resumen BKM 6

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CAPÍTULO 6: RIESGO Y AVERSIÓN AL RIESGO 
 
6.1. Riesgo y aversión al riesgo 
 
Riesgo con prospecto simple: 
 
La presencia de riesgo implica que más de un resultado es posible. Un prospecto simple es una 
oportunidad de inversión en la cual una cantidad cierta es arriesgada, y hay sólo dos resultados 
posibles. Para esquematizarlos se usan árboles de decisión. 
¿Cómo se puede evaluar un portafolio de prospecto simple?. Mediante la esperanza de la riqueza 
final, que se denota E(w), y se calcula: 
 E(W) : pW1 + (1-p)W2 
 
Por otro lado, la varianza de los pagos del portafolio se calcula como el cuadrado de las 
desviaciones de la media sobre cada posible resultado, es decir: 
 s2 : p(W1 – E(W))2 – (1 – p)(W2 – E(W))2 
 
La desviación standard corresponde a la raíz de la varianza. 
Por otro lado, el prospecto simple lo podemos comparar con otra alternativa de inversión, por 
ejemplo, un activo seguro como los T-Bill. El premio por riesgo será la diferencia entre la riqueza 
incremental del prospecto simple sobre el retorno del activo seguro. 
 
Riesgo, especulación y juego(Gambling): 
 
Especulación es “la toma de considerable riesgo financiero para obtener proporcionales 
ganancias”. Es bueno aclarar un par de aspectos de ésta definición. Por un lado, “proporcionales 
ganancias” se refiere a un premio por riesgo positivo, mientras que “riesgo considerable” implica 
que éste es suficiente como para afectar la decisión, es decir, un individuo puede rechazar un 
prospecto que ofrezca un premio positivo por que la ganancia no es suficiente para el riesgo 
involucrado. 
Jugar “implica apostar a un resultado incierto”. La diferencia con la especulación se refiere a la 
ganancia proporcional, pues al jugar se puede disfrutar del riesgo mismo mientras que al especular 
el riesgo involucrado se acepta al percibirse un trade-off entre riesgo y retorno que trae el premio. 
Las expectativas heterogéneas, por otro lado, se dan cuando las probabilidades asignadas por dos 
personas (subjetivas) a un determinado evento son distintas, y se puede eliminar en parte 
adquiriendo información, aunque disiparlas por completo es muy costoso. 
 
Aversión al riesgo y útiles: 
 
Los prospectos sin premio por riesgo son llamados juegos justos (fair games). Los aversos al 
riesgo nunca invertirán en portafolios de este tipo, pues prefieren invertir en activos libres de riesgo 
o aquellos con premio. Ellos “penalizan” el retorno de los activos riesgosos, porcentualmente a su 
riesgo. Esto se puede formalizar hablando de utilidades: activos con una relación riesgo-retorno 
atractiva tendrán mayores utilidades, y viceversa, lo que se puede expresar mediante la siguiente 
función: 
 U: E( r ) – 0,005xAs2 (x es un multiplicado por, no una incógnita) 
, donde A es el índice de aversión al riesgo(mientras mayor sea A, más aversión). 
El factor 0,005 es una convención, y nos permite expresar el retorno esperado y la desviación 
standard como porcentajes más que como decimales (22% se reemplaza como 22 en la fórmula, 
etc...) 
Se elegirán aquellos proyectos que nos entreguen una mayor utilidad. 
 
Se pueden interpretar los útiles como los “equivalentes ciertos” (en términos de retorno), los 
retornos que deben tener aquellos activos libres de riesgo para ser igual de atractivos que el activo 
riesgoso que se calcula. Podemos decir como regla que un portafolio será preferido si su retorno 
cierto excede al que ofrecen los activos libres de riesgo. 
Para los neutrales al riesgo, los niveles de riesgo no le influyen y guía sus decisiones en torno a los 
retornos esperados. Por último, el amante al riesgo desea “juegos justos” y todo tipo de apuestas, 
pues el disfruta corriendo riesgos, éste aumenta su utilidad. 
 
Se puede gráficar el trade-off entre riesgo y retorno (para aversos): 
 
 
 
 (I) (II) 
 
 
 E( r ) 
 
 
 (III) (IV) 
 
 
 s 
 
La intersección de las dos rectas caracteriza a un proyecto con una esperanza y una desviaciones 
específicos. Este punto será preferido por el averso por sobre cualquier punto del cuadrante IV, 
mientras que todos los puntos del cuadrante I son preferibles sobre éste, por el criterio “mean 
variance” (M-V), que dice que A domina a B si: 
 E(rA) > E(rB) ; sA < sB 
 
La curva, en tanto, nos representa puntos con utilidad equivalente, es decir, una curva de 
indiferencia. 
 
6.2.Riesgo de portafolio. 
 
Riesgo de los activos versus riesgo de portafolio: 
 
Las personas contratan seguros para estabilizar el riesgo de sus activos, es decir, para protegerse 
(hedge). Del mismo modo, algunos activos financieros cumplen la misma función, quizás de 
manera menos directa, ofreciendo retornos cuando los retornos del grueso de los activos es bajo. 
Por ejemplo, uno puede “hedgearse” comprando acciones de empresas de “paraguas”, si es que 
en sus activos tiene acciones de empresas de “bloqueadores solares”. Si llueve, las segundas 
bajarán de precios, pero las primeras subirán, disminuyendo de este modo las pérdidas del 
portafolio en conjunto, funcionando como un “seguro del clima” (el ejemplo no lo invente yo, está 
en el libro). 
Otro concepto es el de diversificación mediante la cual se limita el riesgo particular de activos 
específicos. 
 
Una revisión de la Matemática de Portfolio: 
 
Regla 1: La media o “retorno esperado” de un activo es la ponderación de las probabilidades por el 
retorno en todos los escenarios: 
 
Regla 2: La “varianza” de los retornos de un activo es el valor esperado del cuadrado de las 
desviaciones sobre el retorno esperado: 
 
Regla 3: La “tasa esperada de retorno del portafolio” en su conjunto corresponde a un promedio 
proporcional de los retornos esperados individuales de sus activos, ponderados por su peso dentro 
del portafolio: 
 
 
Regla 4: La desviación standard del portafolio, cuando un activo riesgoso se combina con uno libre 
de riesgo, es igual a la desviación standard del activo riesgoso multiplicada por el peso o 
proporción del activo dentro del portafolio: 
 
Sin embargo, cuando el activo riesgoso se combina con un activo riesgoso, pero con retornos 
opuestos al primer activo(paraguas v/s bloqueadores solares), lo normal es que la desviación del 
portfolio sea menor aun que la del portafolio con el activo riesgoso más el activo libre de riesgo, y 
los retornos ofrecidos sean mayores. Esto muestra nuevamente la capacidad que tiene los activos 
que permiten “hedgear”. 
Para cuantificar el potencial de la diversificación se utiliza el concepto de covarianza. Cuando esta 
es positiva, implica que las dos variables en estudio se mueven juntas. Cuando es negativa, 
implica que las variables tienen comportamiento inversos(como los paraguas...). 
 
 
Un medio más sencillo para interpretar covarianzas es el coeficiente de correlación, por estar en 
una escala entre –1(correlación negativa perfecta) y +1(perfecta correlación positiva): 
 
 
Regla 5: Cuando dos activos riesgosos son combinados en un portafolio con pesos w1 y w2 
respectivamente, la varianza del portafolio será: 
 
Una covarianza positiva incrementa la varianza, una negativa la disminuye. Una estrategia “hedge” 
entonces permitirá disminuir la varianza del portafolio, en algunos casos. 
 
 
APÉNDICE A: DEFENSA DEL ANALISIS MEAN-VARIANCE(Media-Varianza) 
 
Describiendo distribuciones de probabilidades: 
 
Las tasas de retornos son las variables aleatorias, y la asignación de probabilidades a todos los 
valores posibles de éstas v.a. es lo que se conoce como “distribución de probabilidades” de una 
v.a. 
La media no es el único valor propuesto como central de las distribuciones de probabilidades. 
Otros candidatos son la moda y la mediana. 
La mediana es el punto o valor que esta excedido por la mitad de los valores y que excede a la otra 
mitad. Está basada entonces en el ranking de los resultados, siendo el punto medio de este. La 
mediana difiere enormemente de la media cuando el valor esperado es dominadopor valores 
extremos. 
La moda es el valor que más se repite, el de mayor probabilidad. Sin embargo, la media es el valor 
más usado al momento de ver promedios de tendencia, el valor central de las distribuciones. 
Por lo general, es dificil cuantificar el riesgo con un número. La varianza permite medirlo en 
términos porcentuales al cuadrado. Ésta es conocida como el segundo momento, siendo la media 
el primero. La varianza, sin embargo, no provee de una completa descripción de riesgo. Por 
ejemplo, tenemos dos funciones A y B, ambas con igual media e igual varianza(se supone que los 
dibujos son iguales, pero como un espejo): 
 
 
 
 
A B 
 
 
 
 
 
 
 E(RA) E(RB) 
 
En A, las “malas sorpresas” son menores, por lo que alguien con aversión prefiere A a B. En otras 
palabras, B tiene la cola tirada al lado de las grandes pérdidas. Esto se mide con el coeficiente de 
asimetría (skewness), que a su vez es el tercer momento de las distribuciones: 
 
 
Como está elevado el término principal al cubo(al contrario de la varianza en que está elevado al 
cuadrado) nos permite distinguir entre las “sorpresas malas” y las “sorpresas buenas”.(término 
sorpresivo: r(s) – E(R)), preservando su signo. 
En el caso A, M3 > 0, mientras que en B M3< 0. 
Podemos decir como regla general que el primer momento nos muestra la recompensa, mientras 
que el resto de los momentos nos muestran la certeza de la recompensa. Mientras mayores sean 
los valores, menor certeza. De este modo, podemos reescribir la función de útiles: 
 
Mientras más alto el momento, menor importancia o peso tiene dentro de la función. 
Economistas como Samuelson aseguran que es necesario para un inversionista sólo dos 
momentos(media y varianza) para describir adecuadamente la distribución. Esto, pues dice que los 
otros momentos tienen un peso tan bajo que no afectan las decisiones de portafolio. Esto, 
básicamente por un razón de continuidad: los portafolios que se revisan frecuentemente sólo 
deben preocuparse de la media y la varianza, y despreocuparse de los otros momentos, pues al 
haber revisiones el riesgo puede ser controlado por el inversionista. (esto se refiere a lo “compacto” 
de la distribución de probabilidades). Dice además que la varianza es tan importante como la 
media. 
 
Distribuciones Normal y Lognormal: 
 
Se asume que los retornos de los activos están normalmente distribuídos. Se dice que aunque los 
retornos de activos específicos no estén normalmente distribuídos, el retorno de un portafolio bien 
diversificado si lo está (en el libro se demuestra esto empíricamente, con datos históricos). 
Portafolios con más de 32 acciones diferentes se distribuyen aproximadamente normal. Sin 
embargo, como el precio de la acción no puede ser negativo, la normal a veces no se ajusta bien 
pues permite todo tipo de resultados, incluídos aquellos que supondrían un precio de la acción 
negativo. Específicamente, los retornos no pueden ser inferiores a –100% pues implicarían precios 
negativos. 
Alternativamente, se puede usar la tasa efectiva real anual, lo que permite que se hagan escalas 
logarítmicas: 
 
De este modo, el menor valor posible es –1(-100%) con lo que no hay precios negativos. Esta es la 
que se llama escala lognormal. En este caso, las varianzas y medias de períodos cortos son 
proporcionales a las anuales. Por ejemplo, la varianza mensual será 1/12 de la varianza anual. 
 
 
APÉNDICE B: AVERSIÓN AL RIESGO, UTILIDAD ESPERADA Y LA PARADOJA DE SAN 
PETERSBURGO. 
 
Se examina la racionalidad detrás del supuesto de que los inversionistas tienen aversión al riesgo. 
Bernoulli analizó un juego tipo “cara y sello” en el cual se ganaba la cantidad de veces que salía un 
sello, antes de que saliera la primera cara. El retorno ofrecido por el juego era 2n, siendo “n” el 
número de lanzamientos antes de salir cara. Se pagaba una cantidad (fee) por entrar al juego 
(20=$1). 
Como la probabilidad de cara o sello es ½, no es muy difícil notar que: 
 
A esto se le conoce como la paradoja de St. Petersburgo: independiente de que la esperanza de 
los pagos sea infinita, los participantes jugarán sólo veces finitas, y es muy posible que no estén 
dispuestos a pagar un alto fee de entrada. Bernoulli notó con esto que los inversionistas no le dan 
el mismo peso por dólar a todos los pagos. Nuestra utilidad crece al ser más ricos, pero cada dólar 
extra de riqueza hace que nuestra utilidad se incremente en menor medida. Por ejemplo, usando 
una función de utilidad subjetiva como ln(R), el juego tiene un valor finito de utilidad (0.693) la cual 
se satisface con un valor cierto de $2. 
Von Neumann y Morgenstern adaptarón estas conclusiones dentro de un completo sistema de 
teorías axiomáticas. 
Las funciones que exhiben la propiedad de decrecer cuando el número de unidades crece son 
llamadas cóncavas, como las funciones logarítmicas. Estas son consistentes con el supuesto de 
aversión al riesgo. El gráfico es el típico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Después, muestra gráficamente todas las cosas en el gráfico(E(w), U(w), E(U(w)), w*, etc...), 
pero es lo mismo que las clases. Saca conclusiones como que el equivalente cierto es menor que 
la utilidad esperada y que la diferencia entre ellos dos es el premio por riesgo. 
 
¿Acaso la conducta revelada por los inversionistas refleja su aversión al riesgo?. Mirando los 
precios y retornos del pasado, se puede contestar a esta pregunta con un contundente “si”. Por un 
lado, los bonos riesgosos se venden a menores precios que los bonos seguros con características 
similares, y las acciones riesgosas han provisto a los inversionistas de retornos promedio mayores 
que los que entregan los activos menos riesgosos. Por todo esto, como conclusión, es claro(dado 
los datos financieros) que el promedio de los inversionistas exhiben una sustancial aversión al 
riesgo. 
 
 
 
 
 
 
michi
Resaltado