Ayudanta 2 - JP Vigneaux

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Ayudant́ıa 2
Juan Pablo Vigneaux A.
20 de Agosto de 2009
1. Si |r| < 1, muestre que lim
n→∞
nrn = 0.
Respuesta
Si 0 < r < 1
⇒ 1 < 1
r
, s + 1 = 1r para algún s > 0.
⇒ rn = 1
(s + 1)n
(1 + s)n =
n∑
k=0
k!
(n− k)!n!s
k >
n(n− 1)s2
2
(Lo que surge de considerar sólo un término del desarrollo binomial.)
Entonces:
1
(s + 1)n
≤ 2
n(n− 1)s2
0 < nrn =
n
(1 + h)n
≤ n 2
n(n− 1)s2 =
2
n− 1
1
s2︸︷︷︸
cte.
Por acotamiento: nrn → 0 cuando n →∞.
(Para el caso −1 < r < 0, basta considerar la desigualdad: −n|r|n ≤ nrn ≤ n|r|n. El caso r = 0 es
trivial.)
2. Si |r| < 1, determine:
lim
n→∞
n∑
k=c
ark
Respuesta
n∑
k=c
ark = a
n∑
k=c
rk (1)
= a
n−c∑
k=0
rk+c (2)
= arc
n−c∑
k=0
rk (3)
= arc(
(1− rn+1−c)
1− r ) (4)
Y cuando n →∞, rn+1−c →∞ ya que |r| < 1. Por ende el ĺımite es:
arc
1− r
1
3. Calcule los siguientes ĺımites:
(a) lim
n→∞
√
n2 + 3n + 4−
√
n2 + 2
Respuesta
Hacemos:
(
√
n2 + 3n + 4−
√
n2 + 2)
√
n2 + 3n + 4 +
√
n2 + 2√
n2 + 3n + 4 +
√
n2 + 2
=
3n + 2√
n2 + 3n + 4 +
√
n2 + 2
Y aśı:
lim
n→∞
√
n2 + 3n + 4−
√
n2 + 2 = lim
n→∞
3n + 2√
n2 + 3n + 4 +
√
n2 + 2
(5)
= lim
n→∞
n(3 + 2n )
|n|︸︷︷︸
=n≥1
(
√
1 + 3n +
4
n2 +
√
1 + 2n2 )
(6)
= lim
n→∞
(3 + 2n )
(
√
1 + 3n +
4
n2 +
√
1 + 2n2 )
(7)
Como los términos del numerador y denominador convergen por separado, y además los del
denominador no se anulan ni tienden a cero, podemos considerar el cuociente de sus ĺımites, y
por lo tanto:
lim
n→∞
√
n2 + 3n + 4−
√
n2 + 2 =
3
2
(b) lim
n→∞
(1 + 12 + ... +
1
2n )
(1 + 13 + ... +
1
3n )
Respuesta
(1 + 12 + ... +
1
2n )
(1 + 13 + ... +
1
3n )
=
∑n
k=0
1
2k∑n
k=0
1
3k
y considerando la fórmula para una suma geométrica:
lim
n→∞
(1 + 12 + ... +
1
2n )
(1 + 13 + ... +
1
3n )
= = lim
n→∞
( 12 )
n+1−1
1/2−1
( 13 )
n+1−1
1/3−1
(8)
=
4
3
lim
n→∞
( 12 )
n+1 − 1
( 13 )
n+1 − 1 (9)
=
4
3
(10)
4. Considere la sucesión:
a1 =
√
6
a2 =
√
6
√
6
...
an+1 =
√
6 an
Demuestre que converge. Calcule el ĺımite.
Respuesta
2
No es dif́ıcil ver que todos los términos son menores que 6. (La demostración se deja al lector. Puede
suponer aN ≥ 6 para algún N, y llegar a absurdo.)
Además, como an > 0 podemos hacer el cuociente:
an+1
an
=
√
6an
an
=
√
6an
(an)2
=
√
6
an
> 1
⇒ an+1 > an
la desigualdad se desprende de que an < 6. La sucesión es creciente y acotada superiormente, por lo
tanto, converge. Sea M el ĺımite de la sucesión. De su definición por recurrencia, tomando ĺımite a
ambos lados (y porque sabemos que el ĺımite existe):
M =
√
6M ⇒ M = 0 ó M = 6
pero como el primer término es mayor que cero, y la sucesión es creciente, podemos descartar el cero.
Por ende, el ĺımite es 6.
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