Economía II - 04

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Economía II – 04 
Capítulo 6: Crecimiento Económico de Largo Plazo 
Objetivo: analizar las fuentes de crecimiento del ingreso (Y) que puede tener una economía. 
Contabilidad del crecimiento 
 
Asumimos una función de producción con rendimientos constantes a escala y productividad 
marginal positiva y decreciente. Además, sabemos que los cambios en A van a ser más fuertes 
que los cambios en K y en L o N (por el decrecimiento de la PMG). 
Ecuación de Contabilidad del Crecimiento 
𝑌
𝑌
= 
𝐴
𝐴
+ 𝑎𝐾 
𝐾
𝐾
+ 𝑎𝐿 
𝐿
𝐿
 
Acá podemos ver cómo el producto crece más ante cambios en A que ante cambios en K o L, ya 
que estos están afectados por la elasticidad del producto (número entre 0 y 1). 
Demostración: llevar la función de producción a tasas de crecimiento 
1. Diferencio totalmente la función de producción (veo el cambio en Y contra todas las 
variables al mismo tiempo, derivo contra todas a la vez). 
1 . 𝑌 = 𝐹(𝐾; 𝐿) .𝐴 + 𝑃𝑀𝐺𝑘 . 𝐾 + 𝑃𝑀𝐺𝑙 .𝐿 
2. Divido todo por Y 
 
𝑌
𝑌
=
𝐹(𝐾; 𝐿) .𝐴
𝑌
+
𝑃𝑀𝐺𝑘 . 𝐾
𝑌
+
𝑃𝑀𝐺𝑙 .𝐿
𝑌
 
𝑌
𝑌
=
𝐹(𝐾; 𝐿) .𝐴
𝐴 . 𝐹(𝐾; 𝐿)
+
𝑃𝑀𝐺𝑘 . 𝐾
𝑌
+
𝑃𝑀𝐺𝑙 .𝐿
𝑌
 
𝑌
𝑌
=
𝐴
𝐴
+
𝑃𝑀𝐺𝑘 . 𝐾
𝑌
+
𝑃𝑀𝐺𝑙 .𝐿
𝑌
 
3. Me concentro en K 
𝑃𝑀𝐺𝑘 . 𝐾
𝑌
 
𝑌
𝐾
 . 
𝐾
𝑌
 
Me muestra como aumenta el producto ante un 
cambio porcentual en K. Como aK es menor que 
1, cuando sube K, el producto sube pero sube 
menos en términos porcentuales. Y tiene sentido 
porque está multiplicada por cambios 
porcentuales de K (todo same para L/N). 
Multiplico y divido por K 
𝑌
𝐾
 .
𝐾
𝑌
 
𝐾
𝐾
 
𝑎𝐾 
𝐾
𝐾
 
4. Me concentro en L (o N) 
𝑃𝑀𝐺𝑙 .𝐿
𝑌
 
𝑌
𝐿
 .
 𝐿
𝑌
 
Multiplico y divido por L 
𝑌
𝐿
 .
𝐿 
𝑌
 .
𝐿
𝐿
 
𝑎𝐿 .
𝐿
𝐿
 
Entonces, 
𝑌
𝑌
=
𝐴
𝐴
+ 𝑎𝐾 . 
 𝐾
𝐾
+ 𝑎𝐿 . 
𝐿
𝐿
 
✓ La tasa de crecimiento del producto puede ser afectada por la de A, K y L. 
✓ Esta ecuación sirve para calcular cambios en la tecnología, ya que no es una variable 
observable o estimable como las demás. Como 
𝑌
𝑌
 , 
 𝐾
𝐾
 , 
𝐿
𝐿
 son variables observables, aK 
y aL pueden ser estimadas. Por lo tanto, puedo obetener los cambios en la tasa de 
crecimiento del nivel tecnológico por diferencia; es decir, de manera residual. 
𝐴
𝐴
=
𝑌
𝑌
− 𝑎𝐾 . 
 𝐾
𝐾
− 𝑎𝐿 . 
𝐿
𝐿
 
¿Cómo podemos estimar aK y aL? 
Por equilibrio en los mercados de factores de producción sabemos que: 
aL = PMGL . L / Y = w . L / Y 
aK = PMGK . K / Y = u . K / Y 
Es decir, las elasticidades son las particiones de cada factor de producción en el ingreso nacional 
multiplicadas por las respectivas remuneraciones. Si la función de producción es de tipo Cobb 
Douglas, el exponente de L y el de K indican las elasticidades de cada uno con respecto al 
producto, me dan la participación de los factores en el producto total. (Ver demostración en 
cuaderno). 
Modelo de Solow 
Modelo de crecimiento exógeno, las fuentes de crecimiento están determinadas fuera del 
mismo. 
Supuestos 
Elasticidad del producto 
respecto al capital (aK) 
Elasticidad del producto respecto al 
trabajo o empleo (aL / aN) 
Residuo de Solow 
- Los agentes viven infinitos períodos y deciden cuánto consumir y cuánto invertir 
(ahorrar) en capital para cambiar el stock de capital del próximo período. 
- Función de producción con la forma usual con rendimientos constantes a escala: 
𝑌𝑡 = 𝐴𝑡 . 𝐹(𝐾𝑡; 𝑁𝑡) 
- La ley de movimiento del capital es: 
𝐾(𝑡 + 1) = 𝐾𝑡 (1 − 𝑑) + 𝐼𝑡 
- La ley de movimiento del empleo o de la población empleada es: 
𝑁(𝑡 + 1) = 𝑁𝑡 . (1 + 𝑛) 
“n” es exógeno y es la tasa de crecimiento de la población empleada. De un período a otro la 
población crece a una tasa “n”. 
- Ley de movimiento de la tecnología 
𝐴𝑡 = 𝐴 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑑𝑜 𝑡 
- En cada período se cumple que 𝑌𝑡 = 𝐶𝑡 + 𝐼𝑡. Los consumidores tienen que decidir 
cúanto consumir y cuánto invertir. Como suponemos que la familia es productora-
consumidora y no pensamos en firmas y consumidores por separado, el ahorro es la 
inversión. 
- El problema del consumidor es elegir Ct sujeto a distintas restricciones. Solow introduce 
un supuesto simplificador para determinarlo: los consumidores consumen una 
proporción constante en el tiempo, entonces: 
𝐶𝑡 = (1 − 𝑠) . 𝑌𝑡 
Ahora puedo determinar todas las variables de interés. 
Sabiendo que en un período el tamaño de una familia es Nt y que este tamaño crece a una 
tasa “n”, vamos a expresar todas las variables en términos per cápita para tener una 
expresión más representativa del bienestar de un consumidor representativo dentro de una 
familia. Divido todas las variables por Nt y queda todo en términos per cápita. 
𝑦𝑡 = 
𝑌𝑡
𝑁𝑡
 𝑘𝑡 = 
𝐾𝑡
𝑁𝑡
 𝑐𝑡 = 
𝐶𝑡
𝑁𝑡
 𝑖𝑡 = 
𝐼𝑡
𝑁𝑡
 
El producto per cápita es función del stock de capital per cápita 
 
También sabemos que el ingreso per cápita (yt) es igual al consumo per cápita (ct) más la 
inversión per cápita (it) y que el consumo per cápita es ct = (1-s) . yt. 
Ecuaciones para sacar todo, conociendo k0: