BKM 15

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CAPÍTULO 15: LA ESTRUCTURA DE PLAZOS DE LAS TASAS DE INTERÉS 
Por simplicidad, asumimos una misma tasa de interés para descontar los flujos a cualquier 
madurez, pero esto no es así en el mundo real. Por ejemplo en el 2007, los bonos de corto 
plazo tuvieron un rendimiento al vencimiento de 4,7% mientras que los bonos de largo 
plazo tuvieron un 5% (Yield to maturity: rendimiento al vencimiento del bono). En el 
momento en que los precios de los bonos fueron cotizados, los valores de largo plazo ya 
tenían un mayor rendimiento. Este es el típico comportamiento, pero la relación entre 
tipo de madurez y rendimiento a la madurez puede variar dramáticamente de un periodo 
a otro. En este capítulo exploraremos el comportamiento de las tasas de interés para 
diferentes activos y periodos. Intentaremos identificar los factores que expliquen este 
comportamiento y determinen que información puede ser derivada del análisis llamado 
“Term structure of interest rates” (Estructura de plazos de las tasas de interés), que es la 
estructura de las tasas de interés para descontar flujos de diferente madurez.
1. THE YIELD CURVE (Curva de Rendimiento) 1
La figura muestra que 
bonos de diferente 
madurez se venden con 
diferentes curvas de 
rendimiento. Cuando se 
recopilaron los precios 
de los bonos y 
rendimientos, los bonos 
de largo plazo se 
vendieron a 
rendimientos 
ligeramente mayores 
que los de corto plazo. 
Los profesionales 
resumen la relación entre retorno y su madurez gráficamente, en una curva de 
rendimiento ( Yield Curve ), que es un trazo (plot) del rendimiento a la madurez (yield to 
maturity) como función del tiempo de madurez. 
La Yield curve es concepto clave de los ingresos de renta fija (fixed-income) de los 
inversionistas. Es central para la valoración de bonos, ya que permite evaluar las 
expectativas para futuras tasas. Esta comparación es por lo general el punto de partida 
para la formulación de una estrategia de porfolio de renta fija (fixed-income portfolio 
strategy). En el 2007, la yield curve fue bastante plana, con bonos de LP ofreciendo 
rendimientos sólo algo mayores a los de CP. La relación entre rendimiento y madurez 
pueden variar. La figura muestra curvas de rendimiento de diferentes tamaños. El Panel A 
es el que tiene la curva más plana y es del 2006. El Panel B es la típica pendiente creciente 
1 Curva de rendimiento. Gráfico que representa los rendimientos de bonos similares, pero con distintas 
fechas de vencimiento
de un año anterior. El panel C tiene una pendiente decreciente o una curva invertida. El 
panel D es de tipo joroba (humped-shaped), primero aumenta, luego cae.
- Bond Pricing 
Si las curvas de bonos de diferente madurez no son todas iguales, ¿Cómo podríamos 
valorar un bono cupón que hace pagos en diferentes momentos del tiempo? 
Supongamos que los rendimientos de un bono cero cupón del tesoro son los que indica la 
tabla. Tabla: Precios y rendimiento a la madurez de un zero cupón con valor nominal de 
$1000. (face value). Por ejemplo un bono con 1 año de madurez se vende con un 
rendimiento a la madurez de y=5%. La pregunta es cuál usar para descontar flujos y la 
respuesta es: todos. El truco es 
considerar cada flujo de caja (un cupón o 
principal) como al menos una venta 
separada de un zero cupón autónomo. 
(as at least potencially sold off separately 
as a stand alone zero-coupon bond).
Recordemos el programa del Tesoro 
STRIPS Los *Stripped Treasuries2 son bonos zero cupón creados para comprar cada 
cupón o principal a partir de un gran bono del Tesoro como un flujo separado. Por 
ejemplo, un T-bond de 1 año de madurez, paga cupones semi anuales que pueden ser 
divididos en zeros de 6 meses de madurez (vendiendo el primer cupón como un valor 
autómo (stand-alone security) y de 12 meses de madurez (correspondiente al pago del 
cupón final y principal). Treasury Stripping muestran exactamente cómo valorar un 
cupón. Si cada flujo de caja puede ser vendido (en la práctica lo es) como un valor por 
separado, luego, el valor del bono total debiera tener el mismo valor de sus flujos de caja 
comprados pieza por pieza en el mercado STRIPS.
Y si no? Se podrían hacer fáciles ganancias. Por ejemplo, si los inversionistas bancarios 
notan una venta de un bono por menos que el monto que representa la suma de sus 
partes ellos podrían comprar el bono, “strip it” en un zero cupón, vender los flujos de caja 
por separado (stripped) y ganar la diferencia. Si el bono fuera vendido por más de la suma 
de los valores de sus flujos individuales, ellos podrían hacer el mismo proceso pero en 
reversa: comprar el cero cupón individual en el mercado STRIPS, reconstituir los flujos de 
caja en un bono cupón, y vender el bono completo a un precio mayor que el costo de las 
piezas. Ambos BOND STRIPPING y BOND RECONSTITUTION ofrecen oportunidades de 
arbitraje (explotación de un precio mal ajustado entre dos o más valores para hacer una 
ganancia económica de bajo riesgo). Cualquier violación a la LEY DE UN SOLO PRECIO dará 
paso al arbitraje (flujos de caja idénticos debe venderse a un mismo precio). 
2 Los stripped Treasury tienen la Posibilidad de "segregación": esto es, posibilidad de separar cada bono en 
"n" valores. Un Cupon-strip bond, es un bono con cupones separados (lo mismo).
Madurez 
(años)
Rendimiento a 
la madurez 
(%) Yield to 
maturity
Precio
1 5 952.38= $1000/1,05
2 6 890=$1000/1,062
3 7 816,3= $1000/1,073
4 8 735,03= $1000/1,084
Ahora, sabemos cómo valorar cada flujo de caja por separado (stripped). Sólo buscamos la 
tasa de dscto apropiada en el Wall Street Journal. Debido a que cada cupón madura en 
diferentes tiempos, descontamos usando un rendimiento apropiado para cada madurez, 
este es el rendimiento de un Treasury Strip que madura en el momento del flujo de caja. 
Esto se mostrará con un ejemplo. 
Ejemplo 1. Supongamos que tenemos que valorar un bono con cupón del 10% con una 
madurez de 3 años, siguiendo la tabla anterior. Supongamos pagos anuales. El primer flujo 
de caja es descontado al 5% (el cupón de $100 pagado a fines del primer año), el segundo 
a un 6% y el último que es el cupón junto con el valor par a un 7%. El valor entonces sería 
$1082,17.3
El rendimiento a la madurez de este cupón es de 6,88% (interés simple para el cual el valor 
presente de los flujos se iguala al precio de mercado). Esto debería impresionarnos porque 
es sólo un poco menor que la tabla (rendimiento a la madurez (3 años) (7%)). Esto refleja 
que un bono cupón a 3 años puede verse como un porfolio de 3 bonos zero cupón 
implícito, cada uno correspondiente a un flujo. El rendimiento en el bono cupón es una 
amalgama de los rendimientos de cada uno de los tres componentes del portfolio. Esto 
significa: Si las tasas de interés difieren, los bonos de igual madurez generalmente no 
tendrán el mismo rendimiento a la madurez. (yield to maturity) 
Cuando hablamos del rendimiento a la madurez nos referimos a muchas curvas de 
rendimiento. La pure yield curve (curva de rendimiento pura) se refiere a la curva para 
bonos del tesoro tipo zero cupón o stripped. En contraste, la on the run yield, se refiere a 
al rendimiento en función de la madurez para bonos cupones recientemente establecidos 
vendidos a valor par o cerca. Ambas curvas son muy diferentes. La yield curve se publica 
en la prensa financiera, por ejemplo la primera imagen corresponde a curvas “on the run”.
2. LA YIELD CURVE Y LAS TASAS DE INTERÉS FUTURAS
Hemos hablado de la curva de rendimiento, pero no de dónde proviene. ¿Por qué a veces 
son con pendiente creciente (upward-sloping) y otras veces decreciente (downward-
sloping). La respuesta no es simple por lo que comenzaremos con un esquema idealizado, 
para luego extenderlo a un caso más realista. Consideremos un mundosin incertidumbre, 
específicamente, uno donde todos los inversionistas conocen la trayectoria (path) de las 
tasas de interés futuras.
- La Yield Curve bajo Certidumbre: Si una tasa de interés es certera, ¿Qué 
deberíamos hacer en el caso que el rendimiento de un bono cero cupón a dos años 
sea mayor que uno de uno a 1 año? No puede ser que un bono se espere que 
provea una tasa de interés mayor que otro. Esto no es posible en un mundo de 
certidumbre, sin riesgo, todos los bonos y valores deben ofrecen retornos 
idénticos, o los inversionistas aumentarán los precios (bid up the Price) de los 
3 100/1,05+ 100/1,062 + 1100/1,073= 1082,17
bonos con mayor retorno hasta quela tasa de retorno no sea mayor que la de 
otros.
De hecho una curva de rendimiento con pendiente creciente (upward-sloping) es 
evidencia que las tasas de CP será mayores el próximo año que hoy. Para ver porqué, 
consideremos estrategias para bonos de 2 años:
La primera estrategia consiste en comprar el zero a dos años que ofrece un rendimiento a 
la madurez de dos años de un y2=6% y lo mantendrá hasta su madurez. El bono tiene un 
valor nominal de $1000 y es comprado hoy por $1000/1,062 =$890 (madura en 2 años a 
$1000). El factor de crecimiento total para dos años por la inversión 1,062 .
Ahora consideremos una 
estrategia alternativa a dos 
años. Invertimos los mismos 
$890 en un bono zero cupón a 
1 año con un rendimiento a la 
madurez de 5%. Cuando el 
bono madure, reinvertimos las 
ganancias en otro bono a un 
año. En el dibujo se ilustran 
ambas estrategias. La tasa de 
interés que ofrecerá este bono 
a un año se denota como r2. 
Recordemos que ambas 
estrategias deben entregar 
iguales retornos (siempre que 
no haya riesgo). Por lo tanto las 
ganancias después de dos años 
deben ser iguales:
De esta forma podemos resolver r2 (7,01%). 
Mientras el bono a 1 año ofrece un 
rendimiento a la madurez menor al del bono 
a 2 años, vemos que hay una ventaja que 
compensa (compensating advantage) : te 
permite renegociar (roll over) tus fondos en 
otro bono al año siguiente cuando las tasas serán mayores. El interés del próximo año es 
mayor que hoy tan solo renegociando bonos a 1 año igualmente atractivos como invertir 
en un bono de dos años.
Para distinguir entre rendimientos de bonos de largo plazo versus tasas de corto plazo que 
estarán disponibles en el futuro, se utiliza la sgte terminología:
Comprar y mantener un bono zero a 2 
años = Reinvertir en (Roll Over) bonos 
de 1 año 
890x1,062= 890x 1,05x (1 + r2)
Spot Rate (Tasa Spot) : El rendimiento a la madurez de un bono zero cupón, lo que 
significa que la tasa que prevalece hoy para un periodo correspondiente a la madurez del 
bono.
Short Rate: Para un intervalo de tiempo dado, se refiriere a la tasa de interés para el 
intervalo disponible en diferentes puntos del tiempo. 
En el ejemplo el spot es 7,01%, mientras que la short rate es 5%.
No debe sorprendernos que la tasa spot a dos años es un promedio de la short rate de hoy 
y de los próximos años. Pero debido a la composición, el promedio es de tipo geométrico. 
Podemos verlo igualando las dos estrategias anteriores: 
Esta ecuación nos dice porqué la curva de rendimiento 
puede tener diferentes formas en diferentes momentos 
del tiempo. Cuando r2 (short rate del próximo año) sea mayor que r1, el promedio de 
ambas tasas es mayor que el de hoy, por lo tanto y2 es mayor a r1 y la curva tiene 
pendiente ascendente. Si la short rate del próximo año es menor que r1, entonces, la 
curva de rendimiento tendrá pendiente descendente. Por lo menos, en parte, la curva de 
rendimiento refleja la valoración del mercado proveniente de las tasas de interés. 
Ejemplo 2 . Ahora comparemos dos estrategias a tres años.
Una es comprar un bono zero a 3 años con un rendimiento a la madurez de 7% según la 
tabla y se mantendrá hasta su madurez. 
La otra estrategia es comprar un bono zero a 2 años con un rendimiento de 6% y poner 
las ganancias en un bono a 1 año en el año 3, con una short rate de r3. 
Comprar y mantener un bono zero a 3 años= comprar un 
bono zero a dos años, invertir las ganancias en un bono a 
1 año. 
Lo que implica que r3= 9,025%. Notemos que el rendimiento de un bono a 3 años refleja 
el promedio geométrico de los factores de descuento para los próximos 3 años:
Concluimos que el 
rendimiento o tasa spot de 
un bono a largo plazo refleja 
la trayectoria de las short 
rate anticipadas por el 
mercado sobre la vida del 
bono. 
(1 + y2)2 = (1 + r1)(1 + r2) 
1 + y2 = [(1 + r1)(1 + r2)] 0,5
(1 + y3)3 = (1 + y2)2(1 + r3) 
1,073=1,062(1+r3)
(1 + y3) = [(1 + r1)(1 + r2)(1 + r3) ]1/3
1,07= [(1,05x1,0701x1,09025)]1/3
La figura anterior resume los resultados de nuestro análisis y pone énfasis en la diferencia 
entre tasas cortas y spots. La primera línea presenta las tasas cortas para cada año (short 
rate) (equivalentemente rendimientos a la madurez de los bonos zero cupón para 
diferentes periodos de tenencia (holding period)) prolongadas desde el presenta a cada 
fecha de madurez relevante. 
- Holding Period Returns: Discutimos que los retornos acumulativos de varios años 
en todos nuestros bonos deben ser iguales. ¿Qué ocurre con diferentes periodos 
de tenencia como retornos a largo plazo vs más cortos como un año? Debemos 
pensar que los bonos que se venden a un rendimiento mayor ofrecerán mayores 
retornos que los bonos a 1 año pero este no es el caso. De hecho, una vez que 
piensas en esto, es claro que no puede ser cierto. En un mundo de certidumbre, 
todos los bonos deben ofrecer retornos idénticos, o los inversionistas acudirán 
(flock) a los valores de mayor retorno, aumentando sus precios (bidding up) y 
reduciendo sus retornos. Podemos ilustrarlo usando los bonos de la primera tabla. 
Ejemplo 3 : El bono a 1 año de la tabla puede ser comprado hoy por $1000/1,5= 952,38 y 
madurará a su valor par en un año. Esto no paga cupones, por lo que la ganancia de la 
inversión es la apreciación del precio, y su tasa de retorno es 0,05 4 . El bono a dos años 
puede ser comprado a 1.000/1,062= 890. El próximo año el bono tendrá una madurez 
remanente de 1 año y el interés a un año será de 7,01%. Por lo tanto, su precio el próximo 
año será $1000/1,07= 934,49 y la tasa de retorno del periodo de tenencia será 0,055, 
idéntico al 5% de la tasa de retorno.
- Foward Rates: La siguiente ecuación generaliza nuestra propuesta para inferir una 
short rate futura a partir de la curva de rendimiento (yield curve) de un bono zero 
cupón. Esta iguala el retorno total de dos estrategias de inversiones a n-años: 
Comprando y manteniendo un zero cupón de n-años versus comprar un bono zero 
a (n-1) años y reinvertir sus ganancias en un bono a 1 año:
Donde n es el periodo en cuestión y yn es el rendimiento 
a la madurez (yield to maturity) de un bono zero cupón 
con un periodo de madurez de n. Dada la curva de 
rendimiento, podemos resolver la ecuación para la tasa corta en el periodo pasado:
Interpretación de la ecuación: El numerador del 
lado derecho es el factor total de crecimiento de una inversión a n años de un bono zero 
que se mantiene hasta su madurez. Similarmente, el denominador, es el factor de 
crecimiento de una inversión en un bono zero a (n-1) años. Debido a que los inversionistas 
antiguos duran un año más que los posteriores, la diferencia en estos factores de 
crecimiento debe ser la tasa de retorno disponible en el año n, cuando el bono zero a (n-1) 
puede ser reinvertido (roll over) en una inversión a 1 año. 
4 (1000-952,38)/952,38
5 (934,49-890)/890
(1 + yn)n = (1 + yn-1)n-1(1 + rn) 
(1 + rn)= (1 + yn)n /(1 + yn-1)n-1
Por supuesto, cuando las tasas futuras son inciertas, como ocurre en la realidad, no 
podemos inferir la “tasa futura corta”. Hoy nadie sabe cuál serála tasa de interés. A lo 
más, podemos especular sobre su valor esperado a una incertidumbre asociada. Sin 
embargo, es aún común usar la ecuación anterior para investigar las implicancias de la 
curva de rendimiento para las tasas futuras. Reconociendo que las tasas futuras son 
inciertas, llamamos a las tasas de interés que inferimos como las Forward Interest Rate 
(tasa de interés forward), más que decirles tasas cortas futuras, debido a que necesita no 
ser la tasa que prevalecerá en el futuro. 
Si la tasa forward para el periodo n es denotada 
como fn la definimos como:
En esta fórmula, la tasa forward es definida como el 
interés “Break Even” (Punto de Equilibrio) que iguala el retorno de un bono zero cupón de 
n periodos a uno en (n-1) que reinvierte en un bono de 1 año en el año n. El retorno total 
actual de las dos estrategias a n años será igual si la tasa corta en el año n retorna lo 
mismo que fn.
Ejemplo 4. Supongamos un comerciante de bonos que usa la información de la primera 
tabla. La tasa forward para el año 4 sería compuesta de la siguiente forma: (1 + f4)= (1 + 
y4)4 /(1 + y3)3 = 1,084/1,073=1,1106
Debemos recalcar que la tasa de interés que prevalecerá en el tiempo no necesariamente 
iguala la tasa forward, que es calculada con la información de hoy. De hecho, no es ni 
siquiera necesario el caso de que la tasa forward iguale el valor esperado de la tasa futura 
corta. Este es un problema que veremos en la próxima sección. Por ahora, notemos, que 
la tasa forward iguala la tasa corta futura en el caso especial de tasa de interés cierta. 
Aplicación: Tasas Forward y Spot: Se 
puede usar un Excel para estimar los 
precios y rendimientos de bonos 
cupón y para calcular las tasas 
forward de años simples o 
multiperiodos. Los rendimientos de 
las tasas spot son derivados de la 
curva de rendimiento de los bonos 
que son vendidos a su valor par, 
también llamados como los cupones 
corrientes o curva de rendimiento de bonos “on the run”. Las tasas spot para cada periodo 
de madurez son usadas para calcular el valor presente de cada periodo de flujo de caja. La 
suma de estos flujos de caja es el precio del bono. Dado su precio, el rendimiento a la 
madurez del bono puede ser computado. Si te equivocas y usas el rendimiento a la 
madurez de los bonos “on the run” para descontar cada pago de cupón, podrías encontrar 
significantes diferencias de precio. 
(1 + fn)= (1 + yn)n /(1 + yn-1)n-1
3. TASAS DE INTERÉS BAJO INCERTIDUMBRE Y TASAS FORWARD
Centrémonos ahora en el análisis más difícil de la estructura de plazos cuando las tasas de 
interés futuras son inciertas. Hemos estado en un mundo de certidumbre, con diferentes 
estrategias de inversión con fechas de término comunes que deben proveer iguales 
retornos. Por ejemplo, dos inversiones consecutivas de un año en zeros necesitarían 
ofrecer el mismo retorno total que una inversión del mismo tamaño en un zero a 2 años. 
Así, bajo certidumbre:
(1 + r1)(1 + r2)= (1 + y2)2
¿Qué podemos decir cuando r2 no es conocido hoy? 
Por ejemplo, supongamos que la tasa de hoy es r1= 5% y la tasa corta esperada para el 
próximo año es E(r2)= 6%. Si los inversionistas se preocupan sólo del valor esperado de la 
tasa de interés, el rendimiento a la madurez de un bono zero a dos años podría ser 
determinado usando la tasa short esperada en la ecuación:
(1 + y2)2 = (1 + r1)(1 + E(r2))=1,05*1,06
El precio un bono zero a dos años sería $1000/(1 + y2)2 =$898,47.
Pero ahora consideremos un inversionista a corto plazo que desea invertir solo por un 
año. Puede comprar un zero a 1 año por $1000/1,05=952,38 y “asegurar6” (lock) un 
retorno sin riesgo de 5% debido a que se conoce a fin de año, su madurez será valorada 
en $1000. También puede comprar el bono zero a 2 años. Su tasa esperada de retorno 
también es 5%: El próximo año el bono tendrá 1 año de madurez y esperamos que la tasa 
de interés a 1 año sea 6%, implicando un precio de $943,4 y un retorno en el periodo de 
tenencia de 5%
Pero la tasa de retorno del bono a dos años es riesgosa. Si la tasa de interés del próximo 
año resulta ser encima de las expectativas (above expectationes), es decir, mayor que 6%, 
el precio del bono estará por debajo de los $943,4; contrariamente, si r2 se torna menor a 
6% el precio del bono excederá este precio. ¿Por qué podría el inversionista a corto plazo 
comprar el bono riesgoso a dos años cuando su retorno esperado es 5%, no mejor que el 
bono libre de riesgo a 1 año? Claramente, no debemos mantener el bono a dos años a no 
ser que se ofrezca un mayor retorno esperado. Esto requiere que el bono a dos años se 
venda a un precio menor que 898.47 valorados que derivamos cuando ignoramos el 
riesgo. 
E jemplo 5. Precios de Bonos y Tasas Forward con la tasa de interés riesgosa.
Supongamos que la mayoría de los inversionistas tienen horizontes de corto plazo (short 
term horizonz) y por lo tanto están dispuestos a mantener el bono a dos años sólo si su 
precio cae a $881.83. A este precio, el retorno esperado del periodo de tenencia del bono 
a dos años es de 7% 7. El premio por riesgo del bono a dos años, es por lo tanto 2%, este 
ofrece una tasa esperada de retorno de un 7% versus el 5% del retorno libre de riesgo del 
bono a un año. A este premio por riesgo, los inversionistas estarán dispuestos a correr con 
(bear) el riesgo precio asociado con la tasa de interés incierta. 
6 Se refiere a tener un interés fijo
7 943,4/881,83
Cuando los precios de los bonos reflejan un premio por riesgo, la tasa forward, f2, ya no 
iguala la tasa esperada de retorno E(r2). Aunque hemos asumido que E(r2)=6%, es fácil de 
confirmar que f2=8%. El rendimiento a la madurez en los zeros a 2 años vendidos a 
$881,83 es de un 6,49% y
1+f2= (1+y2)2/1+y1= 1.06492/1,05= 1,08
El resultado de este ejemplo (que la tasa forward excede la tasa corta esperada) no 
debería sorprendernos. Definimos la tasa forward como la tasa de interés que 
necesitaríamos para prevalecer en el segundo año para hacer las inversiones de corto y 
largo plazo igualmente atractivas, ignorando el riesgo. Cuando explicamos el riesgo, es 
claro que los inversionistas de corto plazo se asustarán (shy away) de los bonos de largo 
plazo, a menos, que ofrezcan un retorno esperado mejor que el bono a 1 año. Otra forma 
es decir que los inversionistas requerirán un premio por riesgo (risk premium) por 
mantener los bonos de largo plazo. Los inversionistas aversos al riesgo estarían dispuestos 
a mantener los bonos de largo plazo sólo si el valor esperado de la short rate es meor que 
el valor del break even, f2, debido a las menores expectativas de r2, mayor es el retorno 
anticipado de los bonos de largo plazo. 
Por lo tanto, si la mayoría de los individuos son inversionistas de corto plazo (short-term 
investors), los bonos deberían tener precios que hicieran f2 mayor que E(r2). La tasa 
forward abarcará (embody) un premio comparado con la short rate esperada futura. Este 
premio por liquidez (Liquidity Premium) compensa a los inversionistas de corto plazo por 
la incertidumbre acerca del precio al cual ellos serán capaces de vender sus bonos de largo 
plazo al final del año.8
Tal vez, sorprendentemente podemos imaginar también escenarios en que los bonos de 
largo plazo pueden ser percibidos por los inversionistas como más seguros (safer) que los 
de corto plazo. Para ver cómo ocurre esto, consideremos un inversionista de largo plazo 
(long-term investor) quien desea invertir en un periodo de 2 años. Supongamos que el 
inversionista puede comprar un bono zero cupón a dos años a $890, a un valor par de 
$1000 y asegurar (lock in) un rendimiento a la madurez garantizado de y2=6% . 
Alternativamente, los inversionistas podrían reinvertir (roll over) en 2 inversiones a 2 
años. Eneste caso un inversión de $890 crecería en dos años a 890x1,05x(1+r2), que es un 
monto no certero hoy, debido a que r2 no es conocido aún. El break even de la tasa de 
interés a dos años, es, nuevamente la tasa forward, 7,01%, debido a que la tasa forward es 
definida como la tasa que iguala el valor terminal de dos estrategias de inversión. 
El valor esperado del pago (payoff) de la estrategia de reinversión (rollover) es 
890x1,05x(1+E(r2)). Si E(r2) iguala la tasa forward f2, luego, el valor esperado del pago de 
la estrategia de reinversión igualará el pago conocido de la estrategia de el bono a dos 
años de madurez.
8 Liquidez se refuere a la habilidad de vender un acivo fácilmente a un precio predecible. Debibo a que los 
bonos de largo plazo tienen mayor premio por riesgo, son considerados menos líquidos.
¿Es esto razonable? Nuevamente, esto es sólo si el inversionista no se preocupada acerca 
del entorno (sorrounding) de incertidumbre del valor final de la estrategia de reinversión. 
Siempre que el riesgo sea importante, el inversionista de largo plazo no será capaz de 
involucrarse en la estrategia de reinversión, a no ser, de que el retorno esperado excede al 
del bono de 2 años. En este caso el inversionista requeriría que: (1,05)
(1+E(r2)>(1,06)2=(1,05)(1+f2), lo que implica que la E(r2) exceda a f2. el inversionista 
necesitaría que el valor esperado para el próximo año de la “short rate” excediera la taza 
de forward.
Por lo tanto si todos los inversionistas fueran inversionistas de largo plazo, ninguno estaría 
dispuesto a mantener bonos de corto plazo a menos que esos bonos ofrecieran una 
recompensa por correr el riesgo de la tasa de interés (bearing). En esta situación los 
precios de los bonos se situarían en niveles tales que reinvertir los bonos de corto plazo 
resultara en un mayor retorno esperado que mantener bonos de largo plazo. Esto causaría 
que la tasa forward sea menor que la tasa spot futura esperada.
Por ejemplo supongamos que E(r2)=8%. El premio por liquidez es por tanto negativo: f2- 
E(r2)= 7,01%- 8%= -0,99%. Esto es contrario a la conclusión que obtuvimos en el primer 
caso del inversionista de corto plazo. Claramente, si la tasa forward iguala la “short rate” 
futura esperada depende de la predisposición de los inversionistas a correr con el riesgo 
de la taza de interés, al igual que su disposición a mantener bonos que no corresponden a 
sus horizontes de inversión. 
4. TEORÍAS DE LA ESTRUCTURA DE PLAZOS
La hipótesis de expectativas
La teoría de la estructura de plazos es la hipótesis de expectativas. Una versión común de 
esta hipótesis es que la tasa forward equivale a las expectativas del mercado sobre la 
tasa de interés futura (short); esto es y los premios por liquidez son cero.
Si podemos relacionar rendimientos de bonos de largo plazo con expectativas 
de tasas de interés futuras. Además, podemos usar tasas forward derivadas de la curva de 
rendimiento para inferir expectativas del mercado de futuras short rates. Por ejemplo, con 
 de la ecuación 15.5, si la hipótesis de expectativas es 
correcta podemos también escribir que El rendimiento 
hasta la madurez estaría determinad solamente por actuales y futuras expectativas de 
un periodo de tasas de interés. Una curva de rendimiento creciente (upward-sloping) 
puede ser clara evidencia de que los inversionistas anticipan aumentos en las tasas de 
interés.
La hipótesis de expectativas y la tasa de inflación forward
Tasas forward derivadas de bonos convencionales son tasas de interés nominales. Pero 
usando bonos precio-nivel indexados (Price-level indexed bonds) como los TIPS, 
también podemos calcular la tasa de interés forward real. Recordemos que la 
diferencia entre la tasa real y la nominal es aproximadamente la tasa de inflación 
esperada. Además, comparando la tasa forward real y la nominal podemos vislumbrar 
la tasa de inflación futura esperada del mercado. El spread real versus el nominal es 
una especie de tasa de inflación forward.
En septiembre del 2007, la Reserva Ferderal redujo la tasa objetivo de los fondos 
federales en un intento de estimular la economía. En el gráfico mostramos el spread 
minuto a minuto entre tasa de interés nominal forward del 5to año y la tasa forward 
real el 18 de septiembre, el día en que la FED anuncio el cambio de política. El spread 
inmediatamente se amplió, significando que el mercado espera que las políticas 
monetarias de expansión eventualmente resulten en un incremento de la tasa de 
inflación. El incremento en la inflación en el grafico es ligero, alrededor del 0.005 
desde 2.53% a 2.58%, pero el impacto del anuncio es muy claro y la rapidez del ajuste 
por el anuncio es impresionante
Preferencia por liquidez
Notamos en nuestra discusión sobre inversionistas de largos y cortos periodos que los 
inversionistas de cortos periodos no estarán dispuestos a mantener los bonos de largo 
plazo a menos que la tasa forward exceda la tasa de interés esperada de corto plazo, 
, los inversionistas de largos periodos no estarán dispuestos a mantener bonos 
cortos a menos que . En otras palabras, ambos grupos de inversionistas 
requieren un premio para inducirlos a mantener bonos con madurez distinta de sus 
horizontes de inversión. Defensores de la teoría de preferencia por la liquidez de la 
estructura de plazos (term estructure) creen que los inversionistas de cortos periodos 
dominan el mercado, entonces, la tasa forward generalmente excederá la short rate 
esperada (expected short rate). El exceso de ., el premio por liquidez, se 
predice será positivo.
Para ilustrar las distintas implicancias de esta teoría de la estructura de plazos de tasas de 
interés, considere la situación en la cual la rate short esperada sea constante 
indefinidamente. Suponga que =5% y que =5% , .=5% y así sucesivamente.
Bajo las hipótesis de expectativas el segundo año el rendimiento hasta la madurez puede 
ser derivado de lo siguiente:
 
Entonces, .Similarmente, el rendimiento de los bonos de cualquier madurez, 
será igual a 5%
En contraste, bajo la teoría de preferencia por liquidez podrá exceder a .Para 
ilustrar esto, suponga que el premio por liquidez es 1%, entonces Entonces para 
el año 2 del bono:
 
Implicando que =1.055. Similarmente, si es 6%, entonces el rendimiento del 
bono al tercer año es :
 
Lo que implica que = 1.0567 . El gráfico de la curva de rendimiento en esta 
situación está en la figura 15.4 panel A. En la práctica es común observar una curva de 
rendimientos creciente:
Curvas de rendimiento del panel A: Short rate esperadas constante. Premio por liquidez 
1%. El resultado es una curva creciente.
Panel B
Declinación en las short rates esperadas. Incremento de los premios por liquidez. El 
resultado es una curva creciente a pesar de la caída en las tasas de interés.
Si se espera que las tasas de interés cambien en el tiempo, entonces el premio por 
liquidez debe ser revestido (overlaid ¿?) en la trayectoria de la tasa spot esperada para 
determinar la tasa de interés forward. Entonces, el rendimiento hasta la madurez para 
cada fecha será un promedio de las tasas forward de cada periodo.
Varias posibilidades de crecimiento y declinación de las tasas de interés aparecen en las 
siguientes figuras 15.4
Panel C
Short rates esperadas en declive, premios por liquidez constantes. El resultado es una 
curva de rendimiento con un “montículo”(hump-shaped)
Panel D
 Crecimientos en la short rates esperada, aumento en los premios por liquidez. El 
resultado es una curva de rendimiento marcadamente creciente (sharply rising)
15.5 Interpretando la estructura de plazos
Si la curva de rendimiento refleja expectativas de short rates futuras, entonces se ofrece 
unapotencial herramienta para inversionistas de rentas fijas. Si podemos usar la 
estructura de plazos para inferir las expectativas de otros inversionistas en la economía, 
podemos usar aquellas expectativas como benchmark para nuestro análisis. Por ejemplo, 
si somos relativamente más optimistas que otros inversionistas, la tasa de interés caerá, 
estaremos más dispuestos a extender nuestros portafolios hacia bonos de largo plazo. Por 
lo tanto, en esta sección, miraremos cuidadosamente que información pude ser 
deducida de la estructura de plazos. Desafortunadamente, la curva de rendimiento refleja 
expectativas de las futuras tasas de interés, y también refleja otros factores como 
premios por liquidez. Además, predicciones de los cambios en las tasas de interés pueden 
tener distintas implicaciones en las inversiones dependiendo de cuales de esos cambios 
son dirigidos por cambios en la tasa de inflación esperada y cual por la tasa real, esto 
añade otra complejidad a la apropiada interpretación de la estructura de plazos.
Hemos visto que bajo certeza, una ventaja del rendimiento a la madurez en un bono cero 
cupón es simplemente el promedio geométrico de las short rates futuras que 
prevalecerán en la vida del bono. 
Este es el significado de la siguiente ecuación la cual mostramos en su forma general:
Cuando las tasas futuras son inciertas, modificamos la ecuación reemplazando short rates 
futuras por tasas forward
Esta es una relación directa entre rendimiento de bonos de distinta madurez y tasas de 
interés forward.
Primero, debemos preguntarnos que factores pueden explicar una curva de rendimiento 
creciente. Matemáticamente, si la curva de rendimiento es creciente debe exceder a 
. En palabras, la curva de rendimientos es creciente para cualquier madurez, n, para la 
cual la tasa forward para el siguiente periodo es mayor que el rendimiento en aquella 
madurez. Esta regla viene de la noción del rendimiento hasta la madurez (yield to 
maturity) como un promedio de tasas forward
Si la curva de rendimiento es tan alta como un movimiento a lo largo de la madurez, debe 
ser el caso en que la extensión de la madurez resulta de la inclusión de una nueva tasa 
forward que es más alta que el promedio de las tasas previamente observadas. Esto es 
análogo a la observación en que la nota de un nuevo estudiante aumenta el promedio de 
la clase, entonces la nota de este estudiante debe exceder el promedio de la clase sin su 
nota. Para aumentar el rendimiento hasta la madurez, una tasa forward sobre el 
promedio debe ser añadida a las otras tasas promediadas computacionalmente.
Ejemplo 6
Si el rendimiento a la madurez al tercer año de un bono cero cupón es 7%, entonces el 
rendimiento de un bono en 4 años va a cumplir la siguiente ecuación
 
Si entonces será 0.07 , si es mayor que 7%, excederá 7% y la curva de 
rendimiento tendrá pendiente ascendente. Por ejemplo si =0.08, entonces
 =
Lo cual da una curva de rendimiento creciente siempre asociada a una tasa forward más 
alta que la spot o el actual rendimiento a la madurez. Nos preguntamos si podemos 
explicar la alta tasa forward., desafortunadamente, siempre hay dos posibles respuestas a 
esto. Recordemos que la tasa forward puede estar relacionado con la futura short rate de 
acuerdo a la siguiente ecuación:
Donde el premio por liquidez necesariamente induce a los inversionistas a mantener 
bonos con madurez que no corresponde a su horizonte de inversión preferido.
Por otro lado, el premio por liquidez no necesita ser positivo, aunque esa es la posición 
que generalmente toman los defensores de la hipótesis de premio por liquidez. Nosotros 
mostramos previamente que si mas inversionistas tienen horizontes de largo plazo, el 
premio por liquidez, en principio, puede ser negativo.
En cualquier caso, la ecuación 15.8 muestra que hay dos razones por las que la tasa 
forward puede ser alta. Los inversionistas o esperan altas tasas de interés, es decir que 
 sea alta, o requieren un gran premio por mantener bonos de largo plazo. Aunque 
es tentador inferir de una curva de rendimiento creciente, los inversionistas creen que la 
tasa de interés eventualmente crecerá, pero esto no es una inferencia válida. 
El panel A de la figura 15.4 nos da un simple contraejemplo para este razonamiento. Allí, 
la short rate esperada es 5% por siempre, Aun con 1% constante de premio por liquidez 
la tasa forward será 6%. Este resultado dice que la curva de rendimiento aumentará 
continuamente, partiendo del nivel 5% para el primer año del bono, pero eventualmente 
se aproximará al 6% del bono de largo plazo cuando mas y mas tasas forward son 
promediadas dentro del retorno hasta la madurez.
Por lo tanto, aunque es verdad que las expectativas de crecimiento de la tasa de interés 
futura puede resultar una curva de rendimiento creciente, viceversa no se cumple: Una 
curva de rendimiento creciente no implica expectativas de altas tasas de interés futuras. 
Este es el corazón de la dificultad al dibujar conclusiones para la curva de rendimiento. Los 
efectos de posibles premios por liquidez confunden cualquier intento de extraer 
expectativas desde la estructura de plazos. Pero estimar las expectativas del mercado es 
una tarea crucial, porque solo comparando tus expectativas con aquellas que refleja el 
mercado de precios puedes determinar si estas relativamente al alza o a la baja en las 
tasas de interés.
Una aproximación para derivar tasas spot futuras esperadas es asumir que los premios por 
liquidez son constantes. Una estimación del premio puede ser extraído desde la tasa 
forward para obtener la tasa de interés esperada del mercado. Nuevamente usaremos el 
ejemplo del panel A de la figura 15.4, el investigador puede estimar desde los datos 
históricos que un premio por liquidez típico en la economía es 1%, Luego, calculando la 
tasa forward de la curva de rendimiento, es 6%, las expectativas de la tasa spot futura 
podría determinarse en 5%.
Esta aproximación es poco recomendada por 2 razones. Primero, es casi imposible 
obtener una estimación precisa del premio por liquidez. La aproximación general para 
hacerlo sería comparar tasas forward y rate short futuras eventualmente realizadas y 
calcular la diferencia promedio entre las dos. Sin embargo, la desviación entre ambos 
valores puede ser amplia e impredecible porque un evento económico no anticipado 
puede afectar la short rate. Los datos son muy ruidosos para calcular una estimación 
confiable del premio. Segundo, no hay razones para creer que el premio por liquidez 
puede ser constante
Aun así, cada curva de rendimiento empinada, es interpretada por muchos profesionales 
como signos de advertencia de inminente crecimiento en las tasas. De hecho, la curva de 
rendimiento es un buen predictor del ciclo del negocio como un todo, porque las tasas de 
largo plazo tienden a crecer como anticipación a una expansión en la actividad 
económica. Cuando la curva es empinada, hay baja probabilidad de una recesión el 
siguiente año. Por esta razón, la curva de rendimiento es un componente del indicador 
económico.
Usualmente se observa una curva de rendimiento creciente, especialmente para madurez 
corta, es la base empírica de la doctrina de premios por liquidez de bonos de largo plazo 
que ofrece un premio por liquidez positivo. Mirando la regularidad empírica, quizá es 
valido interpretar una curva decreciente como evidencia de que la tasa de interés se 
espera que decline. Si los premios por plazos (el spread entre rendimiento de bonos de 
largo y corto plazo), generalmente son positivos, entonces la curva decreciente será señal 
anticipada de tasas en declive, probablemente asociada con una inminente recesión.
Es más, la excepción a esta reglalo vemos en el anterior episodio de caídas de short 
rate, la cual, si es anticipado, puede inducir a una curva de rendimientos decreciente. Por 
ejemplo, en la figura se muestra que 1980-1981 fueron años en los cuales el rendimiento 
de bonos de 90 días excedió al de largo plazo. Estos años son anteriores a la drástica caída 
en el nivel general de las tasas y una brusca recesión.
La figura 15.5 muestra la variabilidad del 
precio de los bonos del tesoro de largo 
plazo desde 1971. El riesgo de la tasa de 
interés fluctúa dramáticamente durante 
el periodo. Debiéramos esperar premios 
por riesgo en bonos de distinta madurez 
por la fluctuación, la evidencia empírica 
sugiere que los premios por liquidez 
fluctúan en el tiempo.
La figura 15.6 presenta la historia 
del rendimiento de los bonos del 
tesoro de 90 días y los de 10 
años. Los rendimientos en bonos 
de largos periodos generalmente 
exceden al de aquellos de corto 
plazo, lo que significa que la 
curva de rendimiento 
generalmente será creciente. 
Porque pueden caer las tasas de interés? Hay dos factores a considerar: la tasa real y el 
premio por inflación. Recordemos que la tasa de interés nominal esta compuesta por la 
tasa real con un factor que compensa el efecto de la inflación.
1+tasa nominal = (1+ tasa real)(1+tasa inflación)
O
Tasa nominal ~ tasa real +tasa inflación
Entonces, cambios en la tasa de interés puede ser por cambios en la tasa esperada real o 
en la tasa de inflación esperada. Usualmente es importante distinguir entre estas dos 
posibilidades porque el ambiente económico asociado puede variar sustancialmente. Una 
alta tasa de interés real indica una rápida expansión de la economía, un alto déficit 
presupuestario del gobierno y una ajustada política monetaria. Aunque altas tasas de 
inflación pueden surgir de una rápida expansión de la economía, la inflación también 
puede ser causada por una rápida expansión de la oferta de dinero o shock en la oferta de 
la economía tales como interrupción en la oferta de petróleo.
Estos factores tienen distintas implicaciones en las inversiones. Si nosotros concluimos de 
un análisis de la curva de rendimiento que las tasas caerán, necesitamos un análisis de 
factores macroeconómicos que puedan causar tal declive.
Por ejemplo, el recuadro sobre la inversión en 2007 fue interpretado por muchos 
observadores como una señal de recesión inminente. Sin embargo, los optimistas 
discutieron que incluso si la inversión presagia una tasa de interés nominal baja, aquella 
tasa baja debe reflejar caídas en las tasas de inflación en el largo plazo mas que caídas en 
la tasa de interés real debido a la recesión. Nuevamente, la estructura de plazos refleja 
varios factores, incluyendo tasas reales, premio por inflación, y premios por riesgos. 
15.6 Tasas forward como contratos forward
Podemos ver que las tasas forward pueden ser derivadas de la curva de rendimiento 
usando la ecuación 15.5.
En general, las tasas forward no igualaran a la short rate efectiva, o incluso a las 
expectativas de hoy sobre que rate shore habrá. Pero, aun es importante en el sentido de 
que la tasa forward es una tasa de interés de mercado. Suponga que quieres fijar ahora 
un préstamo para alguna fecha futura. Tú podrías acordar hoy la tasa de interés que será 
cargada, pero el préstamo podría no comenzar hasta algún tiempo en el futuro. ¿Como 
podría determinarse la tasa de interés en un “préstamo forward” (forward loan)? . Podría 
ser la tasa de interés forward por el periodo del préstamo. Usemos un ejemplo para ver 
como funciona
Ejemplo 7 Forward interest rate contract
Suponga que el precio de un bono cero cupón al primer año de madurez con valor $1000 
es 952.35 y el precio del segundo año con valor 1000 es 890. El rendimiento hasta la 
madurez en el primer año es 5% , mientras que para el segundo año es 6%. La tasa 
forward para el segundo año es:
Ahora, consideremos una estrategia de la siguiente tabla. En la primera columna 
presentamos datos de este ejemplo, y en la segunda columna generalizamos. Denotamos 
por para le precio de hoy del bono de madurez en el tiempo T.
El flujo inicial de caja (en el tiempo cero) es cero. Tu pagas 952.38 o en general por 
un bono cero cupón en un año, y recibes 890 o en general , por cada cero cupón 
que vendes en 2 años. Por vender 1.0701 de estos bonos, tienes tu set inicial de caja. (Por 
supuesto, en la realidad no podemos vender la fracción de un bono, pero puedes pensar 
que esta parte de la transacción como lo sgte: Si vendes uno de estos bonos, te estarán 
prestando 890 por el segundo año. Vendiendo 1.0701 de este bono, simplemente te 
están prestando 890x1.0701= 952.38).
En general para construir prestamos forward sintético, tu vendes (1+ ) el segundo año 
del bono por cada primer año de bono cero cupón que compres. Esto hace que tu flujo de 
caja inicial sea cero porque el precio del primer y segundo año difieren por el factor (1+ ) 
:
Al primer año de madurez, recibes 
1000. En el segundo año de 
madurez del bono cero cupón que 
vendiste tienes que pagar 
1.0701x1000=1070.1. Tu flujo de 
caja se muestra en la figura 15.7 
panel A. Note que se ha creado un 
prestamos forward “sintetico 
(synthetic): Tu efectivamente 
tomaras un préstamo de 1000 en 
un año desde ahora, y pagaras 
1070.01 un año después. La tasa de 
este préstamo forward es entonces 
7.01%, precisamente la tasa 
forward del segundo año.
Entonces, cuando vendes al segundo año, generas justo el dinero para comprar 
un bono al primer año. Ambos bonos valen 1000, entonces la diferencia de entrada de 
dinero en el tiempo 1 y la salida en el tiempo 2, es el mismo factor como se 
ilustra en la figura 15.7 panel B. Como resultado es la tasa forward del préstamo
Obviamente tu puedes construir prestamos sintético forward por periodos siguientes al 
segundo año, y puedes construir prestamos para múltiples periodos.
Grading bondso on inverted curve
El mercado de bonos tiene problemas que son difíciles de ignorar. Normalmente, 
rendimientos de bonos de largo plazo del gobierno son más altos que los de corto 
plazo. Inversionistas demandan mas retorno por el riesgo que proviene de mantener 
inversiones que toman mas tiempo en pagar.
La relación ha sido al revés desde Julio, sin embargo el rendimiento de corto plazo del 
bono del tesoro ha excedido a aquellos de largo plazo.
Este estado inusual-conocido como la curva de rendimiento invertida (inverted yield 
curve)- algunos economistas se preguntan si el mercado de bonos señala que la 
economía puede darse vuelta. Inversiones de rendimientos, dicen muchos 
economistas, son anunciadas para tiempos difíciles. Cuando los inversionistas de 
bonos ven venir una recesión, tienden a comprar valores del tesoro de largo plazo por 
dos razones
1.- Son más seguros que las acciones
2.- Ellos apelan cuando la inflación es baja, y en recesiones tiende a azotar a la 
inflación. 
La compra viene con el temor a la recesión que dirige a la baja el rendimiento de los 
bonos de largo plazo, a veces bajo el rendimiento de los valores del tesoro de corto 
plazo.
El mercado, en efecto, esta apostando que la reserva federal, la cual dicta las tasas de 
corto plazo, tendrá que cortar de la noche a la mañana la tasa de los fondos para 
empujar a la economía y los inversionistas empujan la tasas de largo plazo a la baja en 
anticipación.
 Algunos economistas dudan que la curva de rendimiento es efectiva como una 
herramienta predictiva de una recesión. Ellos piensan que las tasas de largo plazo son 
excepcionalmente bajas ahora por otras razones, incluyendo bajas expectativas de 
inflación y crecimiento de la demanda por bonos del gobierno por inversionistas 
extranjeros que necesitan poner su dinero en alguna parte.
la historia de su parte. Siete veces entre 1965 y 2005 el rendimiento de las notas de 10 
años cayo bajolos bonos del tesoro de 3 meses. En seis de estas instancias la economía 
de EEUU cayo en recesión prontamente.