ayudanta TVM y tasas

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Ayudant́ıa de Cálculo 1 - 24 de Abril de 2009
TVM, Tasas de cambio y demases
Nota. Los ejercicios no están escritos con todos los cálculos necesarios. Cualquier cosa que
omita ustedes debeŕıan ser capaces de hacerla. La idea es mostrar de manera general cómo
se resuelve el ejercicio. Ahh...también: que salga demostración al principio de la resolución
del ejercicio es para que el programa me indente mejor, pero no necesariamente es una
demostración (como en el ejercicio 4).
Ejercicio 1. Sea f(x) = (x− b)n(x− a)m. Probar que existe un c ∈ R tal que
m
n
=
c− a
c− b
Demostración. La idea es ocupar el Teorema del Valor medio aplicado a la funćıon que nos
dan. Primero, notamos que f(x) es un polinomio de grado n + m cuyas raices son a y b
con sus respectivas multiplicidades. Es por esto que f(a) = f(b) = 0. De esta forma por el
teorema del valor medio, existe c ∈ R tal que
(b− a)f ′(c) = f(b)− f(a) = 0− 0 = 0
o bien que
f ′(c) = 0
Ahora,
f ′(x) = (x− a)m−1(x− b)n−1[m(x− b) + n(x− a)]
De lo que se concluye que para el c anterior tengo
(c− a)m−1(c− b)n−1[m(c− b) + n(c− a)] = 0
y aśı
m(c− b) = −n(c− a)
De lo que se sigue lo que piden.
Acá ocupe fuertemente que el c que garantiza el TVM está en el intervalo abierto (a, b),
pues por esto sabemos que (c− a) y (c− b) son números distintos de cero.
Ejercicio 2. Demostrar que para todo x, y ∈ R se cumple
| sinx− sin y| ≤ |x− y|
Demostración. Acá de nuevo ocuparemos el TVM para la función f(x) = sin x. Consideremos
dos números reales x e y tales que x < y. Esto es sin pérdida de generalidad pues si x = y la
desigualdad es obvia y que x sea el más chico es solo una cosa de śımbolos. Sabemos que sinx
1
es continua y diferenciable en todos los reales, por lo que en particular lo es en el intervalo
[x, y]. Aśı, por el TVM, existe un c ∈ R tal que
f(y)− f(x) = f ′(c)(y − x)
o bien
sin y − sinx = cos c(y − x)
Ahora, como dos números iguales tienen el mismo valor absoluto,
| sin y − sinx| = | cos c||y − x|
pero | cos t| ≤ 1 para todo t ∈ R, lo que demuestra que
| sinx− sin y| ≤ |x− y|
Ejercicio 3. Demuestre que si x ≥ 0 entonces ex ≥ 1 + x
Demostración. La idea general de este ejercicio es ver que la gráfica recta tangente a la
función exponencial en x = 0 siempre va a estar por debajo de la gráfica de la exponencial
misma. Este ejercicio es muy intuitivo, y yo lo preparé para la ayudant́ıa pensando en usar
la aproximación lineal de la exponencial y probar lo que les dećıa comparando las derivadas,
pero a uno de sus compañeros se le ocurrió hacerlo por el teorema del valor medio, y de
esta forma sale inmediato. Les presento las dos maneras, para que también aśı vean como se
relacionan todos los conceptos que han visto.
Por TVM:
Si f(x) = ex entonces como la exponencial es continua y diferenciable en cualquier lado, tomando
un x > 0 (nuevamente el caso x = 0 es obvio) y el intervalo [0, x], por el TVM existe un c ∈ R tal
que
xec = f ′(c)(x− 0) = f(x)− f(0) = ex − 1
pero ec ≥ 1 si c ≥ 0, lo que implica que
x ≤ xec = ex − 1
De lo que se sigue lo que me piden.
Por aproximación lineal:
Sabemos que la recta tangente a la función f(x) = ex en el punto a está dada por La(x) =
f(a) + f ′(a)(x − a). En particular, la tangente a la exponencial en a = 0 es L(x) = 1 + x. Ahora
bien,
L′(x) = 1 ≤ ex = f ′(x)
y además
L(0) = 1 = f(0)
por lo que por el principio de comparación concluimos que L(x) ≤ f(x) si x ≥ 0o bien
1 + x ≤ ex
Es recomendable hacer un dibujo (no puse uno porque me quita mucho tiempo)
2
Ejercicio 4. Un volant́ın a 100 metros del suelo se mueve horizontalmente con velocidad
constante 2m/s. ¿Con qué velocidad cambia el ángulo entre el hilo y la horizontal cuando se
han soltado 100
√
2 metros de hilo?
Demostración. Acá es importante hacer un dibujo. Incluyo el que ven para que se hagan una
idea, pero si por malo les queda poco claro hagan uno ustedes.
Cómo vemos, lo que nos piden es la variacón del ángulo θ cuando el volant́ın se mueve.
Primero debemos ver qué variables vamos a usar. En este caso, ocuparemos la variable x
para denotar la distancia que ha avanzado el volant́ın desde su punto de origen.
De esta manera, considerando el triángulo que se forma entre el hilo, la vertical y el
suelo, tenemos que θ cumple:
100
x
= tan θ =⇒ x = cotg θ
Ahora, lo más importante acá es darse cuenta que tanto x como theta son funciones
del tiempo. Es decir, x = x(t) y θ = θ(t). Teniendo esto presente y derivando la expresión
anterior obtenemos
2 =
dx
dt
= −100 d
dt
(
cos θ
sin θ
) = −100θ′ cosec2 θ
notando también que x′ = 2 porque es la velocidad con que se mueve el volant́ın. Obtenemos
θ′ = −sin
2 θ
50
Entonces, para calcular la velocidad instantanea del ángulo cuando se han soltado 100
√
2
metros de hilo, necesitamos determinar el ángulo que se forma con la horizontal en ese
3
momento. Pero por el teorema de pitágoras
x2 + 1002 = (largodelhilo)2
Y tomando que el largo del momento que buscamos es 100
√
2 concluimos que x = 100. De
esta manera podemos calcular θ en ese momento, pues si x = 100 el triángulo que se forma
es isóceles, y aśı θ = π
4
. Finalmente, la velocidad con que se mueve el volant́ın cuando se han
soltado 100
√
2 metros de cuerda es
θ′ = −
sin2(π
4
)
50
= −
( 1√
2
)2
50
= − 1
100
Comentarios sobre este último ejercicio:. Este es un ejercicio de tasas de cambio bas-
tante estándar, pero incluye todo lo que deben manejar. Algunas cosas para tener en cuenta:
Todo el rato trabajamos impĺıcitamente con un tiempo en particular. Es decir, calcu-
lamos la derivada del ángulo en ese tiempo, la distancia recorrida en ese tiempo, etc.
Esto está en la frase ’cuando se han soltado 100
√
2 metros de cuerda”, pues acá lo que
están diciendo en verdad es que existe un tiempo t∗ tal que x(t∗) = 100
√
2, aśı lo que
nosotros calculamos fue θ′(t∗) = − 1
100
También es importante en este tipo de ejercicios analizar los resultados para entender
si lo que se hizo está bien o no. En este caso nos dió que la tasa de cambio ı́nstantánea
del ángulo era negativa, lo que es intuitivamente correcto, ya que mientras más se aleja
el volant́ın, más chico es el ángulo que se forma con la horizontal
Lo último: alguien preguntó en la ayudant́ıa si la tasa de cambio del ángulo era también
constante dado que la de x era y yo le dije que śı, y les expliqué intuitivamente por
qué. Esto es falso. No se que hice para que me creyeran, pero no es aśı. Una explicación
intuitiva para esto podŕıa ser que el ángulo depende de la proporción entre los catetos
del triángulo que se forma en el dibujo, y ésta depende de x de manera no lineal debido
al teorema de pitágoras. Esto se ve claramente en la fórmula pues θ(t) = sin
2 θ
50
, y aśı la
tasa de cambio o velocidad con que cambia el ángulo no es constante si θ no lo es. Les
pido disculpas por esto. Si se le ve el lado bueno, sirve de ejemplo sobre cómo a veces
la intuición es engañosa en estas cosas, y sirve apoyarse en el modelo matemático, por
chico que sea.
4