Guía3b-Complementadores-solucionesseleccionadas

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Guía de ejercicios
Módulo 3: Interacción estratégica y competencia
Parte B: Complementadores
Fundamentos de Dirección de Empresa
Segundo semestre 2017
Profesor Gastón Llanes
Versión: 13 de octubre de 2017
Ejercicio 1. La tragedia de los anticomunes
En un artículo de la revista Science de 1998, Michael Heller y Rebecca Eisenberg ma-
nifestaron su preocupación de que las patentes podían perjudicar la utilización de las
innovaciones en biomedicina. En concreto, dado que se puede patentar un fragmento
de un gen, los utilizadores del gen podrían infringir un gran número de patentes. He-
ller y Eisenberg argumentaban que el costo de pagar las licencias sería muy grande,
lo que llevaría a una utilización subóptima del gen.
Para investigar si la hipótesis de estos profesores tiene sentido, considere un ejemplo
basado en un gen hipotético, el gen Kariota, que podría ser utilizado para tratar la
enfermedad (también hipotética) de la �ebre hemorrágica del trópico.
La demanda por el uso de una terapia basada en el gen Kariota es D = 1 − P , donde P
es la suma de todas las licencias que deben pagarse para comercializar el gen. Suponga
que hay n ≥ 1 dueños de patentes que pueden reclamar una licencia. Por simplicidad,
suponga que no hay costos para utilizar el gen más allá de los que deben pagarse por
las licencias de las patentes. Sea pi el precio de la licencia por utilización de la patente
de i . Entonces, P =
∑n
i=1 pi , y D = 1−
∑n
i=1 pi . No hay costos de usar las patentes, por
lo que el bene�cio del dueño de la patente i es πi = pi D.
(a) Suponga que los dueños de patentes �jan sus precios de manera simultánea y no
cooperativa. ¿Cuál es el equilibrio de Nash? ¿Cuál es el precio de la licencia i? ¿Cuál
es el precio total que debe pagarse por utilizar al gen Kariota?
(b) ¿Qué sucede con el precio total por el gen Kariota a medida que aumenta n? ¿Y
con la cantidad de veces que se utilizará la terapia? ¿Tienen sentido los argumentos
1
de Heller y Eisemberg?
(c) Suponga que todos los dueños de las licencias se ponen de acuerdo, y deciden licen-
ciar sus patentes de manera conjunta. En concreto, los dueños de las patentes crean
un consorcio de patentes (patent pool), y delegan en el administrador del consorcio la
�jación de un precio único, P , para la utilización de todas las patentes relacionadas con
el gen Kariota. Los dueños de las patentes se dividen en forma equitativa los ingresos
por licencia, por lo que el bene�cio del dueño de la patente i es πi = P D/n. ¿Cuál será
el precio que �jará el administrador del consorcio de patentes? ¿Cuál será la cantidad
de veces que se utilizará la terapia? ¿Cuál es el efecto de la formación del consorcio
de patentes sobre los bene�cios de las empresas y el excedente de los consumidores?
Ejercicio 2. Complementadores vs. Proveedores
Dos empresas proveen bienes complementarios necesarios para producir parquíme-
tros. Helvetia provee el hardware y Soberium provee el software que hace funcionar
el parquímetro. Helvetia y Soberium tienen N clientes que demandan parquímetros,
y cada uno está dispuesto a pagar un máximo de w . Suponga por simplicidad, que los
costos marginales de Helvetia y Soberium son iguales a 0.
(a) Suponga que los clientes compran el hardware y el software por separado. ¿Cuál
es la relación entre Helvetia y Soberium? ¿Cuáles son los límites a la captura de valor
de todos los jugadores?
(b) Suponga ahora que Helvetia ha decidido cambiar su modelo de negocio: Helvetia
comprará el software de Soberium y venderá un paquete compuesto por el software
y el hardware a los clientes. ¿Cuál es la relación entre Helvetia y Soberium? ¿Cuáles
son los límites a la captura de valor de todos los jugadores? Compare con el punto
anterior. ¿Son equivalentes o no las situaciones? ¿Por qué?
(c) Vuelva a suponer que Helvetia y Soberium venden sus productos por separado
(como en el punto a). Suponga que Helvetia y Soberium �jan sus precios de manera
simultánea y no cooperativa. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios de Nash?
(d) Vuelva a suponer que Helvetia compra el software a Soberium, y vende paquetes
conformados por software y hardware a los clientes (como en el punto b). Suponga
que el precio que Helvetia �ja por el paquete es igual a P = w . Suponga que Soberium
2
�ja el precio al que venderá el software a Helvetia, y que luego de ver este precio,
Helvetia decide si comprar el software o no, y en caso de comprar el software vende sus
paquetes a los clientes �nales. ¿Cuál es el conjunto de equilibrios de Nash? Compare
con el punto anterior. ¿Son equivalentes o no las situaciones? ¿Por qué?
(e) Basado en el análisis de los puntos (a) a (d), concluya qué diferencias pueden existir
entre los complementadores y los proveedores.
Ejercicio 3. Competencia entre sistemas
La empresa 1 produce hardware sin incurrir en costo alguno. Una unidad de hardware
es útil para los consumidores sólo si se usa conjuntamente con una unidad de softwa-
re. El software se produce por dos empresas denominadas 2 y 3. Tales empresas son
simétricas y producen software sin incurrir en costo alguno. Sea pi el precio cargado
por la empresa i ∈ {1, 2, 3} por cada unidad del producto que vende, y sea p1j = p1+pj
el precio total de un sistema consistente en una unidad del hardware que vende la
empresa 1 y una unidad del software que vende la empresa j ∈ {2, 3}.
La demanda total del sistema consistente en una unidad del hardware que vende la
empresa 1 y una unidad del software que vende la empresa 2 es Q2 = 1−p12 +γ (p13 −
p12), donde γ ≥ 0. Igualmente, Q3 = 1 − p13 + γ (p12 − p13) es la demanda total del
sistema consistente en una unidad del hardware que vende la empresa 1 y una unidad
del software que vende la empresa 3.
(a) Si las empresas i ∈ {1, 2, 3} �jan precios a la vez, hallar el bene�cio de equilibrio
de cada empresa después de demostrar que el único equilibrio del juego es tal que
p∗12 = p
∗
13 =
2 + γ
3 + 2γ
. En la resolución, se puede usar la simetría de los productores de
software, y no olvide al construir el bene�cio de la empresa 1 que su hardware es parte
de dos sistemas deseados por los consumidores.
(b) Suponga que la empresa 1 compra la empresa 3, de modo que puede controlar tanto
p1 como p3 al maximizar su pago (o sea, la empresa 3 deja de existir como una entidad
independiente, y la empresa 1 debe considerar dos condiciones de primer orden, una
para cada uno de los precios que controla). Teniendo en cuenta que la empresa 1 consi-
dera tanto el bene�cio que genera su hardware como el del software vendido a través
3
de 3, mostrar que el único equilibrio de Nash es tal que p∗∗12 =
4 + 3γ
6(1 + γ )
y p∗∗13 =
1
2
.
(c) Calcule el pago de equilibrio de la empresa 1 cuando compra la empresa 3 (recuerde
que las empresas 1 y 3 son una sola entidad), y calcule el pago de equilibrio de la 2
después de la adquisición.
(d) Conforme γ → ∞, los productos de las empresas 2 y 3 se vuelven sustitutos per-
fectos. Comparando los precios de todas las empresas antes y después de la fusión,
explicar por qué las empresas 1 y 3 están indiferentes (desde un punto de vista con-
junto) respecto a fusionarse conforme γ tiende a∞.
(e) En virtud de lo anterior, explicar por qué la fusión es bene�ciosa para las empresas
1 y 3 (desde un punto de vista conjunto), pero no para la empresa 2, no importa cuál
sea el valor de γ ∈ [0,∞).
Solución.
(a) Firm 1 chooses p1 to maximize
p1[1 − p1 − p2 + γ (p3 − p2) + 1 − p1 − p3 + γ (p2 − p3)] = p1[2(1 − p1) − (p2 + p3)],
so its �rst-order condition is
2(1 − 2p1) − (p2 + p3) = 0.
Firm 2 chooses p2 to maximize p2[1 − p1 − p2 + γ (p3 − p2)], so its �rst-order condition
is
1 − p1 + γp3 − 2(1 + γ )p2 = 0.
Firm 3 chooses p3 to maximize p3[1 − p1 − p3 + γ (p2 − p3)], so its �rst-order condition
is
1 − p1 + γp2 − 2(1 + γ )p3 = 0.
By symmetry, p2 = p3, so the third and second �rst-order conditions are identical.
Working then with the �rst two �rst-order conditions yields that p∗1 =
1 + γ
3 + 2γ
and
p∗2 = p
∗
3 =
1
3 + 2γ
. As aresult, it follows that p∗12 = p
∗
13 =
2 + γ
3 + 2γ
as well as that
4
π ∗1 = 2(
1 + γ
3 + 2γ
)2 and π ∗2 = π
∗
3 =
1
1 + γ
(
1 + γ
3 + 2γ
)2.
(b) When �rm 1 merges with �rm 3, it chooses p1 and p3 to maximize
p1[2(1 − p1) − (p2 + p3)] + p3[1 − p1 − p3 + γ (p2 − p3)],
so the �rst-order conditions for �rm 1 that correspond to each price are
2(1 − p1) − (p2 + p3) − 2p1 − p3 = 0
and
1 − p1 + γp2 − 2(1 + γ )p3 − p1 = 0.
Since �rm 2’s �rst-order condition is still
1 − p1 + γp3 − 2(1 + γ )p2 = 0,
solving the system of �rst-order conditions yields that p∗∗1 =
2 + 3γ
6(1 + γ )
, p∗∗2 =
2
6(1 + γ )
and p∗∗3 =
1
6(1 + γ )
, so p∗12 =
4 + 3γ
6(1 + γ )
and p∗13 =
1
2
.
(c) Firm 1 after the merger attains π ∗∗1 =
13 + 18γ
36(1 + γ )
, whereas �rm 2 attains π ∗∗2 =
1
9(1 + γ )
.
(d) Note that p∗1 = p
∗∗
1 → 1/2 and p
∗
2,p
∗
3,p
∗∗
2 ,p
∗∗
3 → 0 as γ → ∞. Intuitively, �rms
2 and 3 compete for rents with �rm 1, but competition between �rms 2 and 3 is so
intense (actually, they compete à la Bertrand) that it leaves no rents to them, and �rm
1 can act as a monopolist when pricing hardware.
(e) For nonnegative and �nite γ , �rm 1 wants to weaken the position of �rm 2, so it
forces �rm 3 to price very low so that �rm 2 makes fewer sales. This allows �rm 1 to
sell hardware at a higher price than if it were not merged with �rm 3.
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Ejercicio 4. Venta de insumos a un productor
Dos proveedores, A y B, venden insumos a un fabricante de teléfonos celulares. La
demanda del fabricante es q = 1 − pA − pB , donde pi es el precio que i = A,B cobra
por una unidad de su insumo. Cada proveedor tiene un costo marginal de producción
igual a c < 12 . Los proveedores no tienen ningún otro costo de producción. Considere
un juego en el que los proveedores �jan sus precios de manera simultánea, y dados
esos precios, el fabricante decide cuántas unidades del insumo de cada �rma comprar.
(a) ¿Son las acciones de los proveedores sustitutos o complementos estratégicos? De-
muestre analíticamente y explique conceptualmente el signi�cado de su respuesta.
(b) Encuentre el equilibrio de Nash. ¿Cuántas unidades de insumo demandará el fa-
bricante de cada proveedor?
(c) Suponga que los proveedores se fusionan. ¿Cuál es el precio que elegirán para sus
insumos? ¿Cómo cambia la demanda de insumos en equilibrio.
(d) ¿Bene�cia o perjudica la fusión de los proveedores a la sociedad? Explique concep-
tualmente por qué. (No hace falta que demuestre este resultado analíticamente, sólo
discuta de manera conceptual.)
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	La tragedia de los anticomunes
	Complementadores vs. Proveedores
	Competencia entre sistemas
	Venta de insumos a un productor