Solución del Examen 01

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ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACIÓN BÁSICA
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA
INGENIERÍA, CIENCIAS Y CIENCIAS ADMINISTRATIVAS
EXAMEN 01 - DICIEMBRE 2019
Preguntas:
1. Dadas las premisas
H1) p → (¬r ∨ s)
H2) (s ∧ t) → q
H3) t ∨ r
H4) ¬p ↓ q
Demostrar r ↔ ¬t.
Solución. Mediante el uso de reglas de inferencia tenemos:
Proposiciones Razones
1. p ∧ ¬q 1. Definición ↓ en H4).
2. p 2. Simplificación de la conjunción en 1.
3. ¬q 3. Simplificación de la conjunción en 1.
4. ¬r ∨ s 4. Modus ponendo ponens entre H1) y 2.
5. r → s 5. Definición de condicional en 4.
6. ¬(s ∧ t) 6. Modos tollendo tollens entre H2) y 3
7. ¬s ∨ ¬t 7. De Morgan en 6.
8. s → ¬t 8. Definición de condicional en 7.
9. r → ¬t 9. Silogismo hipotético entre 5. y 8.
10. ¬t → r 10. Definición de implicación en H3).
11. (r → ¬t) ∧ (¬t → r) 11. Intr. de la conjunción entre 9. y 10.
12. r ↔ ¬t 12. Definición si y solo si en 11.
2. Dados los conjuntos X y Y, mediante el uso de las leyes del álgebra de conjuntos, simplifique:
[
(
X r (X ∩ Y)
)
∪
(
Y r (X ∩ Y)
)
∪ (X ∩ Y)
]
∩ Y.
Solución. Utilizando las leyes del álgebra de conjuntos:
[
(
X r (X ∩ Y)
)
∪
(
Y r (X ∩ Y)
)
∪ (X ∩ Y)
]
∩ Y
=
[
(
X ∩ (X ∩ Y)c
)
∪
(
Y ∩ (X ∩ Y)c
)
∪ (X ∩ Y)
]
∩ Y Def. de diferencia de conjuntos.
=
[
(
X ∩ (Xc ∪ Yc)
)
∪
(
Y ∩ (Xc ∪ Yc)
)
∪ (X ∩ Y)
]
∩ Y De Morgan.
=
[
(
X ∩ Yc
)
∪
(
Y ∩ Xc
)
∪ (X ∩ Y)
]
∩ Y Absorción.
=
[
(
X ∩ Yc
)
∪
[(
Y ∩ Xc
)
∪ (X ∩ Y)
]]
∩ Y Asociativa.
=
[
(
X ∩ Yc
)
∪ Y
]
∩ Y Propiedad de conjuntos.
=(X ∪ Y) ∩ Y Absorción.
=Y Absorción.
Por lo tanto,
[
(
X r (X ∩ Y)
)
∪
(
Y r (X ∩ Y)
)
∪ (X ∩ Y)
]
∩ Y = Y.
3. Dado el conjunto B = {x ∈ Z : 1 ≤ x < 4} y la proposición
P : (∃x ∈ B)
(
(x + 1 = 0) ↓
(
x2 − 3x + 2 = 0 ∨ x2 + x + 1 = 0
))
a) Simplifique la proposición P.
b) Determine el valor de verdad de P.
c) Determine la negación de P.
Solución.
a) Utilizando las equivalencias lógicas, se tiene que
P ≡ (∃x ∈ B)
(
(x + 1 6= 0) ∧ ¬
(
x2 − 3x + 2 = 0 ∨ x2 + x + 1 = 0
))
≡ (∃x ∈ B)
(
(x 6= −1) ∧
(
x2 − 3x + 2 6= 0 ∧ x2 + x + 1 6= 0
))
≡ (∃x ∈ B) ((x 6= −1) ∧ ((x − 2)(x − 1) 6= 0 ∧ V))
≡ (∃x ∈ B) (x 6= −1) ∧ ((x − 2)(x − 1) 6= 0)
≡ (∃x ∈ B) ((x 6= −1) ∧ (x 6= 2 ∧ x 6= 1))
≡ (∃x ∈ B) (x 6= −1 ∧ x 6= 1 ∧ x 6= 2)
b) Para determinar el valor de verdad, notemos que
B = {1, 2, 3}
de donde P es verdadera con x = 3.
c) Finalmente, la negación de P es:
¬P ≡ (∀x ∈ B)(x = −1 ∨ x = 1 ∨ x = 2).
4. Resolver la siguiente ecuación
1√
x −
√
x − 1
+
1√
x +
√
x − 1
= 7.
Solución. Para calcula el conjunto de valores admisibles se debe cumplir que
√
x −
√
x − 1 6= 0 ∧
√
x +
√
x − 1 6= 0 ∧ x ≥ 0 ∧ x − 1 ≥ 0,
de donde CVA = [1,+∞[. Ahora bien, dado x ∈ CVA, se tiene que
1√
x −
√
x − 1
+
1√
x +
√
x − 1
= 7 ⇐⇒
√
x +
√
x − 1 +√x −
√
x − 1
x − (x − 1) = 7
⇐⇒ 2
√
x = 7
⇐⇒ 4x = 49
⇐⇒ x = 49
4
.
Por lo tanto,
Sol = {49/4}.
5. Resolver la siguiente desigualdad
|x + 1|+ |x − 2| > 3.
2
Solución. Para resolver esta desigualdad se va a trabajar por casos según la siguiente tabla:
i. En el intervalo ]−∞,−1]: Por la definición del valor absoluto, se tiene que
|x + 1| = −(x + 1) y |x − 2| = 2 − x.
Entonces, en este caso,
|x + 1|+ |x − 2| > 3 ⇐⇒ −(x + 1) + (2 − x) > 3
⇐⇒ x < −1,
de donde
Soli = ]−∞,−1[ .
ii. En el intervalo ]−1, 2]: Por la definición del valor absoluto, se tiene que
|x + 1| = x + 1 y |x − 2| = 2 − x.
Entonces, en este caso,
|x + 1|+ |x − 2| > 3 ⇐⇒ (x + 1) + (2 − x) > 3
⇐⇒ 3 > 3
⇐⇒ F,
de donde
Solii = ∅.
iii. En el intervalo ]2,+∞[: Por la definición del valor absoluto, se tiene que
|x + 1| = x + 1 y |x − 2| = x − 2.
Entonces, en este caso,
|x + 1|+ |x − 2| > 3 ⇐⇒ (x + 1) + (x − 2) > 3
⇐⇒ x > 2,
de donde
Soliii = ]2,+∞[ .
Por lo tanto, el conjunto solución es
Sol = ]−∞,−1[ ∪ ]2,+∞[ .
6. Resolver la siguiente inecuación
|x2 − 5x + 6| ≤ 2
Solución. Utilizando las equivalencias del valor absoluto, para cada x ∈ R se tiene que
|x2 − 5x + 6| ≤ 2 ⇐⇒ −2 ≤ x2 − 5x + 6 ≤ 2
⇐⇒ −2 ≤ x2 − 5x + 6 ∧ x2 − 5x + 6 ≤ 2.
Se va a resolver cada desigualdad por separado:
• Primero
x2 − 5x + 6 ≥ −2 ⇐⇒ x2 − 5x + 8 ≥ 0 ⇐⇒ V
dado que el discriminante del segundo polinomio es negativo.
3
• Segundo
x2 − 5x + 6 ≤ 2 ⇐⇒ x2 − 5x + 4 ≤ 0 ⇐⇒ (x − 4)(x − 1) ≤ 0.
Entonces, por la tabla,
x2 − 5x + 6 ≤ 2 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 4.
Por lo tanto,
|x2 − 5x + 6| ≤ 2 ⇐⇒ V ∧ 1 ≤ x ≤ 4 ⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 4.
Finalmente,
Sol = [1, 4].
7. Resolver la siguiente inecuación
2x2 − 3
x
≥ −5.
Solución. Primero, se tiene que
CVA = R∗.
Ahora bien, para cada x ∈ CVA, se tiene que
2x2 − 3
x
≥ −5 ⇐⇒ 2x
2 − 3
x
+ 5 ≥ 0
⇐⇒ 2x
2 + 5x − 3
x
≥ 0
⇐⇒ (x + 3)(2x − 1)
x
≥ 0.
Entonces, por la tabla,
2x2 − 3
x
≥ −5 ⇐⇒ −3 ≤ x < 0 ∨ x ≥ 1
2
.
Por lo tanto,
Sol = [−3, 0[ ∪
[
1
2
,+∞
[
.
8. Demuestre que para todo a, b, c, d ∈ R tales que a2 + b2 = 1 y c2 + d2 = 1, se cumple que 1 ≥ ac + bd.
Sugerencia: Utilice que (a − c)2 ≥ 0, (b − d)2 ≥ 0 y las propiedades de campo y de orden.
4
Demostración. Dados a, b, c, d ∈ R tales que
H1) a
2 + b2 = 1 y H2)c
2 + d2 = 1.
Proposiciones Razones
1. (a − c)2 ≥ 0 1. Propiedad de Orden
2. a2 + c2 ≥ 2ac 2. Definición de Potencia, Axiomas
Distributivo, Asociativo, Conmutativo,
Ley Aditiva de la Desigualdad, Axiomas
de Inverso y Neutro Aditivos en 3.
3. (b − d)2 ≥ 0 3. Propiedad de Orden
4. b2 + d2 ≥ 2bd 4. Definición de Potencia, Axiomas
Distributivo, Asociativo, Conmutativo,
Ley Aditiva de la Desigualdad, Axiomas
de Inverso y Neutro Aditivos en 5.
5. (a2 + c2) + (b2 + d2) ≥ 2ac + 2bd 5. Propiedad de orden con 2. y 4.
6. 1 + 1 ≥ 2ac + 2bd 6. H1) y H2) a 5.
7. 2 ≥ 2(ac + bd) 7. Axioma Distributivo en 6.
8. 1 ≥ ac + bd 8. Ley Cancelativa de la Desigualdad con
la Multiplicación en 8.
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