Capítulo 4

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4.1. Método de Lagrange para el caso de dos variables y una restricción
4.2. Explicación geométrica y explicación analítica del método de Lagrange
4.3. Interpretación del multiplicador
4.4. Condiciones suficientes (suficiencia global y suficiencia local)
4.5. Optimización más de dos variables. Generalización del método de Lagrange
4.6. Teorema de la envolvente. Lema de Shephard
Bibliografía: SHC, cap. 18.1-18.3, 18.5-18.6
4. Métodos de optimización en varias variables con restricciones de igualdad 
 En este capítulo estudiaremos la optimización de una función objetivo, cuyas
variables estarán sujetas a una o mas restricciones de igualdad.
 Hasta ahora, imponíamos restricciones al dominio de la función, o
reemplazábamos las restricciones. Ahora, en cambio, impondremos
restricciones directamente sobre las variables.
Aplicación tradicional en economía y negocios: “maximización de utilidad de
un consumidor, sujeto a (s.a.) restricción presupuestaria”
• Recuerde el problema del amigo Pepe Carioca del Cap. 3
Muchos otros Ejemplos
 Minimización de Costos para una producción dada.
 Minimizar el riesgo de un portfolio de inversiones sujeto a cierto retorno
esperado específico
 etc.
4. INTRODUCCION
• Pepe Carioca gana $200 para gastar en Alpiste (que cuesta $10) y Golosinas
(que cuestan $1).
• Pepe Carioca tiene una función de “felicidad por consumo”
(a la que llamamos “Utilidad”)
• A Carioca le gusta ser “feliz”, por lo cual quiere maximizar
• Es posible que intuitivamente pensemos: Pepe Carioca no obtiene 
felicidad al ahorrar, y por lo tanto, no tendría sentido para él dejar 
dinero para después. El presupuesto que tiene para gastar, en 
golosinas o alpiste es de $200, esto es: 
o equivalentemente: .
Recordemos
• Como ya aprendimos antes
• Se deriva respecto a , y se obtiene:
• la segunda derivada para cualquier valor de 
• punto crítico es máximo.
• Ahora, aprenderemos a resolver “problemas estilo Carioca” de una forma 
distinta, más general (y económicamente, más rica de interpretar)
 Maximizar Utilidad sujeto a restricción presupuestaria (“Carioca General”)
• Un consumidor debe decidir cuánto comprar de entre n bienes distintos
• La función de utilidad representa sus preferencias.
• El consumidor tiene solo una determinada cantidad de dinero c para gastar
en el vector de consumo con precios Así el problema es:
sujeto a 
(se supone, además, que )
4. INTRODUCCION
4. INTRODUCCION Interpretación Geométrica dos variables 
El problema consistirá en maximizar (o minimizar) una función objetivo cuando
deben cumplir con la restricción:
En dos dimensiones, el problema se plantea de la siguiente forma:
 ): Superficie en el espacio
 representa una curva en el
plano que se levanta a la curva
sobre , o también
 es la proyección de sobre
el plano
 A: es el máximo libre sin restricciones
(que puede existir o no)
 B: Máximo CONDICIONADO o con
restricciones
 B: Intersección de K con la curva de
nivel mas alta
Teorema de Lagrange
Sean las funciones : con derivadas parciales
Sea tal que: es una solución del siguiente problema
s.a. , 
Además: NO es un punto crítico de , es decir, se debe cumplir la
Condición de Calificación de Restricción (CCR), esto es:
Entonces
Existe un número real tal que , es un punto crítico de la función
Lagrangeana definida por: max
Teorema de Lagrange OBSERVACIONES
 Nótese que el punto crítico es solución de las CPO para el
Lagrangeano, esto es: por lo cual se debe resolver el sistema de
ecuaciones:
 Nótese que: nos otorgan las CPO, por lo cual son solo condiciones
necesarias para obtener un óptimo, que satisfagan la CCR (pero no son una
condición suficiente)
 El método de Lagrange, entrega candidatos a óptimos que cumplen con la
CCR, pero, pueden existir excepcionalmente, otros candidatos, que la violen
 Para analizar problemas de Minimización, podemos convertirlo en un
problema de Maximización, o viceversa:
Teorema de Lagrange OBSERVACIONES
 En el teorema se supuso que tanto, las funciones f como g tienen dominio ,
sin embargo, esto el resultado, se puede extender a dominios abiertos ,
o si el dominio es cerrado, la solución (
 En los textos, existen dos simbologías equivalentes para el Lagrangeano, una
que explicita al Lagrangeano como función de y otros que no, de todas
formas, se considera como equivalente: . En Economía y
en Negocios, es muy importante que aparezca de forma explícita, porque se
interpreta (tiene sentido económico)
 El método de Lagrange, es una forma simple y ordenada de resolver el
problema de optimización de una función sujeto a una restricción
, el cual lo resumiremos en los siguientes PASOS
Teorema de Lagrange PASO a PASO
PASO 1: Verificar si la restricción tiene puntos críticos que satisfagan la
restricción . Si los tiene, guardar estos puntos como candidato a
óptimo global. (Violación de la CCR)
PASO 2: Formar la función Lagrangeana:
PASO 3: Obtener los puntos críticos de (resolver las CPO)
PASO 4: Evaluar función objetivo en puntos críticos de los pasos 1 y 3.
• Dejar solamente el o los puntos que llevan a un mayor valor si el problema es
de Maximización
• (o bien, dejar solamente el o los puntos que llevan a un menor valor si el
problema es de Minimización).
Método de Lagrange PASO a PASO
 Se puede garantizar que si existen puntos óptimos, entonces ellos 
corresponden a puntos que quedan después del PASO 4. Sin embargo, es 
posible que el óptimo NO exista
 En el particular caso que el conjunto restricción:
sea un conjunto compacto, entonces, podemos, garantizar la existencia de 
máximos y mínimos globales (Esto es Weierstrass!).
 Si R no es compacto, entonces deberemos ser creativos o utilizar condiciones 
de suficiencia que veremos mas adelante, en este mismo capítulo.
4.2 Ejemplo: Usar LAGRANGE para resolver
Optimizar la función objetivo:
Solución con LAGRANGEANO:
• CCR: ) no viola la CCR.
•
• ; ;
• Por lo tanto por CPO, debemos resolver el sistema de ecuaciones
 
• Lo que nos otorga los 6 puntos críticos
; 
• Como el conjunto restricción: es COMPACTO
• MAXIMOS GLOBALES
• MINIMOS GLOBALES
4.2 Ejemplo: Usar LAGRANGE para resolver
• Mas adelante veremos a que corresponden
 En ocasiones es posible, despejar una de las variables en , reemplazándola
luego en con ello es posible reducir el problema de optimización en dos variables
a una optimización en una variable sin restricciones (Recordemos el ejemplo de Carioca – tarea!)
 Comprobar esta observación con el ejemplo utilizado anteriormente
4.2 Teorema de Lagrange OTRA OBSERVACION
Con el método de reducción a un variable: 
 De la restricción, tenemos:
 Reemplazando en la función objetivo, nuestro problema se transforma en una
optimización reducida a una sola variable, esto es:
4.2 Teorema de Lagrange OTRA OBSERVACION
 CPO:
 Por lo tanto, existen 4 puntos críticos:
 CSO:

4.2 Teorema de Lagrange OTRA OBSERVACION
, no fueron posibles
de ser detectados por el método analítico de la reducción, sin embargo, si
observamos el gráfico, vemos que ellos si corresponden a óptimos
locales Además en los óptimos obtenidos corresponden realmente a
óptimos globales dentro del dominio restringido para “y”
-0,5000
-0,4000
-0,3000
-0,2000
-0,1000
0,0000
0,1000
0,2000
0,3000
0,4000
0,5000
-1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5
h(y)
Todo esto es: considerando que: 
Cap 4, Parte 2
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
CONDICIONES SUFICIENTES DE SEGUNDO ORDEN
CASO PARTICULAR
n = 2 VARIABLES m= 1 RESTRICCION
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
CONDICIONES SUFICIENTES
Sin embargo, necesitamos asegurarnos que los candidatos a soluciones obtenidos 
mediante los puntos críticos del Lagrangeano son realmente soluciones, en 
espacios que NO necesariamente sean compactos. 
Para ello primero, partiremos estudiando condiciones globales
El Teorema de Lagrange nos da puntos críticos de a través de las CPO, las
cuales seconstituyen en condiciones necesarias para resolver el problema de
optimización, pero no suficientes.
En el particular caso, en que el espacio de restricciones es un conjunto
compacto, podemos asegurarnos que realmente las soluciones encontradas sean
un máximo o un mínimo, apoyándonos en Weierstrass.
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
TEOREMA: SUFICIENCIA GLOBAL
Supongamos que utilizamos multiplicadores de Lagrange para resolver el
problema de optimización:
Donde con derivadas parciales continuas en S y sea
un punto crítico para la función Lagrangeana
Supongamos además que
ENTONCES
 Cóncava resuelve el problema de MAXIMIZACION
 Convexa resuelve el problema de MINIMIZACION
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO SUFICIENCIA GLOBAL
Optimizar la siguiente función de producción sujeta a la restricción de
presupuesto:
•
• Como 10 es una constante, recuerde que 
maximizar el Lagrangeano anterior es equivalente a maximizar:
CPO
= 0
de 2) de 1) 
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO SUFICIENCIA GLOBAL
Luego es el único punto crítico del Lagrangeano.
Hasta el momento dicho punto crítico es un candidato a óptimo, ya que sólo se 
han verificado las CPO del Lagrangeano
Para ver si el único punto crítico obtenido, es un Máximo, de acuerdo al teorema
precedente, debemos verificar, si el Lagrangeano es cóncavo.
Para ello podemos utilizar la matriz Hessiana de dicho Lagrangeano, con
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO SUFICIENCIA GLOBAL
 ; ;

 Usando el Teorema 2 de Matrices del Material de Estudio, página 51:
Teorema 2:Sea: A una matriz simétrica de dimensión n × n.
 La matriz A es semi-definida positiva 
 La matriz A es semi-definida negativa 
Donde son los Menores Principales(MP) de la matriz A
• los MP de orden 1 son ::
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO SUFICIENCIA GLOBAL
• El único MP de orden 2 es , esto es:
ENTONCES ES SEMI-DEFINIDA NEGATIVA
POR LO TANTO, ES CONCAVA
Luego el único punto crítico del Lagrangeano: 
Es un MAXIMO GLOBAL
ALTERNATIVAMENTE, Podemos utilizar a Weierstrass, ya que: La función
objetivo es continua, y además como los valores de K y L son no negativos,
entonces el conjunto de soluciones factibles, conformado por la restricción:
es COMPACTO (verificación de tarea)
ALTERNATIVAMENTE: La concavidad o convexidad, es posible obtenerla 
mediante la descomposición del Lagrangeano, que veremos a continuación
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
TEOREMA: SUFICIENCIA GLOBAL
Una manera alternativa de analizar la concavidad o convexidad del Lagrangeano,
consiste en descomponerlo de la siguiente forma:
Así entonces podemos observar que la concavidad o convexidad depende solo de
las funciones ya que es constante y no afecta, por lo tanto,
la concavidad depende solo de la función “f” y de la función “g”
g
cóncava convexa cóncava
cóncava cóncava cóncava
cóncava lineal cualquiera cóncava
Convexa cóncava Convexa
Convexa convexa Convexa
Convexa lineal cualquiera Convexa
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO SUFICIENCIA GLOBAL
Podemos verificar la descomposición en el ejemplo precedente:
Vemos que la concavidad o convexidad del Lagrangeano solo depende de lo que
ocurra con la función objetivo “f”, ya que la función restricción es LINEAL
 ; ;

 Como es el mismo Hessiano ya analizado, podemos concluir que la
función objetivo es CONCAVA, por lo tanto, el LAGRANGEANO
también es CONCAVO
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
OTRO TEOREMA: SUFICIENCIA GLOBAL
Es posible que el Lagrangeano no sea cóncavo y tampoco convexo,
sin embargo a pesar de ello, puede ser posible, afirmar que estamos frente a un
OPTIMO GLOBAL
Teorema (Condiciones de suficiencia con quasi-concavidad)
Sean f y g funciones con derivadas parciales continuas de y sea . 
Supongamos que el punto satisface las condiciones del teorema de 
Lagrange para el problema:
Entonces resuelve el problema si
NO es un punto crítico de f.
2. f es quasi-cóncava y g es quasi-convexa.
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
OTRO TEOREMA: SUFICIENCIA GLOBAL
Teorema (Condiciones de suficiencia con quasi-convexidad)
Sean f y g funciones con derivadas parciales continuas de y sea . 
Supongamos que el punto satisface las condiciones del teorema de 
Lagrange para el problema:
Entonces resuelve el problema si
NO es un punto crítico de f. 
2. f es quasi-convexa y g es quasi-cóncava.
ANÁLOGAMENTE
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO OTRO TEOREMA: SUFICIENCIA GLOBAL
Consideremos el siguiente problema de un guardabosque planificando su salida a
terreno. Quiere ubicarse en las coordenadas que le permitan estar en la parte más
alta posible de la montaña, pero caminando a lo largo de un único camino recto,
definido por CONAF. Específicamente su problema es:
•
•
•
•
Punto Crítico



Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO OTRO TEOREMA: SUFICIENCIA GLOBAL
 La función objetivo: es una función quasi-cóncava (ver pauta de Prueba
1 II 2020)
 La función restricción: es lineal, por lo tanto es tanto quasi-cóncava como
quasi-convexa
 Por último: NO es punto crítico de (El único punto
crítico es (0,0))
 Por lo tanto, se cumplen las condiciones del teorema de quasi-concavidad
Así entonces se puede concluir que:
es
MAXIMO GLOBAL
-3 -2
,5
-2 -1
,5
-1 -0
,5
0 0,
5
1 1,
5
2 2,
5
30
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-3
-2
.6
-2
.2
-1
.8
-1
.4 -1
-0
.6
-0
.2
0.
2
0.
6 1
1.
4
1.
8
2.
2
2.
6
3
y
f(x
,y
)
x
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
TEOREMA DE SUFICIENCIA LOCAL
Supongamos que utilizamos multiplicadores de Lagrange para resolver el
problema de optimización local restringida:
Donde (son derivables continuamente al menos 2 veces)
Se define el Hessiano Orlado:
Sea . Entonces
 Si el Hessiano Orlado es definido negativo, entonces es un
máximo local de f
 Si el Hessiano Orlado es definido positivo, entonces es un mínimo
local de f
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
TEOREMA: SUFICIENCIA LOCAL
En el caso aquí, es posible simplificar el criterio para analizar el Hessiano Orlado
 El determinante del Hessiano Orlado en punto crítico asociado a un
único está dado por:
a) Si Entonces es definida negativa para ese ; por lo tanto
es un MAXIMO LOCAL de “f” (noten el signo “>”)
b) Si Entonces es definida positiva para ese ; por lo tanto
es un MINIMO LOCAL de “f” (noten el signo “<”)
c) Si Nada podemos afirmar de , y es preferible analizar
por algún camino alternativo
Condiciones de suficiencia local del ejemplo 1 
Optimizar la función:
Se demostró la existencia de los siguientes seis puntos críticos:
• : MAXIMOS GLOBALES con
• : MINIMOS GLOBALES con
Comprobaremos las condiciones de suficiencia de segundo orden dadas por el 
Teorema precedente, y 
Veremos en que condiciones quedan estos últimos puntos críticos
• (que quedamos en analizar mas adelante)
Condiciones de suficiencia local del ejemplo 1 


 𝟐
Con : Se resuelve un problema de MAXIMIZACION LOCAL ya que:
 𝟐 =16
 NOTA: Ya sabíamos que era Máximo Global, por lo cual también es Máximo Local
Condiciones de suficiencia local del ejemplo 1 
Con 0 en el punto Se resuelve un problema de MINIMIZACION LOCAL:
 =
Con 0 en el punto Se resuelve un problema de MAXIMIZACION LOCAL :
 =
Con : Se resuelve un problema de MINIMIZACION LOCAL ya que:
𝟐 =-16
Ya sabíamos que era Mínimo Global y por tanto también es Local
Capítulo 4, Parte 3
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
INTERPRETACION PARAMETROS DE LAGRANGE
y
TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
n = 2 VARIABLES m= 1 RESTRICCION
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO 1: Interpretación 
Dado el problema: 
•
•
•
•
1
2
Para visualizar que realmente es un máximo, podemos reemplazar la restricción 
en la función objetivo, lo que nos resulta la ecuación de una parábola cóncava
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdadEJEMPLO 1: Interpretación 
2,5
¿Qué pasa con la solución óptima si la constante “c” aumenta 1 unidad
•
•
•
•
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO 1: Interpretación 
Si la constante “c” aumenta en 1 unidad
el cambio en la solución óptima es aproximadamente igual al 
Multiplicador de Lagrange 
• Debemos notar que en general, son funciones de “c”, es decir:
• “Función valor para el problema”:
también es función de “c” 
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
TEOREMA: Interpretación Multiplicador de Lagrange
Supongamos que el problema de optimización:
Tiene solución 
Asumiendo que se cumplen las CCR, y tienen derivadas
continuas, y además se pueden derivar respecto a “c”, ENTONCES
•
• Más adelante veremos que este teorema es un caso particular del:
TEOREMA DE LA ENVOLVENTE
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
EJEMPLO 1: Interpretación 
Continuando con nuestro problema de optimización:
•
•
•
•
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Ejemplo: Interpretación 
 Una expresión equivalente del teorema de la interpretación del multiplicador
de Lagrange es términos de diferenciales, esto es:
Si es un cambio pequeño, entonces
 Para nuestro problema Original: ¿Qué pasa con la solución óptima si la
constante “c=4” aumenta 1 unidad?
 La función de valor es:
 Aumento real es: -
 Aumento aproximado:
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Interpretación 
En aplicaciones económicas, a menudo “c” representa la cantidad de stock de un
determinado recurso, y la función objetivo, representa el beneficio o utilidad.
Entonces una medida aproximada del aumento del beneficio o utilidad, que se
puede obtener al aumentar los recursos en una pequeña cantidad “dc” es igual a:
Los economistas llamamos a como el PRECIO SOMBRA DEL RECURSO
Es el significado del multiplicador de Lagrange, el cual representa la variación
de la función valor, cuando se cuenta con una unidad adicional de un cierto
recurso limitado
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Ejemplo 2: Interpretación 
Ejemplo: Firma que maximiza sus ingresos, si el presupuesto disponible es
:
•
• CPO:
•
• La función Lagrangeana es cóncava, ya que, es una función cóncava y
todo el resto es lineal
• Además,
Por lo tanto, se resuelve un problema de MAXIMIZACION
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Ejemplo 2: Interpretación 
 La función valor es:
 Por lo tanto, se cumple el Teorema:
 Esto nos dice que la empresa está dispuesta a pagar a lo más para que le
aumenten el presupuesto en $1
 Es un ejemplo curioso ya que el crecimiento en las utilidades es constante.
RAZON: Lo que sucede es que una vez que se escogió la cantidad deseada
de capital, todo aumento en el presupuesto va a trabajo. Las ganancias de la
empresa son entonces “p” porque cada trabajador adicional produce una
unidad, que se vende a p y se divide por 20 que es el costo de ese trabajador
($1 adicional de presupuesto permite comprar 1/20 de trabajador).
Teorema de la ENVOLVENTE
(Generalización Teorema anterior) 
En , los problemas de optimización utilizan funciones que dependen de
cierto número de parámetros, tales como: Precios, % de impuestos, niveles de
renta y otros. Aunque dichos parámetros se mantienen constantes dentro de la
optimización, pueden variar según la situación económica.
Podemos calcular el beneficio máximo de una empresa, considerando los precios
a que se enfrenta como parámetros, pero luego podemos desear averiguar cómo
ese beneficio máximo responde a cambios en los precios.
Así que es importante saber qué ocurre con la solución óptima cuando la
situación cambia, esto es, cuando cambian los parámetros
Teorema de la envolvente
Con este teorema de la envolvente que estudiaremos, la interpretación del
multiplicador de Lagrange que ya vimos pasará a ser un caso particular.
En la interpretación del parámetro , concluimos que cuando se produce un
cambio de la constante “c” de la restricción .
 Ahora generalizaremos esa misma interpretación hacia otras constantes
cualesquiera, “ ”, que entran en los modelos económicos como parámetros,
pero que ahora consideraremos que dichos parámetros también pueden
cambiar.
Teorema de la envolvente I – II - III
Reescribamos el problema original pero ahora permitiremos que al menos una de 
las funciones objetivo y/o restricción puedan ser funciones de un parámetro “a”
Así por ejemplo en caso que ambas sean función del parámetro a
Donde sin perder generalidad, definimos la restricción como igualdad a 0, esto 
es, . Note que a puede ser más de un parámetro ( ).
La función de valor ahora es igual a la función objetivo valorizada en el óptimo
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
TEOREMA de la ENVOLVENTE 
Sean definidas en un dominio abierto
Sea el problema de optimización:
Que tiene solución 
Asumiendo que se cumplen las CCR ( , y tienen
derivadas continuas con respecto a “a”, ENTONCES
Para calcular cuanto cambia cuando “a” cambia, basta con derivar el Lagrangeano
parcialmente con respecto a “a”, ignorando el efecto del parámetro de Lagrange
sobre la solución óptima (ya que es derivada parcial de )
Ejemplo Teorema de la envolvente
•
Dado el problema
. 
Comprobar el Teorema de la Envolvente
•
•
•
•
Ejemplo Teorema de la envolvente I – II - III
• Tenemos un único punto crítico: ; 
CPO
•
•
•
• tienen derivadas continuas con respecto a “ ”,
• Punto crítico es un MINIMO GLOBAL, ya que, el Lagrangeano es CONVEXO
Así la función de valor mínimo es =
Ejemplo Teorema de la envolvente I – II - III
•
∗
 Derivando la función de valor respecto a tenemos:
 Para comprobar tenemos que: 
•
PASOS Operacionales del Teorema Envolvente
Para aplicar el teorema de la envolvente, se debe dar los siguientes pasos:
1) Resolver problema, con parámetro a arbitrario, sin darle valor
2) Verificar que las funciones tienen derivadas continuas con
respecto a 
3) Verificar las CCR en los puntos que se necesita calcular la derivada
4) Verificar CSO de optimización
5) Derivar parcialmente a respecto a a, osea, tomando como constantes
6) Evaluar derivada en el punto deseado.
No revisar condiciones del Teorema puede producir errores importantes
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Ejemplo 2: Teorema Envolvente
Ejemplo: Firma que maximiza sus ingresos, si el presupuesto disponible es 500
En este caso el precio de K es un parámetro que afecta a la restricción, pero
no a la función objetivo
•
• CPO:
• tienen derivadas continuas
•
• Como es cóncava, se resuelve un problema de MAXIMIZACIÓN.
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Ejemplo 2: Teorema Envolvente
• Por lo anterior podemos aplicar Teorema de la Envolvente:
• Una interpretación que la derivada tenga signo negativo, es que si el capital K es
más caro, puedo comprar menos (o si reemplazo L con K, produzco de manera
más ineficiente)
• Por ejemplo, si el precio de K, cambia de , se tiene
Caso 2 variables; 1 Restricción de igualdad
Ejemplo 2: Teorema Envolvente
Si usamos el Teorema de la Envolvente, el cambio se puede obtener en forma
aproximada mucho mas simple, esto es:
Donde
Debe notarse la similitud existente
0,01
PERO con una SIMPLEZA mucho mayor(gracias al teorema)
Capítulo 4, Parte 4
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
GENERALIZACIONES
DEL
METODO DE LAGRANGE
“n” VARIABLES “m” RESTRICCIONES
• Pepe Carioca maximiza funciones como 
sujeto a , con .
• Pato Donald maximiza “cosas raras,” como 
, o como 
ujeto (o no) al mismo , con .
• Pepe Carioca es sencillo de solucionar, pues basta con plantear la optimización, 
derivar, igualar a cero, sacar segundas derivadas para el Hessiano, y listo. 
• Pato Donald no es necesariamente más difícil de solucionar, pero es menos
mecánico. Donald obliga a mirar su problema, pensarlo, y cuidadosamente elegir, 
y para el alumno promedio se hace más complejo, pero no más difícil. Muchas
veces el Pato Donald no se deriva, seobserva, se analiza, y solamente entonces se 
resuelve.
• Moraleja clave: NUNCA miren un problema solamente en “modo Pepe
Carioca”. SIEMPRE fíjense si el problema puede ser un “Pato Donald”
Motivación: Antes de generalizar
Generalización Método de Lagrange : Dos casos 
Primer Caso
Aumentamos sólo el número de variables a , pero mantenemos el número
de restricciones en . La función objetivo como la restricción pasan a ser
funciones multivariadas
Segundo Caso
Además de considerar caso multivariado, se aumenta la cantidad de restricciones,
Pasando de
pasan a ser 
; ;…; equivalentemente 
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN (NECESARIAS)
EN PRIMER LUGAR RESUMIREMOS LAS CONDICIONES 
NECESARIAS DE PRIMER ORDEN
CPO
CONDICIONES DE PRIMER ORDEN 
EN CADA UNO DE AMBOS CASOS POR SEPARADO
CPO-----PRIMER CASO GENERAL: 
Teorema de Lagrange
Sean funciones multivariadas y sea
Supongamos que es solución del problema:
Supongamos además que
ENTONCES
Existe un número tal que es un punto crítico del Lagrangeano
Ejemplo1; Caso n = 3 variables; m = 1 Restricción de igualdad
Una firma requiere producir 100 camisas para distribuirlas en el mercado. Para
ello puede utilizar tres máquinas cada una con un proceso distinto. Supongamos
que produce “x” unidades con la máquina 1, “y” unidades con la máquina 2, y
“z” unidades con la máquina 3. Los costos de producción de cada máquina (como
función de las cantidades producidas con cada una de ellas) son:
a) Encuentre las cantidades producidas con cada máquina que minimizan los
costos de producción totales de las 100 camisas (suponga que se pueden
producir fracciones de camisas con cada máquina)
b) Calcule
c) Calcule el costo óptimo total de producir las 100 camisas
d) Calcule el costo óptimo de producir 101 camisas
Se debe minimizar la función de Costos Totales:

 Sujeto a la restricción:
a) Lagrangeano:
CPO
•
•
•
•




Ejemplo1; Caso n = 3 variables; m = 1 
 El costo de producir c=100 camisas en el óptimo es:
Es un valor mínimo (lo comprobaremos más adelante)
 Luego, como el costo marginal de producir una camisa más en el óptimo es:
Entonces el costo aproximado de producir 101 camisas es: 
 Note que
en este caso no se viola la CCR
Ejemplo1; Caso n = 3 variables; m = 1 Restricción de igualdad
SEGUNDO CASO GENERAL: 
Teorema de Lagrange
Sean y sean
Supongamos que es solución del problema:
Supongamos además que (definición en próx. slide)
ENTONCES
Existen número tal que es un punto crítico
del Lagrangeano
CPO----SEGUNDO CASO GENERAL: 
Teorema de Lagrange Cont.…..
Donde el Jacobiano:
Tiene rango fila igual a , lo cual significa que sus vectores fila son
CPO----SEGUNDO CASO GENERAL: 
• Recordatorio: Los vectores son linealmente independientes
( ) si en la ecuación +…+ con incógnitas
se tiene como única solución
Ejemplo 2: “n=3 ; m=2” 
 =
CPO


• De (3)
• Reemplazando en (1) y (2)
• Reemplazando el resultado anterior en (5)
Ejemplo 2: “n=3 ; “m=2” 
• Por lo tanto:
Comprobemos que el Jacobiano es de rango
•
•
•
•
• Como son distintas de “0” entonces la única solución es
Ejemplo: “n=3 ; m=2” 
Condición
3 Máximo
3 Mínimo
• Por lo tanto los puntos obtenidos, de acuerdo al Teorema de
Lagrange, son realmente puntos críticos
• Con las condiciones de segundo orden verificaremos mas adelante que,
realmente corresponden a Máximo y Mínimo Global según nos indica la tabla.
CONDICIONES DE SEGUNDO ORDEN (SUFICIENTES)
EN SEGUNDO LUGAR RESUMIREMOS LAS CONDICIONES 
SUFICIENTES DE SEGUNDO ORDEN
CSO
CONDICIONES DE SEGUNDO ORDEN 
PARA AMBOS CASOS EN FORMA CONJUNTA
SEGUNDO CASO GENERAL: 
Teorema de Condiciones de Suficiencia Global
Sean y sean
Consideremos los problemas:
Con solución Asumiendo los
Entonces
 Si es cóncava, es solución del problema de maximización
 Si es convexa, es solución del problema de minimización
CSO----AMBOS CASO GENERAL 
SEGUNDO CASO GENERAL: 
Teorema Condiciones de Suficiencia con quasi-concavidad
Sean y sean
Supongamos que el punto satisface las condiciones del
Teorema de Lagrange para el problema
Entonces resuelve el problema si
 NO es un punto crítico de f
 f es quasi cóncava y es quasi convexa
CSO----AMBOS CASO GENERAL 
SEGUNDO CASO GENERAL: 
Teorema Condiciones de Suficiencia con quasi-convexidad
Sean y sean
Supongamos que el punto satisface las condiciones del
Teorema de Lagrange para el problema
Entonces resuelve el problema si
 NO es un punto crítico de f
 f es quasi convexa y es quasi cóncava
CSO----AMBOS CASO GENERAL 
SEGUNDO CASO GENERAL: 
Teorema de Condiciones de Suficiencia Local
Sean y sean
Considere el problema:
Con solución
Considere la matriz Hessiana Orlada de evaluada en la solución
ENTONCES
Si la matriz Hessiana Orlada es:
 Definida negativa, es máximo local entre los puntos que cumplen las
restricciones
 Definida positiva, es mínimo local entre los puntos que cumplen las
restricciones
CSO----AMBOS CASO GENERAL 

 Punto crítico ya obtenido:
 Como la función restricción es lineal, entonces ella simultáneamente es
cóncava y convexa, por tanto: Sólo debemos analizar la convexidad de la
función objetivo:

 Hessiano: es def. pos. (ver por qué en próx. slide)
Continuación Ejemplo1; n=3 ; m=1
Verificación MINIMIZACION GLOBAL c/CSO
 Ya que todos los menores principales dominantes son positivos, esto es:


Convexa 
resolvió un problema de 
MINIMIZACION GLOBAL
Continuación Ejemplo1; n=3 ; m=1
Verificación MINIMIZACION GLOBAL c/CSO
Continuación….. Ejemplo 2; n=3 ; m=2
Verificación MINIMIZACION c/CSO
Para el problema del Ejemplo 2, esto es:
Con las CSO, recién vistas en el Teorema, verificar la tabla
Condición
3 Máximo
3 Mínimo
 =
Por lo tanto con:
se tiene Máximo Global
 =
Por lo tanto con:
se tiene Mínimo Global
Continuación….. Ejemplo 2; n=3 ; m=2
Verificación MINIMIZACION c/CSO
Capítulo 4, Parte 5 y final
OPTIMIZACION CON RESTRICCIONES DE IGUALDAD
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
Interpretación Económica de los Parámetros de Lagrange
y
Teorema de la ENVOLVENTE
Teorema: Sean y sean
Consideremos el problema:
Con solución que cumple las CCR. Asumiendo
que tanto como los
. Entonces
Donde 
Interpretación Económica de los Multiplicadores de Lagrange
Continuación Ejemplo 2 
Interpretación Económica Multiplicadores de Lagrange
Ya trabajado anteriormente con con los siguientes resultados

 ; Mínimo
 Comprobar que se cumple la interpretación de los multiplicadores de
Lagrange
 =
CPO


• De (3)
• Reemplazando en (1) y (2)
• Reemplazando el resultado anterior en (5)
Ejemplo Interpretación Económica Multiplicadores de Lagrange
Ejemplo: “3” variables con “m=2” restricciones 
•
• Luego en el punto:
La función valor es
∗
De donde se demuestra que se cumple la interpretación de los multiplicadores ya que:
∗
2)
∗
Caso n variables; m Restricciones de Igualdad
TEOREMA de la ENVOLVENTE 
Sean funciones que dependen de un parámetro “a”
Sea el problema:
Que tiene solución óptima 
Asumiendo que se cumple que se cumple la CCR, y que: tienen
derivadas continuas con respecto a “a”, ENTONCES
Para calcular cuanto cambia cuando “a” cambia, basta con derivar el Lagrangeano
parcialmente con respecto a “a”, ignorando el efecto del parámetro de Lagrange
sobre la solución óptima (ya que es derivada parcial de )
Ejemplo: Teorema de la envolvente
Una empresa usa cantidades K de capital y L de trabajo, para producir un
determinado producto, siguiendo una función de producción de CD.
Consideremos el problema de minimización del costo “C” de producción, sujeto
a una restricción de la cantidad producida prefijada en “Q”, por lo tanto, el
problema se puede representar por:
Los precios unitarios de capital y trabajo respectivamente, los
cuales son parámetros que están contenidas en la función de costos “C”
La cantidad de producción “Q” es un parámetro prefijado, que esta contenido en
la restricción
El Lagrangeano queda:
Ahora debemosconsiderar las CPO ( necesarias)
Ejemplo: Teorema de la envolvente
1) Despejando de 1) y 2) e igualando:
2) De donde
3) Reemplazando este valor en la restricción 3)
4) Por lo tanto:
Ejemplo: Teorema de la envolvente
5) Como
6) Reemplazando se tiene que:
7) Por lo tanto el Costo:
Es un costo mínimo global, ya que en el Lagrangeano
Se tiene que la función de CD: cóncava, es convexa
Además la función lineal ( es cóncava y convexa a la vez
8) Derivando el costo mínimo respecto de cada uno de los parámetros
Ejemplo: Teorema de la envolvente

∗ / / / /

∗ / / / /

De acuerdo al Teorema de la envolvente, si consideramos el vector de parámetros
y la función Lagrangeana:
Y derivamos parcialmente respecto de cada uno de los parámetros, obtenemos los
mismos resultados:
Lema de Shephard ; Caso particular Teorema Envolvente
Con el ejemplo precedente, hemos mostrado una aplicación particular del
teorema de la envolvente, el cual se expresa de la siguiente manera
Si en un problema de optimización consideramos la “Minimización del Gasto”
sujeto a un determinado nivel de Utilidad , esto es:
 La función objetivo contiene dos parámetros: precios
 La restricción contiene un parámetro, esto es, la utilidad prefijada
ENTONCES EL LEMA DE SHEPHARD NOS DICE
∗
𝒙 𝒚
𝒙
; 
∗
𝒙 𝒚
𝒚
Además: 
∗