Ayudanta 2a - Pato Peralta

Vista previa del material en texto

Ayudant́ıa 2 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Resuelva
Sea α, β ∈ R;, tales que α+ 2β = 4
Determinar α, β tales que
ĺım
n→∞
(
2n+ 5
2n− 3
)αn
= ĺım
n→∞
(
n2 + 1
n2 − n
)βn
Para determinar este ĺımite, intentamos a que cada uno de los lados se parezca al ĺımite de una exponencial.
Partimos por la izquierda. Se tiene
ĺım
n→∞
(
2n+ 5
2n− 3
)αn
Sumamos cero, y va quedando...
ĺım
n→∞
(
2n− 3 + 8
2n− 3
)αn
O sea...
ĺım
n→∞
(
8
2n− 3
+ 1
)αn
En otras palabras, tenemos
ĺım
n→∞
(
1
2n−3
8
+ 1
)αn
Y casi tenemos la exponencial: solo nos falta arreglar el exponente. Multiplicamos por 1.
ĺım
n→∞
(
1
2n−3
8
+ 1
)( 2n−38 )αn( 82n−3 )
Ahora es la parte complicada. No se puede llegar y tomar ĺımite adentro del paréntesis y después fuera del paréntesis. No es
formalmente correcto hacer
ĺım
n→∞
(
1
2n−3
8
+ 1
)( 2n−38 )ĺımn→∞ αn( 82n−3 )
Y tomar ĺımites arriba y abajo. EN ESTE CASO, FUNCIONA, pero este caso es muy particular.
Lo correcto es componer lo que tenemos por la exponencial y el logaritmo natural.
Recordamos que eln(x) = x
1
ĺım
n→∞
e
ln
( 1
2n−3
8
+1
)( 2n−3
8
)αn( 8
2n−3 )

Nótese que el ARGUMENTO del logaritmo es lo que está elevado. E
Ahora, como la función exponencial es cont́ınua, se porta bien, y etc, podemos meter el ĺımite dentro de la potencia de la
exponencial.
e
ĺımn→∞ ln
( 1
2n−3
8
+1
)( 2n−3
8
)αn( 8
2n−3 )

Ahora toca bajar uno de las potencias del argumento del logaritmo. Recordamos que
ln(ab) = b · ln(a)
Quedamos con.
e
ĺımn→∞ (
8αn
2n−3 )·ln
( 1
2n−3
8
+1
)( 2n−3
8
)

Ahora es cuando FORMALMENTE podemos tomar el ĺımite; ĺımite del producto de hecho.
Quedamos con
e4α·ln(e) = e4α
Ahora, hacemos lo mismo con la parte derecha de la igualdad: calcular su ĺımite.
Sumamos 0.
ĺım
n→∞
(
n2 − n+ n+ 1
n2 − n
)βn
ĺım
n→∞
(
n+ 1
n2 − n
+ 1
)βn
ĺım
n→∞
(
1
n2−n
n+1
+ 1
)αn
ĺım
n→∞
(
1
n2−n
n+1
+ 1
)(n2−nn+1 )βn( n+1n2−n )
Componemos la exponencial nuevamente, y pasamos el ĺımite hacia la potencia
e
ĺımn→∞ ln
( 1
n2−n
n+1
+1
)(n2−n
n+1
)βn( n+1
n2−n
)

2
e
ĺımn→∞
(
(n+1)(βn)
n2−n
)
·ln
( 1
n2−n
n+1
+1
)(n2−n
n+1
)

Que es igual a
eβ
Entonces ahora igualamos lo que obtuvimos de ambos ĺımites
e4α = eβ =⇒ 4α = β
Insertamos esta ecuación en α+ 2β = 4 Y obtenemos que
α = 4/9, β = 16/9
2. Determine
ĺım
x→0
ln(1 + x)
cos(π2 (1− x))
Resuelto en Ayudant́ıa
Respuesta: 2π
3. Determine, con a, b ∈ R+
ĺım
x→0
√
x2 + a2 − a√
x2 + b2 − b
Resuelto en Ayudant́ıa
Respuesta: ba
4. Determine
ĺım
x→0
√
1 + sen(x)−
√
1− tg(x)
sen(2x)
Respuesta: 1/2
Resuelto en Ayudant́ıa
5. Determine
ĺım
x→
√
2
e2x
2+x−1 − ex2+x+1
x2 − 2
Respuesta: e
√
2+3
3
Resuelto en Ayudant́ıa
6. Determine
ĺım
x→0
sin(αx)sin(βx)
xsin(γx)
con γ 6= 0
Resuelto en Ayudant́ıa
Respuesta: αβγ
7. Determine p ∈ R de modo que
ĺım
x→p
x2 − |x− p| − p2
|x− p|
EXISTA
Resuelto en Ayudant́ıa
Respuesta: p = 0
Respuesta: si p = 4→ L = 1/2; si p < 4→ L = 0; si p > 4, L no existe.
8. Calcule el ĺımite
ĺım
x→0
√
2−
√
1 + cos(x)
sin2(x)
Resuelto en ayudant́ıa
Respuesta: 1
4
√
2
4