Ayudantía 1 2013 - 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile 
Instituto de Economía 
Microeconomía 1 EAE210B 
Segundo Semestre 2013 
 
 
Ayudantía 1: Optimización 
 
 
Profesor: Felipe Zurita 
Ayudantes: Carlos Riutort, Tomás Escrich 
 
Resumen 
 
Función Cóncava: una función f(x) es cóncava si todas las rectas tangentes a ella pasan por encima 
suyo. 
 
 
 
-Si 
 
Función Convexa: una función f(x) es convexa si todas las rectas tangentes a ella pasan por debajo 
suyo. 
 
 
 
-Si 
 
Función Cuasicóncava: una función f(x) es cuasiconcava si: 
 
 { } 
 
 , [ ] 
 
Metodo de Karush-Kuhn-Tucker(KKT) 
 
Max 
Sujeto a: 
 [ ] 
 
 
1.-Plantear el lagrangeano 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.-Condiciones de KKT 
 
 
 ∑ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Número de casos a analizar: , r : número de restricciones. 
 
 
 
Ejercicio 1: 
 
Caso 1 variable: 
 
Sea 
 
(a) Maximice la función objetivo y plantee las condiciones de KKT sujeto a 
(b) Maximizar la función objetivo en los siguientes casos: 
 
i) 
ii) 
iii) 
 
¿Qué representan los ? 
 
Ejercicio 2: 
 
Caso 2 variables: 
 
Considere la siguiente función: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Plantee las condiciones de KKT y calcule el máximo. Explique detalladamente como llegó a su 
resultado. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3: 
 
Considere la siguiente función: 
 
 [ 
 
 ] 
 
(a) Muestre que es cóncava. 
(b) Calcule el máximo de con respecto a 
(c) Ahora supongamos que el análisis previo aplica a un banquero del Banco Central que tiene 
una meta de inflación y desempleo dada por la combinación . Este banquero elige 
el nivel de inflación enfrentando una restricción dada por , donde . 
¿Cuál es la solución a este problema? 
(d) Respecto de su respuesta previa, ¿cómo cambia la solución cuando cambian los valores de 
 ? 
 
 
 
Ejercicio 4: 
 
Considere el problema: 
 √ 
 
 
 
(a) Plantee las condiciones de primer orden. 
(b) Resuelva para el caso en que m > 100, verificando el cumplimiento de las condiciones de 
segundo orden. 
(c) Resuelva para el caso en que m < 100. 
(d) Determine en cuánto mejoraría el máximo si se aumentara m en una unidad, si el m 
original fuese: 
i) m=25 
ii) m=150 
 
Propuestos: 
 
i) Considere el siguiente problema: 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Plantee las condiciones de KKT. 
(b) Explique cuantos casos se debería en un principio analizar, y cuales se pueden descartar a 
priori y por qué. 
(c) Encuentre el máximo mediante el método de KKT, explicando cuidadosamente su 
procedimiento. No olvide las condiciones de segundo (en caso de haberlas) ni descarto 
casos sin explicar por qué. (Sea ) 
(d) ¿En cuánto mejoraría la función objetivo si la primera restricción cambiara a 
 ? 
 
 
ii) 
 
Considere el siguiente problema: 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Muestre en un gráfico el conjunto en el que se puede buscar, esto es, los puntos que 
satisfacen las desigualdades. 
(b) Dibuje curvas de nivel de la función objetivo. 
(c) Basado en lo anterior, ¿en qué parte(s) del conjunto de posibilidades cree usted que es 
más probable que se encuentre el óptimo? Explique su razonamiento. 
(d) Resuelva el problema por el método de KKT.