Prueba 1 2007 II

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
07/Septiembre/2007
MAT 210-E - Cálculo I
Interrogación 1
1. (a) Dadas las funciones g(x) = 2x + 1 y h(x) = 4x2 + 4x + 7 , determine la función
f tal que (f ◦ g) (x) = h(x) .
SOLUCIÓN:
f(x) = x2 + 6
(b) Si se lanza una pelota hacia arriba desde la parte superior de un edificio de 128
pies de alto con una velocidad inicial de 16 pies/seg, entonces la altura h arriba del
suelo después de t segundos será:
h(t) = 128 + 16 t− 16 t2
¿Durante que intervalo de tiempo estará la pelota por lo menos 32 pies arriba del suelo?
SOLUCIÓN:
Hay que resolver
128 + 16 t− 16 t2 ≥ 32
equivalente a
16t2 − 16t− 96 ≤ 0
equivalente a
t2 − t− 6 ≤ 0
equivalente a
(t− 3)(t + 2) ≤ 0
Luego, la respuesta es [0,3].
2. Calcule los siguientes ĺımites:
(a) lim
x→3
√
x + 13− 2
√
x + 1
x2 − 9
(b) lim
x→∞
(2x− 3)20 (3x + 2)30
(2x + 1)50
SOLUCIÓN:
(a) lim
x→3
√
x + 13− 2
√
x + 1
x2 − 9
= lim
x→3
√
x + 13− 2
√
x + 1
x2 − 9
√
x + 13 + 2
√
x + 1√
x + 13 + 2
√
x + 1
= lim
x→3
(x + 13)− 4(x + 1)
(x + 3)(x− 3)(
√
x + 13 + 2
√
x + 1)
= lim
x→3
−3x + 9
(x + 3)(x− 3)(
√
x + 13 + 2
√
x + 1)
= lim
x→3
−3(x− 3)
(x + 3)(x− 3)(
√
x + 13 + 2
√
x + 1)
= lim
x→3
−3
(x + 3)(
√
x + 13 + 2
√
x + 1)
= − 1
16
.
(b) lim
x→∞
(2x− 3)20 (3x + 2)30
(2x + 1)50
= lim
x→∞
(2x− 3)20 (3x + 2)30/(2x)50
(2x + 1)50/(2x)50
= lim
x→∞
(
1− 3
2x
)20 (
3
2
+
2
2x
)30
(
1 +
1
2x
)50
=
(
3
2
)30
3. Determine a , b ∈ R de modo que la función:
f(x) =

x2 , x ≤ c
ax + b , x > c
sea continua y derivable en x = c.
SOLUCIÓN:
Para la continuidad debe cumplirse
lim
x→c−
f(x) = lim
x→c+
f(x) = f(c)
Por la definición de f , se tiene lim
x→c−
f(x) = f(c) = c2 y lim
x→c+
f(x) = ac + b. Luego, debe
cumplirse
c2 = ac + b (∗)
.
Para que sea derivable en c, debe cumplirse 2c = a,
remplazando en (∗), b = −c2
4. Determine la ecuación de la recta L que es tangente al gráfico de y = f(x) = x3 y al
gráfico de y = g(x) = −1
x
.
SOLUCIÓN:
Para y = f(x) = x3 , la recta tangente en el punto (a, a3) tiene ecuación y = 3a2(x− a) + a3,
equivalente a y = 3a2x− 2a3 .
Para y = g(x) = − 1
x
, la recta tangente en el punto (b,− 1
b
) tiene ecuación y =
1
b2
(x−b)− 1
b
,
equivalente a y =
1
b2
x− 2
b
,
Luego, para que sea la recta L pedida debe cumplirse 3a2 =
1
b2
y −2a3 = − 2
b
.
Es decir, 3a2b2 = 1 y a3b = 1 (∗), lo que implica 3a2b2 = a3b, luego a = 3b, remplazan-
do en (*), 27b4 = 1,
es decir, b =
(
1
27
)1/4
ó b = −
(
1
27
)1/4
Hay DOS rectas L:
y = (27)1/2 x− 2(27)1/4 ,
y = (27)1/2 x + 2(27)1/4 .