Solow-Swan

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Modelo de Solow-Swan
Marco Spinelli
Mayo 2020
1. Introducción
A través del estudio de los determinantes del crecimiento entre diferentes países, se resalta frecuen-
temente la relación existente entre el porcentaje del PBI que una economía ahorra y el porcentaje
de inversión para lograr entender las diferencias en los senderos de crecimiento de las naciones. Para
ello, se comienza el análisis con un modelo simplificado en el cual la única fuente de crecimiento per
cápita posible es la acumulación de capital físico.
Este primer modelo deja de lado, entonces, el comportamiento de los mercados y las firmas para
centrarse en una unidad compuesta que produce y consume a la vez, es decir, que es dueña de los
factores y maneja la tecnología para transformarlos en productos finales. Estos factores de producción
están resumidos en el capital, K(t), el trabajo, L(t), y la tecnología A(t).
El capital, K(t), hace referencia a los factores de producción durables, como las máquinas y los
edificios. El trabajo, L(t), es asociado directamente a los factores de producción provenientes del
cuerpo humano; fueza, habilidad, conocimiento y salud. Estos dos factores son ambos rivales, es
decir, su uso en una actividad impide su uso simultáneo en otra. Por último, la tecnología, A(t),
se refiere a el conocimiento necesario para la producción de algún objeto o servicio. Es el único de
los factores dentro del modelo que es no rival, dado que el mismo conocimiento puede usarse por
varios trabajadores al mismo tiempo. De hecho, esta propiedad de no rivalidad es lo que otorga
importantes implicancias para la interacción entre tecnología y crecimiento económico.
Se asume, además, una tecnología de producción de un solo sector, es decir, donde el producto es
un bien homogéneo que puede ser consumido o invertido. La inversión es usada para crear nuevas
unidades de capital y reemplazar aquellas unidades que se hayan depreciado.
Como la economía es cerrada, los hogares no pueden consumir ni invertir en el exterior, ni tampoco
vender bienes o capital. A su vez, tampoco hay un sector gubernamental, por lo cual, todo el
producto de un período debe dividirse entre consumo e inversión; Y (t) = C(t) + I(t). De aquí se
desprende también, conociendo que el producto es igual al ingreso, que el ahorro se puede definir
como S(t) ≡ Y (t) − C(t), por lo cual, es también igual a la inversión; S(t) = I(t). La tasa de
ahorro de esta economía es entonces la división del nivel de ahorro por el nivel de producto, S(t)Y (t) .
No obstante, en este modelo de Solow, se lo considera como un factor exógeno, i.e., 0 ≤ s(·) = s ≤ 1.
1
Dado que existe una igualdad entre ahorro e inversión, la tasa de ahorro es equivalente a la tasa de
inversión. Por ende, la tasa de ahorro representa la fracción del PBI que se destina a la inversión.
Se asume, adicionalmente, que el capital se deprecia a una tasa δ > 0, aunque se mantiene igual de
productivo en cada momento de su vida.
En cuanto al trabajo, se asume que cada persona trabaja la misma cantidad de tiempo y tienen la
misma habilidad constante, normalizada a uno. Esto permite identificar al insumo trabajo como igual
a la población total. La tasa de crecimiento de la población viene dada y es igual a L̇L = n ≥ 0. Esto
permite definir a la población en el momento t como L(t) = ent. Sabiendo el sendero de crecimiento
que siguen el capital y el producto, se puede conseguir fácilmente el valor de sus respectivas tasas
de crecimiento.
Se verá que la principal conclusión del modelo de Solow es que la acumulación de capital físico
no puede dar cuenta, por sí solo, ni del elevado crecimiento de producto per cápita que se observa
empíricamente, ni de las diferencias existentes en esta medida entre regiones. El modelo trata a
otras fuentes potenciales del crecimiento como exógenas, como lo es el progreso tecnológico, o sin
considerarlas, como las externalidades del capital.
Otro factor importante es el hecho de que, en este modelo, no hay optimización por parte de los
agentes; la tasa de ahorro es exógena y constante. Por ende, no hay una manera directa de analizar
el bienestar, dado que también utiliza solamente variables agregadas; no hay individuos.
2. El Modelo de Solow-Swan
2.1. La Función de Producción Neoclásica
La función de producción que se utiliza en el modelo de Solow-Swan es una típica función neoclásica.
La misma sigue la forma de,
Y (t) = F (K(t), A(t)L(t)) (1)
Se observa a partir de (1) que para una dada cantidad constante de inputs, L(t) y K(t), el producto
crece en el tiempo solamente si hay progreso tecnológico, es decir, si aumenta el conocimiento A(t).
Otro factor a destacar es el hecho de que A(t) y L(t) aparecen multiplicados. Esto nos dice que esta
función de producción es "labour-augmenting" o "Harrod-Neutral". Esto implica que el ratio K(t)Y (t)
termina siendo constante.
Ahora bien, ¿qué significa que la función de producción sea neoclásica? Esto quiere decir que cumple
con tres condiciones:
1. Retornos Constantes a Escala. La función F (·) exhibe retornos constantes a escala. Esto es,
se verifica que
F (λK(t), λA(t)L(t)) = λF (K(t), A(t)L(t)) ∀λ ≥ 0
2
Este supuesto implica dos importantes resultados. El primero es que las ganancias de la espe-
cialización han sido ya agotadas, por ello, añadir más cantidad de los dos factores no genera
rendimientos crecientes, dado que se utilizan de la misma manera que antes. El segundo es que
otros factores de producción diferentes a los tres en cuestión no son relevantes para el proceso
de producción.
2. Retornos positivos y decrecientes. Para cualquier valor de K,L > 0, se verifica que
∂F
∂L
> 0,
∂F
∂K
> 0,
∂2F
∂L2
< 0,
∂2F
∂K2
< 0
3. Condiciones de Inada. Esta condición solicita que el rendimiento marginal del capital (trabajo)
se acerque a infinito a medida que el capital (trabajo) llegue a cero, y que se acerque a cero a
medida que el capital (trabajo) llegue al infinito.
ĺım
K→0
(
∂F
∂K
)
= ĺım
L→0
(
∂F
∂L
)
=∞
ĺım
K→∞
(
∂F
∂K
)
= ĺım
L→∞
(
∂F
∂L
)
= 0
4. Esencialidad. Se solicita que para la producción de una cantidad positiva, se requieren cantidades
estrictamente positivas de todos los factores,
F (0, L(t)) = F (K(t), 0) = 0
La primera de estas propiedades es la que nos permite expresar a la función de producción en términos
de variables per cápita, que son necesarias para comparar la riqueza de dos países diferentes, o para
decir si un país es rico o pobre. Para ello, es posible realizar una división de los dos factores por 1AL ,
para llegar a la llamada forma intensiva de la función de producción,
F
(
K
AL
, 1
)
=
1
AL
F (K,AL) (2)
lo que permite definir a K/AL como el capital por unidad de trabajo efectivo, y a F (K,AL)/AL =
Y/AL, como el producto por unidad de trabajo efectivo. Definiendo entonces k ≡ K/AL, y ≡ Y/AL
y f(k) ≡ F (k, 1),
y = f(k) (3)
Es importante saber que estas variables no son de interés por si mismas, sino que resultan útiles
para el análisis de las que realmente interesan, las variables per cápita. Por ende, se puede definir al
producto por trabajador como Y/L = Af(k) y al capital per cápita como K/L = Ak.
3
Esta forma de describir al modelo aporta la ventaja de que, siendo k constante, añadir más tra-
bajadores no afecta a la producción por persona; facilita la comparación entre economías grandes y
pequeñas.
Se puede diferenciar con respecto al respectivo insumo para encontrar expresiones de sus rendi-
mientos marginales en términos por unidad de trabajo efectivo.
∂Y
∂K
=
∂(ALf(k))
∂K
= ALf ′(k)
∂k
∂K
= ALf ′(k)
1
AL
∂Y
∂K
= f ′(k) (4)
y para el trabajo efectivo,
∂Y
∂AL
=
∂(ALf(k))
∂AL
= f(k) +ALf ′(k)
∂k
∂AL
f(k) +ALf ′(k)
∂k
∂AL
= f(k)−ALf ′(k) K
(AL)2
∂Y
∂AL
= f(k)− kf ′(k) (5)
En la Figura 1 se observa una función neoclásica genérica, usada en este tipo de modelos. Como se
observa, las condiciones sobre retornos la vuelven una función cóncava.
Figura 1: Una función de producción neoclásica genérica
4
Función Cobb-Douglas Unade las formas más comúnes dadas a este tipo de funciones de
producción neoclásicas es la de una Cobb-Douglas como
Y = Kα(AL)1−α, 0 < α < 1 (6)
La forma intensiva de esta función resulta, entonces, en
y = kα (7)
La relevancia de la utilización de este tipo de función de producción Cobb-Douglas es que tiene
ciertas propiedades de especial utilidad. En el contexto de una economía competitiva, los factores
son retribuidos a sus productos marginales, por ende, se tiene que
R = f ′(k) = αkα−1
w = f(k)− f ′(k)k = kα − αkα = (1− α)kα
Esto implica que el porcentaje de participación del capital es igual a Rkf(k) = α, y el del trabajo
es wf(k) = 1 − α. Así, en un contexto de competencia perfecta, con una función de producción
Cobb-Douglas, los porcentages del ingreso correspondientes a cada factor son constantes, o sea,
independientes del nivel de capital por trabajo efectivo, k.
2.2. La Ecuación Fundamental del Modelo Solow-Swan
Siguiendo los supuestos del modelo, la evolución temporal del stock de capital físico en cualquier
momento del tiempo es igual a la inversión neta de depreciación,
K̇(t) = I(t)− δK(t) = sF (K(t), A(t)L(t))− δK(t) (8)
La ecuación (8) da el comportamiento dinámico de K para un nivel de trabajo y población dados.
Si se divide ambos miembros por el trabajo efectivo, A(t)L(t), se obtiene
K̇(t)
A(t)L(t)
= sf(k)− δk
Para expresar el término a la izquierda en unidades de trabajo efectivo, se debe trabajar un poco
algebraicamente. Sabiendo que k ≡ K/AL, se puede derivar con respecto al tiempo y obtener,
k̇ ≡ d(K/AL)
dt
=
K̇AL−K[ȦL+AL̇]
(AL)2
=
K̇
AL
− K
AL
Ȧ
A
− K
AL
L̇
L
Que debido a que las tasas de crecimiento1 de la tecnología y el trabajo son, respectivamente,
1recordar que la tasa de crecimiento de una variable puede encontrase también como Ẋ(t)
X(t)
=
lnX(t)
dt
5
Ȧ/A = g y L̇/L = n, se tiene
k̇ ≡ K̇
A(t)L(t)
− (n+ g)k
Por lo cual, la expresión anterior resulta en
k̇ = sf(k)− (n+ δ + g)k (9)
Que es la ecuación diferencial fundamental del modelo de Solow-Swan; una ecuación no lineal que
depende exclusivamente de k. El término n+δ+g, puede verse como la tasa de depreciación efectiva
del capital por unidad de trabajo efectivo. Si no hay ahorro, s = 0, el stock de capital por trabajo
efectivo decrece en parte por la depreciación, en parte por el crecimiento poblacional, y en parte por
el avance tecnológico2.
Por ende, el capital por unidad de trabajo efectivo crece o decrece según la relación existente entre la
inversión por unidad de trabajo efectivo, sf(k), y el denominado break-even investment, que aporta
el nivel de inversión necesaria para mantener k constante. La Figura 2 ilustra el funcionamiento
de la ecuación (9). La curva superior es la de producción, f(k). El break-even investment aparece
como una línea recta desde el origen con pendiente igual a n + δ + g. La curva restante representa
la inversión para cada valor del capital por unidad de trabajo efectivo.
Es importante notar que, debido a las condiciones de Inada y sobre los retornos, la línea recta y
la de ahorro se cruzan solamente en un punto. Si se considera una economía con un nivel inicial de
stock de capital por unidad de trabajo efectivo k(0) > 0, se observa que la inversión bruta es igual
a la altura de la curva sf(k) en dicho punto. El consumo resulta entonces de la distancia vertical en
dicho entre f(k) y sf(k).
2.3. El Estado Estacionario
El estado estacionario del modelo se asocia directamente con el largo plazo. Se define como aquel
escenario donde las variables crecen a una tasa constante, que puede ser cero. En este modelo, se
encuentra en el punto donde k̇ = 0, a partir de la ecuación (9). Este es el punto donde se igualan
la inversión bruta y la recta de break-even investment, sf(k) = (n+ δ + g)k, que podemos denotar
como k∗,
sf(k∗) = (n+ δ + g)k∗ (10)
Dado que el nivel de capital por unidad de trabajo efectivo es constante en el estado estacionario,
y y c también lo son; y∗ = f(k∗), c∗ = (1 − s)f(k∗). Por ende, en el modelo de Solow-Swan, las
cantidades de capital, producto y consumo por unidad de trabajo efectivo no crecen en el estado
estacionario. Esto implica que los niveles de estas variables, K, Y y C crecen, en el largo plazo, a la
2La tasa de crecimiento del producto de dos variables es igual a la suma de sus tasas de crecimiento, por ello, la
tasa de crecimiento del trabajo efectivo es n+ g.
6
Figura 2: La curva de ahorro bruto es proporcional a la unción de producción. El consumo por
trabajo efectivo es la distancia vertical entre f(k) y sf(k). El cambio en k viene dado por las distancia
vertical entre sf(k) y (n + δ + g)k. El nivel de k de estado estacionario viene determinado por la
intersección entre sf(k) y (n+ δ + g)k.
tasa de crecimiento poblacional sumada a la tasa de progreso tecnológico, n+ g.
K = ALk ⇔ K̇
K
= Â+ L̂+ k̂ = n+ g + 0 = n+ g
Y = F (K/AL, 1)⇔ Ẏ
Y
= K̂ = n+ g
C = (1− s)Y ⇔ Ċ
C
= ̂(1− s) + Ŷ = n+ g
Ahora bien, las variables de interés, es decir, producto, consumo y capital por trabajador crecen a
una tasa g,
̂(K/L) = K̂ − L̂ = g
̂(Y/L) = Ŷ − L̂ = g
̂(C/L) = Ĉ − L̂ = g
Esto implica que, sin importar su punto de partida, el sistema converge al sendero de crecimiento
7
balanceado, aquella situación donde todas las variables crecen a una tasa constante. En este sendero,
el crecimiento del producto per cápita es determinado solamente por el ratio de progresos tecnológico.
Se concluye entonces que las tasas de crecimiento de largo plazo están determinadas por factores
exógenos – las cantidades por unidad de trabajo efectivo no crecen, las variables agregadas crecen
a una tasa n+ g, mientras que las per cápita crecen a tasa g – por lo cual, las tasas de crecimiento
de estado estacionario son independientes de la tasa de ahorro y del nivel de tecnología.
2.4. La Regla de Oro y la Ineficiencia Dinámica
Para cada valor de los parámetros exógenos, s, δ, n, g, hay un valor de k∗. También entonces, para
un valor constante del resto de los parámetros, hay un valor de k∗ para todo s. Esta es una relación
que puede escribirse como k∗(s), con ∂k∗/∂s > 0.
Sabiendo, además, que
c∗ = (1− s)f [k∗(s)]
y que por la ecuación (10), sf(k∗) = (n + δ + g)k∗, por lo que puede expresarse al consumo por
unidad de trabajo efectivo como función de la tasa de ahorro:
c∗(s) = f [k∗(s)]− (n+ δ + g)k∗(s) (11)
Es posible entonces maximizar esta ecuación (11) para obtener la tasa de ahorro que maximiza el
consumo por unidad de trabajo efectivo para cada una de las generaciones. El problema es entonces,
máx
s
c∗(s) = f [k∗(s)]− (n+ δ + g)k∗(s)
c∗(s)
s
= f ′[k∗(s)]
∂k∗
∂s
− (n+ δ + g)∂k
∗
∂s
= 0
[f ′[k∗(s)]− (n+ δ + g)]∂k
∗
∂s
= 0
por lo cual, dado que ∂k∗/∂s > 0, el nivel de c∗ máximo se alcanza cuando [f ′[k∗(s)]−(n+δ+g)] = 0.
Justamente, el valor de k∗ que satisfaga esta condición es el stock de capital por unidad de trabajo
efectivo de la regla de oro. Por ende, la condición que determina kgold es
f ′(kgold) = n+ δ + g (12)
que corresponde a una tasa de ahorro sgold, y otorga un nivel de c en el largo plazo igual a
cgold = f(kgold − (n+ δ + g)kgold. Este punto es aquel donde la pendiente de la recta tangente a
la función de producción es igual a la pendiente de la recta de break-even investment.
Lo importante de este resultado es comprender que el nivel de capital por unidad de trabajo efectivo
de la regla de oro es aquel que permite el máximo consumo para cada una de las generaciones, es
decir, para cada estado estacionario. Esta relación se puede observar en la Figura 3.
8
Figura 3: La regla de oro de acumulación de capital
Figura 4: Si la tasa de ahorro está por encima de la regla de oro, s2 > sgold, una reducción de
esta aumenta el consumo de estado estacionario, aumentando también el consumo en la transición.
Ahora bien, si esta es menor, s1 < sgold, aumentar la tasa de ahorro aumenta el consumo de estado
estacionario pero disminuye el consumo a lo largo de la transición. La preferencia para este trade-off
viene dadapor la forma en que los agentes descuentan el consumo futuro.
9
A la par, en la Figura 4, se observan los diferentes resultados de estado estacionario alcanzados
por las diferentes tasas de ahorro posibles. Como se puede observar, cualquier aumento en la tasa
de ahorro exógena se corresponde con un desplazamiento de la curva de ahorro bruto.
Analizemos ahora en mayor detalle lo ilustrado por esta figura. Hay tres posibilidades para la tasa
de ahorro; s1, s2, y sgold, con s1 < sgold < s2. Como sabemos, el consumo por unidad de trabajo
efectivo, c, se encuentra marcado por la distancia vertical entre sf(k) y f(k). Para cada valor de s,
el valor de estado estacionario k∗ corresponde a la intersección de la respectiva curva de ahorro con
la línea recta del break-even investment. El consumo es maximizado justamente en el punto donde
k∗ = kgold, que es donde la pendiente de la recta tangente a la función de producción es idéntica a
la de la línea recta, punto alcanzado solamente cuando s = sgold. Como s1 < sgold < s2, entonces se
tiene que k∗1 < kgold < k∗2 .
¿Permite este gráfico saber si alguna tasa de ahorro es mejor que otra? Debido a que este modelo
no incorpora individuos maximizadores, no hay forma de evaluar correctamente los resultados en
términos de bienestar. Sin embargo, dado que una tasa de ahorro mayor que sgold posibilita una
mejora en el consumo en todos los períodos, incluyendo el de transición, se puede asegurar que
esta constituye una situación dinámicamente ineficiente. Es decir, el sendero de consumo per cápita
queda por debajo de otras alternativas asequibles.
Ahora bien, el caso donde la tasa de ahorro es menor que sgold no resulta tan claro. Esto se debe a
que si bien se aumentan los niveles de consumo por unidad de trabajo efectivo de todos los estados
estacionarios, se reduce el del período de transición. La deseabilidad de este resultado depende
entonces de como se descuente el consumo futuro, en comparación con el presente, por parte de los
agentes.
2.5. Dinámicas Transicionales
Si bien las tasas de crecimiento en el largo plazo, dentro de este modelo, vienen determinadas
enteramente por factores exógenos, las dinámicas transicionales representan resultados interesantes.
Se verá que el nivel de ingreso per cápita de una economía converge hacia su estado estacionario,
y hacia el de las demás economías. La ecuación (9) que otorga la dinámica del capital por unidad
de trabajo efectivo nos aporta lo necesario para concluir que siempre se converge al nivel de k de
estado estacionario. Recordando que
k̇ = sf(k)− (n+ δ + g)k
Se puede representar a k̇, como una función de k, un diagrama de fase para k.
10
Figura 5: Diagrama de Fase para k
De la ecuación de dinámica de k se observa que siempre que sf(k) > (n+δ+g)k, k estará creciendo,
k̇ > 0, y viceversa. Por las condiciones de Inada, para valores pequeños de k, f ′(k) es grande, por lo
cual la pendiente de sf(k) es mayor que la del break-even investment, haciendo que el ahorro bruto
sea inicialmente mayor. Sin embargo, como f ′′(k) < 0, esta relación ira decreciendo a partir de cierto
punto. De hecho, justamente en k∗, los dos términos se igualan; aquí k̇ = 0. Luego, para k > k∗, la
relación se invierte, sf(k) < (n+ δ + g)k, k estará decreciendo hasta alcanzar el punto k∗.
Se observa, entonces, que la economía tiende asintóticamente hacia el estado estacionario donde ni
k, ni y, ni c crecen. La razón detrás de la caída en las tasas de crecimiento a lo largo del período de
transición viene dada por los retornos marginales decrecientes. El sistema es globalmente estable:
para cada valor de k(0) > 0, la economía converge a su único estado estacionario, k∗ > 0.
Se puede estudiar, de igual manera, el comportamiento del producto durante la transición. La tasa
de crecimiento del producto por unidad de trabajo efectivo viene dada por
ẏ
y
=
f ′(k)k̇
f(k)
=
[
kf ′(k)
f(k)
](
k̇
k
)
(13)
La expresión entre corchetes es el share del capital, o la participación del capital en el ingreso,
dado que corresponde a la cantidad de capital por unidad de trabajo efectivo multiplicado por su
compensación, sobre el ingreso total por unidad de trabajo efectivo. Esta ecuación (13) demuestra
que la relación entre la tasa de crecimiento del producto y la del capital dependen del comportamiento
del share del capital, que podemos denotar como Sh(k). Si se reemplaza k̇, por su expresión hallada
anteriormente, la ecuación (13) se convierte en
ẏ
y
=
[
kf ′(k)
f(k)
](
sf(k)
k
− (n+ δ + g)
)
11
ŷ =
ẏ
y
= sf ′(k)− (n+ δ + g)Sh(k) (14)
Esta expresión puede diferenciarse con respecto a k para analizar como es la relación existente entre
esta tasa de crecimiento y el stock de capital por unidad de trabajo efectivo.
∂ŷ
∂k
= sf ′′(k)− (n+ δ + g)
[
(f ′(k) + kf ′′(k))f(k)− (f ′(k))2k
(f(k))2
]
∂ŷ
∂k
= sf ′′(k)− (n+ δ + g)
f(k)
[
(f ′(k) + kf ′′(k))f(k)− (f ′(k))2k
f(k)
]
∂ŷ
∂k
= sf ′′(k)− (n+ δ + g)
f(k)
[f ′(k) + kf ′′(k)− f ′(k)Sh(k)]
∂ŷ
∂k
=
[
sf ′′(k)− (n+ δ + g)kf
′′(k)
f(k)
]
− (n+ δ + g)f
′(k)
f(k)
[1− Sh(k)]
∂ŷ
∂k
=
f ′′(k)
f(k)
[sf(k)− (n+ δ + g)k]− (n+ δ + g)f
′(k)
f(k)
[1− Sh(k)]
∂ŷ
∂k
=
f ′′(k)k
f(k)
(
k̇
k
)
− (n+ δ + g)f
′(k)
f(k)
[1− Sh(k)] (15)
Debido a que 0 < Sh(k) < 1, el término de la derecha es negativo. Luego, [f ′′(k)k/f(k)] < 0, por lo
cual, la relación entre el stock de capital y la tasa de crecimiento del producto depende de la tasa
de crecimiento del capital por unidad de trabajo efectivo. Sabemos que con k < k∗, k̇ > 0, por lo
cual en aquellos puntos, ∂ŷ∂k < 0, es decir, la tasa de crecimiento del producto cae a medida que el
capital aumenta.
Por otro lado, cuando k > k∗, sabemos que k̇ < 0. Sin embargo, en torno al estado estacionario, este
crecimiento del stock de capital es pequeño en magnitud, por lo que probablemente3 no compense
al segundo término negativo; i.e., ∂ŷ∂k < 0, aún si k > k
∗, en torno al estado estacionario.
Por último, hay que notar que en el modelo de Solow-Swan, c = (1 − s)y, por lo cual la tasa de
crecimiento del consumo y el ingreso por unidad de trabajo efectivo son idénticas, ĉ = ŷ, por lo cual,
la tasa de crecimiento del consumo depende del capital en la misma manera que lo hace el ingreso.
3Notar que con una función de producción genérica esta derivada es ambigua.
12
3. Impacto de un cambio en la Tasa de Ahorro
El parámetro más adecuado para medir los impactos de una política es la tasa de ahorro debido
a que es la que más factiblemente vaya a ser modificada por dicho accionar. Supondremos que la
economía sobre la cual se realiza el shock se encuentra en el sendero de crecimiento balanceado,
donde todas las variables crecen a una tasa constante. Analizaremos el efecto de una suba en la tasa
de ahorro sobre las diferentes variables de interés.
3.1. El Impacto en el Producto
El aumento en la tasa de ahorro corre la curva de inversión bruta hacia arriba, por lo cual se genera
un aumento en k∗. Este aumento no es discontinuo, sino que al momento del cambio en s, momento
que llamamos t0, el stock de k sigue en el mismo valor anterior, es decir en k∗OLD. El desplazamiento
hacia arriba de sf(k) implica que ahora sNEW f(k) > (n + δ + g), por lo que k̇ > 0. Esto quiere
decir que la nueva tasa de ahorro genera una inversión mayor a la necesaria para mantener el stock
de capital en k∗OLD, por lo cual la economía está acumulando capital. De hecho, acumulará hasta el
punto en que sNEW f(k) = (n + δ + g), que es justamente en k∗NEW , el nuevo nivel de capital por
unidad de trabajo efectivo de estado estacionario. Entonces, el capital comienza a crecer a partir del
cambio en la tasa hasta que k̇ se vuelva gradualmente cero.
De particular interés es el comportamiento del producto por trabajador, Y/L, que es igual Af(k).
Cuando k es constante, es decir, en el estado estacionario, Y/L crece a tasa g, la tasa de crecimiento
de la tecnología. Ahora bien, cuando aparece el cambio en s, ya vimos que k̇ > 0, por lo cual Y/L
estará creciendoa una tasa mayor que g.
No obstante, este adicional de crecimiento irá desapareciendo hasta que k̇ = 0 nuevamente. Es decir,
un incremento permanente en la tasa de ahorro produce un incremento temporario en la tasa de
crecimiento del producto por trabajador. Esto es debido a que el incremento temporal de la inversión
llega a un punto en el cual debe destinarse enteramente a mantener el nivel de k que es ahora mayor.
Entonces, el aumento permanente de s genera un aumento temporario de la tasa de crecimiento del
producto por trabajador, que era inicialmente de g, hasta que gradualmente vuelve a este mismo
comienzo.
Sin embargo, este cambio permanente en s si genera un aumento permanente en niveles, sobre el
producto por trabajador Y/L. No posee un efecto de crecimiento, en el sentido de que no altera
permanentemente ninguna tasa de crecimiento de las variables per cápita. De hecho, como vimos
anteriormente, ̂(K/L) = ̂(Y/L) = ̂(C/L) = g, por lo cual el único efecto crecimiento en este modelo
es un aumento de la tasa de progreso tecnológico, g.
13
Figura 6: Efecto de un aumento de s, ∆s > 0
14
Figura 7: Efectos sobre niveles y tasas de ∆s > 0 en t0
15
3.2. El Impacto en el Consumo
Resta por analizar el impacto de ∆s > 0 sobre el consumo. Dado que, como se ha visto, c =
(1 − s)f(k), en t0, el consumo cae discontinuamente. Luego, a medida que aumenta gradualmente
el capital, el nivel de consumo comienza un crecimiento gradual. El resultado final sobre el nivel de
consumo por unidad de trabajo efectivo, sin embargo, no está definido de antemano. Esto dependerá,
como hemos visto, de donde nos encontramos con respecto al k de la regla de oro. Si este aumento de
la tasa de ahorro nos lleva de un nivel de k < kgold, a kgold, entonces se habrá mejorado el consumo.
Ahora, cualquier movimiento en s desde k∗ = kgold empeorará el resultado.
Recordemos que esto dependía del valor de f ′[k∗(s)]− (n+ δ + g). Si el salto en el ahorro implica
que f ′[k∗(s)] > (n+ δ + g), entonces el incremento en el ahorro permite un producto adicional que
es más que suficiente para mantener el stock de capital en un nivel mayor, por lo cual el consumo
incrementa. De lo contrario, el producto adicional no alcanza para mantener el nuevo nivel de k, por
lo que el consumo debe caer.
4. Implicaciones Cuantitativas
Se trabaja en torno al estado estacionario para obtener intuiciones sobre las predicciones cuantita-
tivas que el modelo presenta, aún si no se utilizan variables númericas
4.1. El Efecto sobre el Producto de Largo Plazo
El efecto de largo plazo del aumento en la tasa de ahorro se obtiene mediante
∂y∗
∂s
= f ′(k∗)
∂k∗(s)
∂s
(16)
Donde y∗ = f(k∗) es el nivel de producto por unidad de trabajo efectivo en el sendero de crecimiento
balanceado. Para encontrar esta relación, entonces, basta con conocer la forma de ∂k∗(s)/∂s. Para
ello, sabemos que k∗ es aquel stock de capital que hace k̇ = 0, por ende,
sf(k∗(s)) = (n+ δ + g)k∗(s)
Si se deriva ambos miembros con respecto a s, se obtiene,
f(k∗) + sf ′(k∗)
∂k∗
∂s
= (n+ δ + g)
∂k∗
∂s
∂k∗
∂s
=
f(k∗)
(n+ δ + g)− sf ′(k∗)
(17)
16
Entonces, reemplazando (17) en (16) se llega a
∂y∗
∂s
=
f ′(k∗)f(k∗)
(n+ δ + g)− sf ′(k∗)
(18)
Que nos otorga en (18) una expresión que puede convertirse fácilmente en una elasticidad, multi-
plicando miembro a miembro por s/y∗ (o s/f(k∗)),
s
y∗
∂y∗
∂s
=
s
f(k∗)
f ′(k∗)f(k∗)
(n+ δ + g)− sf ′(k∗)
εsy =
f ′(k∗)sf(k∗)
[(n+ δ + g)− sf ′(k∗)]f(k∗)
Luego, como sf(k∗) = (n+ δ + g)k∗, y s = (n+ δ + g)k∗/f(k∗) se llega a
εsy =
f ′(k∗)(n+ δ + g)k∗
[(n+ δ + g)− (n+δ+g)k
∗f ′(k∗)
f(k∗) ]f(k
∗)
Recordando que Sh(k) = kf ′(k)/f(k),
εsy =
Sh(k∗)
1− Sh(k∗)
(19)
Que de hecho, como el Sh(k∗) = k∗/y∗×∂y∗/∂k∗, es igual a la elasticidad del producto con respecto
al capital en k = k∗, notamos que la elasticidad del producto de crecimiento balanceado con respecto
al ahorro depende directamente de esta primera.
¿Qué implicancias cuantitativas pueden extraerse de estos resultados? Si se considera como supuesto
que los mercados son competitivos y no hay externalidades, vimos que el capital es recompensado
a su producto marginal, f ′(k), por lo que el total ganado por el capital es igual a k∗f ′(k). Si estos
supuestos pueden considerarse válidos, entonces el porcentaje del ingreso que corresponde al capital
es una buena medida para estimar la elasticidad del producto con respecto al mismo, εsy.
Según datos empíricos, en la mayoría de los países, Sh(k) = 1/3. Utilizando este dado, εsy = 1/2.
Por ende, si se tiene un aumento de la tasa de ahorro del 10% como puede ser desde 20% a 22%,
el aumento del producto por trabajador en el largo plazo es solamente de 5% con respecto al que
hubiese seguido de no darse este aumento.
∆s =
22− 20
20
∗ 100 = 10 %
∆y∗ = 1/2 ∗ 10 = 5 %
Incluso un ∆s = 50 % aporta un crecimiento del 25%. Entonces, observamos que cambios significa-
tivos en la tasa de ahorro traen aparejados cambios moderados en el nivel de producto del sendero
17
de crecimiento balanceado.
Intuitivamente, un nivel bajo de Sh(k∗) lleva a que el impacto del ahorro sobre el producto sea
bajo por dos razones. Primero, implica que la curva de inversión, sf(k), se curva rápidamente. Por
ende, un desplazamiento de la misma hacia arriba mueve poco el punto de intersección con la recta
de break-even investment, por lo cual el impacto de s sobre k∗ es reducido. En segundo lugar, un
valor bajo de Sh(k∗) trae un impacto pequeño de k∗ sobre y∗.
4.2. La Velocidad de Convergencia
Otra pregunta relevante es la velocidad con la cual se dan los efectos de algún shock. Para ana-
lizar esta velocidad utilizamos un análisis en torno al equilibrio de largo plazo, centrándonos en el
comportamiento de k. Es decir, nos interesa analizar qué tan rápido k se acerca a k∗.
Sabiendo que k̇ es una función k, k̇ = k̇(k), podemos realizar una aproximación de Taylor en torno
a k = k∗,
k̇ ' k̇(k∗) +
[
∂k̇(k∗)
∂k
]
(k − k∗)
k̇ '
[
∂k̇(k∗)
∂k
]
(k − k∗) (20)
Debido a que k̇(k∗) = 0. Si llamamos λ a −∂k̇(k∗)/∂k, entonces (20) se convierte en
k̇ ' −λ[k(t)− k∗] (21)
Como desde k = k∗, un aumento en k hace que k̇ < 0, podemos concluir que k̇(k∗)/∂k < 0, por lo
que λ es positivo. La ecuación (21) ilustra el hecho de que k, en una vecindad de k∗ se aproxima a
este valor de manera proporcional a la distancia que tiene hasta k∗. Por ende, la tasa de crecimiento
de (k(t)− k∗) es constante aproximadamente e igual a −λ, lo que implica que
k(t) ' k∗ + e−λt[k(0)− k∗] (22)
Justamente, como −λ < 0 el sistema converge a k∗, es estable. Resta solamente encontrar el valor
λ,
λ = −∂k̇(k
∗)
∂k
= −[sf ′(k∗)− (n+ δ + g)]
= (n+ δ + g)− sf ′(k∗)
(n+ δ + g)− f
′(k∗)k∗(n+ δ + g)
f(k∗)
λ = [1− Sh(k∗)](n+ δ + g) (23)
18
Lo que implica que k converge a su valor de estado estacionario a tasa [1− Sh(k∗)](n+ δ + g). De
hecho, también y converge a y∗ a la misma tasa, y(t) = y∗ ' e−λt[y(0) − y∗]. Entonces, según el
valor que se de a los diferentes parámetros y a la participación del capital en el producto, se puede
analizar cuanto tiempo demora la convergencia hacia el estado estacionario.
Por ejemplo, si se tiene que n+ δ + g = 6 %, con un Sh(k∗) = 1/3, se tiene que el valor de λ es,
λ =
2
3
6 % = 4 %
Por lo que tanto k como y avanzan un 4% de la distancia restante hacia sus niveles de estado
estacionario cada año. Esto implica que para encontrarse en la mitad de esta distancia tardará
aproximadamente 17 años:
k(t)− k∗ = e−,04t[k(0)− k∗]
,5 = e−,04t
ln (,5) = −,04t
t ≈ 17
En el ejemplo anterior de un aumento de la tasa de ahorro del 10 %, que llevaba a un aumento del
5 % de y∗, nos demuestra que el producto se encontrará solamente ,04 × 5 % = ,2 % por encima de
su anterior sendero luego de un año, y ,5× 5 % = 2,5 % por encima luego de 17 años.
Los datos cuantitativos evidencian el hecho de que, no solamente el impacto de un cambio impor-
tante en la tasa de ahorro es modesto, sino que también demora varios años en observarse.
5. El Modelo y las Cuestiones Centralesdel Crecimiento
El modelo de Solow-Swan identifica dos posibles fuentes para la variación del producto por trabaja-
dor: diferencias en el stock de capital por trabajador, K/L, y diferencias en la efectividad del trabajo,
A. No obstante, el único de estos que lleva a crecimiento permanente del producto por trabajador
es el de la efectividad del trabajo, dado que los cambios en el capital por trabajador tienen efectos
modestos sobre el producto por trabajador.
Es así que se concluye que las diferencias en el A son las que pueden explicar las diferencias en la
riqueza a lo largo del tiempo y entre distintos países. De hecho, la conclusión central del modelo de
Solow-Swan es que, si la compensación de capital es aproximable por el share del capital, entonces las
variaciones en la acumulación de capital físico no pueden dar cuenta de las disparidades existentes
entre países en términos de su riqueza.
Para observar esto, se pueden tener en cuenta dos enfoques. Uno directo, que implica considerar
las diferencias existentes en capital por trabajador. Observando las predicciones cuantitativas del
modelo, para valores apropiados de la participación de capital, para poder explicar las diferencias de
19
riqueza entre países, los más ricos deben poseer 1000 veces más capital por trabajador que los pobres;
esto es si se utiliza un Sh(k) = 1/3. Si se toma el supuesto menos realista de que Sh(k) = 1/2, este
factor sigue siendo elevado, de 100 veces. Ninguno de estos se observa en los datos empíricos. Las
diferencias de stock de capital per cápita en la realidad son mucho menores que las necesarias para
poder explicar las diferencias en riqueza observadas, siguiendo al modelo.
El método indirecto consiste en analizar que, dadas las enormes diferencias en el stock de capital
que se necesitan, tiene que haber, análogamente, enormes diferencias en el retorno del capital entre
países ricos y pobres. Estas enormes diferencias en rentabilidad harían dejar de lado todas las
imperfecciones del mercado de capital, políticas impositivas, miedos de expropiación, entre otros,
por lo que se observaría un enorme flujo de inversión hacia los países pobres; algo que no se observa
en la realidad.
Por ende, las diferencias en capital físico por trabajador no pueden representar ni explicar las
diferencias en producto por trabajador observadas empíricamente, al menos si la contribución del
capital puede usarse como medida para los retornos privados, lo cual es un supuesto clave.
Resta, entonces, centrar la atención sobre el otro factor que explica variaciones en el producto, la
efectividad del trabajo. Atribuir las diferencias en Y/L a la variable A no requiere de diferencias
en el capital o en sus retornos. No obstante, el modelo de Solow-Swan tiene muy poca información
sobre este factor. De hecho, lo toma como exógeno, incluso si el comportamiento de esta variable es
el principal conductor del crecimiento.
Aún más importante, no hay una clara definición de qué es la efectividad del trabajo. Generalmente
es considerado como el conocimiento abstracto, la educación, las habilidad del factor trabajo, la
fortaleza de los derechos de propiedad, la cualidad de la infraestructura, factores culturales y de
emprendedurismo, o una combinación de todos.
Por último, hay que considerar la posibilidad de que el capital sea más importante que lo predicho
por el modelo. Esto puede darse en el caso donde el capital trae consigo externalidades, o si este
incluye más factores que el capital físico. Esto implica que el retorno privado sobre el capital físico
no es útil para tener una medida de la importancia del capital en la producción.
5.1. Convergencia Absoluta y Condicional
La ecuación fundamental del modelo, k̇ = sf(k)− (n+ δ + g)k, implica que
∂(k̇/k)
∂k
=
s[f ′(k)− f(k)/k]
k
< 0
Por lo que la tasa de crecimiento de k disminuye ante aumentos de esta misma variable. Por ende, a
menor stock de capital, mayor sera la tasa de crecimiento del capital. Esto puede llevarnos a pensar
que economías con un stock menor de capital por persona crecen más rápido en términos per cápita;
lo que llevaría a convergencia entre economías.
20
Si se toman economía estructuralmente similiares, es decir, con parámetros idénticos y similares
valores de k∗ e y∗, pero que difieren solamente en k(0), es fácil observar que aquellos con menor
valor inicial tienen tasas de crecimiento de k más elevadas, y generalmente también lo es ŷ. Como
tienen los mismos parámetros estructurales, las dinámicas son idénticas, lo cual implica que hay una
forma de convergencia, las regiones o países con valores iniciales de k menores tienden a alcanzar a
las que comienzan con k mayores.
La hipótesis de que las economías pobres tienden a crecer más rápido en términos per cápita que
las ricas se conoce como convergencia absoluta. Los resultados empíricos difieren según la muestra
de países que se selecciona, por lo cual, tiene evidencia mixta. Si se observan países homogéneos o
regiones de un mismo país, esta idea suele comprobarse. Para el caso de países más heterogéneos, se
puede modificar la hipótesis en términos de la distancia, en cada país, a su estado estacionario.
Esta es la hipótesis de convergencia condicional, donde las economías que se encuentran más aleja-
das de su estado estacionario crecen más rápidamente. De hecho, el modelo de Solow-Swan predice
que esto sucederá, es decir, que la convergencia condicional se cumple en el sentido de que un k(0)
inferior tiende a generar una tasa de crecimiento de capital per cápita mayor, una vez controlando
los determinantes del estado estacionario.
5.2. Fuentes del Crecimiento
El modelo nos aporta la posibilidad de observar los determinantes del crecimiento, es decir, que pro-
porción del crecimiento corresponde a incrementos de los diferentes factores de producción incluidos,
y cuál proviene de factores externos. Para ello, consideramos nuevamente la función de producción
neoclásica Y (t) = F (K(t), A(t)L(t)). Diferenciándola totalmente con respecto al tiempo se llega a
Ẏ (t) =
∂Y
∂K
K̇ +
∂Y
∂L
L̇+
∂Y
∂A
Ȧ
Dividiendo miembro a miembro por Y (t), e incluyendo factores para quedarnos con elasticidades se
verifica que
Ẏ (t)
Y (t)
=
K
Y
∂Y
∂K
K̇
K
+
L
Y
∂Y
∂L
L̇
L
+
A
Y
∂Y
∂A
Ȧ
A
Ŷ = αK(t)K̂ + αL(t)L̂+R(t) (24)
Donde se tiene a la elasticidad del producto con respecto al trabajo, αL(t), la elasticidad del producto
con respecto al capital, αK(t), y R(t), el Residuo de Solow. Debido a que las tasas de crecimiento del
producto, capital y trabajo son fáciles de estimar, y que la elasticidad del producto con respecto al
capital es estimable con Sh(k), como αL(t)+αK(t) = 1, el único término sin estimar es R(t). Este es
entonces computado como un residuo; residuo que es interpretado como la medida de la contribución
al producto del progreso tecnológico. Sin embargo, realmente es la contribución de todas las fuentes
externas no tenidas en cuenta dentro de la contribución del capital ni del trabajo.
21
Este análisis solo tiene en cuenta los determinantes directos del crecimiento, ignorando cuestiones
de mayor profundidad que hacen a la dinámica de estos propios determinantes directos. Si se define
gy ≡ Ŷ − L̂ y a gk ≡ K̂ − L̂, se verifica que
gy = Ŷ − L̂ = αKK̂ + (αL − 1)L̂+R
gy = Ŷ − L̂ = αKK̂ + (1− αK − 1)L̂+R
gy = αKgK +R (25)
Por lo cual, en estado estacionario, como gy = gk, el Residuo de Solow puede expresarse como
R = (1− αK)gy (26)
Sin embargo, sabemos por el análisis del modelo que, en el sendero de crecimiento balanceado, la
totalidad del crecimiento corresponde al progreso tecnológico, dado que todas las variables per cápita
crecen a tasa g. Por ende, el resultado de (26) le asocia solamente una fracción (1− αK) al residuo.
5.3. Modelo Ampliado con Capital Humano
Por los motivos mencionados anteriormente, es conveniente plantear un modelo ampliado con la
inclusión de capital humano, que puede comprender habilidades, educación y otros elementos que
hagan a un aumento dela productividad de los trabajadores. Esto nos permite incluir a las tres
principales fuerzas del crecimiento económico, el capital físico, la tecnología y el capital humano. La
función de producción resultante es, entonces,
Y = F (K,H,AL) (27)
Se asume que esta función cumple con las condiciones para ser una función de producción neoclásica,
enfatizando la de rendimientos constantes a escala. Esto posibilita expresarla en forma intensiva, con
h ≡ H/AL
F
(
K
AL
,
H
AL
, 1
)
⇒ y = f(h, k) (28)
Si diferenciamos (27) con respecto al tiempo podemos obtener el residuo para esta especificación del
modelo.
Ẏ (t) =
∂Y
∂K
K̇ +
∂Y
∂H
Ḣ +
∂Y
∂L
L̇+
∂Y
∂A
Ȧ
Que se puede transformar en elasticidades si se divide por Y (t) y se opera algebraicamente,
Ẏ (t)
Y (t)
=
K
Y
∂Y
∂K
K̇
K
+
H
Y
∂Y
∂H
Ḣ
H
+
L
Y
∂Y
∂L
L̇
L
+
A
Y
∂Y
∂A
Ȧ
A
22
Ŷ = αK(t)K̂ + αH(t)Ĥ + αL(t)L̂+R(t) (29)
Por lo cual, definiendo gH ≡ Ĥ − L̂ y con αL = 1− αK − αH ,
gy = Ŷ − L̂ = αKK̂ + αHĤ + (αL − 1)L̂+R
gy = αKK̂ + αHĤ + (1− αK − αH − 1)L̂+R
gy = αKgK + αHgH +R (30)
Por lo que en estado estacionario, con gy = gK = gH , el residuo de Solow es igual a
RH = (1− αK − αH)gy (31)
El cual puede compararse directamente con el encontrado con la especificación anterior y corroborar
que es menor. Esto se debe a que ahora se ha incluido otra variable explicativa del crecimiento
económico, dejando menos elementos del crecimiento sin tener en cuenta.
Conclusiones
La principal conclusión es que, si bien en el modelo de Solow la acumulación de capital físico juega
un rol central en el crecimiento, en la realidad las diferencias entre stocks de capital no pueden dar
cuenta de las disparidades observadas entre países.
El modelo cuenta con ciertas limitaciones. Podemos mencionar inicialmente que el mismo no tiene
en cuenta factores monetarios ni diferentes factores externos que pueden influir en el crecimiento.
No obstante, las más importantes son tres. En primer lugar, el tratamiento del ahorro como factor
exógeno, dificultad que emana de la falta de optimización explícita por parte de los consumidores;
lo que impide analizar el bienestar por fuera de la regla de oro. En segundo lugar, se trabaja con
agentes representativos y función de producción agregada, lo cual es útil para la simplificación pero
pierde la posibilidad de determinar si algunos resultados son mejores que otros; no hay discusión
sobre el bienestar. Por último, asume que nos encontramos en contexto de mercados competitivos,
rendimientos decrecientes y sin externalidades.
Es importante mencionar que el factor que explica el crecimiento de las variables per cápita, el
progreso tecnológico, es exógeno. Por estos motivos, desarrollos posteriores acerca del crecimiento
económico se han centrado en ir más allá y comenzar a tratar al progreso tecnológico como un factor
endógeno. Sin embargo, los modelos inmediatamente posteriores se han centrado en la inclusión de
agentes optimizadores dentro del modelo para ahondar en sus microfundamentos.
A pesar de sus limitaciones, el modelo de Solow-Swan es destacado por su simpleza en la explicación
de un fenómeno de enorme complejidad, que es utilizable para iniciar el pensamiento del crecimiento
económico y como base para los demás modelos de mayor riqueza.
23
Referencias
Acemoglu, D. (2009). Introduction to Modern Economic Growth. New Jersey: Princeton University
Press
Barro, R., Sala-i-Martin, X. (2004). Economic growth. Second edition. Cambridge: The MIT Press
Romer, David. (2005). Advanced macroeconomics. New York: McGraw-Hill/Irwin
24