Ayudanta 1 - Pato Peralta

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Ayudant́ıa I - Supremos, Ínfimos y Ĺımite de Sucesiones
Problemas que no se alcanzaron a resolver
Errores, consultas y sugerencias a pato.peralta@gmail.com
Problema 1
Considere dos conjuntos V,W ⊆ R, no vaćıos, que cumplen la relación:
∀x ∈ V,∀y ∈W, x+ y < 0
Demuestre que ambos conjuntos son acotados superiormente, y que
sup(V ) + sup(W ) ≤ 0
RESUELTO
Problema 2
Considere un conjunto A ⊆ R en que A = {x ≥ 0 : xn ≤ a} con a ∈ (0, 1].
Probar que A posee un supremo s, tal que sn ≥ a.
Hint: puede usar la siguiente propiedad
“Si b ≥ 0 es tal que bn < a, entonces existe c > b tal que bn < cn < a“
Sea A 6= 0, ya que tiene al menos un elemento, dado que por lo menos 0 ∈ A, ya que 0 = 0n ≤ a ∈ (0, 1].
Además, está acotado superiormente; tal cota puede ser 1, ya que
xn ≤ a ∈ (0, 1]
⇒ como A es un conjunto no vaćıo, que está acotado superiormente, EXISTE un supremo = S
Ahora, falta demostrar que
sn ≥ a
Se procederá a hacer esa demostración por contradicción.
Se ocupará el hint, naturalmente.
Supongamos que sn < a
Según nuestro hint, existe un c > s tal que
sn < cn < a
Sin embargo, esto es una contradicción. Miremos la parte derecha de la desigualdad, que nos dice
cn < a
De esto, se podŕıa desprender que c ∈ A (ver cómo está definido el conjunto)
Sin embargo, también, el hint nos dećıa que este número c, es tal que
c > s
1
O sea, se encontró un número perteneciente a A que es más grande que el supremo, lo que
naturalmente es una contradicción.
Problema 3
Sea an la sucesión definida por
a1 = 3
an =
√
2 + an−1
Demuestre que an es convergente y luego calcule su ĺımite.
RESUELTO
Problema 4
Considere la sucesión Pn, con n ∈ N definida por
Pn+1 =
bPn
a+ Pn
con P0 > 0, a, b ∈ R.
1. Demuestre que si Pn converge, entonces su ĺımite es ya sea 0 o b− a.
2. Pruebe que si a > b, entonces Pn es decreciente y converge a 0.
3. Suponga ahora que a < b y 0 < P0 < b− a. Pruebe que 0 < Pn < b− a, ∀n, y que Pn es creciente.
Determine ĺımn→∞ Pn
RESUELTO
Problema 5
Calcule los siguientes ĺımites:
1. ĺım
n→∞
2n4 + 3n2 + 1
5n4 − n3 + n− 1
RESUELTO
2. ĺım
n→∞
(
√
n+ 1−
√
n)
√
n+ 1/2
Estos ejercicios se hacen todos de la misma manera.
En principio, se tiene algo como
∞(∞−∞)
Aśı que el ĺımite de esto no es tan trivial. Lo que se procede a hacer es multiplicar por el conjugado arriba y
abajo.
En otras palabras...
ĺım
n→∞
(
√
n+ 1−
√
n) ·
√
n+ 1/2 · (
√
n+ 1 +
√
n)
(
√
n+ 1 +
√
n)
Va quedando...
ĺım
n→∞
(n+ 1− n)
√
n+ 1/2√
n+ 1 +
√
n
2
Ahora, factorizamos por
√
n y nos queda
ĺım
n→∞
√
n(
√
1 + 1/(2n))
√
n(
√
1 + 1/n+ 1)
Simplifcamos los
√
n, y nos queda el ĺımite de forma fácil.
Todo lo dividido por alguna potencia de n se va a 0, y queda
ĺım
n→∞
(
√
1 + 1/(2n))
(
√
1 + 1/n+ 1)
=
1
1 + 1
=
1
2
3. ĺım
n→∞
2n+1 + 3n+1
2n + 3n
Para hacer este ejercicio, nos preguntamos
¿Cómo hacer que varias cosas de las fracciones se vayan a 0?
Naturalmente, lo que se hace acá es dividir todo por el número más grande que está elevado en
la fracción. Claramente, dividiremos arriba y abajo por 3n
Hacemos eso entonces
ĺım
n→∞
(2n+1 + 3n+1)
(2n + 3n)
· 1/3
n
1/3n
Quedamos con
ĺım
n→∞
((2/3)n · 2 + (3/3)n · 3)
((2/3)n + (3/3)n)
Cuando tomemos el ĺımite, los (2/3)n se irán a 0.
Entonces, el ĺımite queda
ĺım
n→∞
((2/3)n · 2 + (3/3)n · 3)
((2/3)n + (3/3)n)
= 3
4. ĺım
n→∞
n( 3
√
27 + 1/n− 3)
Este ĺımite nuevamente presenta un caso parecido al anterior del número 5.2.
Sin embargo, esta vez no multiplicamos por el conjugado, ya que queremos deshacernos
de la ráız cúbica
Recordamos que
x3 − y3 = (x− y)(x2 + xy + y2)
3
Y pensamos que si hacemos
x = 3
√
27 + 1/n
y
y = 3
Nos podremos deshacer de la ráız cúbica que tanto nos molesta, si multiplicamos arriba y abajo
por (x2 + xy + y2) De esta forma, nos desharemos de la ráız cúbica, producto de la factorización cúbica
Entonces
ĺım
n→∞
n( 3
√
27 + 1/n− 3) ·
( 3
√
27 + 1/n)2 + 3
√
27 + 1/n · 3 + 32
( 3
√
27 + 1/n)2 + 3
√
27 + 1/n · 3 + 32
Desarrollando, queda
ĺım
n→∞
n · (27 + 1/n− 27)
( 3
√
27 + 1/n)2 + 3
√
27 + 1/n · 3 + 32
Se van los 27, y el n que multiplica en el numerador, multiplicado por el 1/n que nos quedó en el numerador
nos deja con...
ĺım
n→∞
1
( 3
√
27 + 1/n)2 + 3
√
27 + 1/n · 3 + 32
Y como se va todo lo que es 1/n, termina quedando
ĺım
n→∞
1
( 3
√
27 + 1/n)2 + 3
√
27 + 1/n · 3 + 32
=
1
27
5. Determinar L,α, β ∈ R tal que:
ĺımn→∞ n(
√
n2 + n+ 1− (αn+ β)) = L
Sabiendo que L EXISTE
RESUELTO
6. ĺım
n→∞
2nsin2(n)
n!
RESUELTO
4