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Econometŕıa I – EAE-250A Más Inferencia en el MRL Jaime Casassus Instituto de Econoḿıa Pontificia Universidad Católica de Chile Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 1 / 29 Tabla de Contenidos 1 Test de hipótesis sobre un parámetro 2 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros 3 Modelo restringido Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 2 / 29 Test de hipótesis sobre un parámetro individual • Suponga que quiere testear si el coeficiente que acompaña a xj es significativamente distinto al valor aj . Es decir: H0 : βj = aj H1 : βj 6= aj • Para el caso particular de aj = 0, el test busca determinar si la variable xj es significativa o relevante para el modelo. Si se rechaza H0, entonces xj es estad́ısticamente significativa. • Recuerde que aunque el estimador sea insesgado se puede encontrar que β̂j 6= aj sin rechazar la hipótesis nula βj = aj . ¿Por qué? • Para el test se usa el siguiente estad́ıstico t construido bajo la hipótesis nula tβ̂j = β̂j − aj s.e.(β̂j) ∼ tn−k−1 • tβ̂j mide en cuántas desviaciones estándar estimadas de β̂j , se aleja β̂j de aj . Valores de tβ̂j alejados de cero son evidencia en contra de la hipótesis nula. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 3 / 29 Test de hipótesis sobre un parámetro individual (cont.) • Suponga que se fija la probabilidad de cometer error tipo I en α. • Sea tα/2 el percentil 1− α2 de la distribución t-Student de n − k − 1 grados de libertad. • Si ∣∣∣ β̂j−aj s.e.(β̂j ) ∣∣∣ ≥ tα/2, se rechaza H0. No se rechaza H0 Se rechaza H0 0 f ( β̂j−aj s.e.(β̂j ) ) = tn−k−1 α 2 α 2 Se rechaza H0 tα/2−tα/2 Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 4 / 29 Test de hipótesis sobre un parámetro individual (cont.) • El anterior corresponde a un test de dos colas. • Un nivel de significancia del α = 5% es el valor más común. • Esto significa que de todas las muestras aleatorias que se pueden tomar, en un 5% de ellas se rechaza equivocadamente la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa. • Si se rechaza H0 a un nivel de significancia de α, entonces inmediatamente se rechaza para niveles de significancia más altos. Por ejemplo, si una variable es significativa al 1%, entonces también lo es al 5%, al 10%, 20%, etc. • Recuerde que tn → N(0, 1) cuando n→∞. En la práctica, cuando los grados de libertad del estad́ıstico t son más de 120 se suele aproximar la distribución t-Student con la Normal y usar los valores cŕıticos de esta distribución. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 5 / 29 Intervalos de confianza para un parámetro individual • ∣∣∣ β̂j−βj s.e.(β̂j ) ∣∣∣ ≥ tα/2 es equivalente a decir que P ( −tα/2 ≤ β̂j − βj s.e.(β̂j) ≤ tα/2 ) = 1− α • Esto implica que el intervalo de confianza para βj es β̂j − tα/2s.e.(β̂j) ≤ βj ≤ β̂j + tα/2s.e.(β̂j) • Si βj no está en el intervalo, entonces se rechaza la hipótesis nula. • Nuevamente, βj estaŕıa fuera del intervalo en α (%) de todas las muestras aleatorias que se pueden tomar. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 6 / 29 Valor-p • Distintos investigadores usan distintos niveles de α y concluyen de manera diferente. • El valor-p se define como valor − p = P(|T | > |tβ̂j |) donde, para el caso anterior, T es una variable t-Student de n − k − 1 grados de libertad y tβ̂j es el valor del estad́ıstico obtenido de la regresión. • En otras palabras, el valor-p es el ḿınimo nivel de significancia α a partir del cuál la hipótesis nula es rechazada. • Por ejemplo, si se testea la hipótesis nula H0 : βj = 0 y se obtiene un valor-p igual a 6.4%, se concluye que βj es significativo a un nivel de significancia del 10%, pero no es significativamente distinto de cero a un nivel de significancia del 5%. • Valores-p pequeños son evidencia en contra de la hipótesis nula y valores-p altos no proveen evidencia importante para rechazar la hipótesis nula. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 7 / 29 Ejemplo: Determinantes de notas de pregrado • Considere el siguiente modelo para una muestra de 141 alumnos colGPA = β0 + β1hsGPA + β2ACT + β3skipped + u donde colGPA son las notas de pregrado, hsGPA son las notas de enseñanza media, ACT es la prueba de admisión a la universidad y skipped el promedio de clases que pierde por semana. Table: ols colGPA const hsGPA ACT skipped Variable Coefficient (Std. Err.) hsGPA 0.412∗∗ (0.094) ACT 0.015 (0.011) skipped -0.083∗∗ (0.026) Intercept 1.390∗∗ (0.332) N 141 R2 0.234 F (3,137) 13.919 Significance levels : † : 10% ∗ : 5% ∗∗ : 1% Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 8 / 29 Ejemplo: Determinantes de notas de pregrado (cont.) • Gretl ��������� ��� ����� � ���������������������� ������ �� ��������������������� ���! ����������� "� �������! �� �������#$% ���������������� ������������&������������ ������ �! ���� ���������������������������������������������������������� ���������������&�'())�������&���))��������&�(������&()���)�*** ��+�#$%��������&���'��������&�(�����������&�(������&�(���)�*** ��%,-����������&������������&���)��(������&�(������&��)'�� ���.� ������/�&�'����������&��)((')����/�&�(������&�������*** �� ���� �������! �����&�)���'����&"&��� �������! �����&������ ��0��1� ���������������&'��(�����&2&�� ���������������&��(�'� 3��1� ����������������&���)(����%��������3��1� �������&���'�� 45������6��������������&(�'�)���$�! ���546�����������)&�)���' ������.���+���������/��&)�������%. �.����������������(�&����� ��+7 �8�����������������&�(�����9 �� ��:�������������()&�(�)� 2;���������+������� ���� �! ����7 ��+��+���� ���! �� ������5%,-6• ¿Por qué se asume que H1 : βj 6= 0? • ¿Qué dice la intuición acerca de los signos de β1, β2 y β3? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 9 / 29 Tests de una cola • Estos tests consideran una hipótesis alternativa del tipo H1 : βj > aj o H1 : βj < aj • Sin perder generalidad, suponga un test cuya hipótesis alternativa es H1 : βj > aj • Esto significa que no preocupan otras alternativas a H0 como βj < aj , por ejemplo, porque la teoŕıa asegura βj ≥ aj . • Alternativamente, equivale a pensar que se considera la siguiente hipótesis nula H0 : βj ≤ aj • Valores negativos del estad́ıstico tβ̂j no representan evidencia en contra de la hipótesis nula. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 10 / 29 Tests de una cola (cont.) • Ejemplo: el valor cŕıtico para la distribución t-Student con n − k − 1 = 28 grados de libertad considerando un nivel de significancia del α = 5%, es tα = 1.701. • Esto significa que si el valor del estad́ıstico obtenido para una muestra en particular es mayor a 1.701, se rechaza la hipótesis nula en favor de la hipótesis alternativa a un nivel de significancia del 5%. • En el caso en que la hipótesis alternativa sea H1 : βj < aj se rechaza H0 en favor de H1 cuando tβ̂j < −tα, donde tα es el mismo valor cŕıtico usado anteriormente. ¿Por qué? • Para tests de una cola el valor-p correspondiente es la mitad del valor-p del test de dos colas. ¿Por qué? • En el ejemplo de notas de pregrado, ¿Cuál es el valor-p del parámetro que acompaña a ACT considerando un test de una sola cola? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 11 / 29 Ejemplo: ecuación de salarios • Considere el modelo log(wage) = β0 + β1educ + β2exper + β3tenure + u donde educ son años de educación, exper son años de experiencia y tenure son años de permanencia en la firma. Table: ols lwage const educ exper tenure Variable Coefficient (Std. Err.) educ 0.0920∗∗ (0.0073) exper 0.0041∗ (0.0017) tenure 0.0221∗∗ (0.0031) Intercept 0.2844∗∗ (0.1042) N 526 R2 0.316 F (3,522) 80.3909 Significance levels : † : 10% ∗ : 5% ∗∗ : 1% • Gretl Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 12 / 29 Ejemplo: ecuación de salarios (cont.) • Se busca testear si hay retornos positivos a la experiencia. ¿Cuáles son H0 y H1? • ¿Es consistente con H1 la significancia de β2 en la tabla anterior? ¿Porqué? • En este caso hay n − k − 1 = 522 grados de libertad. Se puede usar los valores cŕıticos de una Normal estándar. El valor cŕıtico a un nivel de significancia del 5% es 1.645, y al 1% es 2.326. • El estad́ıstico t es tβ̂2 = 0.0041 0.0017 ≈ 2.41 y por lo tanto se concluye que β2 es estad́ısticamente significativo a un nivel de significancia del 1%. • Sin embargo, el retorno estimado por un año más de experiencia, manteniendo constante años de educación y de permanencia, no es muy grande. Por ejemplo, tres años más de experiencia incrementan log(salario) en 3(0.0041)=0.0123, es decir, el salario se ve incrementado en un 1.2%. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 13 / 29 Tabla de Contenidos 1 Test de hipótesis sobre un parámetro 2 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros 3 Modelo restringido Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 14 / 29 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros • Suponga que se busca testear la siguiente hipótesis H0 : βp = βr = 0 H1 : βp 6= 0 ó βr 6= 0 • Bajo la hipótesis nula se sabe que F̂ = (R β̂)>(R(X>X )−1R>)−1(R β̂)/2 σ̂2 ∼ F (2, n − k − 1) donde σ̂2 = û >û n−k−1 (en este caso J = 2). • Sea α el nivel de significancia, si F̂ > Fα se rechaza H0. No se rechaza H0 Se rechaza H0 0 α Fα f (F̂ ) = F (2, n − k − 1) Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 15 / 29 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros (cont.) • Cuando se rechaza la hipótesis nula se dice que xp y xr son conjuntamente significativas al correspondiente nivel de significancia. • En este caso, el test no dice cuál de las variables tiene un efecto significativo en y . Puede ser una sola, varias o todas. • El estad́ıstico F es muy útil para testear la exclusión de un grupo de variables que están altamente correlacionadas. En este caso, la multicolinealidad es mucho menos relevante en el estad́ıstico F que en los test individuales de significancia. • En general los grados de libertad del denominador del estad́ıstico F son números grandes. Cuando son valores mayores a 120 la distribución F deja de ser sensible a su valor. Por esta razón, las tablas que tabulan los valores cŕıticos para una distribución F suelen tener una entrada con ∞ grados de libertad para el denominador. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 16 / 29 Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball • Se tiene el siguiente modelo para los salarios de los jugadores de baseball: log(salary) = β0 + β1years + β2gamesyr + β3hrunsyr + β4rbisyr + u donde years es el número de años en la liga, years el promedio de juegos anuales, hrunsyr el número de home runs y rbisyr el número de corridas gracias a su bateo. • Se quiere testear que el rendimiento de los jugadores no influye en sus salarios, es decir, H0 : β3 = β4 = 0 H1 : β3 6= 0 ó β4 6= 0 • Gretl Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 17 / 29 Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball (cont.) ��������� ��� ����� � ���������������������� ������ �� ������������������������� ���������!� "� ������� �� ������� � �# ���������������� ������������$������������ ������� � ���� ����������������������������������������������������������� ���������������$��%���������$��%%�������&�$&%������$&!���!!�''' ��#� ����������$�%&��&������$������������!$��!�����$�����(��''' ��� )��#�������$�����(%�����$���%�!&&�����$%(!�����$�����%��''' ��*����#�������$���&&&&�����$��!!�&!������$��%�����$�(�%��� ������#��������$����!%������$��%&��&������$(�������$���!����' �� ���� ������� ������$�&��(����$"$��� ������� �����$�(��%% ��)��+� ��������������(�$%��!����$,$�� ���������������$��%�!� -��+� ����������������$%�%&!&���.��������-��+� �������$%��%�� /0�����(1��������������%$��(!���2� ���0/1������������$������ ������3���*���������4�(!$!������.3 �3�����������������(�$���� ��*5 �6��������������(��$��%����7 �� ��8��������������(($��%& ������3���*���� ���� � �#�9�4!��($�! ,:���������*������� ���� � ����5 ��*��*���� ��� �� �������0*����#�1• Los coeficientes para hrunsyr y rbisyr son positivos, sin embargo, no es posible rechazar la insignificancia individual de cada uno de ellos (con α = 5%). Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 18 / 29 Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball (cont.) • Test conjunto para H0 : β3 = β4 = 0��������� ��� ����� � ���������������������� ������ �� ��������������� ������������������ ����������������� ������ ��������!"�#�$�%&����$'(��%#�)���� �* �������'�((�����+ ���������,�����- ���� ���������������� �����������,'������������ ������� �* ����� ������������������������������������������������������������ ���������������'��$%��������'��%$���������$'+������('(����+��... ���� ����������'���$�%������'��������������'��$�����'�����%��... ��� -����������'������������'���$��%�������'��������'����$(��... ���������������'������������'������������/0�������/0�������� ���������������'������������'������������/0�������/0�������� ��1� �, �,�������� �������������������'����$� • En este caso se rechaza H0 al 5% (incluso al 1% de significancia). • Los grados de libertad del test F son J = 2 y n− k − 1 = 353− 4− 1 = 348. • Matriz de correlación entre estimadores. estat vce, correlation Correlation matrix of coefficients of regress model e(V) years gamesyr hrunsyr rbisyr _cons years 1.0000 gamesyr -0.3035 1.0000 hrunsyr -0.0725 0.5838 1.0000 rbisyr 0.0538 -0.8169 -0.8860 1.0000 _cons -0.0814 -0.6941 -0.2508 0.3921 1.0000 • La multicolinealidad entre hrunsyr y rbisyr dificulta distinguir el efecto parcial de cada una de estas variables. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 19 / 29 Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball (cont.) • Región de confianza conjunta para dos coeficientes de regresión No se rechaza H 0 Se rechaza H0 β3 (hrunsyr) β4 (rbisyr) -0.020 0.042-0.001 0.026 Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 20 / 29 Tabla de Contenidos 1 Test de hipótesis sobre un parámetro 2 Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros 3 Modelo restringido Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 21 / 29 Modelo restringido • Otra forma de pensar en un test de hipótesis es probar la validez de ciertas restricciones impuestas al modelo min β̆ u>u sujeto a R β = q • Sea λ el multiplicador de Lagrange, entonces, L = (y − Xβ)>(y − Xβ)− 2λ>(R β − q) • Las condiciones de primer orden son ∂L ∂β = −2X>y + 2X>X β̆ − 2R>λ̆ = 0 ∂L ∂λ = −(R β̆ − q) = 0 • El estimador “restringido” es ⇒ β̆ = (X>X )−1X>y + (X>X )−1R>λ̆ β̆ = β̂ + (X>X )−1R>λ̆ Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 22 / 29 Modelo restringido (cont.) • Usando que R β̆ = q, se puede demostrar que λ̆ = (R(X>X )−1R>)−1(q − R β̂) • Lo que implica que β̆ = β̂ + (X>X )−1R>(R(X>X )−1R>)−1(q − R β̂) • El estimador es insesgado solo si la restricción es válida E [β̆|X ] = β + (X>X )−1R>(R(X>X )−1R>)−1(q − R β) • Además, es eficiente si la restricción es correcta (agrega información que no está presente en la muestra) Var [β̆|X ] = Var [(I − (X>X )−1R>(R(X>X )−1R>)−1R)β̂|X ] = σ2(X>X )−1(I − R>(R(X>X )−1R>)−1R(X>X )−1) ⇒ Var [β̆|X ] ≤ Var [β̂|X ] Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 23 / 29 Test de hipótesis y modelo restringido • Para probar la validez de las restricciones impuestas al modelo, se compara los residuos de la regresión restringida respecto a los residuos de la regresión libre. ŭ>ŭ − û>û = (y − X β̆)>(y − X β̆)− û>û = (X β̂ + û − X β̆)>(X β̂ + û − X β̆)− û>û = (β̂ − β̆)>X>X (β̂ − β̆) • Reemplazando β̆ se obtiene ŭ>ŭ − û>û = (R β̂ − q)>(R(X>X )−1R>)−1(R β̂ − q) • Recordando el test F F = (R β̂ − q)>(R(X>X )−1R>)−1(R β̂ − q)/j û>û/(n − k − 1) ∼ F (j , n − k − 1) se obtiene que F = (ŭ>ŭ − û>û)/j û>û/(n − k − 1) ∼ F (j , n − k − 1) Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 24 / 29 Test de hipótesis y modelo restringido (cont.)• Sea SSRr = ŭ>ŭ el SSR del modelo restringido y SSRur = û>û el SSR del modelo no-restringido. Entonces F = (SSRr − SSRur )/j SSRur/(n − k − 1) ∼ F (j , n − k − 1) • Note que SSRr ≥ SSRur . ¿Por qué? • El test sobre un conjunto de parámetros se reduce a responder si la disminución relativa en SSR de pasar del modelo restringido al no-restringido es suficientemente grande. • Note que el estad́ıstico F también se puede escribir como F = (R2ur − R2r )/j (1− R2ur )/(n − k − 1) ∼ F (j , n − k − 1) • La misma interpretación anterior se aplica a la diferencia de los R2. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 25 / 29 Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball • Resultados modelo no restringido ��������� ��� ����� � ���������������������� ������ �� ��������������������� ���! ��������"�" #� �������! �� ������ � �$ ���������������� ������������%������������ ������� �! ���� ����������������������������������������������������������� ���������������%��&���������%��&&���������%�&������%��������''' ��$� ����������%�&����"�����%�������������%��������%�����(��''' ��� )��$�������%���"�(&�����%���&"��������%&(������%�"���&��''' ��*����$�������%������������%�������������%��&�����%�(�&��� ��� ��$��������%�����&������%��&����������%(�������%��������' �� ���� �������! �����"%����(����%#%��� �������! �����%�(��&& ��)��+� ��������������("%&�������%,%�� ���������������%��&"�� -��+� ����������������%&�&������.��������-��+� �������%&��&�� /0���"�(1��������������&%��(����2�! ���0/1�����������"%"����" ������3���*���������4"(�%�������.3 �3�����������������(�%���� ��*5 �6��������������(��%"�&����7 �� ��8��������������((%��&� ������3���*���� ���� � �$�9�4���(%�� ,:���������*������� ���� �! ����5 ��*��*���� ���! �� ���"��0*����$�1 • Resultados modelo restringido ��������� ��� ����� � ���������������������� ������ �� ������������������������� ���������!� "� ������� �� ������� � �# ���������������� ������������$������������ ������� � ���� ����������������������������������������������������������� ���������������$���%��������$��%�����������$&�����'$'����&!�((( ��#� ����������$�����%������$���!�!�������!$�������$!����%��((( ��� )��#�������$������!�����$������%������!$�������$�����'��((( �� ���� ������� ������$�'��%����$"$��� ������� �����$�%��&& ��)��*� ��������������'%$���!����$+$�� ���������������$�!���� ,��*� ����������������$!'�������-��������,��*� �������$!'��&' ./����!�0�������������!'$�������1� ���/.0�����������%$������ ������2���3���������4�''$�������-2 �2����������������%��$���& ��35 �6��������������%�!$%������7 �� ��8�������������%�%$%�&� ������2���3���� ���� � �#�9�4!�&�$%!• Test de hipótesis conjunto para H0 : β3 = β4 = 0 F = (198.31− 183.60)/2 183.60/(353− 4− 1) = (0.6270− 0.5971)/2 (1− 0.6270)/(353− 4− 1) = 13.94 Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 26 / 29 ANOVA: Análisis de Varianza • Prueba de significación global o análisis de varianza. • La hipótesis nula es que el modelo no explica y : H0 : β1 = · · · = βk = 0 • En este caso, el modelo restringido es: y = β0 + u. ¿Por qué no se incluye β0 en H0? • El valor de R2 para el modelo restringido es cero. ¿Por qué? • Entonces F = R2/k (1− R2)/(n − k − 1) donde R2 es el valor obtenido en el modelo sin restringir. • Este estad́ıstico suele ser reportado por los softwares estad́ısticos. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 27 / 29 ANOVA: Análisis de Varianza (cont.) • Tabla ANOVA Suma de Grados de Suma promedio cuadrados libertad de cuadrados Regresión SSE k SSE/k Residuos SSR n-k-1 SSR/(n-k-1) Total SST n-1 SST/(n-1) • Ejemplo ��������� ��� ����� � ���������������������� ������ �� �� ������� �� �� ���� �������������������������� ���� ����������� ������ � ����� �� ��!���������������������������"#$�����������������������#���$ ��!����� ��������������������"�#%����������"����������#$��$&� ��'�� �����������������������&�#��%�������$������������#�&"�� ��!(��)���"#$���*��&�#��%�)��#%�%&$& ��+,�-���".�)���#���$�*��#$��$&��)���%#��&�/ �0 �����#������1 • Se rechaza la hipótesis nula F = 0.6270/4 (1− 0.6270)/(353− 4− 1) = 146.22 • ¿Cuál es el valor-p de F? Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 28 / 29 Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth Usted extiende el modelo de Fama-MacBeth a 2 factores de riesgo accionario: el mercado y el precio del cobre. La siguiente tabla muestra las sensibilidades de cada industria con respecto a las rentabilidades de mercado y a los cambios en el precio del cobre (es decir, el resultado de la primera etapa de Fama-MacBeth). Por simplicidad, suponga que los estimadores de βM y βC son los estimadores poblacionales. Sector Rentabilidad Beta de mercado Beta de cobre mensual (r) (βM ) (βC ) Commodities 0,89% 1,15 0,19 Retail 0,79% 1,22 0,12 Industrial 0,55% 1,01 0,04 Consumo 0,49% 0,92 0,12 Para la segunda etapa de Fama-MacBeth usted busca estimar: r = θ0 + θMβM + θCβC + u Además, usted sabe que: θ̂0 = −0, 57; θ̂M = 1, 02; θ̂C = 1, 28 y (β>β)−1 = ( 22, 12 −21, 37 9, 38 −21, 37 22, 12 −20, 5 9, 38 −20, 5 107, 69 ) donde β> = (1 βM βC ). • Verifique H0 : θ̂M = θ̂C = 0 con α = 5%. • Realice un test de significancia global del modelo. • Use el modelo restringido para verificar H0 : θ̂C = 0 con α = 5%. Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 30-Abr-15 29 / 29 Test de hipótesis sobre un parámetro Test de hipótesis sobre un parámetro individual Intervalos de confianza para un parámetro individual Valor-p Ejemplo: Determinantes de notas de pregrado Tests de una cola Ejemplo: ecuación de salarios Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball Modelo restringido Modelo restringido Test de hipótesis y modelo restringido Ejemplo: rendimiento y salario en el baseball ANOVA: Análisis de Varianza Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth
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