Ayudanta 3a - Pato Peralta

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Ayudant́ıa 3 MAT1610 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Determine cómo se comporta el ĺımite según p ∈ R
ĺım
x→0
sin(1− cos(sin2(x)))
xp
Respuesta: si p = 4→ L = 1/2; si p < 4→ L = 0;
si p > 4, L no existe.
Resuelto en Ayudant́ıa
2. Determine el ĺımite
ĺım
x→1
x
1
1−x
Hacemos el cambio de variable 1− x = u, y equivalentemente, u→ 0. Queda que
ĺım
u→0
(1− u)1/u
Ahora, para que todo se vea más claro, hacemos el cambio de variable y = 1/u. Por esto mismo, y →∞
ĺım
y→∞
(
1 +
(−1)
y
)y
Ahora es cuando es necesario saber bien el ĺımite notable de e
Se cumple que
ĺım
n→∞
(
1 +
k
n
)n
= ek
De aqúı, se obtiene que
ĺım
y→∞
(
1 +
(−1)
y
)y
= e−1
Resuelto en Ayudant́ıa
3. Calcule
ĺım
x→0
(cosx+ sinx)
1
x
Respuesta : e
Resuelto en Ayudant́ıa
1
4. Dada la función
f(x)

1−x
1−
√
x
si x > 1
2 si x = 1
(α+ 2)x− α si x < 1
Encuentre α de modo que EXISTA
ĺım
x→1
f(x)− f(1)
x− 1
Para que el ĺımite exista, los ĺımites laterales deben ser los mismos.
Primero, calculamos el ĺımite con x→ 1+
ĺım
x→1+
1−x
1−
√
x
− 2
x− 1
Con un poco de algebrita, llegamos a que
ĺım
x→1+
−x+ 2
√
x− 1
(1−
√
x)(x− 1)
Factorizamos, y quedamos con que
ĺım
x→1+
−(
√
x− 1)(
√
x− 1)
(1−
√
x)(x− 1)
Simplificamos, y va quedando
ĺım
x→1+
(
√
x− 1)
(x− 1)
Factorizamos lo de abajo, y queda
ĺım
x→1+
(
√
x− 1)
(
√
x− 1)(
√
x+ 1)
Simplificamos y calculamos el ĺımite
ĺım
x→1+
1
(
√
x+ 1)
= 1/2
Ahora calculamos el ĺımite cuando x→ 1−
Tenemos
ĺım
x→1−
(α+ 2)x− α− 2
x− 1
O sea
ĺım
x→1−
(α+ 2)(x− 1)
x− 1
Simplificamos y sacamos el ĺımite
2
ĺım
x→1−
α+ 2 = α+ 2
Ahora para que los ĺımites existan, estos son deben ser iguales.
α+ 2 = 1/2 =⇒ α = −3/2
5. Calcule el ĺımite
ĺım
x→π/2
(
x
cot(x)
− π
2cos(x)
)
Transformamos la cotangente en tangente, y operamos sacamos denominador común
ĺım
x→π/2
(
xsin(x)
cos(x)
− π
2cos(x)
)
ĺım
x→π/2
2xsin(x)− π
2cos(x)
Ahora, hacemos el cambio de variable u = x− π/2, que implica u→ 0
ĺım
u→0
2(u+ π/2) · sin(u+ π/2)− π
2cos(u+ π/2)
Recordamos que sin(u+ π/2) = cos(u) y que cos(u+ π/2) = −sin(u) y reemplazamos
ĺım
u→0
2(u+ π/2) · cos(u)− π
−2sin(u)
Un poco de algebrita y tenemos
ĺım
u→0
ucos(u)
−sin(u)
+
π
2
· (1− cos(u))
sin(u)
Multiplicamos arriba y abajo por 1 + cos(u) en la fracción derecha.
ĺım
u→0
ucos(u)
−sin(u)
+
π
2
· (1− cos
2(u))
sin(u) · (1 + cos(u))
Aśı, tenemos
ĺım
u→0
ucos(u)
−sin(u)
+
π
2
· (sin
2(u))
sin(u) · (1 + cos(u))
Y se va el seno del denominador que tanto molestaba
ĺım
u→0
ucos(u)
−sin(u)
+
π
2
· (sin(u))
(1 + cos(u))
3
Ahora podemos evaluar el ĺımite que finalmente queda
ĺım
u→0
ucos(u)
−sin(u)
+
π
2
· (sin(u))
(1 + cos(u))
= −1 · 1 + π
2
· 0 · 1
1 + 1
= −1
Repaso Sucesiones
6. Determine
ĺım
n→∞
n3
n!
Respuesta = 0
Resuelto en Ayudant́ıa
7. Determine, con n ∈ N
ĺım
x→∞
(x+ 1)(x2 + 1)...(xn + 1)√
(nxn + 1)n+1
Respuesta = 1√
nn+1
Resuelto en Ayudant́ıa
8. Considere la siguiente sucesión
an+1 =
an
2
·
(
1 + an−1
2)
Con a0, a1 ∈ (0, 1)
Demuestre que ∀n ∈ N se tiene que an ∈ (0, 1)
Demuestre que se trata de una sucesión convergente
Calcule el ĺımite
Respuesta: Es decreciente, y L = 0
Resuelto en Ayudant́ıa
9. Determine
ĺım
n→∞
(√
n
n+ 1
)2−n
4
Reescribimos el ĺımite como
ĺım
n→∞
(
n
n+ 1
) 2−n
2
Mejor dicho...
ĺım
n→∞
(
n
n+ 1
)1−n/2
Lo separamos un poco. Va quedando
ĺım
n→∞
(
n
n+ 1
)
·
(
n+ 1
n
)n/2
Vemos que el paréntesis de la derecha se va pareciendo a una exponencial
ĺım
n→∞
(
n
n+ 1
)
·
((
1 +
1
n
)n)1/2
Tomando el ĺımite queda 1 · e1/2 =
√
e
10. Determine si existe
ĺım
x→∞
[x
a
]
·
(
b
x
)
Con a ∈ R+
Cuando estamos hablando de la parte entera positiva, con x positivos, se cumple la siguiente desigualdad
x
a
− 1 <
[x
a
]
<
x
a
Multiplicamos por bx toda esa desigualdad.
x
a
· b
x
− b
x
<
[x
a
]
· b
x
<
x
a
· b
x
Ahora, tomamos ĺımite a la desigualdad, con x→∞
b
a
<
[x
a
]
· b
x
<
b
a
Entonces, por teorema del Sandwich, el ĺımite es b/a
5