Control 3 - 2018 (1)

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Pauta Control # 3. Macroeconomía I 
Profesor Emilio Depetris-Chauvin 
 
1. (15 puntos) Crecimiento e inmigración. Considere el modelo de Solow sin crecimiento de la 
población ni de la productividad. Suponga que, producto de una inmigración repentina, la población 
aumenta por una sola vez. Todos los inmigrantes se emplean. Si la economía estaba en estado 
estacionario, grafique la evolución del logaritmo del producto per-cápita antes y después de la 
inmigración (aquí se espera un gráfico con el logaritmo del producto per-cápita en el eje Y y el tiempo 
en el eje x). Explique qué pasa con la tasa de crecimiento de la economía en la transición al nuevo 
equilibrio. 
 
El valor de capital por trabajador en el estado estacionario final es idéntico y no depende del tamaño 
poblacional. Note que el shock inmigratorio reduce el capital per-cápita repentinamente, por lo que 
se incrementa la productividad marginal de este factor (grafico Abajo, no obligatorio) y la economía 
crece hasta alcanzar nuevamente el estado estacionario inicial donde la economía deja de crecer en 
términos per cápita. 
 
Esto se ve mejor en el grafico B (que es lo que se pedía). En t ≤ t* la economía estaba en el estado 
estacionario (el logaritmo del producto per cápita estaba constante en el tiempo). En t = t* ocurre 
el shock migratorio y aumenta L, esto hace caer inmediatamente k (i.e., K/L) y por lo tanto cae y (i.e, 
Y/L) y el logaritmo de y. Pero luego empieza un periodo de rápido crecimiento (tasas de crecimiento 
muy positivas) y transición dinámica donde la tasa de crecimiento empieza a caer hasta converger a 
cero en t = t** (es decir, entre t* y t** ocurre la transición dinámica al estado estacionario). 
 
 
 
 
2. (10 puntos) Impuestos en el modelo AK. Explique, en máximo media página, el porque de la 
siguiente afirmación de Lucas (discutida en clase) al referirse sobre una reducción de impuestos en el 
modelo AK: “the largest genuinely free lunch I have seen in 25 years in this business.” 
 
De conformidad con el autor, el efecto de una reducción de impuestos en el modelo AK es una acción 
del gobierno que favorece el ahorro puesto que permite que las familias tengan mayor ingreso 
disponible (más capacidad de ahorro). En ese sentido, dado que en el modelo AK cualquier política 
que logra incrementar la tasa de ahorro de una economía, podrá generar crecimiento sostenido de 
largo plazo de esa economía, puesto que: 
 
𝑦�̂� = 𝑠𝐴𝑡 − (𝛿 + 𝑛) > 0 
 
Luego, el gobierno se puede financiar con el crecimiento económico originado con la reducción de 
impuestos, ergo no hay “trade off” sino free lunch! 
 
3. (15 puntos) Considere el modelo de Solow con crecimiento poblacional y cambio tecnológico. 
Suponga que la economía en encontraba en un sendero de crecimiento balanceado (estado 
estacionario) y súbitamente la tasa de ahorro de la economía cae. Se pide: 
 
a. Muestre en el típico gráfico de Solow que pasa con el valor del capital por trabajador 
efectivo en el estado estacionario. 
 
El grafico de abajo muestra que cuando la tasa de ahorro cae de s’ a s’’ el capital por 
trabajador efectivo cae de 𝑘∗̃ a 𝑘∗∗̃. 
 
b. Muestre en dos gráficos separados la evolución en el tiempo (es decir, sus gráficos 
deben tener al tiempo en el eje de las X) del logaritmo del producto por trabajador y 
el de la tasa de crecimiento del producto por trabajador. 
 
El primer grafico muestra que el logaritmo del producto per cápita viene creciendo a 
una tasa constante (i.e. es una recta con pendiente constante) antes del shock. Con el 
shock el producto per cápita cae y luego empieza a recuperarse, pero se mantiene sobre 
niveles mas bajos a los que hubiere tenido sin el cambio (notar que la pendiente de la 
curva del log y se hacen paralela a la proyección del log y sin cambio –línea punteada-
) 
 
 
El siguiente grafico muestra que pasa con la tasa de crecimiento. Antes del cambio es 
constante e igual a g. Con el shock cae fuertemente y luego empieza a recuperarse para 
converger asintóticamente al valor g (completando la transición dinámica). 
 
 
 
4. (20 puntos) Considere el modelo de Solow con crecimiento poblacional, pero sin cambio 
tecnológico. 
a. Obtenga el valor del capital por trabajador de la regla dorada. Muestre todos los pasos 
conceptuales y algebraicos para justificar su respuesta. 
 
 
El capital de la regla dorada es aquel nivel de capital por trabajador que maximia 
el consumo por trabajador en el estado estacionario. Primero debemos escribir el 
consumo por trabajador del estadio estacionario como: 
 
𝑐𝑠𝑠 = 𝑦𝑠𝑠 − 𝐼𝑠𝑠 
 
Ahora, sabemos que 𝑦𝑠𝑠 = 𝑓(𝑘𝑠𝑠) y que en el estado estacionario 
 𝐼𝑠𝑠 = (𝛿 + 𝑛)𝑘𝑠𝑠. Por lo tanto: 
 
𝑐𝑠𝑠 = 𝑓(𝑘𝑠𝑠) − (𝛿 + 𝑛)𝑘𝑠𝑠 
 
Para encontrar el nivel de capital por trabajador que maximice el consumo per capita 
solo debemos plantear un problema simple de maximización de consumo donde la 
variable de decisión es 𝑘𝑠𝑠 : 
 
𝑀𝑎𝑥 𝑐𝑠𝑠(𝑘𝑠𝑠) = 𝑓(𝑘𝑠𝑠) − (𝛿 + 𝑛)𝑘𝑠𝑠 
 
La condición de primer orden será: 
 
𝜕𝑐𝑠𝑠
𝜕𝑘𝑠𝑠
= 𝑓𝑘(𝑘
𝑠𝑠) − (𝛿 + 𝑛) = 0 
 
Entonces el consumo será maximizado cuando 𝑓𝑘(𝒌
𝒔𝒔) = (𝜹 + 𝒏) 
 
En el caso particular de una producción de producción a la Cobb-Douglas (con A=1) 
podemos resolver explícitamente por el valor de 𝑘𝑠𝑠: 
 
𝛼𝑘𝑠𝑠𝛼−1 = (𝛿 + 𝑛) 
Entonces: 
𝑘𝑠𝑠 = 𝑘𝐺𝑅 = (
𝛼
𝛿 + 𝑛
)
1
1−𝛼
 
 
Donde GR es por “Golden rule”. Este valor de 𝑘𝑠𝑠 particular es lo que llamamos nivel 
de acumulación de capital de la regla dorada. 
 
 
b. Asuma que una economía se encuentra en el estado estacionario, que la participación 
del capital en el producto es 30% y que la tasa de ahorro-inversión en la economía es 
20%. ¿Está esta economía ahorrando mucho o poco relativo al ideal de la regla 
dorada? 
 
Dado que el nivel de ahorro consistente con la regla dorada deberia ser la 
participacion del capital en el producto (i.e., 𝛼), la economía esta ahorrando poco. 
Deber ahorrar mas! 

 
c. Grafique las transiciones del producto, consumo e inversión (todas las variables en 
términos per cápita y en logaritmos) cuando la tasa de ahorro de la economía cambia 
para ser consistente con el consumo de la regla dorada. 
 
 
 
 
 
d. Suponga que el gobierno llama a un plebiscito para que la gente de su parecer acerca 
de la posible implementación de una política económica que busque cambiar la tasa 
de ahorro para ser consistente con el consumo de la regla dorada ¿Cuáles serían los 
principales argumentos a favor y en contra de dicha política? 
 
 
Dado que se esta ahorrando poco las generaciones presentes deberán ahorrar mas 
para tener una capital por trabajador más alto en el largo plazo (por ende un mayor 
ingreso por trabajador y un mayor consumo per capita –este es el principal 
argumento a favor!). Esto significa que las generaciones de hoy deberán consumir 
menos para beneficiar a las generaciones futuras. No estoy seguro que la gente se 
tan altruista (al menos no intergeneracionalmente… este es el principal argumento 
en contra!). Es una política difícil de ser votada por las generaciones presentes y, por 
ende, es difícil de implementar.