PS6 (pauta)

Vista previa del material en texto

MACROECONOMÍA I
EAE220D-2
Profesor: Emilio Depetris-Chauvin
Problem Set 6
Fecha de Entrega: Viernes 9 de Julio antes de las 3pm vía Canvas (en tareas). Los ejercicios 4 y 5 son obligatorios.
Los ejercicios 1, 2, 3 y 4 son obligatorios.
1. Ejercicio 11.1 del libro de De Gregorio: Crecimiento. Considere una economía con los siguientes datos
en un período:
I
Y ≡ i = 30 % tasa de inversión bruta
γ = 5, 5 % crecimiento del PIB agregado
K
Y = 2, 5 razón capital producto al inicio del período
δ = 5 % tasa de depreciación
L̂ = 2 % tasa de crecimiento del empleo
Suponga además que la función de producción está dada por la ecuación F (K,L) = AK(1−α)Lα donde
α = 0, 6.
a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento del stock de capital?
Respuesta:
Sabemos que K̇t = It − δKt, entonces si dividimos por Kt y multiplicamos y dividimos conve-
nientemente por Yt llegaremos a:
K̇t
Kt
= It
Yt
Yt
Kt
− δ
Reemplazando tendremos K̇tKt =
0,3
2,5 − 0, 05 = 0, 07
b. Usando contabilidad del crecimiento, determine cuál fue el crecimiento de la productividad total
de factores durante ese período (denótelo x).
Respuesta:
Partiendo de F (K,L) = AK(1−α)Lα y considerando la tasa de crecimiento como ∂ln(zt)∂t = ẑ:
ln(Yt) = ln(At) + (1− α)ln(Kt) + αln(Lt)
Ŷ = Â+ (1− α)K̂ + αL̂
Reemplando, 0, 055 = Â+ 0, 4 · 0, 07 + 0, 6 · 0, 02, obtendremos que  = x = 0, 015
c. Si esta economía quisiera crecer un 8% en vez del actual 5,5%, dados constantes los valores de x
y L̂, determine a cuánto tendría que subir la tasa de inversión.
Respuesta:
Reemplazando tendremos:
0, 08 = 0, 015 + 0, 4 · K̂ + 0, 6 · 0, 02
1
Entonces, K̂ = 0, 1325, además, sabemos que
K̂ = K̇t
Kt
= It
Yt
Yt
Kt
− δ
0, 1325 = i2, 5 − 0, 05
Entonces i = 0, 45625
d. Considere que x es el valor de crecimiento de la productividad de largo plazo. Suponga además
que la población crece a la misma tasa que el empleo dado por L̂. ¿Cuál es el crecimiento de
largo plazo del producto per cápita y del producto agregado en esta economía? Compárelo con el
crecimiento actual e interprete la diferencia de acuerdo con el modelo neoclásico de crecimiento.
Respuesta:
En el agregado, Ŷ = x + (1 − α)K̂ + αL̂. Recordando que en SS con tecnología, el capital por
trabajador efectivo es k̃ = KAL y su crecimiento es 0, entonces aplicando logaritmo y derivando
respecto al tiempo, tendremos 0 = K̂ − Â − L̂. Reemplazando en el crecimiento del producto
agregado tendremos:
Ŷ = x+ (1− α)(Â+ L̂) + αL̂
Ŷ = 0, 015 + 0, 4 · (0, 015 + 0, 02) + 0, 6 · 0, 02 = 0, 041
El producto per cápita es y = Ak(1−α), por lo que su crecimiento es ŷ = x+ (1−α)k̂. Eel capital
per cápita está dado por:
k̃ ·A = K
L
Entonces su crecimiento será 0 + x = k̂ = x, reemplazando tendremos que el crecimiento del
producto per cápita es ŷ = x+ (1− α)x = 0, 021
e. Suponga que la tasa de ahorro de la economía, s, es 30%. ¿Es este supuesto razonable (considere
que en la economía no hay gobierno)? ¿Cuál es la relación capital producto a la cual converge la
economíaa?
Respuesta:
El supuesto es razonable pues coincide con la tasa bruta de inversión. Por otro lado, de la ecuación
de movimiento del capital tenemos que:
K̇
K
= s Y
K
− δ
ˆ̃k = K̇
K
− Â− L̂
Entonces, comibinando las ecuaciones anteriores en SS tenemos:
0 = s Y
K
− δ − x− n
Y
K
= δ + x+ n
s
−→ K
Y
= s
δ + x+ n = 3, 53
f. Calcule la tasa de ahorro consistente con la regla dorada. ¿Cómo se compara con el 30% supuesto
en este problema? ¿Cómo se compara con la que usted calculó en la parte c.)? ¿Podría argumentar,
suponiendo que la economía está en estado estacionario, que el 30% o el valor encontrado en la
parte c.) son subóptimos? ¿Por qué?
Respuesta:
Sabemos que en golden rule el ahorro óptimo está dado por la participación del capital en la
función de producción, en este caso, sería de 0,4, por lo que el valor de 30% o 45,6% no son
óptimas.
2
2. Ejercicio 12.1 del libro de De Gregorio: Modelo de Solow y trampas de pobreza. Suponga una economía
sin crecimiento de la población, con una tasa de depreciación del capital δ, una tasa deahorro constante
e igual a s y una función de producción (per cápita) igual a:
y = akα (1)
Donde a es un parámetro de productividad dado por:
a = a1 para k < k̃ (2)
a = a2 para k ≥ k̃ (3)
donde
a1 < k̃
1−α(δ/s) < a2 (4)
La idea es que cuando el nivel de producción es elevado también lo es la productividad dado que hay
más conocimiento para difundir, se aprovechan economías de escala, etc.
a) Muestre que hay dos estados estacionarios y encuentre el valor del producto de equilibrio en estos
dos puntos, y1 e y2. Diga de qué sirve la condición (4), y qué pasa si:
k̃1−α(δ/s) < a1 < a2 (5)
Respuesta:
Partiendo de la ecuación del enunciado (4), se tiene que:
a1 < k̃
1−α(δ/s) < a2[sa1
δ
] 1
1−α
< k̃ <
[sa2
δ
] 1
1−α
(6)
Y cómo sabemos que el movimiento de capital está descrito por
k̇ = sy − δk enSS ⇒ 0 = s(akα)− δk kss =
[sai
δ
] 1
1−αpara i = {1, 2} (7)
De esta forma, los dos niveles de capital de estado estacionario, se encuentran a ambos lados del
umbral, como se puede ver en la Figura 1. Es decir:
kss1 < k̃ < k
ss
2 (8)
Luego, el nivel de producto per cápita está dado por:
yss = a(kss)α = a
[(sa
δ
) 1
1−α
]α
(9)
Entonces, hay dos niveles de producto pc:
yss1 = a
1
1−α
1
[(s
δ
) α
1−α
]
yss2 = a
1
1−α
2
[(s
δ
) α
1−α
]
(10)
Luego, con la condición 5 tendremos que solo hay un estado estacionario al que se converge porque
k̃ < kss1 < k
ss
2
3
Figura 1: función de producción en 2 partes
b) Muestre que si la tasa de ahorro aumenta, una economía estancada en el equilibrio de bajo ingreso
podría salir de él. Justifique además que incluso un aumento “transitorio” de la tasa de ahorro
podría sacar a la economía de la trampa de pobreza.
Respuesta:
En el equilibrio de bajo ingreso tenemos
kss =
[sai
δ
] 1
1−α
Por lo que un aumento de la tasa s hará aumentar el capital de SS, este aumento, aunque sea
transitorio, hará que el capital de la economía suba y si logra revertir la desigualdad, es decir,
que kss1 > k̃, entonces se tendrá un nuevo capital que conducirá al SS de alto ingreso.
3. Ejercicio 12.4 del libro de De Gregorio: Crecimiento con tasa de ahorro variable. Considere un modelo
tradicional de crecimiento donde: y = f(k) y la tasa de depreciación es igual a δ. La única diferencia
es que ahora la tasa de ahorro no es constante sino que depende de k, es decir, s = s(k).
a) Escriba la restricción presupuestaria de la economía, y despeje k̇.
Respuesta:
La RP intratemporal de la economía está dada por la igualdad de sus ingresos con sus gastos:
Y = C + I = C + sY y además sabemos que Kt+1 −Kt = sY − δK
Luego debemos recordar que:
k̇ =
•(Kt
Lt
)
=
∂
(
Kt
Lt
)
∂t
= K̇tLt − L̇tKt
L2t
con K̇ = sYt − δKt
= syt − (δ + n)kt = s(k)yt − δkt asumiendo que no hay crecimiento poblacional
En lo que sigue discutiremos la posibilidad de que existan múltiples equilibrios, y las implicancias
de esta situación en las políticas de ayuda a países subdesarrollados. Se ha determinado que en
un país pobre la tasa de ahorro depende del stock de capital de la siguiente forma:
s(k) =
( k
k + 20
)10
(11)
Junto con esto, se sabe que la función de producción puede ser expresada como:
f(k) = 5k0,5 (12)
Además, la depreciación es δ = 0,14.
4
b) Grafique en el espacio (k̇, k) o ( k̇k , k) el equilibrio y determine el número de ellos. En parti-
cular, discuta si y = k = 0 es un equilibrio. Indicación: grafique los puntos en que k =
{0, 100, 200, 500, 1000}.
Respuesta:
Como ahora el ahorro s depende de k (i.e. s = s(k)), k̇ no dependerá de s como en la caso típico,
sino que va a depender de k:
k̇ = s(k)yt − δkt
k̇ =
( k
k + 20
)10
5k0,5 − 0,14k
(13)
Reemplazando los valores del enunciado:
k k̇
0 0
100 -5,9
200 -0,24
500 5,53
1000 -10,3
Figura 2: Equilibrios
c) Analice la estabilidad de cada equilibrio.
Respuesta:
1 estable, 2 inestable y 3 estable
El Banco Mundial ha visto que este país se encuentra en una situación crítica puesto que k = 0,
y propone hacerle un préstamo. Conteste lo siguiente:d) ¿Qué sucedería con este país en el largo plazo si el préstamo asciende a 100?
Respuesta:
No alcanza
e) ¿Cómo cambia su respuesta si el préstamo asciende a 300?
Respuesta:
Se va al equilibrio 3
5
Figura 3: Estabilidad de equilibrios
4. Una caída en la tasa de inversión. Suponga que la convención constitucional propone un artículo que
desincentiva el ahorro y la inversión al prohibir la reducción impositiva a los créditos bancarios. Como
resultado suponga que la tasa de inversión baja desde s a s′. Analice este cambio usando el modelo de
Solow con cambio tecnológico asumiendo que la economía comienza el estado estacionario.
a. Muestre en un gráfico como el (logaritmo del) producto por trabajador evoluciona en el tiempo
(es decir, el eje X debe incluir el tiempo)
Respuesta:
b. Realice un gráfico similar para la tasa de crecimiento del producto por trabajador
Respuesta:
Figura 4: Caída de s
6
c. ¿Reduce este cambio en la tasa de inversión de forma permanentemente el nivel o el crecimiento
del producto por trabajador?
Respuesta:
Se reduce el nivel de producto en el largo plazo pero no el crecimiento.
5. Un incremento en la fuerza laboral. Suponga que una economía experimenta un aumento importante
de inmigrantes. Utilizando el modelo de Solow, discuta cuales será los efectos de corto y largo plazo
sobre la economía producto de este aumento de la fuerza laboral (considere que no existe cambio
tecnológico y que la tasa de crecimiento poblacional es 0)
Respuesta:
En el largo plazo no hay cambios porque no cambian las tasas, pero en el corto plazo cae el producto
y capital por trabajador debido a que aumenta la cantidad de trabajadores.
7