Guía Prueba 1

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1 Opciones
Suponga que un inversionista compra una opción put con precio de ejercicio K1 y una opción
call con precio de ejercicio K2. Las dos opciones son sobre el mismo activo subyacente y tienen
misma fecha de vencimiento, con K1 < K2. Además, el inversionista invierte una cantidad
K2− K1
1+ R
en un bono con tasa R hasta el próximo período. Encuentre un portafolio equivalente
(es decir, que entregue los mismos flujos futuros) usando sólo opciones (sin invertir o vender el
bono). Explique con ecuaciones y grafique.
2 Diversificación intertemporal
Suponga que un inversionista está considerando invertir en el IPSA chileno. El retorno
del IPSA es −4% si el país está en una recesión y 6% si el país está en un boom. Boom y
recesión son los únicos dos estados de la naturaleza posibles en cada periodo. Cada estado
tiene probabilidad de ocurrencia de 50%. Asuma que el inversionista tiene preferencias frente
al riesgo representadas por (con A> 0):
U = E(R)−
A
2
σ2
a) Calcule el retorno esperado y varianza del retorno del IPSA para una inversión de un periodo
(corto plazo) y de dos periodos (largo plazo). Asuma que los estados de la naturaleza no se
correlacionan a través de periodos. Por ejemplo, si en el primer periodo el IPSA tiene un
boom, esto no nos dice nada sobre si en el segundo periodo será más probable observar un
boom o una recesión. Comente la siguiente afirmación: “El retorno del IPSA es mucho más
seguro en el largo plazo que en el corto plazo”.
b) Siguiendo con (a), calcule el coeficiente de aversión al riesgo A tal que el inversionista esté
indiferente entre invertir en el IPSA por un periodo o no invertir (lo cual que entrega una
utilidad de cero). Repita lo mismo para la inversión por dos periodos. Comente la siguiente
afirmación: “Es claro que inversionistas más aversos al riesgo prefieren una inversión de
largo plazo a una de corto plazo dadas las fluctuaciones temporales del IPSA”.
c) Suponga ahora que siempre después de una recesión en el primer periodo viene un boom en
el segundo periodo, o si hay un boom en el primer periodo viene seguro una recesión en
el segundo periodo. Calcule el retorno esperado y varianza del retorno del IPSA para una
inversión de un periodo (corto plazo) y de dos periodos (largo plazo). ¿Qué inversión (de
corto o de largo plazo) preferirá un averso al riesgo? Explique.
3 Violaciones al Teorema del Fondo Mutuo
Considere un mercado donde existen dos activos riesgosos (value y growth) y un activo libre
de riesgo (RF). Los retornos esperados, desviación estándar (σ), correlaciones, y participación
en el portafolio de tangencia (T ) para estos activos son:
E(R) σ Correlación con value % en T
Value 16% 28% 1.00 40%
Growth 12% 20% 0.50 60%
RF 2% 0% 0.00 0%
Todo inversionista tiene preferencias frente al riesgo representadas por (con A> 0):
U = E(R)−
A
2
σ2
a) Encuentre el retorno esperado y varianza del portafolio de tangencia.
b) Un intermediario financiero recomienda portafolios donde la razón de porcentajes a invertir
en value y growth es igual a 2/A, donde A es el coeficiente de aversión al riesgo reportado
por el inversionista. ¿Por qué esta recomendación de portafolio viola el teorema del fondo
mutuo?
c) Continuando con el intermediario en (b), el portafolio que él recomienda sólo invierte
en value y growth en razón 2/A, y no invierte en RF . Compare la pérdida o ganancia de
bienestar de seguir la recomendación de portafolio del intermediario en vez del teorema del
fondo mutuo para un inversionista con A= 1 y otro con A= 10. Explique en cada caso por
qué el inversionista pierde o gana.
d) Usted le muestra sus cálculos de (c) al intermediario y éste le dice que los portafolios que
él ofrece son más “realistas” porque toman en cuenta que los inversionistas en la práctica
enfrentan restricciones al endeudamiento. Asumiendo que estas restricciones efectivamente
existen: ¿está el intermediario completamente equivocado o tiene algo de razón? ¿Para qué
tipo de inversionista (para qué nivel de aversión al riesgo) podría ser aplicable la lógica del
intermediario? Explique con palabras y gráficos.
e) ¿Y si los inversionistas enfrentan restricciones a las ventas cortas de los activos value y
growth: se aplica la lógica del intermediario en (d)?
4 Análisis media-varianza con 2 activos riesgosos
Suponga que inicialmente existe un sólo activo (x) en la economía. El activo x tiene
E(Rx) = 0.15 y σx = 0.3. Un imaginativo intermediario financiero decide crear un segundo
activo llamado “2x Bull” que multiplica por 2 los retornos del activo x . Por ejemplo, “2x Bull”
renta 20% si x renta 10%, y renta 20% si x renta 10%.
a) Obtenga la frontera eficiente para este mercado con 2 activos. Grafique.
b) ¿Es posible formar un portafolio con cero varianza en este mercado? Muestre sus cálculos.
c) Suponga que existe un inversionista con función de utilidad:
U = E(Rp)−
A
2
σ2p
Donde A > 0. Derive el portafolio óptimo para el inversionista en este mercado. Debe
expresar el portafolio óptimo en función de A. Encuente el retorno esperado y desviación
estándar del portafolio elegido.
d) Suponga que se prohiben las ventas cortas del activo “2x Bull”. ¿Para qué tipo de inver-
sionistas es ésta una restricción relevante? ¿Qué ocurre si se prohiben las ventas cortas de
x?
5 Credit Default Swaps
Un credit default swap (CDS) permite intercambiar un bono por su valor par en el caso de
quiebra o default de la empresa que emitió el bono. Por ejemplo, suponga que Ford emite un
bono por $100 y Ud. compra el bono más un CDS emitido por un intermediario financiero. En
el evento de que Ford quiebre, Ud. puede ir donde el intermediario y exigir los $100. Ud. debe
entregar el bono al intermediario en ese caso. En pocas palabras, un CDS es como comprar
seguro ante default.
Suponga que el bono de Ford es un bono cero cupón, con valor de carátulade $100 y que
expira en dos años más. La TIR de ese bono hoy es 25%. La acción de Ford vale hoy $24. En el
caso de que Ford quiebre en dos años más, la acción vale cero y el bono paga sólo $40. En el
caso de que Ford no quiebre en dos años más, la acción vale $40.
a) ¿A qué activo derivado se parece el CDS?
b) ¿Cuánto debería valer hoy un CDS escrito sobre el bono de Ford?
c) Suponga que aumenta el premio por riesgo de los bonos a dos años plazo por turbulencia en
el mercado de renta fija y las TIRs suben en 2%. ¿Cuál es el nuevo precio del bono de Ford?
Asuma que todo lo demás sigue igual. Recalcule el precio del CDS. ¿Cómo se mueven los
precios de CDS y las TIRs de bonos? Interprete.
d) Suponga ahora (independiente de (c)) que baja el precio actual de la acción de Ford a $20.
Asuma que todo lo demás sigue igual. Recalcule el precio del CDS. ¿Cómo se mueven los
precios de CDS y los precios de acciones? Interprete.