Guía4c-Innovacióneimitación-Solucionesseleccionadas

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Guía de ejercicios
Módulo 4: Dinámica coopetitiva
Parte C: Innovación e imitación
Fundamentos de Dirección de Empresa
Segundo semestre 2017
Profesor Gastón Llanes
Versión: 14 de mayo de 2018
Ejercicio 1. Efecto e�ciencia
Considere la competencia entre dos �rmas por la dominancia de un mercado. Actual-
mente, la empresa 1 tiene un monopolio, con un VPN del �ujo de bene�cios futuros
igual a πM . Si otra empresa (empresa 2) logra introducir una innovación, el mercado
será un duopolio en el que cada empresa ganará πD .
La empresa 1 puede introducir la innovación antes que la empresa 2, en cuyo caso
mantendrá el monopolio, ganando πM . Introducir la innovación tiene un costo c > πD
para cualquiera de las dos �rmas.
Por simplicidad, estamos suponiendo que la nueva tecnología es equivalente a la ante-
rior. Por ejemplo, la innovación podría ser una droga que cura exactamente la misma
enfermedad que la droga original. Por lo tanto, la nueva droga no aumenta los bene-
�cios de la empresa 1 si esta innova.
Suponga que πM > 2πD , lo que quiere decir que los bene�cios de la industria son
mayores si hay un monopolio que si hay un duopolio (por ejemplo, este es el caso en
un modelo de Cournot o de Bertrand).
Considere el siguiente juego en dos etapas. En la primera etapa, la �rma 1 decide si
innovar o no. En la segunda etapa, si la empresa 1 no innovó, la empresa 2 decide
si innovar o no. Si la empresa 1 innova en la primera etapa, la empresa 2 pierde su
oportunidad de innovar, y gana 0.
(a) Construya el árbol de juego.
(b) ¿Qué empresa realizará la innovación? Explique la razón de este resultado.
1
Ejercicio 2. Carrera de patentes
Dos empresas i ∈ {1, 2} están compitiendo para desarrollar una vacuna para curar la
malaria. En el mercado hay lugar para una sola vacuna. Es decir, la primera empresa
que descubra una vacuna obtiene todo el mercado, y la otra empresa se queda sin nada.
Las empresas invierten en Investigación y Desarrollo (I+D), lo cual es costoso, pero
una mayor inversión implica una mayor probabilidad de realizar un descubrimiento.
En concreto, la empresa i logra descubrir una vacuna con probabilidad xi ∈ [0, 1],
incurriendo en un costo xi2/2.
Suponga que las investigaciones de las dos empresas son independientes, es decir, la
probabilidad de la empresa i de encontrar una vacuna es independiente de la inversión
de la empresa j , i .
El bene�cio de descubrir una vacuna es B ∈ [0, 1], lo que representa el �ujo de bene�-
cios futuros por vender el medicamento. Si sólo una empresa logra una innovación (lo
que ocurre con probabilidad x1 (1−x2)+ (1−x1)x2), esta �rma obtiene una patente, la
que le permite capturar la totalidad de B. Si ambas empresas descubren una vacuna al
mismo tiempo (lo que ocurre con probabilidad x1 x2), suponga que sólo una empresa
obtiene una patente y captura la totalidad de B, y que cada �rma obtiene la patente
con una probabilidad de 1/2. Nótese que hay una probabilidad de que ninguna de las
dos empresas innove, que viene dada por (1−x1)(1−x2). Finalmente, suponga que las
dos empresas son neutrales al riesgo, por lo que sólo se preocupan por los bene�cios
esperados de su inversión en I+D.
(a) Construya las funciones de bene�cio esperado de las empresas 1 y 2.
(b) Suponga que las dos empresas eligen su inversión (su probabilidad de invención)
simultáneamente, de manera no cooperativa. Obtenga la curva de reacción de la em-
presa 1. ¿Qué signo tiene la pendiente de la curva de reacción? Explique qué signi�ca.
(c) Obtenga el equilibrio de Nash del juego del punto (b). ¿Qué sucede con la probabi-
lidad de innovación de una empresa a medida que aumenta B?
(d) En equilibrio, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de las dos empresas innove,
expresada en términos de los parámetros del modelo?
(e) Suponga ahora que las nuevas vacunas que se planean descubrir reemplazarán
2
un tratamiento anticuado e inefectivo, que es propiedad de la �rma 1, y por la que
ella planea recibir un �ujo de bene�cios futuros de B0 ∈ [0,B]. Es decir, desde la
perspectiva de la empresa 1, si ella innova, obtiene B > B0, pero si ninguna de las dos
empresas innova, obtiene B0. Obtenga la función de reacción de la empresa 1. ¿Cuál es
el signo de la pendiente de la curva de reacción? ¿Cuál es el equilibrio de Nash? ¿Qué
empresa tiene más incentivos a innovar en equilibrio? ¿Por qué? (Ayuda: piense cuál
de los efectos que vimos en clase está causando este resultado.)
(f) Retornando al modelo original (es decir, suponiendo que B0 = 0), suponga que las
dos �rmas se fusionan, y que mantienen las dos líneas de investigación independien-
tes, pero que pueden ajustar la inversión en I+D (es decir, pueden cambiar x1 y x2).
¿Cuáles son las inversiones óptimas de la empresa fusionada (es decir, cuál es el par
x1, x2 óptimo)? (Ayuda: sabemos que la solución es simétrica, así que podemos reem-
plazar x1 = x2 = x en la función objetivo de la empresa fusionada y maximizar con
respecto a x ) ¿Qué sucede con la probabilidad de que alguna de las dos �rmas inno-
ve? ¿La competencia (situación original) provee mayores o menores incentivos para
innovar que el monopolio (�rma fusionada)?
Ejercicio 3. Competencia en I+D con ventajas temporales
Dos empresas i ∈ {1, 2} están compitiendo para desarrollar una innovación. La empre-
sa i logra innovar con probabilidad xi ∈ [0, 1], incurriendo en un costo de I+D xi2/2.
Las investigaciones de las dos empresas son independientes.
El bene�cio de obtener una innovación es B ∈ [0, 1]. La empresa 1 está más adelantada
en la investigación, por lo que si ella innova obtendrá una patente sobre la innovación
con probabilidad 1. Por lo tanto, dada x1, la probabilidad de que la empresa 1 obtenga
los ingresos de la innovación es simplemente x1, y sus bene�cios esperados son x1B −
x1
2/2. La empresa 2, sólo obtendrá la patente si ella innova y la empresa 1 no innova.
Por lo tanto, dadas x1 y x2, la probabilidad de que la empresa 2 obtenga los ingresos
de la innovación es (1 − x1)x2, y sus bene�cios esperados son (1 − x1)x2 B − x22/2.
(a) Construya las funciones de bene�cio esperado de las empresas 1 y 2.
(b) Suponga que las dos empresas eligen su inversión (su probabilidad de invención)
simultáneamente, de manera no cooperativa. Obtenga las curvas de reacción de las
3
dos empresas. ¿Qué signo tienen sus pendientes? Explique qué signi�ca.
(c) Obtenga el equilibrio de Nash del juego del punto (b). ¿Qué sucede con la proba-
bilidad de innovación de las empresas a medida que aumenta B? Explique la intuición
de este resultado.
(d) En equilibrio, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de las dos empresas innove,
expresada en términos de los parámetros del modelo?
Solución.
(a) La función de bene�cios de 1 es
Π1 = x1 B −
1
2
x21 ,
y la de 2 es
Π2 = x2 (1 − x1)B −
1
2
x22 .
(b) La CPO de la �rma 1 es
∂Π1
∂x1
= B − x1
y la de la �rma 2 es
∂Π2
∂x2
= B (1 − x1) − x2
De las CPO podemos ver que la curva de reacción de la �rma 1 es
x1 = B
y la de la �rma 2 es:
x2 = B (1 − x1)
La curva de reacción de la empresa 1 tiene pendiente igual a 0, lo que quiere decir que
4
la inversión de la empresa 1 no reacciona ante cambios de la inversión de la empresa
2. La curva de reacción de la empresa 2 tiene pendiente negativa, lo que quiere decir
que la inversión de la �rma 1 es un sustituto estratégico de la inversión de 2.
(c) Del cruce de las funciones de reacción encontramos que
x∗1 = B,
x∗2 = B (1 − B).
Podemos ver que la derivada de x1 con respecto a B es positiva. La inversión de la
empresa 1 aumenta con B debido a que cuando B aumenta, aumentan los retornos a
innovar.
Para la �rma 2, la inversión puede aumentar o disminuir con B. Hay dos efectos: por un
lado, un aumento de B aumenta los retornos a innovar, lo que tiene un efecto positivo
sobre la inversión (efecto directo), pero por otro lado, un aumento de B aumenta la
inversión de 1, lo que reduce la inversión de 2, debido a que la curva de reacción tiene
pendiente negativa (efecto indirecto o estratégico).
(d)La probabilidad de que al menos una empresa innove es X = 1 − (1 − x1)(1 − x2).
Reemplazando los valores obtenidos en (c), vemos que la probabilidad es X = 1 −
(1 − B)(1 − B + B2). Para ver cómo se comporta esta probabilidad ante cambios en B
derivamos respecto a B y obtenemos:
∂X
∂B
= 2 + B (3B − 4) > 0,
por lo que la probabilidad de que alguna empresa innove aumenta a medida que B
aumenta.
Ejercicio 4. Competencia en I+D con innovaciones relacionadas
Dos empresas i ∈ {1, 2} están compitiendo para desarrollar una innovación. La empre-
sa i logra innovar con probabilidad xi ∈ [0, 1], incurriendo en un costo de I+D de xi2/2.
Las probabilidades de obtener la innovación de las dos empresas son independientes.
Si sólo una empresa obtiene la innovación, esta obtiene un bene�cio B ∈ [0, 1]. Si dos
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empresas obtienen la innovación, cada una obtiene λ B, donde λ ∈ [0, 1B ] es un pará-
metro que representa la relación entre las investigaciones de las empresas. Si ninguna
empresa obtiene la innovación, ninguna obtiene ingresos.
(a) Construya las funciones de bene�cio esperado de las empresas 1 y 2.
(b) Interprete el parámetro λ. ¿Qué sucede cuando λ = 0? ¿Qué sucede cuando λ =
1/2? ¿Qué sucede cuando λ = 1? ¿Qué sucede cuando λ > 1?
(c) Suponga que las dos empresas eligen su inversión (su probabilidad de invención)
simultáneamente, de manera no cooperativa. Obtenga las curvas de reacción de las
dos empresas. ¿Qué signo tienen sus pendientes? Explique qué signi�ca.
(d) Obtenga el equilibrio de Nash del juego del punto (b).
(e) ¿Qué sucede con la probabilidad de innovación de las empresas a medida que au-
menta B? Enfóquese en el caso de λ < 1 y explique los dos efectos que un aumento de
B tiene sobre la innovación de equilibrio.
(f) ¿Qué sucede con la probabilidad de innovación de las empresas a medida que au-
menta λ? Enfóquese en el caso de λ < 1 y explique los dos efectos que un aumento de
λ tiene sobre la innovación de equilibrio.
(g) En equilibrio, ¿cuál es la probabilidad de que alguna de las dos empresas innove,
expresada en términos de los parámetros del modelo?
(h) ¿Cuáles son las inversiones óptimas de la empresa fusionada (es decir, cuál es el
par x1, x2 óptimo)? ¿Qué sucede con la probabilidad de que alguna de las dos �rmas
innove? Suponga que λ < 1+B2B ¿La competencia (situación original) provee mayores o
menores incentivos para innovar que el monopolio (�rma fusionada)?
Solución.
(a) El bene�cio esperado de la empresa i es
Bi = xi (1 − xj)B + xi xj λ B −
1
2
xi
2.
(b) λ mide el grado de competencia entre las empresas. Cuando λ = 0 la competen-
cia es tan extrema que ninguna tiene bene�cios si las dos innovan al mismo tiempo.
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Cuando λ = 1/2 el modelo es el del ejercicio 2, cada una obtiene el mercado con igual
probabilidad. Cuando λ = 1 la competencia es inexistente, los mercados de las dos
empresas son independientes. Cuando λ > 1 las innovaciones de las dos empresas son
complementarias.
(c) La función de reacción de la �rma i es
xBi (xj) = B − xj (1 − λ)B.
La pendiente de la curva de reacción depende de si las innovaciones de las empresas
son sustitutas o complementarias.
(d) El equilibrio es
x∗1 = x
∗
2 =
B
1 + (1 − λ)B
.
(e) La derivada de la probabilidad de innovación con respecto a B es
1
(1 + (1 − λ)B)2
.
La probabilidad de innovación aumenta con B para cualquier valor de λ. El aumento de
B tiene dos efectos: un efecto directo y un efecto estratégico. El efecto directo es que un
aumento de B aumenta el bene�cio de obtener la innovación, por lo que hace que las
empresas tengan incentivos a aumentar B. Por otra parte, cuando λ < 1, un aumento
de B tiene un efecto estratégico negativo. Cuando λ < 1, las curvas de reacción tienen
pendiente negativa: un aumento de x1 hace que x2 disminuya. La pendiente de la curva
de reacción aumenta en valor absoluto a medida que aumenta B, lo que implica que el
efecto negativo de una mayor inversión de una empresa sobre la otra empresa se hace
más grande. Por lo tanto, un aumento de B hace que las empresas disminuyan B. El
efecto neto depende de la suma de los dos efectos, que en el caso presente es siempre
positivo: un aumento de B hace que aumente la innovación de equilibrio.
(f) La derivada de la probabilidad de innovación con respecto a λ es
B2
(1 + (1 − λ)B)2
.
La probabilidad de innovación aumenta con λ para cualquier valor de B. La explicación
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es similar a la del caso anterior.
(g) La probabilidad de que alguna empresa innove es
X = 1 − (1 − x∗1)(1 − x
∗
1) =
B(2 + B(1 − 2λ))
(1 + (1 − λ)B)2
.
(h) La probabilidad óptima de cada empresa resuelve el siguiente problema:
2x(1 − x)B + x22λB − x2.
La probabilidad óptima de cada empresa es
x̂ =
B
1 − 2(1 − λ)B
,
y la probabilidad de que alguna empresa innove es
X = 1 − (1 − x̂)2 = 1 −
(
1 −
B
1 − 2(1 − λ)B
)2
.
Por lo tanto, la competencia provee más incentivos a innovar cuando las innovacio-
nes son sustitutas, y provee menos incentivos a innovar cuando las innovaciones son
complementarias.
Ejercicio 5. Innovación y negociación
Suponga que una empresa puede realizar una inversión en Investigación y Desarrollo
(I+D) para crear un nuevo producto, que será valorado por un sólo cliente. La empresa
obtiene un producto que el cliente valora enw incurriendo en un costo de I+D dew2/2.
El costo marginal de producción es c , y es independiente de la inversión en I+D. No
hay productos sustitutos para el producto de la empresa, y no hay clientes adicionales
que valoren dicho producto.
(a) Suponga que los jugadores juegan un juego de dos etapas. En la primera etapa, la
�rma decide su nivel de inversión. En la segunda etapa, la �rma y el cliente negocian
un precio de venta de acuerdo al modelo de negociación de Nash, con habilidades
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negociadoras α ∈ [0, 1] y 1−α , respectivamente. ¿Cuál será la inversión de equilibrio
de la empresa?
(b) ¿Cuál es la inversión óptima? Es decir, ¿cuál es el nivel de inversión que maximiza
el valor creado por el nuevo producto (disposición a pagar menos costo marginal) neto
de los costos de I+D? ¿Alcanza el equilibrio del punto (a) al óptimo social? Relacione
este resultado con la teoría de la innovación vista en clase.
Ejercicio 6. Innovación de proceso y competencia en precios
Dos empresas, i = 1, 2, ofrecen sus productos a un consumidor. El consumidor valora
el bien de cualquiera de las dos empresas en w y sólo desea consumir una unidad
(una unidad de 1 o una unidad de 2, pero no una de cada una). Inicialmente, las dos
empresas producen con un costo marginal de producción de cA < w . Sin embargo,
las empresas pueden invertir en I+D para obtener una innovación de proceso que les
permitiría producir con un costo marginal de cB < cA (los subíndices A y B indican
si el costo es alto o bajo). La empresa i innova con probabilidad xi incurriendo en un
costo de I+D de xi2/2 y las probabilidades de innovación son independientes. Luego
de incurrir en el costo de I+D y obtener sus resultados de innovación, las empresas
compiten en precios (a la Bertrand) para vender sus productos al consumidor.
(a) Construya la función de bene�cio esperado que cada empresa maximiza al momen-
to de decidir su inversión en I+D.
(b) Obtenga el equilibrio de Nash.
Solución.
(a) Hay tres situaciones que pueden darse: que una sola empresa innove, que ninguna
innove, o que las dos innoven. Denotamos al precio de la empresa i por pi . Si una
sola empresa innova, en la competencia en precios subsecuente, las dos �rmas �jarán
un precio igual a p1 = p2 = cA, y la empresa que innove obtendrá unos bene�cios
de cA − cB . Si las dos empresas innovan, �jarán precios iguales a p1 = p2 = cB y
ninguna obtendrá bene�cios. Si ninguna innova, �jarán precios iguales a p1 = p2 = cA
y ninguna obtendrá bene�cios. Por lo tanto, la función de bene�cios esperados de la
�rma i es Bi = xi(1 − xj)(cA − cB) − xi2/2.
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(b) La condición de primer orden correspondiente a i es (1 − xj)(cA − cB) − xi = 0.
Resolviendo, obtenemos la función de reacción xBi (xj) = (1 −xj)(cA − cB) = 0. El
equilibrio es simétrico, por lo que es fácil obtener x∗1 = x
∗
2 =
cA−cB
1+cA−cB .
Ejercicio 7. Imitación de innovaciones simples y complejas
La empresa A puede realizar una innovación simple o compleja sin ningún tipo de
incertidumbre (es decir, después de elegir el tipo de innovación, la empresa innova
con probabilidad 1). El costo la innovación simple es 1/2 y el costo de la innovación
compleja es 3.
Las empresas 1 y 2 pueden imitar la innovación de A. La imitación es probabilística, y
las probabilidades de imitación son independientes. El costo de imitación depende de
si la innovación es simple o compleja. La empresa i imita con probabilidad xi ∈ [0, 1]
pagando un costo de imitación de 12 x
2
i si la innovación es simple, y un costo de 2x
2
i si
la innovación es compleja.
Los ingresos que las empresas obtienen en el mercado dependen del número de em-
presas que hayan logrado imitar. Si ninguna empresa imita, la única empresa activa
es A, que obtiene ingresos de 9. Si sólo una empresa logra imitar, dicha empresa y A
obtienen 3 cada una. Si dos empresas logran imitar, las tres empresas obtienen ingre-
sos de 1 cada una. Las empresas maximizan los ingresos del mercado netos del costo
de innovación/imitación. Note que los ingresos no dependen del tipo de innovación
(simple o compleja).
Las empresas juegan un juego en dos etapas. Primero,A decide qué tipo de innovación
hacer. Segundo, 1 y 2 deciden sus probabilidades de imitación.
(a) Construya las funciones de bene�cio esperado de las empresas 1 y 2 si A elige una
innovación simple en la primera etapa, y encuentre las probabilidades de imitación de
equilibrio.
(b) Construya las funciones de bene�cio esperado de las empresas 1 y 2 si A elige una
innovación compleja en la primera etapa, y encuentre las probabilidades de imitación
de equilibrio.
(c) Construya la función de bene�cio esperado de la empresa A en la primera etapa si
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elige una innovación simple. Construya la función de bene�cio esperado si elige una
innovación compleja. Determine siA debería elegir una innovación simple o compleja.
(d) Explique cuál es el valor de elegir una innovación compleja en este mercado en el
que el tipo de innovación no in�uye en los ingresos por venta.
Solución.
(a) La función de bene�cio esperado de la empresa i es
πi = xi (1 − xj) 3 + xi xj 1 −
1
2
x2i ,
la condición de primer orden es
(1 − xj) 3 + xj 1 − xi = 0.
En un equilibrio simétrico x∗1 = x
∗
2 = x
∗ se da que
(1 − x∗) 3 + x∗ 1 − x∗ = 0,
por lo que x∗ = 1.
(b) La función de bene�cio esperado de la empresa i es
πi = xi (1 − xj) 3 + xi xj 1 − 2x2i ,
la condición de primer orden es
(1 − xj) 3 + xj 1 − 4xi = 0.
En un equilibrio simétrico x∗1 = x
∗
2 = x
∗ se da que
(1 − x∗) 3 + x∗ 1 − 4x∗ = 0,
por lo que x∗ = 12 .
(c) Si A elige una innovación simple, entonces anticipa que en la segunda etapa x∗1 =
x∗2 = x
∗ = 1, por lo que las dos empresas imitarán con probabilidad 1. Entonces, A
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anticipa un bene�cio esperado (ingresos netos de costo de innovación) de 1 − 12 =
1
2 .
Si A elige una innovación compleja, entonces anticipa que en la segunda etapa x∗1 =
x∗2 = x
∗ = 1/2, por lo que su bene�cio esperado es
πA = (1 − x∗)2 9 + 2x∗ (1 − x∗) 3 + x∗2 1 − 3,
=
1
4
9 + 2
1
4
3 +
1
4
1 − 3,
=
1
4
16 − 3,
= 1.
Dado que el bene�cio de A es mayor en el segundo caso, A elegirá una innovación
compleja.
(d) La innovación compleja aumenta las barreras de imitación, por lo que aumenta los
bene�cios esperados del innovador. El innovador tiene incentivos a elegir una inno-
vación compleja siempre que el costo de la misma no sea muy elevado.
Ejercicio 8. Innovación en bienes complementarios
Dos �rmas, i = 1, 2, venden bienes complementarios. Los consumidores están intere-
sados en consumir sistemas compuestos por una unidad del bien 1 y una unidad del
bien 2 (por ejemplo, el sistema puede ser un teléfono compuesto de software y hard-
ware). La demanda de los consumidores es D =
√
a − p1 − p2, donde a representa la
calidad del sistema (la demanda aumenta con a) y pi es el precio del bien i .
(a) Suponga que las empresas �jan precios de manera no cooperativa. ¿Cuál es el equi-
librio de Nash del juego de precios para un nivel de a dado? ¿Cuál es el bene�cio de
cada empresa en equilibrio?
(b) Suponga que la empresa 1 (y sólo la empresa 1) puede aumentar la calidad del sis-
tema invirtiendo en I+D. En concreto, la empresa 1 puede obtener un nivel de calidad
a incurriendo en un costo de I+D de a2/2. Suponga que la empresa 1 �ja a para maxi-
mizar los bene�cios que obtendrá al vender su bien a los consumidores (obtenidos en
el punto a). ¿Cuál es el nivel de a en equilibrio?
(c) Suponga ahora que las dos empresas �jan sus precios de manera conjunta (por
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ejemplo, forman un consorcio de patentes). ¿Cuál es el precio que �jarán por el siste-
ma? ¿Cuál será el bene�cio de cada empresa en equilibrio?
(d) Compare el costo total de un sistema en los puntos (a) y (c) para un nivel de a dado.
¿En qué caso el costo es menor? ¿Cuál es el efecto de la colusión sobre los bene�cios
de las empresas y el excedente de los consumidores? Explique la intuición detrás de
este resultado.
(e) Suponga que las empresas �jan sus precios de manera conjunta (como en el punto
c) y que la empresa 1 �ja a para maximizar los bene�cios que obtendrá al vender su
bien a los consumidores (es decir, los obtenidos en el punto c). ¿Cuál es el nivel de a
en equilibrio? Compare los resultados de los puntos (b) y (e) y explique la diferencia
utilizando los conceptos de innovación vistos en clase.
Solución.
(a) La empresa i maximiza pi D = pi(a1/2 − pi − pj). La condición de primer orden es
a1/2−pi−pj−pi = 0. El equilibrio simétrico es p∗ = a1/2/3 y los bene�cios de equilibrio
de cada �rma son p∗D∗ = a/9.
(b) La empresa 1 maximiza a/9 − a2/2. La condición de primer orden es 1/9 − a = 0,
por lo que la inversión de equilibrio es a∗ = 1/9.
(c) Si las empresas �jan un precio único P por el sistema, maximizan P(a1/2 − P). La
condición de primer orden es a1/2 − P − P = 0 y el precio óptimo es P̂ = a1/2/2. El
bene�cio de cada empresa es a/8.
(d) El costo total del sistema es 2a1/2/3 en el punto (a) y es a1/2/2 en el punto (c), por lo
que es menor en el punto (c). Cuando los bienes son complementarios, un aumento en
el precio de un bien hace que caiga la demanda del otro bien. Al aumentar el precio,
un productor genera una externalidad pecuniaria negativa sobre el otro productor.
Cuando los productores se ponen de acuerdo (como en el punto c), tienen en cuenta
los efectos cruzados y reducen los precios. Los productores aumentan sus bene�cios
y los consumidores salen bene�ciados.
(e) La empresa 1 maximiza a/8 − a2/2. La condición de primer orden es 1/8 − a = 0,
por lo que la inversión de equilibrio es â = 1/8. La inversión de la empresa aumenta
porque la colusión hace que su inversión genere mayores bene�cios. Este resultado
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está relacionado con el problema de la apropiabilidad visto en clase. La razón es que la
empresa puede apropiar un mayor valor, por lo que aumentan sus incentivos a innovar.
Ejercicio 9. Innovación en el mercado de insumos
El productor A necesita de un nuevo insumo, que todavía no ha sido inventado. Sólo
existen dos empresas con los conocimientos necesarios para desarrollar el insumo: la
propia A y otra empresa (B) que se dedica a inventar insumos a pedido. Desarrollar el
insumo es costoso e incierto. La empresa i = A,B logra innovar con probabilidad xi ∈
[0, 1], incurriendo en un costo de I+D xi2/2 y las investigaciones de las dos empresas
son independientes.
La empresa A puede obtener unos ingresos brutos R ∈ [12 , 1] si logra comercializar
el producto basado en el nuevo insumo. A quiere aumentar la probabilidad de que el
insumo sea desarrollado. Por lo tanto, además de invertir en I+D por cuenta propia,
quiere contratar a B para que esta �rma también intente desarrollar el insumo.
Las �rmas eligen sus probabilidades de innovación de manera simultánea. Supongaen primer lugar que las �rmas �rman un contrato mediante el cual A pagará a B un
monto P ∈ (0,R) si B innova, independientemente de si A innova o no. La empresa
A es la única que puede comercializar el producto basado en el nuevo insumo, y sólo
puede hacerlo si ella o B innovan.
(a) Construya las funciones de bene�cio esperado de las dos �rmas.
(b) ¿Son las probabilidades sustitutos o complementos estratégicos desde el punto de
vista de A? ¿Y desde el punto de vista de B? Explique conceptualmente.
(c) Encuentre el equilibrio de Nash.
(d) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las �rmas innove? ¿Cómo cam-
bia esta probabilidad a medida que aumenta P? Explique de manera conceptual este
resultado, distinguiendo entre efectos directos e indirectos (también llamados efectos
estratégicos).
Suponga ahora que las �rmas �rman un contrato mediante el cual A pagará a B un
monto P ∈ (0,R) sólo si utiliza la innovación de B. Es decir, B recibe el pago P sólo si
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B innova y A no.
(e) Construya las funciones de bene�cio de las dos �rmas. ¿Son las probabilidades
sustitutos o complementos estratégicos desde el punto de vista deA? ¿Y desde el punto
de vista de B?
Solución.
(a) La función de bene�cio de la �rma A es
πA = xA(1 − xB)R + xB(R − P) −
1
2
x2A.
La función de bene�cio de la �rma B es
πB = xBP −
1
2
x2B .
(b) Para ver si las acciones son sustitutos o complementos estratégicos, debemos en-
contrar las funciones de reacción. La función de reacción de A es
xRA(xB) = (1 − xB)R,
y la función de reacción de B es
xRB (xA) = P .
Desde el punto de vista de A, las probabilidades son sustitutos estratégicos: si B au-
menta su probabilidad, A responde disminuyendo la suya. Desde el punto de vista de
B, las probabilidades no son ni sustitutos ni complementos estratégicos: la inversión
de B es independiente de la inversión de A.
(c) En el equilibrio de Nash, x∗B = P y x
∗
A = (1 − P)R.
(d) La probabilidad de que alguna de las dos �rmas innove es
X ∗ = x∗A + x
∗
B − x
∗
A x
∗
B = (1 − P)R + P + (1 − P)R P = (1 − P)
2 R + P .
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La derivada de X ∗ con respecto a P es
∂X ∗
∂P
= −2(1 − P)R + 1,
la que es negativa para valores bajos de P y positiva para valores altos de P , dado
nuestro supuesto de que R > 1/2.
A medida que P aumenta, hay dos efectos. Por un lugar, aumentan los incentivos de
B de innovar, y por otro lado disminuyen los incentivos de innovar de A. El primer
efecto es un efecto directo. El segundo efecto es un efecto estratégico, dado que opera
a través del efecto que tienen las acciones de B sobre los incentivos de A.
(e) En esta nueva situación, la función de bene�cios de A es
πA = xA R + xB(1 − xA)(R − P) −
1
2
x2A.
La función de bene�cio de la �rma B es
πB = xB (1 − xA) P −
1
2
x2B .
La función de reacción de A es
xRA(xB) = R − xB(R − P),
y la función de reacción de B es
xRB (xA) = (1 − xA) P .
Desde el punto de vista de A y B las probabilidades son ahora sustitutos estratégicos:
si una �rma aumenta su probabilidad, la otra responde disminuyendo la suya.
Ejercicio 10. Innovación e imitación
Dos �rmas i = 1, 2 compiten en un mercado en el que los consumidores valoran te-
ner productos con mayor calidad. La empresa 2 es ampliamente reconocida por sus
innovaciones. La empresa 1, en cambio, no realiza innovaciones, sino que imita las
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innovaciones de la empresa 2.
La empresa 2 puede obtener una calidad x2 incurriendo en un costo de I+D de x22/2.
La empresa 1 no tiene costos de innovación ni de imitación: su calidad viene dada
por x1 = θ x2, donde θ ∈ [0, 1] es una variable de elección de la �rma 1 que indica
la capacidad de imitación de la empresa 1. Por ejemplo, θ podría estar relacionado
con el tamaño del laboratorio de I+D de la empresa 1: mientras mayor sea el tamaño
del laboratorio, mayor será la capacidad de 1 de imitar las innovaciones de 2. Por
simplicidad, suponemos que la �rma 1 puede elegir cualquier valor de θ entre 0 y 1,
sin incurrir en ningún costo. Es decir, 1 puede imitar totalmente a 2 (sin ningún costo)
eligiendo θ = 1, pero puede elegir un θ < 1 si así lo desea.
Las funciones de bene�cios de las �rmas dependen de la calidad propia y la del rival.
La función de bene�cios de la empresa 2 es π2 = x2 − λ x1 − x22/2, donde xi es la
calidad del producto de la empresa i , λ ∈ (0, 1) es un parámetro que indica el grado de
competencia entre las empresas, x2 − λ x1 son los ingresos por venta de 2, y x22/2 son
los costos de innovación mencionados anteriormente. La función de bene�cios de la
empresa 1 es π1 = x1 − λ x2.
Considere el siguiente juego en dos etapas. Primero, la �rma 1 elige el grado de imi-
tación θ . Segundo, la �rma 2 observa θ y elige su nivel de innovación x2.
(a) Resuelva la segunda etapa del juego para un nivel dado de θ . ¿Qué sucede con el
nivel de innovación de la empresa 2 a medida que aumenta θ? Explique de manera
conceptual este resultado, utilizando la teoría de la innovación vista en clase.
(b) ¿Qué sucede con los bene�cios que la empresa 1 espera conseguir al �nal de la se-
gunda etapa a medida que aumenta θ? Explique de manera conceptual este resultado.
(c) Encuentre el equilibrio del juego secuencial.
(d) ¿Cómo cambiaría este resultado si las empresas pudiesen ponerse de acuerdo para
elegir θ y x2 para maximizar sus bene�cios conjuntos? (Ayuda: si las empresas pu-
diesen ponerse de acuerdo elegirían θ = 1, pero ¿cuál sería el valor de x2?) Compare
este resultado con el del punto (c) y explique de manera conceptual las razones de la
diferencia.
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	Efecto eficiencia
	Carrera de patentes
	Competencia en I+D con ventajas temporales
	Competencia en I+D con innovaciones relacionadas
	Innovación y negociación
	Innovación de proceso y competencia en precios
	Imitación de innovaciones simples y complejas
	Innovación en bienes complementarios
	Innovación en el mercado de insumos
	Innovación e imitación