Ayudanta interrog 1 - Valenzuela

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
12 de Abril de 2012
MAT1610-1
Ayudant́ıa Extra: Interrogación 1
Guillermo Valenzuela Gallegos - gevalenz@uc.cl
1. Sean a ∈ (0, 1) y {an}n∈N definida por a1 = a, an+1 = an(2− an).
a) Demostrar que an ∈ (0, 1).
b) Demostrar que an es convergente y calcular su ĺımite.
Hint: Puede que la siguiente desigualdad le sea de utilidad: x(2− x) ≤ 1,∀x ∈ R.
2. a) Calcule ĺım
x→∞
sin
(
tan
(
2
x
))
sin
(
1
x
) .
b) Determine todas las aśıntotas de f(x) =
x2 + |x|+ 1
x− |x|
.
3. a) Demuestre que, independiente del valor de α, la siguiente función no es continua
en x = 0:
f(x) =

sin2(x)+2 cos(x)−2
−x4 cos(x) si
−1
2
≤ x < 0
α si x = 0
1−cos(2(x−π))
sin(3(x−π)) si 0 < x <
1
2
b) Demuestre que si f : [a, b] −→ R es una función continua, entonces existe c ∈ [a, b]
tal que
f(c) =
f(a) + f(b)
2
.
4. a) Sea f una función derivable en x = a. Demuestre que f es continua en dicho punto.
b) Determine la recta tangente a la función f(x) = x3 − x en el punto (2, 6).
1
Soluciones
1. a) Demostremos por inducción. Por demostrar: ∀n ≥ 1, an ∈ (0, 1).
i) Caso base: n = 1, a1 = a ∈ (0, 1).
ii) Supongamos que an ∈ (0, 1) para algún n ∈ N. Por demostrar: an+1 ∈ (0, 1).
Notemos que, por hipótesis de inducción,
0 < an < 1 =⇒ −1 < −an < 0
=⇒ 0 < 1 < 2− an < 2
=⇒ 0 < an(2− an) = an+1
Además, usando la ayuda, tenemos que an+1 = an(2− an) < 1. Notemos que
la igualdad en la ayuda se produce sólo cuando x = 1. Pero an ∈ (0, 1) por
hipótesis. Luego, la desigualdad es estricta.
Juntando ambos hechos, se tiene que 0 < an+1 < 1, que es lo que se queŕıa
demostrar. Luego, se concluye que an ∈ (0, 1)∀n ∈ N.
b) Notemos que:
an+1 − an = an(2− an)− an
= an − a2n
= an (1− an)︸ ︷︷ ︸
>0
> 0.
Luego, la sucesión es creciente, y además es acotada superiormente. Luego, es
convergente. Sea L su ĺımite. Usando la definición recursiva y álgebra de ĺımites,
tenemos que:
L = L(2− L) =⇒ L = 2L− L2
=⇒ L2 − L = 0
=⇒ L(L− 1) = 0
=⇒ L = 0 ∨ L = 1
Pero, como an es creciente, se tiene que su ĺımite es L = 1.
2
2. a) Hacemos el cambio de variable y = 1
x
. Luego, si x → ∞, entonces y → 0. Con
esto, tenemos que:
ĺım
x→∞
sin(tan 2
x
)
sin 1
x
= ĺım
y→0
sin(tan(2y))
sin(y)
= ĺım
y→0
sin(tan(2y))
tan(2y)
tan(2y)
sin(y)
= ĺım
y→0
sin(tan(2y))
tan(2y)
sin(2y)
cos(2y)
1
sin(y)
2y
2y
= ĺım
y→0
sin(tan(2y))
tan(2y)︸ ︷︷ ︸
→1
sin(2y)
2y︸ ︷︷ ︸
→1
y
sin(y)︸ ︷︷ ︸
→1
2
cos(x)︸ ︷︷ ︸
→2
= 2.
b) Notemos que dom{f} = R−. Es obvio que dentro de este conjunto la función no
se indetermina. Sin embargo, como nos podemos acercar tanto como queramos a
x = 0 por la izquierda, y como x = 0 es un punto de indeterminación, podŕıa
existir una aśıntota vertical en dicho punto. Veamos qué sucede con el ĺımite:
ĺım
x→0−
f(x) = ĺım
x→0−
x2 + |x|+ 1
x− |x|
= ĺım
x→0−
x2 − x+ 1
2x
= −∞
Luego, como el ĺımite se indetermina, tenemos que x = 0 es una aśıntota vertical.
Como no hay más puntos de indeterminación, no buscamos más aśıntotas vertica-
les.
Veamos si existe una aśıntota oblicua (puede existir sólo una, pues la función
está definida sólo en la dirección −∞):
ĺım
x→−∞
f(x)
x
= ĺım
x→−∞
x2 + |x|+ 1
x− x|x|
= ĺım
x→−∞
x2 − x+ 1
2x2
=
1
2
Luego, hay aśıntota oblicua con m = 1
2
. Busquemos el ”n”:
n = ĺım
x→−∞
f(x)−mx = ĺım
x→−∞
x2 + |x|+ 1
x− |x|
− x
2
= ĺım
x→−∞
x2 − x+ 1
2x
− x
2
= ĺım
x→−∞
x2 − x+ 1− x2
2x
= ĺım
x→−∞
−x+ 1
2x
=
−1
2
Por lo tanto, la recta y = x
2
− 1
2
es aśıntota oblicua. No existen más aśıntotas.
3
3. a) Para que haya continuidad, los ĺımites laterales en el punto deben ser iguales al
valor de la función en el punto. Notemos que:
ĺım
x→0−
f(x) = ĺım
x→0−
sin2(x) + 2 cos(x)− 2
−x4 cos(x)
= ĺım
x→0−
1− cos2(x) + 2 cos(x)− 2
−x4 cos(x)
= ĺım
x→0−
cos2(x)− 2 cos(x) + 1
x4 cos(x)
= ĺım
x→0−
(1− cos(x))2
x4 cos(x)
= ĺım
x→0−
1− cos(x)
x2︸ ︷︷ ︸
→ 1
2
1− cos(x)
x2︸ ︷︷ ︸
→ 1
2
1
cos(x)︸ ︷︷ ︸
→1
=
1
4
ĺım
x→0+
f(x) = ĺım
x→0+
1− cos(2(x− π))
sin(3(x− π))
= ĺım
x→0+
1− cos(−2x)
sin(3− x)
= ĺım
x→0+
1− cos(2x)
− sin(3x)
= ĺım
x→0+
1− cos(2x)
− sin(3x)
2x
2x
3
3
= ĺım
x→0+
− 1− cos(2x)
2x︸ ︷︷ ︸
→0
3x
sin(3x)︸ ︷︷ ︸
→1
2
3
= 0
Luego, como los ĺımites laterales son diferentes, la función no será continua en
x = 0, independiente del valor de α.
b) Como f es continua y definida en un intervalo cerrado, entonces f alcanza un
máximo y un mı́nimo. Sean f(γ1) = mı́n f y f(γ2) = máx f en el intervalo [a, b].
Tenemos que:
f(γ1) ≤ f(a) ≤ f(γ2)
f(γ1) ≤ f(b) ≤ f(γ2)
Luego,
2f(γ1)
2
≤ f(a) + f(b)
2
≤ 2f(γ2)
2
.
Sea h(x) = f(x)− f(a)+f(b)
2
, que es continua en [a, b], pues f lo es. Tenemos que:
h(γ1) ≤ 0
h(γ2) ≥ 0
Luego, por el Teorema del Valor Intermedio, existe c ∈ [mı́n{γ1, γ2},máx{γ1, γ2}] ⊆
[a, b] tal que h(c) = 0, es decir:
f(c) =
f(a) + f(b)
2
.
4
4. a) Como f es diferenciable en x = a, tenemos que:
f ′(a) = ĺım
x→a
f(x)− f(a)
x− a
Luego, se deduce que existe f(a). Además,
ĺım
x→a
f(x) = ĺım
x→a
f(x)− f(a) + f(a) = ĺım
x→a
f(x)− f(a)
x− a︸ ︷︷ ︸
→f ′(a)
(x− a)︸ ︷︷ ︸
→0
+f(a) = f(a)
Luego, tenemos que ĺım
x→a
f(x) = f(a). Por lo tanto, se concluye que f es continua
en x = a.
b) Notamos que el punto pertenece a la función. Luego, śı tiene sentido calcular la
recta tangente en él. La recta tangente está dada por y = f ′(a)(x − a) + f(a).
Calculemos f ′(2):
f ′(2) = ĺım
h→0
f(2 + h)− f(2)
h
= ĺım
h→0
(2 + h)3 − (2 + h)− 23 + 2
h
= ĺım
h→0
23 + 12h+ 6h2 + h3 − 2− h− 8 + 2
h
= ĺım
h→0
h3 + 6h2 + 11h
h
= 11.
Además, f(2) = 6, por lo que la recta tangente es:
y = 4(x− 2) + 6 = 11x+ 6.
5