Modelo2BNeoclásico2Bde2BCrecimiento2BEconómico

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Modelo Neoclásico de Crecimiento Económico: Modelo de Solow (1956) 
Este modelo enfatiza el rol de la acumulación de capital (i.e: K) como motor fundamental del 
crecimiento económico (i.e: �̂� ,recuerde que un gorro arriba de una variable significa tasa de 
crecimiento de la misma). 
Es el modelo muy simple y sirve como punto de partida para análisis más complejos del �̂�. 
Resalta la importancia de la tasa de ahorro (i.e: s) para el desarrollo económico. Es decir, una 
mayor s resulta en un mayor nivel de ingreso per cápita (i.e; 𝒚) en el largo plazo 
No obstante, el incremento de s tiene solo efectos temporarios en �̂�. 
Dado que la economía presenta rendimiento marginales decreciente en la acumulación de K 
(supuesto fundamental!) el producto per cápita no crece en el largo plazo (i.e; �̂� = 0). Esta 
situación solo puede revertirse con la existencia de cambio tecnológico (situación que 
abordaremos en una extensión del modelo básico). 
Este modelo es esencialmente un modelo de contabilidad dinámica. 
Supuestos básicos, 
1) El nivel de producto Y viene dado por 
 
𝑌𝑡 = 𝐴𝑡𝐹(𝐾𝑡 , 𝐿𝑡) 
 
Donde 𝑨𝒕 es el nivel tecnológico. Por ahora asumiremos que A es constante (i.e: no hay 
cambio tecnológico). 
 
𝐹(𝐾𝑡, 𝐿𝑡) es la función de producción que depende del nivel del stock de capital K y la cantidad 
de trabajo L. 
Por el momento asumiremos que no existe crecimiento poblacional. 
La función de producción satisface las siguientes propiedades: 
i) 𝐹(0, 𝐿) = 𝐹(𝐾, 0) = 0 
ii) Creciente en los factores de producción: 𝐹𝐾 > 0 , 𝐹𝐿 > 0 
iii) Rendimientos marginales decrecientes: 𝐹𝐾𝐾 < 0 , 𝐹𝐿𝐿 < 0 
iv) Rendimientos contantes a escala: 𝐴𝑡𝐹(𝛾𝐾𝑡 , 𝛾𝐿𝑡) = 𝛾𝐴𝑡𝐹(𝐾𝑡, 𝐿𝑡) = 𝛾𝑌𝑡 
v) Satisface las condiciones de Inada: 
a. lim
𝐾→0
𝐹𝐾 = lim
𝐿→0
𝐹𝐿 = ∞ 
b. lim
𝐾→∞
𝐹𝐾 = lim
𝐿→∞
𝐹𝐿 = 0 
Supongamos que 𝛾 =
1
𝐿
 , entonces 𝐹(𝛾𝐾𝑡 , 𝛾𝐿𝑡) = 𝐹(𝐾𝑡/𝐿𝑡, 1) = 𝑓(𝑘𝑡) 
Por lo tanto, el producto per cápita será 
𝑦𝑡 =
𝑌𝑡
𝐿𝑡
= 𝐴𝑡𝑓(𝑘𝑡) 
Note que todas las variables en minúsculas (excepto en el caso de s) representan valores en 
términos per cápita. 
Entonces la función de producción que satisface las propiedades i) a v) lucirá como en el siguiente 
gráfico (les pido disculpas por la notación en ingles del gráfico) 
 
 
 
En este curso trabajaremos con una función de producción particular llamada Cobb-Douglas 
(cumpliendo todas las propiedades anteriores – demostrar!!!) que tiene la siguiente forma: 
𝑌𝑡 = 𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼𝐿𝑡
1−𝛼 Con 0 < 𝛼 < 1 
Los exponentes de esta función de producción tienen una interpretación muy importante: 
representan la participación del factor de producción en el producto total (demostrar!!!). 
2) Ley de movimiento para la acumulación del stock de capital en el tiempo: 
 
Kṫ = It − δKt 
Donde 𝑰𝒕 es la inversión bruta y 𝜹 es la tasa de depreciación del capital. Note que esto no es otra 
cosa que una ecuación diferencial en K. 
3) El supuesto sobre el comportamiento de los hogares en lo que tiene que ver con las decisiones 
de ahorro/consumo es “Keynesiano”. Suponemos que los individuos ahorran una fracción 
constante (y a su vez exógena) s de su ingreso (por la tanto, consume una fracción 1-s). 
También suponemos que la economía está cerrada (no hay comercio internacional o movilidad 
internacional de factores). Tampoco existe gobierno. Por lo tanto, las cuentas nacionales 
lucirán de la siguiente forma: 
𝑌𝑡 = 𝐼𝑡 + 𝐶𝑡 
𝑌𝑡 = 𝐼𝑡 + (1 − 𝑠)𝑌𝑡 
𝐼𝑡 = 𝑠𝑌𝑡 = 𝑆𝑡 
Es decir, en una economía cerrada el ahorro agregado tiene que ser igual a la inversión 
agregada. 
 
4) Asumimos también que no hay ni crecimiento poblacional ni cambio tecnológico. Esto quiere 
decir que 𝐿𝑡 = �̅� y que 𝐴𝑡 = �̅� para todo t. Estos supuestos son relajados más adelante ( de 
hecho en clase permitimos que la población cambiara en el tiempo). 
 
Por lo tanto la ecuación de movimiento del capital puede ser escrita como: 
Kṫ = 𝑠𝑌𝑡 − δKt 
Queremos expresar todo en términos per cápita. Note que el capital por trabajador es 𝑘𝑡 =
𝐾𝑡
𝐿𝑡
 
Por lo tanto, 
𝑘𝑡
𝑘𝑡
̇
=
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
 . Reemplazando en la ecuación de movimiento se obtiene una nueva 
ecuación de movimiento para el capital por trabajador. 
kṫ = 𝑠𝑦𝑡 − δkt 
El primer término en el lado derecho de la ecuación es la inversión en capital por trabajador 
mientras que el segundo término es la depreciación del capital físico por trabajador. Si el capital se 
mantiene constante (no hay inversión) su cantidad disponible por trabajador se reduce por el 
efecto de la depreciación (la maquinaria se vuelve obsoleta con el paso del tiempo). Por lo tanto 
solo para mantener constante el capital por trabajador es necesario hacer una inversión mínima y 
suficiente para reponer la depreciación del capital. 
Un concepto fundamental en los modelos de crecimiento es el estado estacionario, al cual 
entendemos como la situación en que el capital por trabajador se mantiene constante en el 
tiempo. Esto pasa solo cuando 𝑠𝑦𝑡 = δkt (es decir kṫ = 0). Esto es el equilibrio de largo plazo. El 
nivel de capital por trabajador que cumple con esa condición es llamado 𝑘𝑠𝑠. Donde ss es por 
“steady state” (inglés para estado estacionario). 
Podemos ver como k evoluciona en el tiempo graficando los dos términos en la ecuación anterior. 
Por favor, note que en el gráfico siguiente 𝑠 = 𝑔 mientras que 𝛿 = 𝑑. En el gráfico también 
asumimos que 𝐴𝑡 = 1 (un cambio en A solo desplaza la función de producción hacia arriba o hacia 
abajo). Cuando empezamos con un nivel 𝑘0 < 𝑘
𝑠𝑠 se cumple que 𝑠𝑦𝑡 > δkt por lo tanto kṫ > 0 . 
Es decir, el capital por trabajador está creciendo. ¿Hasta cuándo crecerá? Hasta que 𝑘𝑡 = 𝑘
𝑠𝑠. 
¿Cuál es la intuición? Cuando el capital es relativamente escaso, es muy productivo. Esta inversión 
en capital más que compensa el desgaste debido a la depreciación. Por lo tanto, el stock de capital 
por trabajador aumenta. A medida que esto pasa el capital se vuelve menos productivo en el 
margen (el supuesto crucial del modelo es precisamente los rendimientos marginales decrecientes 
del capital!) y, al final, la inversión solo logra compensar el efecto negativo de la depreciación. 
Con el mismo razonamiento; cuando empezamos con un nivel 𝑘0 > 𝑘
𝑠𝑠 se cumple que 𝑠𝑦𝑡 < δkt 
por lo tanto kṫ < 0 . 
Note que para el caso Cobb-Douglas (con A=1): 𝑦𝑡 = 𝑓(𝑘) = 𝑘𝑡
𝛼 . Por lo tanto con solo estudiar 
la evolución de k podemos deducir el comportamiento de 𝒚. Si obtenemos el nivel de capital en el 
largo plazo (estado estacionario) podemos saber también el nivel del ingreso por trabajador (𝑦𝑠𝑠). 
Solo tenemos que reemplazar el valor de k en la función de producción… 
 
Un resultado importante es, entonces, que en el largo plazo la economía no crece. 
El siguiente gráfico permite ilustrar la idea de la rapidez a la que la economía converge al estado 
estacionario. Básicamente el gráfico ilustra la ecuación de la tasa de crecimiento del capital por 
trabajador: kt̂ =
kṫ
kt
= 𝑠𝑘𝑡
𝛼−1 − δ 
 
 
La economía acumula capital por trabajador más rápidamente cuando su nivel de capital por 
trabajador es menor. 
¿Qué pasa en esta economía si aumenta la tasa de ahorro? Un gráfico facilita la respuesta 
(recuerde, en el gráfico la tasa de ahorro 𝑠 = 𝑔). 
 
Un aumento de la tasa de ahorro desplaza hacia arriba la curva de inversión. Por lo tanto el nuevo 
equilibrio 𝑠𝑘𝑡
𝛼 = δkt ocurre para un nivel más alto de capital por trabajador. Este significa que un 
aumento en la tasa de ahorro incrementa el nivel de capital por trabajador en el largo plazo y, por 
consiguiente, también el nivel de producto por trabajador. Pregunta para el alumno: ¿Qué pasa 
con el nivel de crecimiento de la economía? 
Resolvemos algebraicamente los valores de capital e ingreso por trabajador enel estado 
estacionario. 
kṫ = 𝑠𝑦𝑡 − δkt = 0 con 𝑦𝑡 = 𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼 
 
𝑠𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼 = δkt Dividiendo ambos lados por 𝑘𝑡, se obtiene 
𝑠𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼−1 = δ Luego 
𝑘𝑡
𝛼−1 = δ/𝑠𝐴𝑡 
(𝑘𝑡
𝛼−1)
1
𝛼−1 = (δ/𝑠𝐴𝑡)
1
𝛼−1 
𝑘𝑡 = (δ/𝑠𝐴𝑡)
1
𝛼−1 
𝑘𝑡 = 𝑘
𝑠𝑠 = (𝑠𝐴𝑡/δ)
1
1−𝛼 
 
Predicciones del modelo básico: 
1) El ingreso por trabajador en el largo plazo es más alto cuanto mayor es el ahorro 
2) El ingreso por trabajador en el largo plazo es más bajo cuanto mayor es la tasa a la que se 
deprecia el capital 
3) Los efectos de 1) y 2) sobre la tasa de crecimiento son solo temporarios 
4) El crecimiento económico en el largo plazo es nulo 
 
Extensiones del Modelo de Solow (esto es lo que realmente vimos en clase) 
Primera Extensión: Modelo con Crecimiento Poblacional 
Ahora asumimos que la población crece a la tasa 𝑛 (es decir �̂� =
�̇�
𝐿
= 𝑛). Por lo tanto: 
𝐿𝑡 = 𝐿0𝑒
𝑛𝑡 donde 𝐿0 es la población inicial y 𝑡 es el periodo de tiempo. 
Como ya explicamos anteriormente, en este curso estamos interesados primordialmente en la 
evolución de las variables económicas medidas en términos per cápita. Particularmente estamos 
interesados en la evolución del stock de capital por trabajador (i.e; 𝑘) y el ingreso por trabajador 
(i.e; 𝑦). El ingreso por trabajador viene dado por: 
𝑦𝑡 =
𝑌𝑡
𝐿𝑡
=
𝐴𝑡𝐹(𝐾𝑡 , 𝐿𝑡)
𝐿𝑡
= 𝐴𝑡𝑓(𝑘𝑡) 
Para el caso particular de una Cobb-Douglas: 𝑦𝑡 = 𝑓(𝑘) = 𝑘𝑡
𝛼 . Nuevamente, el productor por 
trabajador solo depende del stock de capital por trabajador. Recordemos la ley de movimiento 
para la acumulación del stock de capital en el tiempo: Kṫ = It − δKt = 𝑠𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼𝐿𝑡
1−𝛼 − δKt . 
Para escribir la ley de movimiento para la acumulación del stock de capital por trabajador solo 
necesitamos recordar: 
kṫ = (
𝐾𝑡
𝐿𝑡
)
̇
=
𝜕 (
𝐾𝑡
𝐿𝑡
)
𝜕𝑡
=
Kṫ 𝐿𝑡 − 𝐿�̇�𝐾𝑡 
𝐿𝑡
2 =
Kṫ 
𝐿𝑡
−
𝐿�̇� 
𝐿𝑡
𝐾𝑡 
𝐿𝑡
=
Kṫ 
𝐿𝑡
− 𝑛kt 
Reemplazando : Kṫ = 𝑠𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼𝐿𝑡
1−𝛼 − δKt , obtenemos la nueva ley de movimiento para kt: 
kṫ =
𝑠𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼𝐿𝑡
1−𝛼 − δKt 
𝐿𝑡
− 𝑛kt = 𝑠𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼 − (δ + 𝑛)kt 
Note que ahora el crecimiento poblacional actúa como una fuente adicional de depreciación del 
capital por trabajador. Es decir, el crecimiento de la población “diluye” el capital por trabajador. 
Más trabajadores implican menos capital por trabajador si el stock de capital no aumenta. 
El gráfico de Solow será muy similar al del caso básico. La única diferencia es que la línea de 
depreciación tendrá una pendiente más grande. ¿Cómo afectará al 𝑘𝑠𝑠 (i.e; capital por trabajador 
en el estado estacionario) un aumento del crecimiento poblacional? El siguiente gráfico lo 
demuestra: 
 
En el gráfico la tasa de crecimiento de la población crece de n1 a n2. Por lo tanto a mayor 
crecimiento poblacional menor capital por trabajador en el largo plazo. La economía se mueve 
desde 𝑘1
𝑠𝑠 hacia 𝑘2
𝑠𝑠. 
Note en el gráfico anterior que dados los nivel de los parámetros relevantes (i.e; 𝑛, 𝛿, 𝑠, 𝐴, 𝛼) 
existe un equilibrio estacionario único. Esto se debe a los supuestos que hicimos sobre la función 
de producción en la clase anterior. Gracias a los rendimientos marginales decrecientes del capital 
por trabajador y las condiciones de Inada, podemos asegurar que la curva de inversión 𝑠𝑓(𝑘𝑡) 
tiene una pendiente mayor a la línea (δ + n)kt para niveles bajos de kt. Eventualmente la curva 
de inversión se aplanará a medida que el capital por trabajador se hace más abundante, de tal 
forma que la curva 𝑠𝑓(𝑘𝑡) cruzara a la línea (δ + n)kt para un valor de kt finito (i.e; el capital por 
trabajador del estado estacionario) dado que lim
𝑘→∞
𝑓𝑘 = 0. Note que el origen es un estado 
estacionario posible (al fin y al cabo las dos líneas se cruzan también en el origen, ¿no?) pero este 
no es estable en el sentido que si la economía empieza con un valor de kt marginalmente mayor a 
0, la economía se aleja del origen hacia un kt positivo. ¿Por qué? Porque para un valor de kt 
marginalmente mayor a 0 se cumple que 𝑠𝑦𝑡 > δkt por lo tanto kṫ > 0. 
Queda para el alumno pensar en casos donde se violan los supuestos sobre la función de 
producción (e.g; las condiciones de Inada) y como estas situaciones afectan los resultados del 
modelo de Solow (particularmente en lo que refiere a la unicidad y estabilidad del equilibrio de 
largo plazo). 
Resolvamos ahora algebraicamente los valores del estado estacionario tanto para kt como para yt. 
Empezamos con la ley de movimiento para la acumulación del stock de capital por trabajador: 
kṫ = 𝑠𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼 − (δ + 𝑛)kt 
 
Como ya explicamos anteriormente en el estado estacionario se cumple que kṫ = 0. Por lo tanto: 
𝑠𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼 = (δ + 𝑛)kt 
 
Con un poco de algebra llegamos al valor de kt en estado estacionario: 
𝑘𝑠𝑠 = (
𝑠𝐴𝑡
δ + n
)
1
1−𝛼
 
 
Reemplazando 𝑘𝑠𝑠 en 𝑦𝑡 = 𝐴𝑡𝑘𝑡
𝛼 obtenemos: 
𝑦𝑠𝑠 = 𝐴𝑡 (
𝑠𝐴𝑡
δ + n
)
𝛼
1−𝛼
 
El nivel de ingreso por trabajador en el largo plazo depende positivamente de 𝑠 y 𝐴 pero 
negativamente de 𝑛 y 𝛿. Note también que el valor de 𝑦𝑠𝑠 también se incrementa a un mayor 𝛼. 
Esto se debe a que un mayor 𝛼 debilita la “fuerza negativa” de los rendimientos marginales 
decrecientes (en el extremo, un valor 𝛼 = 1 implica que la función de producción presenta 
rendimientos marginales constantes en la acumulación de capital –tema que abordaremos mas 
adelante). Recuerde que son los rendimientos marginales decrecientes del capital lo que 
imposibilita un crecimiento económico perpetuo. 
Note que 
𝑘𝑡
𝑘𝑡
̇
=
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
 y que en estado estacionario kṫ = 0. Por lo tanto, en el estado estacionario 
𝑘𝑡
𝑘𝑡
̇
=
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
= 0. Ergo, 
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
=
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
=n . Si bien el capital por trabajador no crece en el equilibrio de 
largo plazo, el stock de capital si lo hace a la tasa n. ¿Qué pasa con el ingreso de la economía? La 
respuesta es que crece a la misma tasa n. Note que: 
𝑌𝑡 = 𝐴𝑡𝐾𝑡
𝛼𝐿𝑡
1−𝛼 
Aplicando logaritmos obtenemos 
𝑙𝑜𝑔𝑌𝑡 = 𝑙𝑜𝑔𝐴𝑡+𝛼𝑙𝑜𝑔𝐾𝑡 +(1 − 𝛼)𝑙𝑜𝑔𝐿𝑡 
Aplicando la derivada respecto al tiempo: 
𝑌𝑡
𝑌𝑡
̇
=
𝐴𝑡
𝐴𝑡
̇
+ 𝛼
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
(1 − 𝛼)
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
 
En esta versión del modelo 
𝐴𝑡
𝐴𝑡
̇
= 0 y 
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
=
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
= 𝑛. Por lo tanto 
𝑌𝑡
𝑌𝑡
̇
= 𝑛 
El ingreso en el largo plazo crece también a la tasa n. Nuevamente como en el modelo básico el 
producto per cápita no crece perpetuamente. 
Convergencia al estado estacionario: La distancia al estadio estacionario determina que tan rápido 
crece la economía. Entre más bajo sea kt (y por ende más bajo sea yt) más rápido crece la 
economía en la transición al estadio estacionario. Esto se puede ver en la siguiente ecuación: 
kt̂ =
kṫ
kt
= 𝑠𝑘𝑡
𝛼−1 − (δ + n) 
Supongamos que existen dos países con los mismos parámetros 𝑛, 𝛿, 𝑠, 𝐴, 𝛼. Entonces los dos 
países tendrán los mismos valores de estado estacionario de 𝑘𝑠𝑠 e 𝑦𝑠𝑠. Sin embargo el país que 
arranque con un valor de capital por trabajador menor crecerá más rápido (solo en la transición al 
equilibrio de largo plazo ya que el país deja de crecer en términos per cápita cuando alcanza ese 
equilibrio largo plazo). 
El modelo de Solow predice convergencia condicional. Es decir, una vez que controlamos por 
diferencias observables entre los países (i.e; 𝑛, 𝛿, 𝑠, 𝐴, 𝛼) entonces entre más pequeño sea el 
punto de partida inicial, más grande será la tasa de crecimiento. 
 
 
El consumo en el estado estacionario y la regla dorada de la acumulación de capital 
Note que el consumo en el estado estacionario viene dado por la siguiente ecuación 
𝑐𝑠𝑠 = (1 − 𝑠)𝑦𝑠𝑠 = (1 − 𝑠)𝐴𝑡 (
𝑠𝐴𝑡
δ + n
)
𝛼
1−𝛼
 
Esto es una función no lineal en la tasa de ahorro (puede mostrarlo?). También podemos expresarel consumo en el estado estacionario como una función de 𝑘𝑠𝑠. Esto es: 
𝑐𝑠𝑠 = 𝑦𝑠𝑠 − 𝐼𝑠𝑠 
Ahora, sabemos que 𝑦𝑠𝑠 = 𝑓(𝑘𝑠𝑠) y que en el estado estacionario 𝐼𝑠𝑠 = (δ + 𝑛)𝑘𝑠𝑠. Por lo tanto: 
𝑐𝑠𝑠 = 𝑓(𝑘𝑠𝑠) − (δ + 𝑛)𝑘𝑠𝑠 
Una pregunta interesante es cuál es el nivel de capital por trabajador que maximiza el consumo 
por trabajador en el estado estacionario. Para contestar esta pregunta solo debemos plantear un 
problema simple de maximización de consumo donde la variable de decisión es 𝑘𝑠𝑠 : 
𝑀𝑎𝑥 𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑠𝑠) = 𝑓(𝑘𝑠𝑠) − (δ + 𝑛)𝑘𝑠𝑠 
La condición de primer orden será: 
𝜕𝑐𝑠𝑠
𝜕𝑘𝑠𝑠
= 𝑓𝑘(𝑘
𝑠𝑠) − (δ + 𝑛) = 0 
Entonces el consumo será maximizado cuando 𝑓𝑘(𝑘
𝑠𝑠) = (δ + 𝑛). Esto es, la productividad 
marginal del capital por trabajador debe ser igual a la pendiente de la línea de depreciación 
(Mostrar en clase la interpretación grafica). En el caso particular de una producción de producción 
a la Cobb-Douglas podemos resolver explícitamente por el valor de 𝑘𝑠𝑠: 
𝛼𝐴𝑡𝑘
𝑠𝑠𝛼−1 = (δ + 𝑛) 
Entonces: 
𝑘𝑠𝑠 = 𝑘𝐺𝑅 = (
𝛼𝐴𝑡
δ + n
)
1
1−𝛼
 
Donde GR es por “Golden rule”. Este valor de 𝑘𝑠𝑠 particular es lo que llamamos nivel de 
acumulación de capital de la regla dorada. ¿Puede encontrar alguna similitud con la solución 
general para el valor del estado estacionario del capital por trabajador? Es prácticamente la misma 
con la sola diferencia que 𝜶 remplaza a la tasa de ahorro 𝒔. Uds pueden mostrar este resultado 
planteando el problema de maximización de consumo por trabajador como una función de la tasa 
de ahorro: 𝑐𝑠𝑠(1 − 𝑠)𝐴𝑡 (
𝑠𝐴𝑡
δ+n
)
𝛼
1−𝛼
 
Por lo tanto, si 𝒔 > 𝜶 existe un sobre-ahorro en la economía. Mientras que si 𝒔 < 𝜶 la economía 
ahorra muy poco. ¿Cuánto es la tasa de ahorro agregada en Chile? Aproximadamente 20%. 
Cuanto es la participación del capital en el producto (i.e; 𝜶)? Aproximadamente 40%. Saquen uds 
sus propias conclusiones… 
Ahora supongamos que podemos implementar una política económica para llevar a la economía al 
nivel de capital de la regla dorada. ¿Puede llevarse a cabo esta política vía una mejora paretiana? 
En otras palabras, ¿Se beneficiarían todas las generaciones en esta economía? La respuesta es 
depende (no me conteste por favor “de que depende?”… como en la canción!): 
Llamemos 𝑘𝐺𝑅 al capital por trabajador de la regla dorada. Si 𝑘𝑠𝑠 > 𝑘𝐺𝑅 entonces la economía se 
encuentra en ese momento ahorrando demasiado por lo que la generación presente estará muy 
contenta de reducir el ahorro y consumir más en el tiempo presente. Si Si 𝑘𝑠𝑠 < 𝑘𝐺𝑅 la economía 
está ahorrando relativamente poco. Las generaciones presentes deberán ahorrar mas para tener 
una capital por trabajador más alto en el largo plazo (por ende un mayor ingreso por trabajador). 
Esto significa que las generaciones de hoy deberán consumir menos para beneficiar a las 
generaciones futuras. No estoy seguro que la gente se tan altruista (al menos no 
intergeneracionalmente…). Es una política difícil de ser votada por las generaciones presentes y, 
por ende, es difícil de implementar. 
Los siguientes dos gráficos muestran las transiciones del producto, consumo e inversión (todas las 
variables en términos per cápita) cuando la tasa de ahorro de la economía cambia para ser 
consistente con el consumo máximo en el estado estacionario. En el gráfico de la izquierda la 
economía esta inicialmente “ahorrando mucho” (el capital por trabajador inicial era superior al de 
la regla dorada). Cuando el ahorro baja el consumo aumenta mucho (porque menor ahorro 
significa mas consumo, todo lo demas constante). Pero el consumo luego comienza decrecer 
debido a que el nivel de ingreso de la economia comienza tambien a decrecer (menor ahorro 
implica menor acumulacion de capital y por ende menor nivel de ingreso en el largo plazo). No 
obstante el consumo termina siendo mayor al inicial. En el grafico de la derecha la economia esta 
ahorrando poco relativo a la regla dorada. Por lo tanto, el capital por trabajador es también 
relativamente poco. Note que en los dos gráficos el consumo de largo plazo termina siempre 
yendo mayor al inicial (esa es precisamente la idea de lograr la regla dorada.. maximizar el 
consumo por trabajador!) 
 
 
 
Extensiones del Modelo de Solow: Modelo con Crecimiento Poblacional y Progreso Tecnológico 
Recuerde que en las versiones previas del modelo no existía crecimiento del producto per cápita 
en el largo plazo. La única forma de generar crecimiento económico en 𝒚 es con la introducción de 
progreso tecnológico. En este modelo asumiremos que el progreso tecnológico es exógeno (es 
como maná que cae del cielo!). Por supuesto, los cambios tecnológicos en una economía son 
endógenos ya que dependen de los incentivos a la innovación, las estructuras organizacionales y 
las mejores productivas (y muchas otras cosas más, por supuesto). 
Asumimos que el nivel tecnológico 𝑨𝒕 evoluciona de la siguiente manera: 
 𝑨𝒕 = 𝑨𝟎𝒆
𝒈𝒕 Por lo tanto, 
𝑨𝒕̇
𝑨𝒕
= 𝒈 
En este modelo suponemos que el progreso tecnológico es "aumentador del trabajo" (también 
llamado "neutral a la Harrod"). Es decir, este progreso tecnológico permite ahorrar trabajo en el 
sentido de que cuando 𝑨𝒕 aumenta son necesarios menos trabajadores para producir el mismo 
nivel de producto. La función de producción entonces lucirá de la siguiente manera: 
𝑌𝑡 = 𝐾𝑡
𝛼(𝐴𝑡𝐿𝑡)
1−𝛼 
Ahora necesitamos hacer un cambio de variables. Si bien estamos interesados en la evolución de 
las variables económicas en términos por trabajador (o per cápita) escribiremos nuestras variables 
de análisis en términos de unidades por trabajador efectivo. Hacemos esto porque en esta versión 
del modelo la variable 𝑘𝑡 =
𝐾𝑡
𝐿𝑡
 no continuará siendo constante en el largo plazo (esto lo veremos 
pronto, no se impaciente!). El capital por trabajador efectivo será entonces 𝑘�̃� =
𝐾𝑡
𝐴𝑡𝐿𝑡
 mientras 
que el producto por trabajador efectivo será 𝑦�̃� =
𝑌𝑡
𝐴𝑡𝐿𝑡
. 
Note que 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
=
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
−
𝐴�̇�
𝐴𝑡
. Recuerde que Kṫ = 𝑠𝑌𝑡 − δKt. Entonces 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
=
𝑠𝑌𝑡
𝐾𝑡
− 𝛿 − 𝑛 − 𝑔 
𝑘�̃�
̇ = 𝑠𝑦�̃� − (𝛿 + 𝑛 + 𝑔)𝑘�̃� 
En el estado estacionario el valor del capital por trabajador efectivo vendrá dado por: 
𝑘�̃�
̇ = 𝑠𝑘�̃�
𝛼
− (𝛿 + 𝑛 + 𝑔)𝑘�̃� = 0 
𝑘�̃�
𝑠𝑠
= (
𝑠
δ + n + g
)
1
1−𝛼
 
Esta solución para el estado estacionario parece reflejar algo poco intuitivo: un incremento en la 
tasa de progreso tecnológico tiene un efecto negativo en el capital por trabajador efectivo del 
largo plazo. ¿Significa esto que las economías donde el progreso tecnológico crece más rápido 
tienden a estar relativamente peor en el largo plazo? La respuesta es no. Mostraremos más 
adelante que el capital por trabajador (que es lo que al fin y al cabo nos interesa desde una 
perspectiva del desarrollo económico del largo plazo) crece a mayor crecimiento tecnológico (no 
así el capital por trabajador efectivo). 
¿Cuál es la tasa de crecimiento del producto por trabajador en el largo plazo (i.e, estado 
estacionario)? 
Recuerde que en el estado estacionario 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
= 0. 
También sabemos que 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
=
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
−
𝐴�̇�
𝐴𝑡
. 
Por lo tanto, en el estado estacionario: 
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
−
𝐴�̇�
𝐴𝑡
= 0. 
Por otro lado, 
𝐾𝑡
𝐾𝑡
̇
−
𝐿𝑡
𝐿𝑡
̇
=
𝑘𝑡
𝑘𝑡
̇
 ,como así también 
𝐴�̇�
𝐴𝑡
= 𝑔. Entonces 
𝑘𝑡
𝑘𝑡
̇
= 𝑔 . Es decir, el capital por 
trabajador crece a la tasa 𝑔 en el estado estacionario. Pero, ¿Qué pasa con el producto por 
trabajador? Recordemos que 𝑌𝑡 = 𝐾𝑡
𝛼(𝐴𝑡𝐿𝑡)
1−𝛼 , Entonces 
 
𝑌𝑡
𝐿𝑡
=
𝐾𝑡
𝛼(𝐴𝑡𝐿𝑡)
1−𝛼
𝐿𝑡
 
𝑦𝑡 = 𝐴𝑡
1−𝛼𝐾𝑡
𝛼𝐿𝑡
−𝛼 
𝑦𝑡 = 𝐴𝑡
1−𝛼𝑘𝑡
𝛼
 
Aplicando una transformación logarítmica y derivando respectoal tiempo obtenemos 
�̂�𝑡 = (1 − 𝛼)�̂�𝑡 + 𝛼𝑘�̂� = (1 − 𝛼)𝑔 + 𝛼𝑔=g 
Por lo tanto, la tasa de crecimiento del producto por trabajador en el largo plazo es igual a la tasa 
de crecimiento de la tecnología. Aun mas, todas las variables en términos per cápita de este 
modelo crecen a esta misma tasa (demuéstrelo!). Por lo tanto, esta versión del modelo es 
estacionario en términos de las variables por trabajador efectivo, pero no en las variables por 
trabajador que, al fin y al cabo, son las que nos interesan. ¿Cuánto es el nivel de capital por 
trabajador en un momento dado una vez alcanzado el estadio estacionario? Recuerde entonces 
𝑘�̃� =
𝐾𝑡
𝐴𝑡𝐿𝑡
 y que 𝑘�̃�
𝑠𝑠
= (
𝑠
δ+n+g
)
1
1−𝛼
. Por lo tanto: 
 𝑘𝑡
𝑠𝑠 = 𝑘�̃�
𝑠𝑠
𝐴𝑡 = (
𝑠
δ + n + g
)
1
1−𝛼
𝐴0𝑒
𝑔𝑡 
Note que un aumento en la tasa de progreso tecnológico tiene dos efectos contrarios en el nivel 
de capital por trabajador en el estado estacionario. Un efecto negativo a través de un menor 
capital por trabajador efectivo (denominador en la formula anterior). Un efecto positivo vía la 
acumulación de progreso tecnológico (exponente en dicha fórmula). No obstante, el efecto 
positivo terminará ganando… 
Mostrar en clase como, empezando de un equilibrio de largo plazo, un cambio en la tasa de 
ahorro afecta tanto los niveles como la tasa de crecimiento (en este caso solo momentáneamente) 
del ingreso per cápita. Graficar primero �̂� y luego 𝒍𝒏𝒚𝒕 en el tiempo. 
 
¿Cuál es el efecto de un incremento de la tasa de crecimiento de la tecnología 𝒈 sobre la tasa de 
crecimiento del producto por trabajador? 
Supongamos que esta cambia de 𝑔 a 𝑔′ con 𝑔 < 𝑔′. Inmediatamente después del cambio en 𝑔 la 
ecuación que gobierna la evolución del capital por trabajador efectivo será: 
𝑘�̃�
̇ = 𝑠𝑦�̃� − (𝛿 + 𝑛 + 𝑔′)𝑘�̃� 
Y su tasa de crecimiento será : 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
= 𝑠𝑘�̃�
𝛼−1
− (𝛿 + 𝑛 + 𝑔′) 
Inmediatamente después del cambio de 𝑔 a 𝑔′. El capital por trabajador efectivo seguirá siendo: 
𝑘�̃�
𝑠𝑠
= (
𝑠
δ + n + g
)
1
1−𝛼
 
Reemplazando este valor en la ecuación de la tasa de crecimiento de 𝑘�̃� obtenemos: 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
= 𝑠 (
𝑠
δ + n + g
)
𝛼−1
1−𝛼
− (𝛿 + 𝑛 + 𝑔′) 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
= 𝑠 (
𝑠
δ + n + g
)
−1
− (𝛿 + 𝑛 + 𝑔′) 
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
= (𝛿 + 𝑛 + 𝑔) − (𝛿 + 𝑛 + 𝑔′) = 𝑔 − 𝑔′ < 0 
Lo que es consistente con el hecho que el capital por trabajador efectivo está disminuyendo…. 
Ahora nos gustaría evaluar que pasa con el crecimiento del producto por trabajador efectivo. 
Usando la fórmula: 
𝑦�̃� = 𝑘�̃�
𝛼
 
Tomamos logaritmos y derivamos respecto al tiempo para obtener: 
𝑦�̃�
𝑦�̃�
̇
= 𝛼
𝑘�̃�
𝑘�̃�
̇
 
Reemplazando obtenemos 
𝑦�̃�
𝑦�̃�
̇
= 𝛼(𝑔 − 𝑔′) < 0 
Por lo tanto el producto por trabajador efectivo también decrece pero a una tasa más pequeña. 
Ahora veamos que pasa con la tasa de crecimiento del producto por trabajador. Recordemos que: 
𝑦𝑡 =
𝑌𝑡
𝐿𝑡
= 𝑦�̃�𝐴𝑡 
Por lo tanto, en tasas de crecimiento tenemos que: 
�̂�𝑡 =
𝑦�̃�
𝑦�̃�
̇
+ �̂�𝑡= 𝛼(𝑔 − 𝑔
′) + 𝑔′= 𝛼𝑔 + (1 − 𝛼)𝑔′ 
Esto significa que la tasa de crecimiento del producto por trabajador es un promedio ponderado 
de las dos tasas de crecimiento de la tecnología. Por lo tanto se cumple que: 
𝑔 < �̂�𝑡 < 𝑔′ 
En conclusión, la tasa de crecimiento del producto por trabajador saltará inmediatamente a un 
valor entre la vieja y la nueva tasa de crecimiento tecnológico para finalmente converger 
asintóticamente a 𝑔′ en el largo a plazo.