Guia de ejercicios 1 y 2 Edwards

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Guía 1 
Materia: 
1. Funciones de varias variables 
1.1. Funciones de dos (o más) variables utilizadas en economía y negocios. Dominio. 
1.2. Representación geométrica (curvas de nivel dos variables). 
1.3. Derivadas parciales de primer y de segundo orden. Relación con planos tangentes. 
Teorema de Young. 
1.4. Derivadas parciales en economía. 
1.5. Formas cuadráticas de dos variables. Signo. Formas indefinidas. 
 
Bibliografía: SHC, Capítulo 15, secciones 15.1-15.6. 
Ejercicios: 
1.1 Suponga la siguiente función de producción de brosnes, que puede parecer o no 
parecer extraña: 
Q = K + 3 K L + K L2 + ln L 
Donde Q representa la producción de brosnes, K es la cantidad de horas-máquina y L se 
refiere a la cantidad de horas-trabajador. En la actualidad, K = 2, L = 1 y Q = 10. 
Se pide: 
a) Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución entre K y L, como función del uso de 
factores. 
b) Si al trabajo se le paga, por hora trabajada, según su producto marginal (se le paga en 
brosnes por hora), ¿le conviene a los trabajadores que se contrate más capital, ceteris 
paribus? ¿Son los factores de producción complementarios o sustitutos? 
c) ¿Es la función de producción cóncava, convexa o ninguna de las dos, en el punto en 
que se encuentra la empresa en la actualidad? 
d) Encuentre la ecuación para el plano tangente en el punto (K; L; Q) = (2; 1; 10). Use 
el resultado para aproximar Q(K; L) = Q(2,5; 0,9) y explique, usando su respuesta en 
c), si esta aproximación subestima o sobreestima el verdadero valor de Q en ese 
punto. 
e) Grafique el producto marginal del capital, en función de la cantidad de capital. 
1.2 Para cada una de las siguientes afirmaciones escriba la o las restricciones 
correspondientes definiendo claramente todas las variables. 
a) Del total de trigo que se produzca en Copihue, al menos la mitad se debe mandar a 
Santiago, no más de un tercio a Valparaíso, y el resto a Concepción. 
b) Un agricultor tiene 10 kg. de semilla de un cultivo súper especial. Cada kg. produce 
al final de la estación 2,5 kg. de producto que puede ser consumido o usado como 
semilla para la temporada siguiente. El producto en sí no puede ser almacenado como 
tal de un año para otro. Este agricultor desea tener por lo menos 16 kg. para consumir 
luego de la primera cosecha y por lo menos 12 para consumir luego de la segunda. 
De ahí para adelante la semilla ya no le interesa. 
1.3 Suponga una función de producción tipo Cobb-Douglas, F(K, L) = 10 K0,5 L0,7. 
Encuentre una constante n tal que F(tK, tL) = tn F(K, L). 
1.4 (SHC, p. 426) Muestre que 𝑥2 + 𝑦2 = 6 es una curva de nivel de 
𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑥2 + 𝑦2
2
− 𝑥2 − 𝑦2 + 2 
1.5 (SHC, p. 426) Muestre que 𝑥2 − 𝑦2 = c está en una curva de nivel de 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒𝑥
2
𝑒−𝑦
2
+ 𝑥4 − 2𝑥2𝑦2 + 𝑦4 
Para todo valor de la constante c. 
1.6 Suponga que ha decidido plantear una función de producción tal que refleje que: 
i) la producción es positiva; 
ii) los productos marginales de ambos factores son positivos y decrecientes; 
iii) los factores trabajo y capital son sustitutos. 
Para ello, ha decidido plantear la siguiente ecuación: Q = 10 K L – K L. 
Se pide: 
Analice si la función planteada cumple o no con lo que quiere que esta función refleje. Para 
ello, indique en qué dominio es posible que se cumplan estas condiciones, y qué 
restricciones debe imponer a los parámetros  y . NOTA: Es posible, aunque no es 
necesariamente cierto, que el dominio en que se cumplan las condiciones dependa de los 
parámetros  y . 
1.7 Cuando se aplica fuego a una olla con agua, la temperatura del agua sube. El 
problema es que no sabe cuánto y que usted quiere saber el grado de respuesta de la 
temperatura del agua a la cantidad de fuego aplicada. 
Un amigo suyo de Ingeniería Comercial le ha dicho que los grados de respuesta de una 
variable a cambios en otra variable se miden a través de la “elasticidad”. 
Explique en base a lo visto en clase, por qué es o no es posible usar el concepto de 
elasticidad en este caso. 
Guía 2 
Materia: 
2. Técnicas de Estática Comparativa 
2.1. Regla de la cadena 
2.2. Derivadas de funciones implícitas. Ecuación general de la tangente. 
2.3. Elasticidades parciales 
2.4. Funciones homogéneas y funciones homotéticas aplicadas a ciencias económicas 
Bibliografía: SHC, Capítulo 16, secciones 16.1, 16.3-16.6, 16.8 
Ejercicios: 
2.1 Suponga la siguiente función de producción de brosnes, que puede parecer o no 
parecer extraña: 
Q = K + 3 K L + K L2 
Donde Q representa la producción de brosnes, K es la cantidad de horas-máquina y L se 
refiere a la cantidad de horas-trabajador. En la actualidad, K = 2, L = 1 y Q = 10. 
Se pide: 
a) Calcule la “derivada direccional” de Q en el punto (K,L) = (2,1) en la dirección (h,k) 
= (-0,6; 0,8). 
b) Suponga el resultado en a), u otro cualquiera en caso que no haya podido obtener un 
resultado, e interprete el resultado en términos económicos. 
AYUDA: 
Derivadas direccionales 
La derivada direccional de f(x,y) en (x0,y0) en la dirección del vector unitario (h,k) (es 
decir, con h2 +k2 =1) es: 
𝐷ℎ,𝑘𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝑓1
′(𝑥0, 𝑦0)ℎ + 𝑓2
′(𝑥0, 𝑦0)𝑘 
2.3 Suponga la siguiente función de producción de brisnas, que puede parecer o no 
parecer extraña: 
Q = L ln(K) + 3 K L + K ln(L) 
a) Encuentre la Tasa Marginal de Sustitución (-dK/dL), en el punto (K;L) = (1;1). 
NOTA: Use las reglas de derivación de funciones definidas implícitamente. 
b) Encuentre la elasticidad parcial de producción respecto del factor L, en el punto 
(K;L;Q) = (1;1;3). 
c) ¿Es la función de producción homogénea? ¿homotética? Explique qué entiende por 
ambos conceptos? 
 
2.4 Use la función z = x y + 5 para comprobar que las funciones homogéneas son 
homotéticas o bien que las funciones homotéticas son homogéneas. Explique 
claramente su razonamiento. 
2.5 La demanda por brosnes es función del precio de los brosnes, del precio de las briscas, 
y del ingreso monetario. Matemáticamente, Q = f(p1, p2, m) donde p1 es el precio de 
los brosnes, p2 el precio de las briscas, y m el ingreso monetario. 
Se pide: Explique por qué esta función debe ser “homogénea en precios e ingreso” e 
indique el grado de homogeneidad de la función. 
2.6 Preguntas cortas. 
a) La suma de dos funciones homogéneas es homogénea. Demuestre si esta afirmación 
es verdadera o falsa. Suponga solo dos variables en la función. 
b) El producto de dos funciones homogéneas es homogénea. Demuestre si esta 
afirmación es verdadera o falsa. Suponga solo dos variables en la función. 
2.7 Suponga la ecuación 
𝑒𝑥𝑦
2
− 4𝑥 − 8𝑦 = 𝑐. 
 
Suponga que y=f(x) y que f(0) = 8. 
Se pide: 
a) Encuentre la constante c. 
b) Encuentre 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
 en el punto donde x = 0. (5 puntos). 
Ayuda: la derivada de y = 𝑒𝑔(𝑥) es 
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑔′(𝑥) 𝑒𝑔(𝑥). 
2.8 Suponga los siguientes datos: 
i. Q = F(K, L) Función de producción homogénea de grado r. 
ii. Q = 52 
iii. K = 2 
iv. L = 10 
v. Producto marginal del Capital = 3 
vi. Producto marginal del Trabajo = 2 
Se pide: 
a) Encuentre la elasticidad parcial de producción respecto del factor Capital. (2 puntos). 
b) Encuentre la elasticidad parcial de producción respecto del factor Trabajo. (1 punto). 
c) Use las derivadas parciales de la función de producción para aproximar el valor de Q 
si (K;L) = (2,2; 11). (4 puntos). 
d) Use sus respuestas a las partes a) y b) para aproximar el valor de Q si (K;L) = (2,2; 11). 
e) ¿Cuál es el grado de homogeneidad de la función de producción? ¿Cuál es el valor 
exacto de Q(2,2;11)?