Ayudanta 6b - Pato Peralta

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Ayudant́ıa 6 - Patricio Peralta - pato.peralta@gmail.com
1. Halle todos los valores del parámetro a para los cuales la función
f(x) =
{
a2x si x ≤ 2
x2 − 3x+ 2− 2a · |a| si x > 2
Sea derivable en todo su dominio.
Respuesta: a = −1
Resuelto en Ayudant́ıa •
2. Determine A,B ∈ R de modo que f(x) sea derivable en x = 0
f(x) =
{
ex5 +
√
π
17 x
2 + 6 si x < 0
A cos(x) sin(πx) +B(x+ 1) si x ≥ 0
Respuesta: B = 6, A = −6
π
Resuelto en Ayudant́ıa •
3. Calcule la derivada de las siguientes funciones
a)f(x) =
(
x cos(x)
x3 + 4
)1/5
Derivamos lo de afuera, y dejamos por derivar lo de adentro. Después usamos regla del producto y del cuociente.
f(x)′ =
1
5
·
(
x cos(x)
x3 + 4
)−4/5
·
(
x cos(x)
x3 + 4
)′
=
1
5
·
(
x cos(x)
x3 + 4
)−4/5
·
(
(cos(x)− x sin(x))(x3 + 4)− 3x3 cos(x)
(x3 + 4)2
)
•
b)f(x) = ln(ex
2
· 3
√
x2 + x)
Usamos propiedades de logaritmo para separar lo que tenemos.
f(x) = x2 ln(e) +
1
3
ln(x2 + x) −→ f(x)′ = 2x+ 1
3
· 1
x2 + x
· (2x+ 1) = 2x+ 1
3
· 2x+ 1
x2 + x
El ejercicio puede ser fácilmente resuelto empleando derivación logaŕıtmica. •
c)f(x) = sin(sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))
1
Este ejercicio pone a prueba lo que uno entiende por regla de la cadena. Se parte derivando lo que está afuera, para posteri-
ormente ir derivando lo que va quedando adentro. Entonces...
Damos cuenta de que sin(x)′ = cos(x)
f(x)′ = cos((sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))) · (sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))′
Ahora, como sec(x)′ = tan(x) · sec(x) (probar usando regla del cuociente)
f(x)′ = cos((sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))) · (sec(tan(x2 + 7 cos(x))4)) · (tan(tan(x2 + 7 cos(x))4)) · (tan(x2 + 7 cos(x))4)′
Ahora, dado que tenemos que derivar una tangente, recordamos que tan(x)′ = sec2(x)
f(x)′ = cos((sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))) · (sec(tan(x2 + 7 cos(x))4)) · (tan(tan(x2 + 7 cos(x))4)) · (sec2(x)(x2 + 7 cos(x))4)
·((x2 + 7 cos(x))4)′
La derivación del último polinomio es trivial; aśı, la respuesta final es
f(x)′ = cos((sec(tan(x2 + 7 cos(x))4))) · (sec(tan(x2 + 7 cos(x))4)) · (tan(tan(x2 + 7 cos(x))4)) · (sec2(x)(x2 + 7 cos(x))4)
4(x2 + 7 cos(x))3 · (2x− 7 sin(x))
•
d)f(x) = 2x
2+cos(x)
En vez de hacer derivación logaŕıtmica, componemos la función usando otras funciones cont́ınuas
f(x) = eln(2
x2+cos(x)) = e(x
2+cos(x)) ln(2)
Derivamos, teniendo en cuenta que nos aparecerá ln(2) como constante.
f(x)′ = e(x
2+cos(x)) ln(2) · (2x− sin(x)) ln(2) = (2x
2+cos(x)) · (2x− sin(x)) ln(2)
•
4. Calcule la n-ésima derivada de la función y =
4
4x2 − 1
Respuesta: f (n)(x) = (−1)n · 2n! · (2x − 1)−n−1 · 2n + (−1)n+1 · 2n!(2x + 1)−n−1 · 2n
Resuelto en Ayudant́ıa •
2
5. Sea f : R→ R una función definida por
f(x) =
{
2− 2x− x3 si x > 0
x2 + 3x+ 2 si x ≤ 0
Demuestre que la ecuación tiene solo una ráız en el intervalo ] −1, 1[
Nos damos cuenta que tenemos una función definida por partes. Es trivial darse cuenta que es cont́ınua en todo el dominio
entregado; el único punto de conflicto es x = 0, pero aún ah́ı la función es cont́ınua.
Por esto mismo, y dado que tenemos un polinomio, podemos asegurar que la función es derivable en todo el dominio, con
excepción de x = 0, punto en el cuál no sabemos sobre la diferenciabilidad de la función.
Por estas razones, podemos aplicar T.V.M. en cada una de las ramas por separado, excluyendo el punto x = 0 donde a priori
no sabemos qué pasa.
Entonces...
f(x)′ =
{
−2− 3x2 si x > 0
2x+ 3 si x < 0
Ahora, analizamos ramas por separado.
Si nos fijamos en el intervalo x ∈ ]0, 1[ , tenemos que ĺımx→1− f(x) = −1 y ĺımx→0+ f(x) = 2. Esto significa que en este
intervalo, hubo por lo menos una ráız. Por otra parte, es de notar que en este intervalo, f(x)′ < 0, por lo que la función
sólo puede haber cruzado UNA vez el eje.
Por otra parte, en la rama x ∈ ]−1, 0[ , ĺımx→0− f(x) = 2 y ĺımx→−1+ f(x) = 0, y como en esta rama f(x)′ > 0, podemos
afirmar que la función nunca cruzó en este tramo el eje x.
Aśı, afirmamos que en el dominio pedido, f(x) tiene solo una ráız. •
6. Sea f ∈ R una función par e infinitamente derivable. Demuestre que f (2n−1)(0) = 0,∀n ∈ N
Resuelto en Ayudant́ıa •
7. Determine si f(x) = sin(x [x]) es derivable en x = 0
Nos fijamos en la definición de derivada, acercándonos a 0.
ĺım
x→0
f(x)− f(0)
x
Este ĺımite no es tan trivial: para que exista, los ĺımites laterales tienen que existir y ser iguales.
ĺım
x→0−
f(x)− f(0)
x
= ĺım
x→0−
sin([x]x)− 0
x
Notamos que la parte entera se transforma en −1, por lo que el ĺımite se pareceŕıa a...
ĺım
x→0−
sin(−x)− 0
x
= −1
3
Ahora, si tomamos el ĺımite por la derecha...
ĺım
x→0+
f(x)− f(0)
x
= ĺım
x→0+
sin([x]x)− 0
x
La parte entera se nos va a 0. O sea...
ĺım
x→0+
sin(0)− 0
x
= 0
Como los ĺımites son distintos, el ĺımite no existe, ergo la función no es derivable. •
8. Si la función g(x) = xf(x) es derivable en x0 6= 0, con g′(x0) = l y f(x) es cont́ınua en x0, demuestre que f tiene derivada en
x0
Si g′(x0) existe, entonces
g′(x0) = ĺım
x→x0
g(x)− g(x0)
x− x0
= l
Ahora, intentamos calcular f ′(x0)
f ′(x0) = ĺım
x→x0
f(x)− f(x0)
x− x0
= ĺım
x→x0
x · x0 · f(x)− x · x0(x0)
x · x0 · (x− x0)
Sumamos 0
f ′(x0) = ĺım
x→x0
x · x0 · f(x)− x · x0(x0) + x2 · f(x)− x2 · f(x)
x · x0 · (x− x0)
= ĺım
x→x0
x·f(x)·(x0 − x) + x · (f(x) · x− f(x0)·x0)
x · x0 · (x− x0)
Separamos este ĺımite y vamos simplificando de forma jedi, fijándonos en la derivada de g en x0.
f ′(x0) = ĺım
x→x0
0
−f(x)
x0
+
1
x0
· x · f(x)− x0 · f(x0)
x− x0
=
1
x0
(−f(x0) + l)
•
4