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10 Inferencia MRL Parte 2

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Econometŕıa I – EAE-250A
Más Inferencia en el MRL
Jaime Casassus
Instituto de Econoḿıa
Pontificia Universidad Católica de Chile
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 1 / 29
Tabla de Contenidos
1 Test de hipótesis sobre un parámetro
2 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
3 Modelo restringido
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 2 / 29
Test de hipótesis sobre un parámetro individual
• Suponga que quiere testear si el coeficiente que acompaña a xj es
significativamente distinto al valor aj . Es decir:
H0 : βj = aj
H1 : βj 6= aj
• Para el caso particular de aj = 0, el test busca determinar si la variable xj es
significativa o relevante para el modelo. Si se rechaza H0, entonces xj es
estad́ısticamente significativa.
• Recuerde que aunque el estimador sea insesgado se puede encontrar que
β̂j 6= aj sin rechazar la hipótesis nula βj = aj . ¿Por qué?
• Para el test se usa el siguiente estad́ıstico t construido bajo la hipótesis nula
tβ̂j =
β̂j − aj
s.e.(β̂j)
∼ tn−k−1
• tβ̂j mide en cuántas desviaciones estándar estimadas de β̂j , se aleja β̂j de aj .
Valores de tβ̂j alejados de cero son evidencia en contra de la hipótesis nula.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 3 / 29
Test de hipótesis sobre un parámetro individual (cont.)
• Suponga que se fija la probabilidad de cometer error tipo I en α.
• Sea tα/2 el percentil 1− α2 de la distribución t-Student de n − k − 1 grados
de libertad.
• Si
∣∣∣ β̂j−aj
s.e.(β̂j )
∣∣∣ ≥ tα/2, se rechaza H0.
No se rechaza H0 Se rechaza H0
0
f
(
β̂j−aj
s.e.(β̂j )
)
= tn−k−1
α
2
α
2
Se rechaza H0
tα/2−tα/2
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 4 / 29
Test de hipótesis sobre un parámetro individual (cont.)
• El anterior corresponde a un test de dos colas.
• Un nivel de significancia del α = 5% es el valor más común.
• Esto significa que de todas las muestras aleatorias que se pueden tomar, en
un 5% de ellas se rechaza equivocadamente la hipótesis nula en favor de la
hipótesis alternativa.
• Si se rechaza H0 a un nivel de significancia de α, entonces inmediatamente
se rechaza para niveles de significancia más altos. Por ejemplo, si una
variable es significativa al 1%, entonces también lo es al 5%, al 10%, 20%,
etc.
• Recuerde que tn → N(0, 1) cuando n→∞. En la práctica, cuando los
grados de libertad del estad́ıstico t son más de 120 se suele aproximar la
distribución t-Student con la Normal y usar los valores cŕıticos de esta
distribución.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 5 / 29
Intervalos de confianza para un parámetro individual
•
∣∣∣ β̂j−βj
s.e.(β̂j )
∣∣∣ ≥ tα/2 es equivalente a decir que
P
(
−tα/2 ≤
β̂j − βj
s.e.(β̂j)
≤ tα/2
)
= 1− α
• Esto implica que el intervalo de confianza para βj es
β̂j − tα/2s.e.(β̂j) ≤ βj ≤ β̂j + tα/2s.e.(β̂j)
• Si βj no está en el intervalo, entonces se rechaza la hipótesis nula.
• Nuevamente, βj estaŕıa fuera del intervalo en α (%) de todas las
muestras aleatorias que se pueden tomar.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 6 / 29
Valor-p
• Distintos investigadores usan distintos niveles de α y concluyen de manera
diferente.
• El valor-p se define como
valor − p = P(|T | > |tβ̂j |)
donde, para el caso anterior, T es una variable t-Student de n − k − 1
grados de libertad y tβ̂j es el valor del estad́ıstico obtenido de la regresión.
• En otras palabras, el valor-p es el ḿınimo nivel de significancia α a partir del
cuál la hipótesis nula es rechazada.
• Por ejemplo, si se testea la hipótesis nula H0 : βj = 0 y se obtiene un valor-p
igual a 6.4%, se concluye que βj es significativo a un nivel de significancia
del 10%, pero no es significativamente distinto de cero a un nivel de
significancia del 5%.
• Valores-p pequeños son evidencia en contra de la hipótesis nula y valores-p
altos no proveen evidencia importante para rechazar la hipótesis nula.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 7 / 29
Ejemplo: Determinantes de notas de pregrado
• Considere el siguiente modelo para una muestra de 141 alumnos
colGPA = β0 + β1hsGPA + β2ACT + β3skipped + u
donde colGPA son las notas de pregrado, hsGPA son las notas de enseñanza
media, ACT es la prueba de admisión a la universidad y skipped el promedio
de clases que pierde por semana.
Table: ols colGPA const hsGPA ACT skipped
Variable Coefficient (Std. Err.)
hsGPA 0.412∗∗ (0.094)
ACT 0.015 (0.011)
skipped -0.083∗∗ (0.026)
Intercept 1.390∗∗ (0.332)
N 141
R2 0.234
F (3,137) 13.919
Significance levels : † : 10% ∗ : 5% ∗∗ : 1%
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 8 / 29
Ejemplo: Determinantes de notas de pregrado (cont.)
• Gretl ���������	���
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 ������5%,-6• ¿Por qué se asume que H1 : βj 6= 0?
• ¿Qué dice la intuición acerca de los signos de β1, β2 y β3?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 9 / 29
Tests de una cola
• Estos tests consideran una hipótesis alternativa del tipo
H1 : βj > aj o H1 : βj < aj
• Sin perder generalidad, suponga un test cuya hipótesis alternativa es
H1 : βj > aj
• Esto significa que no preocupan otras alternativas a H0 como βj < aj , por
ejemplo, porque la teoŕıa asegura βj ≥ aj .
• Alternativamente, equivale a pensar que se considera la siguiente hipótesis
nula
H0 : βj ≤ aj
• Valores negativos del estad́ıstico tβ̂j no representan evidencia en contra de la
hipótesis nula.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 10 / 29
Tests de una cola (cont.)
• Ejemplo: el valor cŕıtico para la distribución t-Student con n − k − 1 = 28
grados de libertad considerando un nivel de significancia del α = 5%, es
tα = 1.701.
• Esto significa que si el valor del estad́ıstico obtenido para una muestra en
particular es mayor a 1.701, se rechaza la hipótesis nula en favor de la
hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 5%.
• En el caso en que la hipótesis alternativa sea
H1 : βj < aj
se rechaza H0 en favor de H1 cuando tβ̂j < −tα, donde tα es el mismo valor
cŕıtico usado anteriormente. ¿Por qué?
• Para tests de una cola el valor-p correspondiente es la mitad del valor-p del
test de dos colas. ¿Por qué?
• En el ejemplo de notas de pregrado, ¿Cuál es el valor-p del parámetro que
acompaña a ACT considerando un test de una sola cola?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 11 / 29
Ejemplo: ecuación de salarios
• Considere el modelo
log(wage) = β0 + β1educ + β2exper + β3tenure + u
donde educ son años de educación, exper son años de experiencia y tenure
son años de permanencia en la firma.
Table: ols lwage const educ exper tenure
Variable Coefficient (Std. Err.)
educ 0.0920∗∗ (0.0073)
exper 0.0041∗ (0.0017)
tenure 0.0221∗∗ (0.0031)
Intercept 0.2844∗∗ (0.1042)
N 526
R2 0.316
F (3,522) 80.3909
Significance levels : † : 10% ∗ : 5% ∗∗ : 1%
• Gretl
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 12 / 29
Ejemplo: ecuación de salarios (cont.)
• Se busca testear si hay retornos positivos a la experiencia. ¿Cuáles son H0 y
H1?
• ¿Es consistente con H1 la significancia de β2 en la tabla anterior? ¿Porqué?
• En este caso hay n − k − 1 = 522 grados de libertad. Se puede usar los
valores cŕıticos de una Normal estándar. El valor cŕıtico a un nivel de
significancia del 5% es 1.645, y al 1% es 2.326.
• El estad́ıstico t es tβ̂2 =
0.0041
0.0017 ≈ 2.41 y por lo tanto se concluye que β2 es
estad́ısticamente significativo a un nivel de significancia del 1%.
• Sin embargo, el retorno estimado por un año más de experiencia,
manteniendo constante años de educación y de permanencia, no es muy
grande. Por ejemplo, tres años más de experiencia incrementan log(salario)
en 3(0.0041)=0.0123, es decir, el salario se ve incrementado en un 1.2%.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 13 / 29
Tabla de Contenidos
1 Test de hipótesis sobre un parámetro
2 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
3 Modelo restringido
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 14 / 29
Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
• Suponga que se busca testear la siguiente hipótesis
H0 : βp = βr = 0
H1 : βp 6= 0 ó βr 6= 0
• Bajo la hipótesis nula se sabe que
F̂ =
(R β̂)>(R(X>X )−1R>)−1(R β̂)/2
σ̂2
∼ F (2, n − k − 1)
donde σ̂2 = û
>û
n−k−1 (en este caso J = 2).
• Sea α el nivel de significancia, si F̂ > Fα se rechaza H0.
No se rechaza H0 Se rechaza H0
0
α
Fα
f (F̂ ) = F (2, n − k − 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 15 / 29
Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros (cont.)
• Cuando se rechaza la hipótesis nula se dice que xp y xr son conjuntamente
significativas al correspondiente nivel de significancia.
• En este caso, el test no dice cuál de las variables tiene un efecto significativo
en y . Puede ser una sola, varias o todas.
• El estad́ıstico F es muy útil para testear la exclusión de un grupo de
variables que están altamente correlacionadas. En este caso, la
multicolinealidad es mucho menos relevante en el estad́ıstico F que en los
test individuales de significancia.
• En general los grados de libertad del denominador del estad́ıstico F son
números grandes. Cuando son valores mayores a 120 la distribución F deja
de ser sensible a su valor. Por esta razón, las tablas que tabulan los valores
cŕıticos para una distribución F suelen tener una entrada con ∞ grados de
libertad para el denominador.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 16 / 29
Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball
• Se tiene el siguiente modelo para los salarios de los jugadores de baseball:
log(salary) = β0 + β1years + β2gamesyr + β3hrunsyr + β4rbisyr + u
donde years es el número de años en la liga, years el promedio de juegos
anuales, hrunsyr el número de home runs y rbisyr el número de corridas
gracias a su bateo.
• Se quiere testear que el rendimiento de los jugadores no influye en sus
salarios, es decir,
H0 : β3 = β4 = 0
H1 : β3 6= 0 ó β4 6= 0
• Gretl
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 17 / 29
Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball (cont.)
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�������0*����#�1• Los coeficientes para hrunsyr y rbisyr son positivos, sin embargo, no es
posible rechazar la insignificancia individual de cada uno de ellos (con
α = 5%).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 18 / 29
Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball (cont.)
• Test conjunto para H0 : β3 = β4 = 0���������	���
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• En este caso se rechaza H0 al 5% (incluso al 1% de significancia).
• Los grados de libertad del test F son J = 2 y n− k − 1 = 353− 4− 1 = 348.
• Matriz de correlación entre estimadores. estat vce, correlation
Correlation matrix of coefficients of regress model
 e(V) years gamesyr hrunsyr rbisyr _cons 
 years 1.0000 
 gamesyr -0.3035 1.0000 
 hrunsyr -0.0725 0.5838 1.0000 
 rbisyr 0.0538 -0.8169 -0.8860 1.0000 
 _cons -0.0814 -0.6941 -0.2508 0.3921 1.0000
• La multicolinealidad entre hrunsyr y rbisyr dificulta distinguir el efecto
parcial de cada una de estas variables.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 19 / 29
Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball (cont.)
• Región de confianza conjunta para dos coeficientes de regresión
No se rechaza H
0
Se rechaza H0 β3 (hrunsyr)
β4 (rbisyr)
-0.020 0.042-0.001
0.026
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 20 / 29
Tabla de Contenidos
1 Test de hipótesis sobre un parámetro
2 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
3 Modelo restringido
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 21 / 29
Modelo restringido
• Otra forma de pensar en un test de hipótesis es probar la validez de ciertas
restricciones impuestas al modelo
min
β̆
u>u sujeto a R β = q
• Sea λ el multiplicador de Lagrange, entonces,
L = (y − Xβ)>(y − Xβ)− 2λ>(R β − q)
• Las condiciones de primer orden son
∂L
∂β
= −2X>y + 2X>X β̆ − 2R>λ̆ = 0
∂L
∂λ
= −(R β̆ − q) = 0
• El estimador “restringido” es
⇒ β̆ = (X>X )−1X>y + (X>X )−1R>λ̆
β̆ = β̂ + (X>X )−1R>λ̆
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 22 / 29
Modelo restringido (cont.)
• Usando que R β̆ = q, se puede demostrar que
λ̆ = (R(X>X )−1R>)−1(q − R β̂)
• Lo que implica que
β̆ = β̂ + (X>X )−1R>(R(X>X )−1R>)−1(q − R β̂)
• El estimador es insesgado solo si la restricción es válida
E [β̆|X ] = β + (X>X )−1R>(R(X>X )−1R>)−1(q − R β)
• Además, es eficiente si la restricción es correcta (agrega información que no
está presente en la muestra)
Var [β̆|X ] = Var [(I − (X>X )−1R>(R(X>X )−1R>)−1R)β̂|X ]
= σ2(X>X )−1(I − R>(R(X>X )−1R>)−1R(X>X )−1)
⇒ Var [β̆|X ] ≤ Var [β̂|X ]
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 23 / 29
Test de hipótesis y modelo restringido
• Para probar la validez de las restricciones impuestas al modelo, se compara
los residuos de la regresión restringida respecto a los residuos de la regresión
libre.
ŭ>ŭ − û>û = (y − X β̆)>(y − X β̆)− û>û
= (X β̂ + û − X β̆)>(X β̂ + û − X β̆)− û>û
= (β̂ − β̆)>X>X (β̂ − β̆)
• Reemplazando β̆ se obtiene
ŭ>ŭ − û>û = (R β̂ − q)>(R(X>X )−1R>)−1(R β̂ − q)
• Recordando el test F
F =
(R β̂ − q)>(R(X>X )−1R>)−1(R β̂ − q)/j
û>û/(n − k − 1)
∼ F (j , n − k − 1)
se obtiene que
F =
(ŭ>ŭ − û>û)/j
û>û/(n − k − 1)
∼ F (j , n − k − 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 24 / 29
Test de hipótesis y modelo restringido (cont.)• Sea SSRr = ŭ>ŭ el SSR del modelo restringido y SSRur = û>û el SSR del
modelo no-restringido. Entonces
F =
(SSRr − SSRur )/j
SSRur/(n − k − 1)
∼ F (j , n − k − 1)
• Note que SSRr ≥ SSRur . ¿Por qué?
• El test sobre un conjunto de parámetros se reduce a responder si la
disminución relativa en SSR de pasar del modelo restringido al no-restringido
es suficientemente grande.
• Note que el estad́ıstico F también se puede escribir como
F =
(R2ur − R2r )/j
(1− R2ur )/(n − k − 1)
∼ F (j , n − k − 1)
• La misma interpretación anterior se aplica a la diferencia de los R2.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 25 / 29
Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball
• Resultados modelo no restringido
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• Resultados modelo restringido
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��8�������������%�%$%�&�
������2���3����
����
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�#�9�4!�&�$%!• Test de hipótesis conjunto para H0 : β3 = β4 = 0
F =
(198.31− 183.60)/2
183.60/(353− 4− 1)
=
(0.6270− 0.5971)/2
(1− 0.6270)/(353− 4− 1)
= 13.94
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 26 / 29
ANOVA: Análisis de Varianza
• Prueba de significación global o análisis de varianza.
• La hipótesis nula es que el modelo no explica y :
H0 : β1 = · · · = βk = 0
• En este caso, el modelo restringido es: y = β0 + u. ¿Por qué no se incluye
β0 en H0?
• El valor de R2 para el modelo restringido es cero. ¿Por qué?
• Entonces
F =
R2/k
(1− R2)/(n − k − 1)
donde R2 es el valor obtenido en el modelo sin restringir.
• Este estad́ıstico suele ser reportado por los softwares estad́ısticos.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 27 / 29
ANOVA: Análisis de Varianza (cont.)
• Tabla ANOVA
Suma de Grados de Suma promedio
cuadrados libertad de cuadrados
Regresión SSE k SSE/k
Residuos SSR n-k-1 SSR/(n-k-1)
Total SST n-1 SST/(n-1)
• Ejemplo
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• Se rechaza la hipótesis nula
F =
0.6270/4
(1− 0.6270)/(353− 4− 1)
= 146.22
• ¿Cuál es el valor-p de F?
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 28 / 29
Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth
Usted extiende el modelo de Fama-MacBeth a 2 factores de riesgo accionario: el mercado y el
precio del cobre. La siguiente tabla muestra las sensibilidades de cada industria con respecto a
las rentabilidades de mercado y a los cambios en el precio del cobre (es decir, el resultado de la
primera etapa de Fama-MacBeth). Por simplicidad, suponga que los estimadores de βM y βC
son los estimadores poblacionales.
Sector Rentabilidad Beta de mercado Beta de cobre
mensual (r) (βM ) (βC )
Commodities 0,89% 1,15 0,19
Retail 0,79% 1,22 0,12
Industrial 0,55% 1,01 0,04
Consumo 0,49% 0,92 0,12
Para la segunda etapa de Fama-MacBeth usted busca estimar:
r = θ0 + θMβM + θCβC + u
Además, usted sabe que:
θ̂0 = −0, 57; θ̂M = 1, 02; θ̂C = 1, 28 y (β>β)−1 =
(
22, 12 −21, 37 9, 38
−21, 37 22, 12 −20, 5
9, 38 −20, 5 107, 69
)
donde β> = (1 βM βC ).
• Verifique H0 : θ̂M = θ̂C = 0 con α = 5%.
• Realice un test de significancia global del modelo.
• Use el modelo restringido para verificar H0 : θ̂C = 0 con α = 5%.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 29 / 29
	Test de hipótesis sobre un parámetro
	Test de hipótesis sobre un parámetro individual
	Intervalos de confianza para un parámetro individual
	Valor-p
	Ejemplo: Determinantes de notas de pregrado
	Tests de una cola
	Ejemplo: ecuación de salarios
	Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
	Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
	Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball
	Modelo restringido
	Modelo restringido
	Test de hipótesis y modelo restringido
	Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball
	ANOVA: Análisis de Varianza
	Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth

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