Resumen capítulo 8 BKM

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Resumen capítulo 8: Modelos de índice 
8.1: Mercados de valores de un solo factor 
Lista de entrada al modelo de Markowitz 
- El éxito de una regla de selección de cartera depende de la calidad de la lista de entrada, 
es decir, de las estimaciones de los rendimientos de valor esperados y de la matriz de 
covarianza. 
- Supongamos que sus analistas de valor pueden analizar 50 acciones. Esto significa que su 
lista de entrada incluirá lo siguiente: n estimaciones de retorno esperado (50), n 
estimaciones de varianza (50) y (nˆ2 - n) /2 estimaciones de covarianza (1225) por tanto 
serán 1325 estimaciones totales. 
- Doblar n a 100 casi cuadruplica el número de estimaciones. Si n = 3.000, el número de 
acciones de NYSE, necesitamos más de 4.5 millones de estimaciones. 
- Otra dificultad del modelo de Markowitz es que los errores en la estimación de los 
coeficientes de correlación pueden llevar a resultados absurdos. Esto pasa porque algunos 
conjuntos de coeficientes de correlación son mutuamente inconsistentes, como muestra 
el siguiente ejemplo: 
 
 
 
 
- Supongamos que construye una cartera con pesos: 1; 1; 1, para los activos A; B; C, 
respectivamente, y se calcula la varianza de la cartera. Encontrará que la varianza de la 
cartera parece ser negativa (- 200). Esto no es posible porque las variaciones de la cartera 
no pueden ser negativas: concluimos que los insumos en la matriz de correlación estimada 
deben ser mutuamente inconsistentes. 
- La introducción de un modelo que simplifica las fuentes de riesgo de valor nos permite 
utilizar un conjunto más chico y consistente de estimaciones de parámetros de riesgo y 
primas de riesgo. La simplificación surge porque las covarianzas positivas entre los 
rendimientos de valor surgen de las fuerzas económicas comunes que afectan a las 
fortunas de la mayoría de las empresas (ej. Ciclos económicos). 
Normalidad de retornos y riesgo sistemático 
- Sabemos que: ri= E(ri) +ei (8.1) donde ei es el retorno inesperado y tiene media cero y 
DE de 𝜎𝑖 que mide la incertidumbre sobre el retorno de valor. 
- Supongamos que un factor común, m, que impulsa las innovaciones en los retornos de 
valor es alguna variable macroeconómica que afecta a todas las empresas. Entonces la 
incertidumbre se puede dividir en incertidumbre sobre la economía en su conjunto, que 
es capturada por m, e incertidumbre sobre la empresa en particular, que es capturada 
por ei. Así cambia la ec. 8.1 a: 
 𝑟𝑖=𝐸(𝑟𝑖)+𝑚+𝑒𝑖 (8.2) 
- Donde m mide las macro sorpresas imprevistas. Como tal, tiene una media de cero y una 
desviación estándar de 𝜎𝑚. En cambio, 𝑒𝑖 mide solamente la sorpresa específica de la 
empresa. 
- Lo más importante es el hecho de que m y ei no están correlacionados, porque ei es 
específico de la empresa, es independiente de los choques del factor común que afectan a 
toda la economía. La varianza de ri surge así de dos fuentes no correlacionadas, 
sistemáticas y específicas de la empresa. Por lo tanto: 
 𝜎𝑖ˆ2=𝜎𝑚ˆ2+𝜎ˆ2(𝑒𝑖) (8.3) 
- El factor común, m, genera correlación entre los valores, ya que todos los valores 
responderán a las mismas noticias macroeconómicas, mientras que se supone que las 
sorpresas específicas de la empresa, capturadas por ei, no están correlacionadas entre las 
empresas. Asi, la covarianza entre dos valores i y j es: 
 𝐶𝑜𝑣(𝑟𝑖,𝑟𝑗)=𝐶𝑜𝑣(𝑚+𝑒𝑖,𝑚+𝑒𝑗)=𝜎𝑚ˆ2 (8.4) 
- algunos valores serán más sensibles que otros a los shocks macroeconómicos. Podemos 
capturar este refinamiento asignando a cada empresa con un coeficiente de sensibilidad a 
las condiciones macro. Por lo tanto, si denotamos el coeficiente de sensibilidad para la 
empresa i por la letra griega beta, 𝛽𝑖, modificamos la ecuación 8.2 para obtener el modelo 
de factor único: 
 𝑟𝑖=𝐸(𝑟𝑖)+𝛽𝑖 𝑚+𝑒𝑖 (8.5) 
- La ec. Anterior nos dice que el riesgo sistemático de valor i está determinado por su 
coeficiente beta. El riesgo sistemático del valor i es 𝛽𝑖ˆ2𝜎𝑚ˆ2 y el riesgo total es: 
 𝜎𝑖ˆ2= 𝛽𝑖ˆ2 𝜎𝑚ˆ2+𝜎ˆ2 (𝑒𝑖) (8.6) 
- Y la covarinaza será: 
 𝐶𝑜𝑣(𝑟𝑖,𝑟𝑗)=𝐶𝑜𝑣(𝛽𝑖 𝑚+𝑒𝑖,𝛽𝑗 𝑚+𝑒𝑗)=𝛽𝑖 𝛽𝑗 𝜎𝑚ˆ2 (8.7) 
- En términos de riesgo sistemático y exposición al mercado, esta ecuación nos dice que las 
firmas son sustitutos. Los valores beta equivalentes ofrecen exposiciones de mercado 
equivalentes. 
 
8.2: Modelo de índice único 
Un enfoque razonable para hacer que el modelo de un solo factor funcione es afirmar que la tasa 
de rendimiento de un amplio índice de valores es un proxy válido para el factor macroeconómico 
común. 
Ecuación de regresión del modelo de índice único 
- Debido a que el S & P 500 es una cartera de acciones cuyos precios y tasas de rendimiento 
se pueden observar, tenemos una cantidad considerable de datos pasados con los cuales 
se puede estimar el riesgo sistemático. Denotamos el índice de mercado por M, con 
exceso de retorno de RM = rM - rf, y la desviación estándar de 𝜎𝑀. Podemos estimar el 
coeficiente de sensibilidad (o beta) usando una regresión lineal de una sola variable. 
Regresamos el exceso de retorno de un valor, Ri = ri - r f, sobre el exceso de retorno del 
índice, RM. Para estimar la regresión, se recoge una muestra histórica de observaciones 
emparejadas, Ri (t) y RM (t). La ecuación de regresión es: 
 𝑅𝑖(𝑡)=𝛼𝑖+𝛽𝑖 𝑅𝑀(𝑡)+𝑒𝑖(𝑡) (8.8) 
- 𝛼𝑖 es el exceso de retorno esperado del valor cuando el rendimiento del exceso del 
mercado es cero. El coeficiente de pendiente, 𝛽𝑖 , es el valor de beta. Beta es la 
sensibilidad del valor al índice. 𝑒𝑖 es la media cero, sorpresa específica de la empresa en el 
retorno del valor en el tiempo t, también llamado el residual. 
Relación esperada entre retorno y beta. 
- Porque E(𝑒𝑖)=0, si tomamos el valor esperado de E(Ri), obtenemos la relación esperada 
retorno-beta del modelo de un solo índice: 
 𝐸(𝑅𝑖)=𝛼𝑖+𝛽𝑖 𝐸(𝑅𝑀) (8.9) 
- 𝛽𝑖 𝐸(𝑅𝑀) nos dice que parte de la prima de riesgo de un valor se debe a la prima de riesgo 
del índice. La prima de riesgo de mercado se multiplica por la sensibilidad relativa, o beta, 
de la garantía individual. Llamamos a esto la prima de riesgo sistemática porque deriva de 
la prima de riesgo que caracteriza a todo el mercado. 
- El resto de la prima de riesgo viene dada por 𝛼 que no es una prima de mercado. 
 
Riesgo y covarianza en el modelo de índice único. 
- Recuerde que uno de los problemas con el modelo de Markowitz es el gran número de 
estimaciones de parámetros requeridas para implementarlo. Ahora veremos que la 
simplificación del modelo de índice reduce enormemente este número. 
- Tanto las varianzas como las covarianzas son determinadas por las betas de valor y las 
propiedades del índice de mercado: 
 
- El conjunto de estimaciones de parámetros necesarias para el modelo de índice único 
consiste en sólo 𝛼,𝛽 𝑦 𝜎(𝑒) para los valores individuales, más la prima de riesgo y la 
variación del índice de mercado. 
 
Conjunto de estimaciones necesarias para el modelo de índice único. 
Se resumen en: 
1. El rendimiento esperado de la acción si el mercado es neutral, es 
decir, si el exceso de rendimiento del mercado, rM-rf, es cero. 
 𝛼i 
2. El componente de retorno debido a movimientos en el mercado 
global; 𝛽i es la respuesta de la seguridad a los movimientos del 
mercado. 
 𝛽i (rM-rf) 
3. El componente inesperado de la devolución debido a eventos 
inesperados que sólo son relevantes para esta seguridad (específica 
de la empresa). 
 ei 
4. La variación atribuible a la incertidumbre del factor 
macroeconómico común.𝛽i ^2 𝜎M^2 
5. La variación atribuible a la incertidumbre específica de la empresa 𝜎^2 (ei) 
 
Estos cálculos muestran que si tenemos: 
• n estimaciones de los excedentes esperados en el mercado extra, 𝛼i 
• n estimaciones de los coeficientes de sensibilidad, 𝛽i 
• n estimaciones de las variaciones específicas de la empresa, 𝜎^2 (ei) 
• 1 estimación para la prima de riesgo de mercado, E(RM) 
• 1 estimación de la varianza del factor macroeconómico (común), 𝜎M^2 
Entonces estas estimaciones (3 n + 2) nos permitirán preparar toda la lista de entradas para este 
universo de valor de índice único. 
 
- Una de las ventajas más evidentes del modelo son la cantidad de estimaciones necesarias, 
se necesitan muchas menos que en Markowitz. 
- La abstracción del modelo de índice es crucial para la especialización del esfuerzo en 
análisis de valor. Si un término de covarianza se tenía que calcular directamente para cada 
par de valor, los analistas de valor no podrían especializarse por la industria. 
- El modelo de índice sugiere una manera simple de calcular las covarianzas. Las 
covariancias entre valores se deben a la influencia del factor común único, representado 
por el retorno del índice de mercado, y pueden estimarse fácilmente mediante la 
regresión de la ecuación 8.8. 
- La simplificación derivada de la hipótesis del modelo de índice, sin embargo, tiene un 
costo. El "costo" del modelo reside en las restricciones que impone a la estructura de la 
incertidumbre de retorno de activos. 
- la cartera óptima derivada del modelo de índice único puede ser significativamente 
inferior a la del modelo de covarianza completa (Markowitz) cuando las existencias con 
residuos correlativos tienen valores alfa grandes y representan una gran fracción de la 
cartera. 
 El modelo de índice y la diversificación. 
- El modelo de índice, sugerido por primera vez por Sharpe, también ofrece información 
sobre la diversificación de la cartera. Supongamos que elegimos una cartera igualmente 
ponderada de n valores. La tasa de rendimiento excesiva de cada garantía está dada por: 
 𝑅𝑖=𝛼𝑖+𝛽𝑖 𝑅𝑀+𝑒𝑖 
- Luego, el exceso de rendimiento de la cartera de acciones sería: 
 𝑅𝑃=𝛼𝑃+𝛽𝑃 𝑅𝑀+𝑒𝑃 (8.11) 
- A medida que aumenta el número de acciones incluidas en esta cartera, la parte del riesgo 
de la cartera atribuible a factores ajenos al mercado se hace cada vez menor. Esta parte 
del riesgo se diversifica. En contraste, el riesgo de mercado sigue existiendo, 
independientemente del número de empresas combinadas en la cartera. 
- Para entender estos resultados, tenga en cuenta que la tasa de rendimiento excesiva de 
esta cartera igualmente ponderada, para la cual cada peso de la cartera 𝑤𝑖=1/n, es: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- El componente de riesgo sistemático de la variación de la cartera, es 𝛽𝑃^2 𝜎𝑀^2 y depende 
de los coeficientes de sensibilidad de los valores individuales. Esta parte del riesgo 
depende de la cartera beta y 𝜎𝑀^2 y persistirá independientemente del grado de 
diversificación de la cartera. 
- En contraste, el componente no sistemático de la varianza de la cartera es 𝜎^2(𝑒𝑃) y es 
atribuible a componentes específicos de la empresa, 𝑒𝑖. Debido a que estos 𝑒𝑖 son 
independientes y todos tienen valor esperado cero, la ley de promedios puede ser 
aplicada para concluir que a medida que más reservas se añaden a la cartera, los 
componentes específicos de la empresa tienden a anularse, lo que resulta en un riesgo 
cada vez menor de no mercado. Este riesgo se denomina así, diversificable. Debido a que 
los 𝑒𝑖s no están correlacionados: 
 
 
 
 
Donde �̅�^2(𝑒) es el promedio de las varianzas 
específicas de la empresa. 
- En resumen, a medida que aumenta la diversificación, 
la varianza total de una cartera se aproxima a la 
varianza sistemática, definida como la varianza del 
factor de mercado multiplicado por el cuadrado del 
coeficiente de sensibilidad de la cartera, 𝛽𝑃^2. Esto se 
muestra en la Figura 8.1. 
 
8.3: Estimación del modelo de índice único 
- Ahora proporcionamos un ejemplo extendido que comienza con la estimación de la 
ecuación de regresión (8.8) y continúa hasta la estimación de la matriz de covarianza 
completa de los rendimientos de valor. 
- Trabajaremos con observaciones mensuales de las tasas de rendimiento de las seis 
acciones, la cartera de S & P 500 y las T-bills en un período de 5 años (60 observaciones). 
- Primero, se calcula el exceso de rentabilidad de los siete activos de riesgo. Empezaremos 
con un análisis detallado de la preparación de la lista de 
entrada para HP, y luego procederemos a mostrar toda la 
lista de entradas. 
- La regresión del modelo de índice La Ecuación 8.8 expresada 
para HP es: 
 𝑅𝐻𝑃 (𝑡)=𝛼H𝑃+𝛽𝐻𝑃 𝑅𝑆&𝑃500 (𝑡)+𝑒𝐻𝑃 (𝑡) 
- La ecuación describe la dependencia (lineal) del exceso de 
rendimiento de HP (lado izquierdo) sobre los cambios en el 
estado de la economía, tal como lo representan los excesos 
de rendimiento de la cartera del índice S & P 500. Las 
estimaciones de regresión describen una línea recta con 
intercepción 𝛼𝐻𝑃 y pendiente 𝛽𝐻𝑃, que llamamos la línea de 
características de valor (SCL) para HP. 
- La relación entre los rendimientos de HP y el S&P 500 se ve 
mejor en la Figura 8.3, donde la línea de regresión se dibuja 
a través de la dispersión. La distancia vertical de cada punto de la línea de regresión es el 
valor del residuo de HP, 𝑒𝐻𝑃, correspondiente a ese mes particular. 
 
El poder explicativo de SCL para HP 
- Esto se ve con una tabla estilo stata. Se analiza a correlación, el r cuadrado, el r cuadrado 
ajustado y la relación de la variable dependiente con las variables explicativas. 
- vemos que la correlación de HP con el S & P 500 es bastante alto (.7238), diciéndonos que 
HP rastrea los cambios en los retornos del S & P 500 bastante estrechamente. El R-
cuadrado (.5239) nos dice que la variación en el exceso de S & P 500 explica 
aproximadamente el 52% de la variación en la serie HP. El cuadrado R ajustado (que es 
ligeramente más pequeño) corrige un sesgo ascendente en R-cuadrado que surge porque 
usamos los valores ajustados de dos parámetros, la pendiente (beta) y el intercepto (alfa), 
en lugar de su verdadero, pero no observable, valores. 
Análisis de la varianza. 
- En la parte ANOVA, el SS de la regresión (.3752) es la porción de la varianza de la variable 
dependiente (rendimiento de HP) que se explica por la variable independiente (el retorno 
S&P 500); Es igual a 𝛽𝐻𝑃^2 𝜎𝑆&𝑃500^2. La columna MS para el residuo (.0059) muestra la 
porción de rendimiento que es independiente del índice de mercado. La raíz cuadrada de 
este valor es el error estándar (SE) de la regresión (.0767). Si se divide el SS total de la 
regresión (.7162) en n-1, se obtendrá la estimación de la varianza de la variable 
dependiente (HP). Obsérvese que la R-cuadrado (la razón de la varianza explicada a la 
total) es igual a la SS explicada (regresión) dividida por la SS total. 
Estimación del alfa 
- El intercepto (.0086) es la estimación del alfa de HP para el período de la muestra. Aunque 
este es un valor económicamente grande (10,32% sobre una base anual), es 
estadísticamente insignificante. 
- El estadístico t es la relación entre el parámetro de regresión y su error estándar. Este 
estadístico es igual al número de errores estándar por los cuales nuestra estimación 
excede de cero y, por lo tanto, puede utilizarse para evaluar la probabilidad de que el valor 
verdadero, pero no observado, pueda ser igual a cero en vez de la estimación derivada de 
los datos. 
- En el caso de alpha, queremos el valor promedio de la rentabilidad de HP del impacto de 
los movimientos del mercado. Supongamos que definimos el componente no comercial de 
la rentabilidad de HP como su rendimiento real menos el rendimiento atribuible a los 
movimientos del mercado durantecualquier período. Llame a este retorno específico de la 
empresa de HP, que abreviamos como Rfs: 
 𝑅𝑓𝑖𝑟𝑚−𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐 =𝑅𝑓𝑠 = 𝑅𝐻𝑃 – 𝛽𝐻𝑃 𝑅𝑆&𝑃500 
- A partir de una tabla t-student podemos encontrar la probabilidad de que el verdadero 
alfa sea realmente cero o incluso menor dado la estimación positiva de su valor y el error 
estándar de la estimación. Esto se llama valor p. En este caso como alfa es mayor que el p 
valor, la estimación no es significativamente distinta de cero. 
- Pero incluso si el valor alfa fuera económicamente y estadísticamente significativo dentro 
de la muestra, todavía no usaríamos ese alfa como pronóstico para un período futuro. 
Esto porque las estimaciones de alfa no perduran en el tiempo. 
 
 
 
 
La estimación de beta 
- la Tabla 8.1 muestra que la estimación beta para HP es 2.0348, más del doble que la del 
S&P 500. Tanta sensibilidad al mercado no es inusual para las acciones tecnológicas. El 
error estándar (SE) de la estimación es 0,2547. 
- El beta y su SE producen una gran estadístico t (7.9888), y un valor p de prácticamente 
cero. Podemos rechazar con confianza la hipótesis de que la verdadera beta de HP es cero. 
- Si queremos construir un intervalo de confianza que incluya el valor verdadero pero no 
observado de la beta con una probabilidad del 95%, tomaremos el valor estimado como el 
centro del intervalo y luego sumaremos y restaremos aproximadamente dos errores 
estándar. Esto produce un rango entre 1,43 y 2,53, que es bastante amplio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.4: construcción de la cartera y el modelo del índice único 
 
Análisis de alfa y su valor 
- Quizás la ventaja más importante del modelo de un solo índice es el marco que 
proporciona para el análisis macroeconómico y de valor en la preparación de la lista de 
insumos que es tan crítica para la eficiencia de la cartera óptima. 
- El modelo de índice único crea un marco que separa estas dos fuentes de variación de 
retorno muy diferentes (inconsistencia en las previsiones macroeconómicas y los 
supuestos para el riesgo y el rendimiento que a menudo no son explícitos) y hace más fácil 
asegurar la consistencia entre los analistas. Podemos establecer una jerarquía de la 
preparación de la lista de entrada utilizando el marco del modelo de índice único. 
1. El análisis macroeconómico se utiliza para estimar la prima de riesgo y el riesgo del 
índice de mercado. 
2. El análisis estadístico se utiliza para estimar los coeficientes beta de todos los valores 
y sus varianzas residuales, 𝜎^2(𝑒𝑖). 
3. El gestor de la cartera utiliza las estimaciones de la prima por riesgo del índice de 
mercado y el beta para establecer el rendimiento esperado de dicho valor sin ninguna 
contribución del análisis de valor. La rentabilidad esperada basada en el mercado está 
condicionada a la información común a todos los valores, no a la información obtenida 
del análisis de determinadas empresas. Esta rentabilidad esperada basada en el 
mercado puede utilizarse como punto de referencia. 
4. Los pronósticos de rendimiento esperado específico de valor (alfas) se derivan de 
varios modelos de valoración de valor. Así, el alfa destila la prima de riesgo 
incremental atribuible a la información privada desarrollada a partir del análisis de 
valor. 
- En el contexto de la ecuación 8.9, la prima de riesgo sobre un valor no sujeto al análisis de 
valor sería 𝛽𝑖𝐸(𝑅𝑀). Cualquier rendimiento esperado más allá de esta prima de riesgo de 
referencia (alfa) se debe a algún factor no de mercado que sería descubierto a través del 
análisis de valor. 
- El resultado final del análisis de valor es la lista de valores alfa. Los métodos estadísticos 
para estimar los coeficientes beta son ampliamente conocidos y estandarizados; Por lo 
tanto, no esperamos que esta porción de la lista de entrada difiera mucho entre los 
gestores de cartera. 
- Utilizando el modelo de índice para desentrañar las primas debido a factores de mercado 
y no de mercado, un gestor de cartera puede confiar en que los analistas macro que 
compilan estimaciones de la prima de riesgo del índice de mercado y los analistas de valor 
que compilan valores alfa están usando estimaciones consistentes para el mercado 
general. 
- El alfa es la variable clave que nos dice si un valor es una compra buena o mala. De hecho, 
hemos sugerido que un valor con un alfa positivo está proporcionando una prima por 
encima de la prima que deriva de su tendencia a seguir el índice del mercado. Si el alfa es 
positivo debo inclinarme más a eso y si es negativo alejarme de eso. 
 
La cartera de índices como un activo de inversión. 
- Podemos beneficiarnos de la simplificación que ofrece el modelo de índice para derivar la 
lista de entradas. Otra ventaja del modelo es que es una representación simple e 
intuitivamente reveladora de la cartera de riesgo óptima. Antes consideraremos el papel 
de la cartera de índices en la cartera óptima. 
- Supongamos que una sociedad limita el universo de activos invertibles a sólo las acciones 
incluidas en S&P 500. En este caso, S&P 500 capta el impacto de la economía en las 
grandes acciones que la firma puede incluir en su cartera. 
- Una forma fácil de evitar una mala diversificación es incluir la cartera de S & P 500 como 
uno de los activos de la cartera. Si consideramos la cartera de S & P 500 como el índice de 
mercado, tendrá un beta de 1 (sensibilidad a sí misma), ningún riesgo específico de la 
empresa y un alfa de cero. 
- Podemos pensar en el S & P 500 como una cartera pasiva que el gerente seleccionaría en 
ausencia de análisis de valor. 
 
La lista de entrada del modelo de índice único. 
- Si el gestor de cartera planea compilar una cartera a partir de una lista de n empresas 
activamente investigadas y una cartera de índices de mercado pasivos, la lista de insumos 
incluirá las siguientes estimaciones: 
1. Prima de riesgo en la cartera de S&P 500. 
2. Estimación de la desviación estándar de la cartera de S&P 500. 
3. n conjuntos de estimaciones de (a) coeficientes beta, (b) variaciones residuales de 
stock, y (c) valores alfa. (Los valores alfa de cada valor, junto con la prima de riesgo del 
S&P 500 y el beta de cada valor, permitirán determinar el rendimiento esperado de 
cada valor). 
La cartera de riesgo óptima del modelo de índice único. 
- El modelo de índice único nos permite resolver directamente la cartera de riesgo óptima y 
obtener una visión de la naturaleza de la solución. 
- Con las estimaciones de los coeficientes beta y alfa, más la prima de riesgo de la cartera 
del índice, podemos generar los rendimientos esperados n + 1 usando la ecuación 8.9. Con 
las estimaciones de los coeficientes beta y las varianzas residuales, junto con la varianza 
de la cartera del índice, podemos construir la matriz de covarianza usando la ecuación 
8.10. 
- Vimos anteriormente que: 
 
 
 
 
 
 
 
- El objetivo es maximizar la relación de Sharpe de la cartera usando pesos de cartera, w1,. 
. ., wn+1. Con este conjunto de pesos, el rendimiento esperado, la desviación estándar y la 
relación de Sharpe de la cartera son: 
 
 
 
 
 
 
 
- El análisis de valor nos da la oportunidad de descubrir los valores con un alfa diferente de 
cero y tomar una posición diferencial en esos valores. El costo de esa posición diferencial 
es una salida de la diversificación eficiente, es decir, la asunción de riesgo innecesario 
específico de la empresa. 
- La cartera de riesgo óptima resulta ser una combinación de carteras de dos componentes: 
(1) una cartera activa, A, compuesta por los n valores analizados y (2) la cartera de índices 
de mercado, el activo (n + 1) que incluimos para ayudar en la diversificación, que 
denominamos cartera pasiva y que denotan a M. 
- Supongamos que la cartera activa tiene beta= 1. En ese caso, el peso óptimo en la cartera 
activa sería proporcional a la relación 𝛼𝐴/ 𝜎^2 𝑒𝐴. Esta relación equilibra la contribución de 
lacartera activa (alfa) con la contribución a la varianza de la cartera (varianza residual). La 
relación análoga para la cartera de índice es 𝐸(𝑅𝑀)/𝜎𝑀^2, y por lo tanto la posición 
inicial en la cartera activa (es decir, si su beta era 1) es: 
 
 
 
 
- Para cualquier nivel de 𝜎𝐴^2, la correlación entre las carteras activa y pasiva es mayor 
cuando la beta de la cartera activa es más alto. Esto implica un menor beneficio de la 
diversificación de la cartera pasiva y una posición inferior en ella. Correspondientemente, 
la posición en la cartera activa aumenta. La modificación precisa para la posición en la 
cartera activa es: 
 
 
 
 
La relación de información. 
- Las dos ecuaciones anteriores proporcionan la posición óptima en la cartera activa una vez 
que conocemos su varianza alfa, beta y residual. Con wA* en la cartera activa y 1-wA* 
invertidos en la cartera de índices, podemos calcular el retorno esperado, la desviación 
estándar y el Sharpe ratio de la cartera de riesgo óptima. El Sharpe ratio de una cartera de 
riesgo óptimamente construida superará la de la cartera de índices (la estrategia pasiva). 
La relación exacta es: 
 
 
- La ecuación 8.22 nos muestra que la contribución de la cartera activa (cuando se mantiene 
en su peso óptimo, wA*) a la relación de Sharpe de la cartera global de riesgo se 
determina por la relación de su alfa con su desviación estándar residual. Esta relación se 
llama relación de información. La ecuación 8.22 implica que para maximizar la relación de 
Sharpe en general, debemos maximizar la relación de información de la cartera activa. 
- La relación de información de la cartera activa se maximizará si invertimos en cada valor 
en proporción a su ratio de 𝛼𝑖⁄ 𝜎^2 𝑒𝑖. Al escalar esta relación para que la posición total en 
la cartera activa se agregue a wA*, el peso en cada título es: 
 
 
 
- De esta ecuación encontramos que: 
 
 
- En contraste con alfa, observe que el mercado (sistemático) componente de la prima de 
riesgo, 𝛽𝑖𝐸(𝑅𝑀), se compensa con el riesgo no diversificable (de mercado) del valor, 
𝛽𝑖^2 𝜎𝑀^2 y ambos están impulsados por la misma beta. Este trade-off no es exclusivo de 
ningún valor, ya que cualquier valor con la misma beta hace la misma contribución 
equilibrada tanto al riesgo como al retorno. 
- Vemos en la ecuación 8.23 que, si el alfa de un valor es negativo, el valor asumirá una 
posición corta en la cartera de riesgo óptima. Si se prohíben las posiciones cortas, se 
retiraría simplemente un valor negativo del programa de optimización y se asignaría un 
peso de cartera de cero. 
- Finalmente, observamos que la cartera del índice es una cartera eficiente solamente si 
todos los valores alfa son cero. 
 
Resumen del procedimiento de optimización. 
1. Calcular la posición inicial de cada valor en la cartera activa como: 
2. Escalar las posiciones iniciales para forzar pesos de la cartera a sumar a 1 dividiendo por 
su suma, es decir, 
 
 
3. Calcule el alfa de la cartera activa: 
4. Calcular la varianza residual de la cartera activa: 
 
5. Calcule la posición inicial en la cartera activa: 
 
 
6. Calcule la beta de la cartera activa: 
 
7. Ajustar la posición inicial en la cartera activa: 
 
8. Nota: la cartera de riesgo óptima ahora tiene pesos: 
 
9. Calcular la prima de riesgo de la cartera de riesgo óptima de la prima de riesgo de la 
cartera de índices y la alfa de la cartera activa: 
 
10. Calcular la varianza de la cartera de riesgo óptima de la varianza de la cartera de 
índices y la variación residual de la cartera activa: 
 
 
8.5 Aspectos prácticos de la gestión de la cartera con el modelo de índice. 
¿Es el modelo de índice inferior al de covarianza completa (Markowitz)? 
- Sabemos que la adición de variables explicativas en la mayoría de los casos aumentará R-
cuadrado, y en ningún caso la R-cuadrada caerá. Pero esto no implica necesariamente una 
mejor ecuación de regresión. Un mejor criterio es la contribución al poder predictivo de la 
regresión. 
- La pregunta apropiada es si la inclusión de una variable que contribuye al poder 
explicativo de la muestra es probable que contribuya a la precisión de pronóstico fuera de 
la muestra. Añadir variables, incluso aquellas que pueden parecer significativas, a veces 
puede ser peligroso para la precisión de pronóstico. Dicho de otra manera, un modelo que 
es mezquino acerca de la inclusión de variables independientes es a menudo superior. 
- Este problema se aplica también a la sustitución del índice único con el modelo de 
Markowitz. Para añadir otro índice, necesitamos tanto una previsión de la prima de riesgo 
de la cartera de índices adicionales como las estimaciones de betas de valor con respecto 
a ese factor adicional. El modelo de Markowitz permite una mayor flexibilidad en nuestro 
modelo de estructura de covarianza de activos en comparación con el modelo de índice 
único. 
La versión de la industria del modelo de índice. 
- En la medida en que modelo del índice es aproximadamente válido, proporciona un punto 
de referencia conveniente para el análisis de valor. 
- Un gestor de cartera que no disponga de información especial sobre un valor que no esté 
disponible para el público en general tomará el valor alfa de la garantía como cero y 
pronosticará una prima de riesgo para el valor igual a 𝛽𝑖𝑅𝑀. Si reafirmamos esta previsión 
en términos de retornos totales, se podría esperar: 
 𝐸(𝑟𝐻𝑃) = 𝑟𝑓+𝛽𝐻𝑃 [𝐸(𝑟𝑀)−𝑟𝑓] (8.25) 
- Un gestor de cartera que tiene una previsión para el índice de mercado, E(rM), y observa 
la tasa libre de riesgo, rf, puede utilizar el modelo para determinar el rendimiento 
esperado de referencia para cualquier acción. El coeficiente beta, el riesgo de mercado, 
𝜎𝑀^2, y el riesgo específico de la empresa, 𝜎^2(𝑒), se puede estimar a partir de las SCL 
históricas, es decir, de las regresiones de los excesos de valor sobre los rendimientos 
excedentes del índice de mercado. 
- De esta manera se estima una variante de nuestro modelo de índice, que es: 
 
- Comparando las ecuaciones 8.26 y 8.28, se puede ver que si rf es constante durante el 
período de la muestra, ambas ecuaciones tienen la misma variable independiente, rM, y 
residual, e. Por lo tanto, el coeficiente de pendiente será el mismo en las dos regresiones. 
Predicción de betas. 
- Las betas ajustadas son una forma sencilla de reconocer que las betas estimadas a partir 
de datos pasados pueden no ser las mejores estimaciones de futuras betas: los Betas 
parecen derivarse hacia 1 con el tiempo. 
- Un enfoque simple sería recolectar datos sobre beta en diferentes períodos y luego 
estimar una ecuación de regresión: 
Beta actual = a + b (beta anterior) (8.30) 
Teniendo en cuenta las estimaciones de a y b, entonces predecir futuros betas utilizando 
la regla 
Pronóstico beta = a + b (beta actual) (8.31) 
- ¿Por qué no investigar también el poder predictivo de otras variables financieras en la 
predicción beta? Beta actual = a + b1 (beta anterior) + b2 (tamaño de la empresa) + b3 
(ratio de deuda) Ahora usaríamos estimaciones de a y b1 a b3 para pronosticar betas 
futuras. Este enfoque fue seguido por Rosenberg y Guy, que encontraron las 
siguientes variables para ayudar a predecir betas: Variación de ganancias, Variación 
del flujo de caja, Crecimiento de las ganancias por acción, Capitalización de mercado 
(tamaño de la empresa), Rendimiento del dividendo y Relación deuda / activo. 
- Rosenberg y Guy también encontraron que incluso después de controlar las características 
financieras de una empresa, el grupo de la industria ayuda a predecir la beta. 
 
Modelo de índice y carpetas de seguimiento 
- Supongamos que un gestor de cartera cree que ha identificado una cartera de bajo precio. 
Su equipo de análisis de valor calcula la ecuación del modelo de índice para esta cartera 
(utilizandoel índice S&P 500) en forma de rendimiento excesivo y obtiene las siguientes 
estimaciones: 
 𝑅𝑃= .04+1.4 𝑅𝑆&𝑃500 + 𝑒𝑃 (8.32) 
- Por lo tanto, P tiene un valor alfa de 4% y beta de 1,4. El gerente confía en la calidad de su 
análisis de valor, pero es cauteloso sobre el rendimiento del amplio mercado en el corto 
plazo. Si compra la cartera, y el mercado como un todo rechaza, todavía podría perder 
dinero en su inversión (que tiene una beta positiva grande), incluso si su equipo está en lo 
cierto que la cartera está subvaluada sobre una base relativa. Le gustaría una posición que 
aproveche el análisis de su equipo, pero es independiente del rendimiento del mercado en 
general. 
- y falta pero me da paja leer mas bye.