitud. A este valor se le
llama Estimación de Máxima Verosimilitud λ̂MV
3.8. Minimización de Costos de Entrega
La empresa en que usted trabaja ha decidido iniciar un plan de distribución de productos mediante
drones. Para ello se requiere definir la ubicación del centro de distribución desde donde saldrán los drones.
Usted sabe que en un mapa los tres lugares donde se deben entregar los paquetes están ubicados en las
siguientes coordenadas: A = (xa, ya), B = (xb, yb), y C = (xc, yc).
Usted sabe que el costo de despacho está dado por la distancia que debe recorrer el dron. Si el centro de
distribución se ubica en el punto D = (m,n), el costo de entregar un paquete a un punto (x, y) es
1
2
[
(m− x)2 + (n− y)2
]
Suponga que usted está a cargo de determinar la ubicación óptima del centro de distribución. El objetivo
es minimizar el costo diario de las entregas realizadas por el centro.
1. Escriba el problema de optimización que le permitiŕıa encontrar el punto óptimo de ubicación del
centro de distribución. Especifique claramente función objetivo y variables de decisión de la empresa.
Suponga que cada d́ıa se entrega un paquete en cada destino.
mı́n
m,n
1
2 [(m− xa)
2 + (n− ya)2 + (m− xb)2 + (n− yb)2 + (m− xc)2 + (n− yc)2]
Donde asumimos que hay un viaje a cada lugar y que no hay viajes a más destinos. La empresa decide
donde colocar el centro de distribución en base a su elección de n y m
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 35
2. Encuentre el(los) punto(s) cŕıtico(s) de este problema. CPOs:
(m− xa) + (m− xb) + (m− xc) = 0
(n− ya) + (n− yb) + (n− yc) = 0
Despejando tenemos que:
m = xa + xb + xc3
n = ya + yb + yc3
3. Determine si el(los) punto(s) cŕıtico(s) son máximos, mı́nimos o puntos silla. Determine si son locales
o globales.
CSO:
H =
(
3 0
0 3
)
Menores principales dominantes son:
3 > 0
9 = 3 ∗ 3− 0 ∗ 0 = 9 > 0
La matriz es definida positiva. Por lo tanto, tenemos un mı́nimo y es global porque se cumple para
todo el dominio (lo que implica que la función objetivo es estrictamente convexa).
4. Suponga ahora que a los destinos A,B, y C se entregan cada d́ıa qa, qb, y qc paquetes, respectivamente.
¿Cómo cambia su respuesta a la parte (b)? Explique intuitivamente el resultado.
Ahora tenemos que:
mı́n
m,n
qa
1
2 [(m− xa)
2 + (n− ya)2] + qb
1
2 [(m− xb)
2 + (n− yb)2] + qc
1
2 [(m− xc)
2 + (n− yc)2]
CPOs:
qa(m− xa) + qb(m− xb) + qc(m− xc) = 0
qa(n− ya) + qb(n− yb) + qc(n− yc) = 0
Despejando tenemos que:
m = qaxa + qbxb + qcxc
qa + qb + qc
n = qaya + qbyb+ qcyc
qa + qb + qc
Ahora es un promedio ponderado y se coloca más cerca del lugar donde debe viajar más veces.
5. Proponga una extensión a este problema y muestre como cambiaŕıa el problema de optimización.
Explique claramente la naturaleza de esta modificación, puede ayudarse con figuras. Esta extensión
debe estar claramente relacionada a una situación que surgiŕıa en el mundo real.
Supongamos que al punto C se debe llegar de auto (el clima no permite volar con drones). Cada
kilometro recorrido de auto tienen un costo 4 veces mayores que un kilometro recorrido de drone. Aśı,
la función objetivo ahora es:
mı́n
m,n
1
2 [(m− xa)
2 + (n− ya)2 + (m− xb)2 + (n− yb)2] + 4
1
2 [(m− xc)
2 + 4(n− yc)2]
Otras opciones de extensión:
Que para viajar a uno de los puntos los costos sean mayores porque se debe elevar el dron por
sobre una cadena de cerros. En ese caso el costo de los viajes seŕıa λ veces el costo de la distancia
a las otras ciudades.
Una de las direcciones puede significar viajar contra el viento.
Similar a la diferencia en los costos por altura, si bien todos las ciudades requieren el mismo
número de viajes, en una de ellas los paquetes son más pesados por lo que cada viaje cuesta más.
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 36
3.9. Concavidad y Convexidad I
Compruebe concavidad/convexidad de las siguientes funciones:
a) f(x) = ax2 + bx+ c
Para funciones de una variable recordemos que: el criterio de la segunda derivada nos habla de la
concavidad/convexidad de la función:
1. f es convexa en I ssi f ′′(x) ≥ 0 para todo x del I0, Donde I es un intervalo donde f es continua y
I0 es el interior de ese intervalo.
2. f es cóncava en I ssi f ′′(x) ≤ 0 para todo x del I0
Resolviendo:
f ′(x) = 2ax+ b
luego,
f ′′(x) = 2a
Si tenemos que a=0, entonces f sera lineal esto quiere decir que sera convexa y cóncava a la vez. Si
a > 0, entonces f ′′(x) > 0 por lo tanto la función sera convexa, y si a < 0 tendremos que la función
sera cóncava.
b) f(x, y) = 2x− y − x2 + 2xy − y2
Para funciones de dos variables, tenemos que obtener el Hessiano:
Si se cumplen las condiciones de diferenciabilidad de las derivadas parciales vamos a tener que:
1. f es concava ssi f ′′11 ≤ 0, f ′′22 ≤ 0 y
∣∣∣∣ f ′′11 − f ′′12f ′′21 − f ′′22
∣∣∣∣ ≥ 0
2. f es convexa ssi f ′′11 ≥ 0, f ′′22 ≥ 0 y
∣∣∣∣ f ′′11 f ′′12f ′′21 f ′′22
∣∣∣∣ ≥ 0
Resolvamos nuestro ejercicio:
fx = 2− 2x+ 2y, fy = −1 + 2x− 2y
fxx = −2, fyy = −2, fxy = 2 = fyx = 2
Por lo tanto:
f ′′xx ≤ 0
y
f ′′yy ≤ 0
Además calculando el determinante de la matriz:
∣∣∣∣ −2 22 −2
∣∣∣∣ = 0 ≥ 0
Por lo tanto decimos que f es cóncava.
3.10. Concavidad y Convexidad II
Dada su cuarentena en casa a usted se le ha ocurrido estudiar su función de producción de pan amasado.
Por simplicidad supongamos que su función de producción solo depende de su trabajo (L) y esta definida de
la siguiente forma:
Y = ALα
Donde L > 0, A es un parámetro tecnológico y además, 0 < α < 1
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 37
1. Obtenga la productividad marginal de su trabajo.
Para obtener la productividad marginal de trabajo debemos derivar la función de producción una vez
con respecto a L, esto nos indica cuanto rinde una unidad extra de trabajo en el producto total
PmgL = ∂Y
∂L
= AαLα−1
2. Obtenga la concavidad/convexidad de su función de producción. Grafique.
Para obtener la concavidad debemos derivar dos veces con respecto al trabajo, esto nos dira a la tasa
que crece/decrece la productividad marginal del trabajo. Una vez obtenida, podemos usar el criterio
de la segunda derivada visto en en la pregunta 1.
Y ′′ = PmgL′ = ∂
2Y
∂L2
= Aα(α− 1)Lα−2
Como a pertenece al intervalo (0, 1), entonces tenemos que Aα(α − 1) ≤ 0, Luego podemos decir que
Y ′′ < 0 para todo L > 0. Por lo tanto es cóncava.
3. Como cambia su respuesta en 2.) si el α > 1. Grafique y explique.
Tenemos que:
Y ′′ = PmgL′ = ∂
2Y
∂L2
= Aα(α− 1)Lα−2
Dado que ahora α > 1, tendremos que Aα(α − 1) ≥ 0 Luego podemos decir que Y ′′ > 0 para todo
L > 0. Por lo tanto es convexa.
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 38
3.11. Concavidad y Convexidad III (Más Complejo)
Dado que usted esta en este curso decide complejizar aún más el modelamiento que hizo en la pregunta
anterior, ahora su función de producción de pan amasado esta representada por:
Y = ALαKβ
Donde K representa su capital f́ısico (el horno en que cocina el pan)
1. Calcule la productividad marginal de su capital Y su trabajo.
Para obtener la productividad marginal del capital debemos derivar la función de producción una vez
con respecto a K(dejando constante L), esto nos indica cuanto rinde una unidad extra de capital en el
producto total
PmgK = ∂Y
∂K
= AβKβ−1Lα
Idem para el trabajo.
PmgL = ∂Y
∂L
= AαLα−1Kβ
2. Demuestre que para todo K > 0 y L > 0, su función de producción es cóncava si A > 0, α > 0 , β > 0
y α+ β ≤ 1
Para ver la concavidad tenemos que hacer el mismo procedimiento que hicimos en la pregunta 1,
para una función de dos variables, debemos obtener la matriz Hessiana y determinar el valor de su
determinante: Resolvamos nuestro ejercicio:
YK =
∂Y
∂K
= AβKβ−1Lα, YL =
∂Y
∂L
= AαLα−1Kβ
YKK = Aβ(β − 1)Kβ−2Lα, YLL = Aα(α− 1)Lα−2Kβ
YKL = AβαKβ−1Lα−1 = YLK
Calculando el determinante de la matriz:∣∣∣∣ Y ′′LL Y ′′LKY ′′KL Y ′′KK
∣∣∣∣ = α(α− 1)ALα−2Kββ(β − 1)ALαKβ−2 − (αβALα−1Kβ−1)2
= αβA2L2α−2K2β−2(1− (α+ β)) ≥ 0
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 39
Esto se cumple ya que teńıamos que α+ β < 1 además de α > 0 y β > 0 y además:
YKK = Aβ(β − 1)Kβ−2Lα ≤ 0
YLL = Aα(α− 1)Lα−2Kβ ≤ 0
Por lo tanto decimos que f es cóncava.
3.12. Monopolista discriminador con bienes sustitutos y comple-
mentos
(Esta pregunta está basada en ejercicio 2 del caṕıtulo 11.6 de Chiang.)
Suponga que un monopolio produce dos bienes: 1 y 2. Estos bienes tienen funciones de demanda dadas
por:
Q1 = a− 2P1 + P2
Q2 = b+ 2P1 − P2
Donde a, b > 0 y son parámetros del problema. El monopolio debe decidir cuánto producir de cada bien
para maximizar sus utilidades. Sus costos están dados por:
C(Q1, Q2) = 2Q21 +Q1Q2 + 2Q22
Responda la siguientes preguntas:
a) Determine si los bienes 1 y 2 son sustitutos o complementos. Explique sus resultados.
En cada curva de demanda, el precio del otro bien afecta de manera positiva a la cantidad demanda,
por lo que los bienes son sustitutos. “Sube el precio del otro bien y quiero consumir más de este”.
Alternativamente se podŕıa argumentar que se llega al mismo resultado viendo el signo de las derivadas
de la demanda de un bien ante un cambio del precio del otro bien.
b) Encuentre los ingresos de la empresa como función de Q1 y Q2.
Los ingresos del monopolio deben calcularse como P1Q1 +P2Q2, porque vende ambos productos. Para
expresar los precios como función de las cantidades Q1 y Q2, podemos resolver el sistema de ecuaciones
dado por las funciones de demanda:
Q1 = a− 2P1 + P2
Q2 = b+ 2P1 − P2
Sumando ambas ecuaciones obtenemos
Q1 +Q2 = a+ b− P1
Luego
P1 = a+ b−Q1 −Q2
Para obtener P2 podemos despejar la demanda del bien 2
P2 = b+ P1 −Q2 = a+ 2b−Q1 − 2Q2
Con esto, los ingresos de la empresa son
R(Q1, Q2) = P1Q1 + P2Q2 = (a+ b−Q1 −Q2)Q1 + (a+ 2b−Q1 −Q2)Q2
Que después de despejar queda
R(Q1, Q2) = (a+ b)Q1 + (a+ 2b)Q2 − 2Q1Q2 −Q21 − 2Q22
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 40
c) Escriba la función de utilidades de la empresa y escriba formalmente el problema de optimización.
Las utilidades de la empresa son sus ingresos menos sus costos, esto es:
π(Q1, Q2) = R(Q1, Q2)− C(Q1, Q2) = (a+ b)Q1 + (a+ 2b)Q2 − 3Q1Q2 − 3Q21 − 4Q22
Luego, el problema de optimización es
máx
Q1,Q2
(a+ b)Q1 + (a+ 2b)Q2 − 3Q1Q2 − 3Q21 − 4Q22
d) Determine si el problema tiene solución única.
Notar que la función objetivo es estrictamente cóncava. Su matriz hessiana es:
H =
[
−6 −3
−3 −8
]
Y sus menores principales dominantes son
D1 = −6 D2 = (−6×−8)− (−3×−3) = 48− 9 = 39
Como D1 < 0 y D2 > 0, entonces π es estrictamente cóncavay todo punto cŕıtico es un máximo
global.Más aún, ese máximo global es único.
e) Resuelva el problema cuando a = b = 120.
Tenemos que las CPO son:
∂π
∂Q1
= (a+ b)− 3Q2 − 6Q1 = 0
∂π
∂Q2
= (a+ 2b)− 3Q1 − 8Q2 = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones que se forma con ambas CPO se obtiene:
Q∗1 =
5a+ 2b
39 Q
∗
2 =
a+ 3b
13
Cuando a = b = 120 obtenemos Q∗1 = 7×120390 =
280
13 y Q∗2 =
480
13
f) ¿Cuánto cambian las cantidades óptimas de Q1 y Q2 cuando cambia b, cuando b = 120? Interprete.
Se nos pregunta por las derivadas de Q∗1 y Q∗2 cuando el parámetro b cambia, en el punto b = 120, es
decir, buscamos:
dQ∗1
db
(120) y dQ
∗
2
db
(120)
De las expresiones para estas cantidades en el inciso anterior obtenemos:
dQ∗1
db
= 239 y
dQ∗2
db
= 313
Lo que puede interpretarse como que cuando b (la valoración máxima por el bien 2) aumenta en
1unidad, ambas cantidades óptimas aumentan, Q∗1 en 239 y Q∗2 en
3
13 .
Una intuición económica más elaborada (que no se pide en este curso) dice que el monopolista, ante
un aumento de la valoración por el bien 2, puede aprovechar de vender más unidades del bien 2 sin
modificar el precio original. Sin embargo, como los costos son compartidos por la producción de ambos
bienes, entonces es más beneficioso para el monopolista combinar ganancias produciendo más de ambos
bienes.
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 41
g) Resuelva el mismo problema pero cuando los bienes son complementos, es decir los precios afectan de
manera negativa al otro bien (cambie los “+” por “-“ en las demandas).
La resolución de esta parte sigue los mismos procedimientos anteriores, por lo que solo se entregan los
resultados principales. Las demandas ahora son:
Q1 = a− 2P1 − P2
Q2 = b− P1 − P2
Los precios de cada bien, despejados, son:
P1 = a− b+Q2 −Q1
P2 = 2b− a+Q1 − 2Q2
Luego, los ingresos son:
R(Q1, Q2) =(a− b)Q1 + (2b− a)Q2 + 2Q1Q2 −Q21 − 2Q22
Y, por lo tanto, las utilidades son:
π(Q1, Q2) = (a− b)Q1 + (2b− a)Q2 +Q1Q2 − 3Q21 − 4Q22
La función sigue siendo estrictamente cóncava, con matriz Hessiana:
H =
[
−6 1
1 −8
]
Que tiene D1 = −3 < 0 y 2 = 47 > 0, es decir, es definida negativa. Luego, el sistema de CPO es:
∂π
∂Q1
= (a− b) +Q2 − 6Q1 = 0
∂π
∂Q2
= (2b− a) +Q1 − 8Q2 = 0
El cual tiene solución:
Q∗1 =
7a− 6b
47 y Q
∗
2 =
11b− 5a
47
Observar que estas soluciones solo tienen sentido si:
6b
7 ≤ a ≤
11b
5
En caso contrario, alguna de las cantidades óptimas seŕıan negativas y eso no tiene sentido en el
contexto del problema. Para resolver el problema en esos casos debeŕıamos recurrir a herramientas que
veremos en el caṕıtulo 5.
Para la parte final,
dQ∗1
db
= − 639 y
dQ∗2
db
= 1147
En este caso, cuando la valoración por un bien aumenta, la producción de ese bien aumenta pero la de
su complemento no. En espećıfico, si b aumenta en una unidad, entonces Q∗1 cae en 639 y Q∗2 aumenta
en 1147 .
La razón económica (que no es parte del curso) es que como los bienes ahora no compiten por consu-
mirse, para el monopolista es mejor aprovechar ı́ntegramente el aumento de valoración del bien 2 en
su producción, incluso disminuyendo la producción del 1 para abaratar costos.
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 42
3.13. Concavidad, convexidad y optimización
Dos empresas idénticas, A y B producen un mismo bien según la función f(L,K), que es cóncava, con
derivadas parciales continuas y tal que fK , fL > 0yFKL > 0. La empresa A tiene LA unidades de trabajo
y KA unidades de capital. La empresa B tiene LB unidades de trabajo y KB unidades de capital. Suponga
además que LA > LB pero KA < KB . Hoy ambas empresas están coludidas, por lo que venden el bien al
mismo precio p. El ente regulador, el TLC, descubrió esta estrategia y debe detenerla. Les presenta a las
empresas dos opciones:
- Opción 1: El TLC escoge un número λ ∈ (0, 1) y la empresa A debe entregar al Estado una porción λ
de sus ganancias y la empresa B una porción 1− λ de las suyas. El Estado luego usa los recursos para
poĺıticas públicas.
- Opción 2: El TLC escoge un número λ ∈ (0, 1) y la empresa A debe entregar una porción λ de sus
insumos y la empresa B una porción 1− λ de los suyos. El Estado luego puede producir independien-
temente el bien según la función f , venderlo al precio p y usar los ingresos de esa venta para poĺıticas
públicas.
Para este escenario:
a) Escriba las ganancias para el Estado de la opción 1 como función de λ. ¿Qué valor de λ maximiza esas
ganancias? Interprete.
Notar que las ganancias del Estado para el caso 1 se pueden escribir aśı:
πE,1(λ) = λπA + (1− λ)πB
Donde πA y πB son las ganancias de las empresas A y B, respectivamente. Como:
πA = pf(LA,KA)
πB = pf(LB ,KB)
Entonces,
πE,1(λ) = p[λf(LA,KA) + (1− λ)f(LB ,KB)]
El valor de λ que maximiza esta expresión depende de cómo se comparan f(LA,KA) y f(LB ,KB).
Caso 1: Si f(LA,KA) > f(LB ,KB), entonces la empresa A gana más que la B. Esto implica que el
valor λ∗ que maximiza πE,1 es 0, es decir, se penaliza completamente a la empresa A. Dicho de otra
forma, πE,1 es estrictamente decreciente en este caso (pueden mirar su derivada).
Caso 2: Si f(LA,KA) < f(LB ,KB) entonces la empresa B gana más que la A. Esto implica que el
valor λ∗ que maximiza πE,1 es 1, es decir, se penaliza completamente a la empresa B. Dicho de otra
forma, πE,1 es estrictamente creciente en este caso (pueden mirar su derivada)
Caso 3: Si f(LA,KA) = f(LB ,KB) entonces la empresa A y la B ganan lo mismo. Esto implica
que cualquier valor λ∗ maximiza πE,1, es decir, el Estado está indiferente entre penalizar a cualquier
empresa en cualquier. Dicho de otra forma, πE,1 es constante (pueden mirar su derivada)
b) Escriba las ganancias para el Estado de la opción 2 como función de λ. Encuentre la expresión que
determina el valor de λ que maximiza estas ganancias. ¿Por qué es distinto a lo anterior?
En este caso, el Estado recibe de la empresa A, λLA unidades de trabajo y λKA unidades de capital.
Asimismo, recibe de la empresa B, (1 − λ)LB unidades de trabajo y (1 − λ)KB unidades de capital.
Como luego produce usando la misma función f y vende al precio p, entonces sus ganancias son:
πE,2(λ) = pf(λLA + (1− λ)LB , λKA + (1− λ)KB)
CAPÍTULO 3. OPTIMIZACIÓN SIN RESTRICCIONES 43
Lo que se puede escribir en una notación más “de puntos” que es más ilustrativa
πE,2(λ) = pf(λ(LA,KA) + (1− λ)(LB ,KB))
En el punto λ∗ que maximiza πE,2 debe cumplirse que π′E,2(λ∗) = 0, es decir, se cumple la CPO. Luego
p[(LA − LB)fL + (KA −KB)fK ] = 0
De donde, como p 6= 0,
fL
fK
= LA − LB
KB −KA
Y las derivadas fK y fL se evualúan en el punto (λLA + (1− λ)LB , λKA + (1− λ)KB).
c) Dado un valor de λ, ¿qué opción le conviene al Estado?
Como la función f es cóncava, entonces para cualquier valor de λ es cierto que
f(λ(LA,KA) + (1− λ)(LB ,KB)) ≥ λf(LA,KA) + (1− λ)f(LB ,KB)
Multiplicando todo por p obtenemos
pf(λ(LA,KA) + (1− λ)(LB ,KB)) ≥ p[λf(LA,KA) + (1− λ)f(LB ,KB)]
Es decir,
πE,2(λ) ≥ πE,1(λ)
Por lo tanto al estado siempre le conviene la opción 2
d) Si primero se fija un valor de λ y luego se decide la opción, ¿qué deciden las empresas?
En términos de las utilidades conjuntas de las empresas, estas siempre prefieren la opción 1 (a menos
que el estado escoja λ = 0 ó λ = 1). Esto, por el mismo argumento que el usado en el inciso c).
Individualmente, como las funciones son cóncavas, no pueden tener retornos crecientes a escala (se
puede probar asumiendo que f(0, 0) = 0, si lo desea) y por lo tanto individualmente también prefieren
la opción 1 para cada valor de λ.
e) Si primero se debe decidir la opción y luego el TLC fija el valor de λ óptimo ¿qué decide cada empresa?
¿están de acuerdo?
La empresa que gana más prefiere escoger la opción 2 y la que gana menos prefiere la opción 1. Esto,
porque la que gana más sabe que la penalizarán en un 100 % de sus ganancias si se escoge la opción 1.
De manera simétrica, la que gana menos sabe que saldrá sin penalización si gana