Gua de Induccin y Sumatoria

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
GUIA DE INDUCCION Y SUMATORIA
Demuestre por inducción que para todo número natural n:
1. 2 + 5 + 8 + · · ·+ (3n− 1) = 1
2
n(3n + 1)
2. 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1 = 2n − 1
3. 1
1·3 +
1
3·5 +
1
5·7 + · · ·+ 1(2n−1)(2n+1) = n2n+1
4. a + ar + ar2 + · · ·+ arn−1 = a(1−rn)
1−r (r 6= 1)
5. 13 + 23 + 33 + · · ·+ n3 = [n(n+1)
2
]2
6. 1
4
− 1
42
+ 1
43
− · · ·+ (−1)n+1 1
4n
= 1
5
[1− 1
(−4)n ]
7. La suma de los ángulos interiores de un poĺıgono convexo de n lados es
(n− 2) · 180◦.
8. Los números de la forma:
(a) 32n − 1 son divisibles por 8
(b) 22n+1 − 9n2 + 3n− 2 son divisibles por 54
9. Demuestre que todo conjunto de n elementos tiene 2n subconjuntos.
10. Al intentar demostrar las siguientes proposiciones por inducción el
método fallaŕıa en una de sus partes. Señale dónde se produciŕıa la
falla y por qué:
(a) ∀n ∈ N : 4 + 8 + 12 + · · ·+ 4n = 3n2 − n + 2
(b) ∀n ∈ N : 2 + 4 + 6 + · · ·+ 2n = n2 + n + 2
(c) ∀n ∈ N la fórmula p(n) = n2 − n + 41 proporciona sólo números
primos.
1
11. Pruebe que:
(a) 6 divide a 5n3 + 7n
(b) 16 divide a 834n − 2 · 972n + 1
12. Pruebe que: a− b es un factor an − bn
13. Pruebe las siguientes propiedades de los números de Fibonacci definidos
por:
a1 = 1, a2 = 1, an+1 = an + an−1
(a) an+1 · an−1 − a2n = (−1)n
(b) an+m = am · an+1 + am−1 · an
(c) an y an+1 son primos relativos.
14. Si n > 2 pruebe que:
3
2
− 1
n
+
1
n2
<
1
12
+
1
22
+ · · ·+ 1
n2
< 2− 1
n
15. Demuestre que para todo n natural
1
n + 1
+
1
n + 2
+
1
n + 3
+ · · ·+ 1
2n
+
1
2n + 1
≤ 5
6
16. Conjeture fórmulas para las siguientes expresiones y pruébelas por in-
ducción:
(a) (1− x)(1 + x)(1 + x2)(1 + x22) · · · (1 + x2n)
(b) (1− 1
2
)(1− 1
3
)(1− 1
4
) · · · (1− 1
n+1
)
(c) 12 − 22 + 32 − · · ·+ (−1)n−1n2
(d) n2 − (n− 1)2 + (n− 2)2 − · · ·+ (−1)n−1
17. Sean a1, a2, a3 . . . definido por a1 = 1, a2 = 1
an+1 = an−1 + an (n ≥ 2)
Demostrar que ∀n ∈ N, an < (1+
√
5
2
)n
2
18. Se define u1 = 0 y un+1 = (1 + x)un − nx
Pruebe que un =
1
x
[1 + nx− (1 + x)n]
19. Pruebe que:
n(n + 1)(n + 2) . . . (n + p− 1) es divisible por p.
20. Pruebe que
8
3 · 5 −
12
5 · 7 +
16
7 · 9 − · · · hasta completar n términos es
igual a 1
3
+ (−1)n−1 1
2n+3
21. Calcule las siguientes sumatorias:
a)
n∑
k=1
k(k + 1)(k + 2) b)
n∑
k=4
(n + k)2
c)
n∑
k=1
k · 2k
(k + 2)!
= 1− 2
n+1
(n + 2)!
d)
n∑
k=1
k =
n(n + 1)
2
e)
n∑
k=1
k2 =
n(n + 1)(2n + 1)
6
f)
n∑
k=1
k3 =
[
n(n + 1)
2
]2
22. Escriba usando el śımbolo
∑
y calcule las sumatoria:
a) 1 + q + q2 + · · ·+ qn b) 1− 2 + 3− 4 + 5− . . . (n términos)
c) 4 + 18 + 48 + 100 + 180 + · · · (2n términos) d) 1 · 4 + 2 · 7 + 3 · 10 + · · ·+ 40 · 121
e) 1 + 8 + 27 + 64(n− 1 términos) f) 3 + 9 + 27 + 81 + . . .(100 términos)
23. Calcular:
a) 12 + 32 + 52 + · · ·+ 992 b) 213 + 223 + · · ·+ 503
c) 22 + 42 + 62 + · · ·+ (4n)2 d) 1 · 11 + 2 · 12 + 3 · 13 + · · ·+(n términos)
e) 12 + 2 · 22 + 32 + 2 · 42 + 52 si n es par y también si n es impar.
24. Calcular:
3
a)
n∑
i=1
i(i + 3) b)
n∑
i=1
i(i2 − 1) c)
p∑
i=1
(i + 1)3
d)
n∑
i=1
(n− i)(i− 1) e)
n∑
k=1
(3k2 − k) f)
n∑
k=1
(3n2 − n)
25. Calcular:
a)
n∑
k=1
1
k(k + 1)
b)
n∑
k=1
1
4k2 − 1
c)
n∑
k=2
1
(2k − 2)(2k + 10) d)
n∑
k=1
4
k(k + 1)(k + 2)
e)
n∑
i=1
1
(2i− 1)(2i + 1)(2i + 3) f)
n∑
i=1
1
(3i− 2)(3i + 1)
g)
m−1∑
k=0
1
(n + k)(n + k + 1)
h)
n∑
i=1
2i + 1
i2(i + 1)2
i)
n∑
k=2
k2
k2 − 1 j)
n∑
k=1
k3 + k2 + 1
k(k + 1)
26. Si
n∑
i=1
ui = 2n
2+3n para todo n natural, determine uk y calcule
k=2p∑
k=p
uk.
27. Aplicando
n∑
k=1
a ambos lados de la identidad: (k + 1)2 − k2 = 2k + 1
Calcular:
n∑
k=1
k
28. Aplicando la misma técnica del ejercicio anterior a la identidad (k +
1)3 − k3 = 3k2 + 3k + 1; calcular:
n∑
k=1
k2.
4
29. Demostrar que:
2n∑
k=1
(−1)k k2 =
n∑
k=1
(4k − 1)
30. Encuentre una fórmula para:
n∑
k=1
k · 2k
31. Calcular:
a)
j=10∑
j=1
k=n∑
k=1
(jk + j) b)
n∑
j=1
i=j∑
i=1
ai+j
c)
n∑
i=1
i∑
j=1
(
2j
3i
)
32. Demuestre por inducción que:
n∑
k=1
k∑
j=1
1
j
=
n∑
j=1
n + 1− j
j
33. Calcule la suma de los n primeros paréntesis:
(1) + (3 + 5 + 7) + (9 + 11 + 13 + 15 + 17) + · · ·
34. Calcule la suma de todos los números del siguiente cuadro
1
1 2
1 2 3
...
...
...
1 2 3 · · · n
5