EAE 220 4 Inversion 2019

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Inversión 
 
Macroeconomía I 
Prof. Raimundo Soto 
 
¿Cuál inversión? 
 Inversión en capital físico 
 
 “Formación de capital fijo” 
 
 Excluye formación de capital humano, 
capital social, y capital institucional. 
¿Qué es la inversión? 
 La inversión es un flujo que incrementa el stock 
de capital 
 
 Formación Bruta de Capital Fijo 
◦ Construcción y otras obras 
 Residencial 
 No residencial 
◦ Maquinaria y equipo 
 
 Cambios en el stock de inventarios 
¿Qué es la inversión? 
 Dos teorías en un contexto sin 
incertidumbre: 
◦ Costo de uso del capital 
◦ “q” de Tobin 
Relación entre Inversión y PIB 
 Parece “obvio” que la inversión se relaciona con 
el PIB 
 
 Mas bien, parece obvio que la inversión se 
relaciona con el crecimiento del PIB 
 
 Lo que es menos obvio es que los ciclos de 
inversión sí se relacionan con los ciclos del PIB 
Relación entre Inversión y PIB 
COSTO DE USO DEL CAPITAL 
La demanda por capital 
 Para entender los determinantes de la 
inversión es necesario entender la demanda 
por capital 
 
 El modelo neoclásico analiza los costos y 
beneficios derivados de mantener bienes de 
capital (K) 
 
 Supongamos 2 tipos de empresas 
◦ Productores de bienes y servicios y arriendan K 
◦ Dueños del K 
 
 
La demanda por capital 
 La empresa que produce los bienes y 
servicios resuelve: 
 
 
La demanda por capital 
 Si suponemos que L está constante, entonces la 
CP0 respecto del capital es 
 
 
 En unidades del bien de consumo 
 
 
 
 No “avanzamos mucho” sin PMgK explícita 
 
 
 
 
La demanda por capital 
 Si la función de producción es Cobb-
Douglas, derivamos el capital deseado, K* 
 
 
 
 
 
 ¿podemos explicar cada efecto desde un 
punto de vista económico? 
 
Costo de uso del capital 
 Las empresas dueñas del K invierten en K y 
lo arriendan a los productores de bienes (no 
producen un bien sino un servicio) 
 
 Cada unidad que logran arrendar tiene como 
beneficio rK 
 
Costo de uso del capital 
 El costo tiene 3 componentes (expresados en 
valor): 
◦ La tasa de interés de mercado o el costo de 
oportunidad de los fondos invertidos: iPK 
◦ La depreciación: δPk 
◦ Los cambios en el precio del capital para el siguiente 
periodo: −Δ𝑃𝐾 = −(𝑃𝐾,𝑡+1 − 𝑃𝐾,𝑡) 
Costo de uso del capital 
 De esta forma el costo de uso del capital cu 
 
 
 
 En la fórmula anterior i corresponde a una tasa 
de interés nominal. La tasa de interés real es 
 
 
 Sumando y restando la inflación en la ecuación de 
costo de uso 
 
 
 La ecuación del costo de uso del capital 
considera cambios en el precio relativo entre 
bienes de capital y los bienes producidos por 
las empresas que lo usan, aparte de 
depreciación y costo alternativo 
 
 Si no hay cambio de precios relativos 
entonces: 
 
 
Costo de uso del capital 
La utilidad para los dueños del capital y la 
condición para la inversión 
 La firma invierte en función de la utilidad definida 
como: 
 
 
 En unidades del bien producido por demandantes 
de K 
La demanda por inversión 
 Entonces considerando que la inversión neta se define 
como el cambio en K: 
 
 
 La demanda por inversión es: 
 
 
 Por lo tanto: 
 
 
 
 
 Gráfico clásico de la demanda 
Costos de ajuste e inversión 
 La demanda por capital determina cual es el stock de 
capital deseado K* 
 
 La empresa invierte (desinvierte) K* - Kt-1 
 
 Si la empresa enfrenta costos de ajuste, acomodará 
gradualmente su stock de K al K* 
 
Costos de ajuste e inversión 
 Dos tipos de costos de ajustes 
◦ Costo de estar fuera del óptimo 
◦ Costo de ajustar el capital 
 
 
Costos de ajuste e inversión 
 Si la firma minimiza los costos de ajuste para elegir el 
capital en próximo periodo 
 
 
 Se obtiene: 
 
 
 La proporción en que se ajusta el K cada periodo para 
acercarse al óptimo depende: 
◦ Positivamente del peso que tiene el costo de estar fuera del 
equilibrio 
◦ Negativamente del costo de ajustarse 
 
 
)()()( **
21
1
1 tttt KKKKKK 

 


Costos de ajuste e inversión 
 El costo de uso del capital y la PMgK determinan el 
capital deseado (K*) 
 La minimización de costos de ajuste determina la 
velocidad con que se ajusta la firma 
ttNB KKKKII   )(
*
TEORÍA DE LA “Q” DE TOBIN 
Teoría de la “q” de Tobin 
 En la práctica las empresas evalúan proyectos de 
inversión 
◦ Inversión es indivisible 
 La empresa evalúa invertir PK 
 Genera flujos de caja F 
 
 
 
 Si VP > PK (VAN ≥ 0), la empresa hace la inversión 
 Note que la tasa de interés afecta negativamente a la 
inversión 
◦ Δ+ r puede hacer que el proyecto no se haga 

 

N
t
t
t
r
F
VP
1 )1(
La “q” de Tobin 
 Tobin define la q como: 
 
𝑞 =
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑀𝑒𝑟𝑐𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝐾 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐹𝑖𝑟𝑚𝑎
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝐾
=
𝑉𝑃
𝑃𝐾
 
 
 La decisión de invertir se basa en si la inversión (que 
cuesta el valor de reposición) incrementa o no el valor de 
la firma 
◦ Si q > 1 a la empresa le conviene comprar K 
◦ Si q < 1 a la empresa le conviene invertir menos 
◦ El equilibrio de largo plazo q = 1 
 En presencia de costos de ajustes el equilibrio de largo 
plazo no se alcanza instantáneamente 
Relacionando la teoría q con 
la teoría neoclásica 
 El proyecto es: 
◦ Comprar un bien de K a precio PK 
◦ Producir un bien Y que se vende a precio P 
◦ El bien de K se deprecia a la tasa δ y la producción de Y también 
disminuye a esa tasa 
◦ P aumenta a la tasa π 
 
 
 Los flujos son nominales y se descuentan a la tasa i 
 
 
 
 
...
)1(
)1()1(
)1(
)1()1(
)1(
)1(
3
23
2
2










i
YP
i
YP
i
YP
PVAN K

Relacionando la teoría q con 
la teoría neoclásica 
 Usando 
 
 
 
 
 Entonces: 



1
i1
r1 :Fisher deEcuación 














 ...
)1(
)1(
)1(
)1(
1
)1( 2
2
rrr
PY
PVAN K



r
PY
PVAN K
Relacionado la teoría q con 
la teoría neoclásica 
 El proyecto se hace si y sólo si: 
 
 
 
 Podemos interpretar Y como la PMg del bien K, dado que 
es la cantidad producida por una unidad de K 
 De esta forma: 
 
P
c
r
P
P
Y uK  


r
PY
PK
Costos de ajuste y la teoría q 
 Supongamos que una empresa representativa produce Y 
solamente con capital 
 
 
 
 La empresa compra el capital, no lo arrienda 
 
 Además de comprar el capital debe incurrir en un costo 
C(It), función creciente y convexa 
 
 tt KFY 
0'C' ,0' ,0)0(' ,0)0(  CCC
Costos de ajuste y la teoría q 
 De esta forma la utilidad en t es: 
 
 
 La evolución del capital sería: 
    tttkttt ICIPKFPUt  ,
tt1t K)1(IK 
Costos de ajuste y la teoría q 
 La firma maximiza el valor presente de los flujos de 
ganancias en cada periodo: 
 
 
 Supongamos 
◦ Depreciación es nula δ = 0 
◦ Precio de los bienes igual al del capital Pt = PKt 
 Derivando respecto a Kt se obtiene 
 
 
 1
1
)('
1
1
))('1()('
1
1
)('1








ttt
ttt
qKF
r
q
ICKF
r
IC
   
       


 
0
11 )1()1(
1
1
max
t
ttttktttt
K
KKCKKPKFP
it

Costos de ajuste y la teoría q 
 1 + 𝐶’(𝐼𝑡−1) es el valor de instalar una unidad más de 
capital 
 Antes q debía ser mayor que 1 para invertir, ahora debe 
compensar por los costos de ajuste 
 Solucionando hacia adelante: 
 
 
 
 q es simplemente el VP de las PMg futuras 
 Si K fuese constante, no se incurre en costos de ajuste, 
entonces q=1 o F’(K)=r, caso en que la empresa no invierte 
T
T
Ts
s
st
t
r
q
r
KF
q
)1()1(
)(' 1
0
1 lim 


 





Costos de ajuste y la teoría q 
 En forma más general, recordando que: 
 
 
 
 
 
 
 El costo de oportunidad de una unidad de K, r, debe 
igualar a los beneficios: 
◦ F’(Kt) 
◦ La ganancia de capital (Δ+ en el valorde la firma) 
 
t
t
t
t
t
t
t
t
ttt
q
q
q
KF
r
q
q
q
KF
r
qKF
r
q
1
1
1
)('
)('
1
)('
1
1









Inversión con incertidumbre 
 La función de ganancias es convexa en precios 
◦ Mayor volatilidad en los precios genera una mayor ganancia 
esperada (desigualdad de Jensen) 
◦ Mayor inversión 
 La intuición y la práctica: relación negativa entre 
incertidumbre e inversión 
◦ Empresarios aversos al riesgo: max E[U(VP)] 
◦ Restricciones de liquidez: enfrentar estados de la naturaleza 
malos o poder llevar a cabo todos los planes de inversión en el 
tiempo en proyectos de larga maduración 
◦ Irreversibilidad de la inversión: Una vez realizada la inversión no 
se puede deshacer, costos de ajuste asimétricos 
◦ Competencia imperfecta: la cantidad de capital afecta su 
rentabilidad, ya que afecta P y la convexidad de la función de 
ganancias 
 
Irreversibilidad de la inversión e 
incertidumbre 
 Hasta ahora la empresa puede invertir y puede vender el bien de K 
 
 ¿Qué pasa si la inversión es irreversible y hay incertidumbre sobre 
alguna variable clave? 
◦ Inversión no se puede deshacer una vez realizada 
◦ Incertidumbre no se puede eliminar con seguros, compra de información, 
etc. 
 
 Veamos un ejemplo sobre como cambia la decisión de inversión: 
◦ La inversión sirve solamente para producir un bien X 
◦ Se conoce el precio del bien X en el periodo 0, P0 
◦ A partir del periodo 1 el precio puede tomar 2 valores Pu > Pl 
◦ Ese precio se mantiene para siempre 
◦ Si P = Pu el proyecto es rentable; si P = Pl no es rentable 
◦ Existe una probabilidad π de que el precio sea alto y (1-π) que sea bajo 
◦ Por simplicidad E(P1) = π Pu + (1-π) Pl = P0 
◦ El costo de producción es 0 
El proyecto de inversión 
t = 0 t = 1 … t = ∞ 
Invierte : - I 
Produce: P0 
Pu 
Pl 
π 
1-π 
… 
… 
Pu 
Pl 




 



01
0
)1(
)(
)1(
)(
)(
t
t
t
t i
PE
I
i
PE
PIVPNE
El valor de la opción de esperar 
 Si el proyecto se hace inmediatamente: 
 
 
 Si se espera un periodo, lo hace si P=Pu: 
 
 
 
 
 Le conviene esperar si E1(VPN) > E0(VPN) 


 

0
0
)1(
)(
)(
t
ti
PE
IVPNE










 

1
1
)1(1
)(
t
t
u
i
P
i
I
VPNE 


 









1
0
)1(
)1(
1
1
t
t
l
i
P
P
i
I

Veamos un ejemplo numérico 
 Si lo hace en tiempo cero 
 
 
 Note que si se da el estado malo el VPN<0 
 Si espera un año: 
 
 









5.01100
5.0300
200
%10
1600
1
0


P
P
i
I
60022001600
)1,1(
200
1600)(
0
0  

t
t
VPNE
7730*5.0
)1,1(
300
1,1
1600
5,0)(
1
1 







 

t
t
VPNE
Un ejemplo numérico 
 Conviene esperar ya que: 
 
 La “opción de esperar” vale $173. 
 
 Todo este análisis es válido para un individuo que maximiza E(VPN), es 
decir los dueños son neutrales al riesgo 
 
 Si la elección fuese invertir ahora o no invertir nunca, la empresa 
invertirá ahora 
 
 Existe un costo de oportunidad de invertir hoy: 
◦ Irreversibilidad 
◦ Capacidad para postergar la inversión 
 
 Hay veces en que no existe esta última capacidad 
◦ Comprar un licencia que está por expirar 
◦ Alguien le puede ganar el mercado 
Costos dilatar versus costo de la 
irreversibilidad 
 ¿Cuánto vale la flexibilidad de atrasar la inversión? 
 
 Cuando se puede postergar la decisión es como una 
opción (finanzas) 
◦ Una opción es un derecho a comprar (vender) un activo 
a alguna fecha futura a un precio determinado 
 
• ¿Cuánto vale esta opción? 773-600=173 
 
 
 
Costos dilatar versus costo de la 
irreversibilidad 
 Otra forma: ¿Cuánto es el máximo costo de I que está 
dispuesto a aceptar para tener una oportunidad flexible 
versus “ahora o nunca”? 
 
 Si invierte ahora 1600 gana 600. Espera un periodo si al 
menos gana eso 
 
 
Costos dilatar versus costo de la 
irreversibilidad 
 El invertir ahora o nunca a un costo de 1600 tiene el 
mismo valor que una oportunidad de invertir hoy o el 
próximo periodo a un costo de 1980 
 
 El inversionista compra la opción de invertir a futuro y 
la ejerce solamente si P1 = Pu y no la ejerce si P1 = Pl. 
Esa opción tiene valor. 
Resumen 
 Modelo de inversión neoclásico estándar 
◦ Costo de uso del capital 
 
 Modelo q de Tobin 
 
 
 
 Equivalencia de modelo neoclásico y q de Tobin 
 Modelos con costos de ajustes C(𝐼𝑡) 
 
Resumen 
 Modelos con costos de ajustes más complejos 
◦ Dos tipos de costos de ajustes 
 Costo de estar fuera del óptimo 
 Costo de ajustar el capital 
 
 
 Modelos con incertidumbre 
◦ Opción de esperar 
 
 ¿Qué pasa si hay múltiples proyectos de inversión? 
Múltiples proyectos de inversión 
 Suponga: 
◦ Portafolio de proyectos infinitamente divisibles 
◦ El inversionista los ordena por TIR: 
 
 
 
 
 
 El inversionista tiene “costo de fondeo” r en el mercado: 
¿cuales proyectos realizará? 
Decisiones de consumo e inversión 
 Los recursos de inversión vienen de los 
fondos que capta el inversionista, es decir el 
ahorro de los consumidores 
 
 Si no hay un mercado de capitales o nadie 
hace la intermediación financiera, entonces 
cada inversionista “se rasca con sus propias 
uñas” 
◦ Es decir, decisiones de consumo e inversión se 
toman en forma conjunta 
◦ T.M.T. = T.M.S. 
 
 
Decisiones de consumo e inversión 
 Si existe mercado de capitales: 
◦ Realiza proyectos para los cuales TIR ≥ r 
◦ Calcula la riqueza y decide consumo y ahorro (deuda) 
 
 Teorema de separación Fisher-Hirschleifer 
◦ Las decisiones de inversión y consumo son separables 
 
 Esta separación se puede romper cuando tasas 
de prestar y pedir prestado difieren 
Valoración de activos riesgosos 
 Una aplicación para inversión de lo aprendido en consumo 
es la valoración de activos riesgosos 
 En lugar de suponer que la tasa de interés es 
determinística, suponga que el individuo ahorra en un 
activo que tiene un retorno incierto (ri) 
 La ecuación de Euler puede ser derivada exactamente 
como en el caso sin riesgo: 
 
 
 
 Note que ahora el término (1+ri) no puede ser sacado 
fuera del valor esperado 
  0)1()(')(' 1   ittt rcuEcu 
Valoración de activos riesgosos 
 Re escribiendo la ecuación de Euler se obtiene 
 
 
 
 Donde el término 
 
 se conoce como el factor de descuento estocástico 
 
 Este factor permite valorar los flujos generados por 
cualquier activo o determinar el retorno requerido por 
el consumidor para un activo de esa clase de riesgo 
1)1(
)('
)(' 1 





 i
t
t
t r
cu
cu
E 
)('
)(' 1
1
t
t
t
cu
cu
m   
Tasa libre de riesgo 
 Note que a partir de la ecuación de Euler tradicional, 
la tasa de un activo libre de riesgo es el inverso del 
valor esperado del factor de descuento estocástico 
1)1(
)('
)(' 1 





 r
cu
cu
E
t
t
t 
)(
1
)1(
1

tt mE
r
Retorno esperado de un activo 
riesgoso 
 En el caso de un activo riesgoso la ecuación de Euler es: 
 
 
 Aplicando la definición de covarianza 
 
 
 
 Aplicando la definición de tasa libre de riesgo y 
arreglando términos se obtiene 
 
  1][][)1( 111   ittttitt rmEmErmE
))('(
))(',(
)(
],[
)(
1
1
1
1



 
tt
tit
tt
itt
it
cuE
curCov
mE
rmCov
rrE
],[][][][][1 1111 ittitttitttt rmCovrEmErmEmE  
Premio por riesgo exigido a un activo 
riesgoso 
 Cuando el retorno de un activo co-varía positivamente 
con el consumo (negativamente con su utilidad 
marginal), se le exige un premio por sobre el activo 
libre de riesgo 
 Un activo que co-varía negativamente con el consumo 
es más valioso para el consumidor (le provee una 
especie de seguro) y por tanto exige un premio por 
riesgo negativo 
))('(
))(',(
)(
1
1


tt
tit
it
cuE
curCov
rrE
CAPM de consumo 
 Un caso particular de larelación anterior es lo 
que se conoce en finanzas como CAPM 
 Suponga que existe un activo cuyo retorno esta 
negativamente correlacionado con u’(c) 
 Este activo se considera generalmente como un 
portafolio de mercado que incluye todos los 
activos de la economía 
 Si entonces: 
 
 Por otra parte 
),())(',( 1 mittit rrbCovcurCov 
)()]('[ 1 mttt rbEcuE 
CAPM de consumo 
 Reemplazando en la ecuación para el premio por 
riesgo 
 
 
 De las condición de Euler para rm sabemos que: 
 
 
 
 
rrE
rVar
rE
rE
rVar
cuE
curCov
rrE
mt
mt
mt
mt
mt
tt
tmt
mt





)(
)(
)(
)(
)(
))('(
))(',(
)(
1
1
)(
),(
))('(
))(',(
)(
1
1
mt
mit
tt
tit
it
rE
rrCov
cuE
curCov
rrE 


CAPM de consumo 
 Reemplazando el valor esperado del retorno de mercado 
en la ecuación de premio por riesgo: 
 
 
 En que: 
◦ 𝛽𝑖 es el beta del activo i y mide la cantidad de riesgo 
◦ 𝐸[𝑟𝑚 – 𝑟] es el premio por riesgo de mercado 
 Note que el beta puede ser mayor o menor a cero 
 Mientras menor es la covarianza con el retorno de 
mercado menor es el premio que se le exige a un activo 
   rrErrE
rVar
rrCov
rrE mim
m
mi
i  )()(
)(
),(
)( 
El puzzle del premio por riesgo de 
mercado 
 Un uso importante del modelo es poder predecir el 
premio por riesgo de mercado 
 Merha y Prescott (1985) utilizando datos del mercado 
accionario estimaron un premio por riesgo de 6% muy 
superior a lo que predeciría el modelo con parámetros 
“razonables” de aversión al riesgo 
 Explicaciones: 
◦ Hábitos en el consumo 
◦ Probabilidad de sobrevivencia de las firmas 
◦ Medición del retorno ex-post versus ex-ante 
◦ Agentes heterogéneos 
EQUILIBRIO GENERAL 
Condiciones de equilibrio general en 
una economía de dotación 
 Hasta ahora hemos analizado la conducta de un individuo 
en particular 
 Pero una economía se compone de varios consumidores 
 Cada uno maximiza utilidad sujeto a su restricción de 
dotaciones y tomando como dada la tasa de interés 
 El individuo i enfrenta 
 
 En que corresponde al nivel de deuda o ahorro del 
individuo i 
i
t
i
t
i
t
i
t acray 1)1( 
i
ta 1
Condiciones de equilibrio general y la 
restricción presupuestaria individual 
 En una economía cerrada, como contrapartida al que 
pide prestado deben existir agentes que prestan 
 Es decir, si existen N individuos en la economía debe ser 
cierto que : 
 
 
 Aplicando esta condición a la suma de las restricciones 
presupuestarias: 
ta
N
i
i
t 

 ,0
1
1




 
N
i
i
t
N
i
i
t cy
1
1
1
1
El equilibrio 
 La tasa de interés representa el precio relativo 
entre consumos de diferentes periodos 
 Por lo tanto es esta tasa la que asegura que exista 
un equilibrio entre los que prestan y los que piden 
prestado 
 Dicho de otra forma la tasa de interés asegura el 
equilibrio en el mercado de crédito y 
automáticamente en el de bienes (ley de Walras) 











N
i
i
t
N
i
i
t
N
i
i
t ayc
1
1
11
0
Condiciones de equilibrio general 
 La suma de los excesos de demanda deben ser 
iguales a cero 
 Equilibrio general se define como una secuencia 
de tasas de interés {rt, rt+1, rt+2, …} y asignaciones 
de consumo {ct, ct+1, ct+2, …} tal que los individuos 
maximizan su utilidad y tanto el mercado de 
bienes como el de activos se vacían 
tcCYy
N
i
i
t
N
i
i
t  



 ,
1
1
1
1
tAa t
N
i
i
t  

 ,01
1
1
Ejemplo con agente representativo 
 Si los agentes son idénticos podemos trabajar 
con un agente representativo que resume todo el 
comportamiento agregado 
 Es decir 
 En una CRRA, usando la condición de óptimo y 
de vaciado de mercado encontramos la tasa de 
interés de equilibrio: 
*
1
*
1   tt cy
*11 1
11
r
y
y
c
c
t
t
t
t 














Equilibrio en una economía cerrada y 
sin gobierno 
 Los componentes de la demanda agregada 
 
 
 
 
 Supuesto: Perfecta flexibilidad de precios. Esto 
implica que se alcanza el producto de pleno 
empleo 
 La condición de equilibrio 
62 
)(
),,(
rII
rYYCC
ICY
Tp
d
ddd



dYY 
Equilibrio Ahorro - Inversión 
 Otra forma de ver el equilibrio 
 
 
 
 
 Consumo depende negativamente de r, por tanto, 
el ahorro es una función positiva de r 
 Inversión depende negativamente de r 
63 
d
S
d
dd
ICY
ICY


