Ayudantia 3

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas 
EAF200A Aplicaciones Matemáticas 
II Semestre 2019--Ayudantía N° 3 y Ejercicios Propuestos 
Profesor: R: Aguila 
Aydtes: I. Luraschi – E. Zuleta 
 
Problema 1 
 
Probar que, si “f” y “g” son ambas funciones de “x” y si “A” es una constante, entonces se verifican las 
siguientes propiedades para las elasticidades: 
 
1. 𝜖𝐴𝑥 = 0 
2. 𝜖(𝑓𝑔)𝑥 = 𝜖𝑓𝑥 + 𝜖𝑔𝑥 
3. 𝜖
(
𝑓
𝑔
)𝑥
= 𝜖𝑓𝑥 − 𝜖𝑔𝑥 
4. 𝜖(𝑓+𝑔)𝑥 =
𝑓∗𝜖𝑓𝑥+𝑔∗𝜖𝑔𝑥
𝑓+𝑔
 
5. 𝜖(𝑓−𝑔)𝑥 =
𝑓∗𝜖𝑓𝑥−𝑔∗𝜖𝑔𝑥
𝑓−𝑔
 
6. 𝜖𝑓(𝑔(𝑥))𝑥 = 𝜖𝑓(𝑢)𝑢 ∗ 𝜖𝑢𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
7. Si 𝑧 = 𝑓(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝜖𝑧𝑥𝑖 =
𝜕𝑙𝑛𝑧
𝜕𝑙𝑛𝑥𝑖
 
Demostración 
 
1. 𝜖𝐴𝑥 =
𝐴
𝑥
𝑑𝐴
𝑑𝑥
= 0 
 
2. 𝜖(𝑓𝑔)𝑥 =
𝑥
𝑓𝑔
𝑑(𝑓𝑔)
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑓𝑔
[𝑔
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+ 𝑓
𝑑𝑔
𝑑𝑥
] =
𝑥
𝑓
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+
𝑥
𝑔
𝑑𝑔
𝑑𝑥
= 𝜖𝑓𝑥 + 𝜖𝑔𝑥 
 
3. 𝜖
(
𝑓
𝑔
)𝑥
=
𝑥
(
𝑓
𝑔
)
𝑑(
𝑓
𝑔
)
𝑑𝑥
=
𝑥𝑔
𝑓
𝑔𝑓´−𝑓𝑔´
𝑔2
=
𝑥
𝑓
𝑑𝑓
𝑑𝑥
−
𝑥
𝑔
𝑑𝑔
𝑑𝑥
= 𝜖𝑓𝑥 − 𝜖𝑔𝑥 
 
4. 𝜖(𝑓+𝑔)𝑥 =
𝑥
𝑓+𝑔
𝑑(𝑓+𝑔)
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+𝑥
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑓+𝑔
=
𝑓∗
𝑥
𝑓
∗
𝑑𝑓
𝑑𝑥
+𝑔∗
𝑥
𝑔
∗
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑓+𝑔
=
𝑓∗𝜖𝑓𝑥+𝑔∗𝜖𝑔𝑥
𝑓+𝑔
 
 
5. 𝜖(𝑓−𝑔)𝑥 =
𝑥
𝑓−𝑔
𝑑(𝑓−𝑔)
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑑𝑓
𝑑𝑥
−𝑥
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑓−𝑔
=
𝑓∗
𝑥
𝑓
∗
𝑑𝑓
𝑑𝑥
−𝑔∗
𝑥
𝑔
∗
𝑑𝑔
𝑑𝑥
𝑓−𝑔
=
𝑓∗𝜖𝑓𝑥−𝑔∗𝜖𝑔𝑥
𝑓−𝑔
 
 
6. 𝜖𝑓(𝑔(𝑥))𝑥 =
𝑥
𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑𝑓(𝑔𝑥))
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑(𝑔(𝑥))
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑥
𝑔(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑(𝑔(𝑥))
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝑔(𝑥)
𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑𝑓(𝑔(𝑥))
𝑑(𝑔(𝑥))
∗
𝑥
𝑔(𝑥)
𝑑𝑔(𝑥)
𝑑𝑥
=
𝜖𝑓(𝑔(𝑥))𝑥 ∗ 𝜖𝑔(𝑥)𝑥 = 𝜖𝑓(𝑢)𝑢 ∗ 𝜖𝑢𝑥 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑔(𝑥) 
7. 𝜖𝑧𝑥𝑖 =
𝜕𝑙𝑛𝑧
𝜕𝑙𝑛𝑥𝑖
 ya que 𝜕𝑙𝑛𝑧 =
1
𝑧
𝜕𝑧 ; 𝜕𝑙𝑛𝑥𝑖 =
1
𝑥𝑖
𝜕𝑥𝑖 ⇒ 
𝜕𝑙𝑛𝑧
𝜕𝑙𝑛𝑥𝑖
=
1/𝑧 𝜕𝑧
1/𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑖
=
𝑥𝑖
𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑥𝑖
= 𝜖𝑥𝑥𝑖 
 
 
Problema 2 
Considere la función de producción: Y= (𝑎𝐾𝛼 + 𝑏𝐿𝛽)
𝑠
𝛼⁄
 
Donde s, a, b y 𝛼 son constantes, K y L son el total de capital y trabajo contratados para ser usados. 
Y es el número de unidades producidas. Se pide lo siguiente: 
 
a) Obtenga la Tasa Marginal de Sustitución Técnica 𝑇𝑀𝑆𝑇𝑘𝑙 de esta función de producción 
b) Obtenga la elasticidad de sustitución de esta función de producción 𝜎𝐾𝑙 
 
Solución 
 
a) 𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿 =
𝑃𝑀𝑔𝐿
𝑃𝑀𝑔𝐾
=
𝜕𝑌
𝜕𝐿
𝜕𝑌
𝜕𝐾
=
𝑆(𝑎𝐾𝛼+𝑏𝐿𝛽)
𝑠
𝛼⁄ −1
(𝐴𝑏𝐿𝛼−1)
𝑆(𝑎𝐾𝛼+𝑏𝐿𝛽)
𝑠
𝛼⁄ −1
(𝐴𝛼𝐾𝛼−1)
=
𝑏
𝑎
(
𝐿
𝐾
)
𝛼−1
 
b) Por Definición vista en clases: 𝜎𝑦𝑥 = 𝜖(𝑦
𝑥
)𝑇𝑀𝑆𝑦𝑥
=
𝑇𝑀𝑆𝑦𝑥
𝑦
𝑥
∗
𝜕(
𝑦
𝑥
)
𝜕𝑇𝑀𝑆𝑌𝑋
 
 Que al aplicarla a este particular caso, tenemos que obtener: 𝜎𝐾𝐿 = 𝜖(𝐾
𝐿
)𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿
=
𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿
𝐾
𝐿
∗
𝜕(
𝐾
𝐿
)
𝜕𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿
 
 Considerando que: 𝜃 = 𝑇𝑀𝑆𝑇𝐾𝐿 y despejando 
𝐾
𝐿
 en a) tenemos: 
𝐾
𝐿
= 𝜃
1
1−𝛼⁄ (
𝑎
𝑏
)
1
1−𝛼⁄
 
 De donde: 𝜎𝐾𝐿 =
𝜃
𝐾
𝐿
𝜕𝜃
1
1−𝛼⁄ (
𝑎
𝑏
)
1
1−𝛼⁄
𝜕𝜃
 = 
𝜃
𝐾
𝐿
(
𝑎
𝑏
)
1
1−𝛼⁄ 1
1−𝛼
𝜃
1
𝛼−1
−1 =
1
1−𝛼
 
Problema 3 
 
En finanzas se utiliza bastante las funciones de utilidad del tipo: 𝑼 = 𝝁 −
𝑨
𝟐
𝝈𝟐 ; 𝐴 > 0 
Donde 𝜇 es el retorno esperado de una inversión financiera y 𝜎 es una medida de la variabilidad o qué tan 
inciertos son los retornos que entregará esta inversión 
 
a) Encuentre la fórmula que describe la relación entre 𝜇 𝑦 𝜎 para una Utilidad constante 𝑈0 (curva de 
nivel) 
b) Calcule la tasa marginal de sustitución (TMS) 
c) Grafique curva de indiferencia cuando (𝑈0 = 10 𝑦 𝐴 = 1); (𝑈0 = 10 𝑦 𝐴 = 5) 
d) ¿Cómo es la relación entre 𝜇 𝑦 𝜎 en cada curva de indiferencia? 
e) ¿Cuál es el efecto del aumento de A? 
 
Problema 4 
 
Suponga la siguiente función de utilidad de una persona que consume dos bienes: 
 
𝑈 = √𝑥 + 2√𝑦 
 
a) Calcule la tasa marginal de sustitución. Use derivación implícita. 
b) Si la persona consume normalmente 4 unidades del bien x y 9 unidades del bien y: ¿Cuántas unidades 
del bien x cree usted que deberá estar dispuesta a sacrificar por una unidad adicional del bien y? 
c) Encuentre la gradiente en el punto (x; y) = (4; 9). Use el resultado para aproximar cuánto cambia la 
utilidad al moverse al punto (x; y) = (4,2; 8) 
 
Problema 5 
 
Si 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧) 
 
a) Determine el gradiente de f 
b) Encuentre la derivada direccional de f en (1, 3, 0) en la dirección: �⃗� = 𝑖̂ + 2𝑗̂ − �̂�. 
 
Solución 
 
a) ∇𝑓 = 〈
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
〉 = 〈𝑠𝑒𝑛(𝑦𝑧), 𝑥𝑧𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧), 𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠(𝑦𝑧)〉 
 ∇𝑓(1,3,0) = 〈
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
,
𝜕𝑓
𝜕𝑧
〉 = 〈𝑠𝑒𝑛(0), 1 ∗ 0 ∗ 𝑠𝑒𝑛(0), 1 ∗ 3 ∗ cos (0)〉 = 〈0,0,3〉 
 El vector unitario en la dirección de �⃗� es �̂� = 〈
1
√6,
,
2
√6
, −
1
√6
〉 
 Por lo tanto: 𝐷𝑢𝑓(1,3,0) = 〈0,0,3〉 ∙ 〈
1
√6,
,
2
√6
, −
1
√6
〉 = −√
3
2
 
 
Problema 6 
 
Si 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑒𝑦 
a) Determine la razón de cambio de “f” en el punto P:(2, 0) en la dirección de P a Q:(
1
2
, 2) 
b) ¿En qué dirección “f” tiene la máxima razón de cambio? ¿Cuál es esta máxima razón de cambio de 
cambio? 
 
Solución 
 
a) ∇𝑓 = 〈
𝜕𝑓
𝜕𝑥
,
𝜕𝑓
𝜕𝑦
〉 = 〈𝑒𝑦, 𝑥𝑒𝑦〉 
 ∇𝑓(2,0) = 〈1,2〉 
 El vector en la dirección de P a Q está dado por: 𝑃𝑄⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = �⃗� = (
1
2
, 2) − (2,0) = (−
3
2
, 2) 
 El vector unitario en la dirección de �⃗� es: �̂� = 〈−
3
5
,
4
5
〉 
 Por la tanto la razón de cambio en la dirección de P a Q es: 𝐷𝑢𝑓 = 〈1,2〉 ∙ 〈−
3
5
,
4
5
〉 = 1 
 
b) De acuerdo con teorema visto en clases, la máxima razón de cambio, ocurre en la dirección del 
vector gradiente: ∇𝑓(2,0) = 〈1,2〉 
 Por lo tanto, la máxima razón de cambio corresponde a la norma del vector gradiente, esto es: 
 Máxima razón de cambio es: |∇𝑓(2,0)| = |〈1,2〉| = √12 + 22 = √5 
 
Problema 7 
 
La ecuación 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 𝑧2 = 2 , define a z como función de x e y con primeras y segundas derivadas 
definidas en el entorno del punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0) 
 
a) Calcular 𝑧𝑥
, ; 𝑧𝑦
, ; 𝑧𝑥𝑥
,, ; 𝑧𝑥𝑦
,, ; 𝑧𝑦𝑦
,,
 
b) Obtener los valores numéricos de todas las derivadas obtenidas en a) en el punto (0,0) 
 
Solución 
 
 Asumimos que: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 𝑧2 − 2 
 𝐹𝑥
, = 1 
 𝐹𝑦
, = −2 
 𝐹𝑧
, = −3 + 2𝑧 
 Como no podemos aplicar el teorema de la función implícita cuando 𝐹𝑧
, = 0 asumimos que 𝑧 ≠
3
2
 
 Así entonces por teorema de la función implícita tenemos 
 𝑧𝑥
, = −
𝐹𝑥
,
𝐹𝑧
, = −
1
2𝑧−3
=
1
3−2𝑧
 
 𝑧𝑦
, = −
𝐹𝑦
,
𝐹𝑧
, = −
−2
2𝑧−3
=
2
2𝑧−3
 
 𝑧𝑥𝑥
,, =
𝜕𝑧𝑥
,
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
(
1
3−2𝑧
) =
𝜕
𝜕𝑥
((3 − 2𝑧)−1) =
2𝑧𝑥
,
(3−2𝑧)2
=
2
(3−2𝑧)3
 
 𝑧𝑥𝑦
,, =
𝜕𝑧𝑥
,
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(
1
3−2𝑧
) =
𝜕
𝜕𝑦
((3 − 2𝑧)−1) =
2𝑧𝑦
,
(3−2𝑧)2
=
4
(3−2𝑧)3
 
 𝑧𝑦𝑦
,, =
𝜕𝑧𝑦
,
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
(
2
2𝑧−3
) =
𝜕
𝜕𝑦
(2(2𝑧 − 3)−1) =
−4𝑧𝑦
,
(2𝑧−3)2
=
−8
(2𝑧−3)3
 
 
En el entorno del punto (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (0,0,0) 
 
 𝑧𝑥
, = −1 
 𝑧𝑦
, = 2 
 𝑧𝑥𝑥
,, = −2 
 𝑧𝑥𝑦
,, = 4 
 𝑧𝑦𝑦
,, = −8 
 
Problema 8 
 
¿¿¿¿¿¡¡¡????