Ayudanta 4 - Valenzuela

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
03 de Abril de 2012
MAT1610-1
Ayudant́ıa 4: Ĺımites de Funciones y Continuidad
Guillermo Valenzuela Gallegos - gevalenz@uc.cl
1. Sea f una función continua en a, con f(a) > 0. Demostrar que existe δ > 0 tal que
f(x) > 0 para todo x que satisface |x−a| < δ. Análogamente, demostrar que si f(a) < 0,
entonces existe un número δ > 0 tal que f(x) < 0 para todo x que satisface |x−a| < δ.
2. a) Suponga que f es una función que satisface |f(x)| ≤ |x| para todo x. Demostrar
que f es continua en 0.
b) Sea g una función continua en 0, con g(0) = 0, y |f(x)| ≤ |g(x)|. Demostrar que
f es continua en 0.
3. Demuestre que la función sin(x) es continua en R.
4. Sea f una función definida por
f(x) =
sinx
x2 − x
.
a) Encuentre los puntos para los cuales f no está definida.
b) ¿Es posible definir f en los puntos encontrados en a) de tal forma que sea continua
en dichos puntos?
1
5. ¿Para qué valores de a y b es
f(x) =

sin(ax)
x
si x < 0
x3 − 1
x2 + x− 2
si 0 ≤ x < 1
1 si x = 1
x2 + bx− x− b
x− 1
si 1 < x
continua en todo R?
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Soluciones
1. Caso f(a) > 0 : Como f es continua en a, entonces para todo � > 0 existe δ > 0 tal que,
para todo x, si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < �. Puesto que f(a) > 0, podemos
tomar � = f(a). Aśı, existe δ > 0 tal que si |x− a| < δ entonces |f(x)− f(a)| < f(a).
Luego, se tiene que:
−f(a) < f(x)− f(a) < f(a).
Sumando f(a), se tiene que :
0 < f(x) < 2f(a).
Luego, f(x) > 0 para |x− a| < δ.
Caso f(a) < 0 : Como f es continua en a, entonces para todo � > 0 existe δ > 0 tal que,
para todo x, si |x− a| < δ, entonces |f(x)− f(a)| < �. Puesto que f(a) < 0, podemos
tomar � = −f(a). Aśı, existe δ > 0 tal que si |x−a| < δ entonces |f(x)−f(a)| < −f(a).
Luego, se tiene que:
f(a) < f(x)− f(a) < −f(a).
Sumando f(a), se tiene que :
2f(a) < f(x) < 0.
Luego, f(x) < 0 para |x− a| < δ.
2. a) Notemos que, como 0 ≤ |f(x)| ≤ |x|, entonces se tiene que ĺım
x→0
|f(x)| ≤ ĺım
x→0
|x|.
Luego, ĺım
x→0
f(x) = 0.
Además, notemos que, dado � > 0 existe δ > 0, en particular δ = �, tal que si
|x− 0| < δ entonces
|f(x)| = |f(x)− 0| ≤ |x| = |x− 0| < δ = �.
Es decir,
|f(x)− 0| < �.
Esta es la definición de continuidad de f(x) en x = 0.
3
b) Como g(0) = 0 y g es continua en 0, entonces se tiene que ĺım
x→0
|f(x)| ≤ ĺım
x→0
g(x) = 0.
Luego, ĺım
x→0
|f(x)| = 0.
Además, dado � > 0 existe δ > 0, en particular δ = �, tal que si |x − 0| < δ,
entonces, por continuidad de la función g,
|f(x)| = |f(x)− 0| ≤ |g(x)| = |g(x)− 0| < �.
Es decir,
|f(x)− 0| < �.
Esta es la definición de continuidad de f(x) en x = 0.
3. Demostremos que f(x) = sin(x) es continua para cualquier α ∈ R:
|f(x)− f(α)| = | sinx− sinα|.
Usando prostaféresis, tenemos que la expresión anterior se puede escribir como:
| sinx− sinα| =
∣∣∣∣2 sin x− α2 cos x+ α2
∣∣∣∣ = 2 ∣∣∣∣sin x− α2
∣∣∣∣ ∣∣∣∣cos x+ α2
∣∣∣∣ .
Además, como | cos β| ≤ 1,∀β ∈ R, tenemos que:
2
∣∣∣∣sin x− α2
∣∣∣∣ ∣∣∣∣cos x+ α2
∣∣∣∣ ≤ 2 ∣∣∣∣sin x− α2
∣∣∣∣ .
Además, tenemos que
∣∣∣∣sin x− α2
∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣x− α2
∣∣∣∣. Luego,para |x − α| < δ, con δ > 0, se
tiene que:
|f(x)− f(α)| ≤ 2 |x− α|
2
< δ.
Aśı, para todo � > 0 basta tomar δ = � para que se tenga la continuidad en cualquier
α ∈ R. En efecto, de la desigualdad anterior tenemos que |f(x) − f(α)| < δ = � para
|x− α| < δ, con α ∈ R.
4
4. a) Tenemos que
f(x) =
sinx
x2 − x
=
sinx
x(x− 1)
.
Luego, los puntos de indeterminación de la función son x = 0 y x = 1.
b) Para clasificar el tipo de indeterminación, debemos analizar los ĺımites laterales
en cada punto.
Para x = 0: Notemos que
ĺım
x→0−
f(x) = ĺım
x→0−
sinx
x(x− 1)
= −1
ĺım
x→0+
f(x) = ĺım
x→0+
sinx
x(x− 1)
= −1
Como los ĺımites laterales son iguales, se tiene que la discontinuidad en x = 0
es una discontinuidad evitable, por lo que basta definir f(0) = −1 para que la
función sea continua en x = 0.
Para x = 1: Claramente los ĺımites laterales divergen, por lo que la discontinuidad
es esencial. Luego, no podemos redefinir la función en x = 1 para que sea continua.
5. Como cada rama es composición de funciones continuas bien definida en su intervalo
de definición, se tiene que cada rama es continua. Sólo se debe analizar lo que sucede
en los extremos de cada intervalo de definición, es decir, en los puntos en donde las ra-
mas se separan. De ese análisis podremos establecer condiciones para los valores de a y b.
Para x = 0: Tenemos que f(0) = 1
2
. Luego, para que la función sea continua en este
punto, necesitamos que los ĺımites laterales sean iguales al valor de la función:
ĺım
x→0−
f(x) = ĺım
x→0−
sin ax
x
= a
ĺım
x→0+
f(x) = ĺım
x→0+
x3 − 1
x2 + x− 2
= ĺım
x→0+
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1)(x+ 2)
=
1
2
Luego, se debe tener que a = 1
2
para tener continuidad en x = 0.
Para x = 1: Tenemos que f(1) = 1. Calculemos los ĺımites laterales:
ĺım
x→1−
f(x) = ĺım
x→0−
x3 − 1
x2 + x− 2
= ĺım
x→1−
(x− 1)(x2 + x+ 1)
(x− 1)(x+ 2)
= 1
5
ĺım
x→1+
f(x) = ĺım
x→1+
x2 + bx− x− b
x− 1
= ĺım
x→1+
(x− 1)(x+ b)
(x− 1)
= 1 + b
Luego, la condición es que 1 + b = 1, es decir, b = 0. Con esto, aseguramos continuidad
en x = 1.
Por lo tanto, para esos valores de a y b se tiene que la función es continua en todo x ∈ R.
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