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Modelo de crecimiento económico endógeno de Solow-Swan con
función de producción CES
Curso: Macroeconomía II
Bloque: FC-PREEYF05B1M 
Magallanes Riojas, Astri Maria 
Jara Huaringa, Denisse Isabel
Panta Carrasco, Daniel Eduardo
Pomajulca Lagos, Piero
Villacorta Montoya, Bruno Alonso
Lima – Perú 
2021-2
0 0
Introducción...................................................................................................................3
Planteamiento del modelo.............................................................................................4
Resolución del modelo..................................................................................................5
Simulación numérica...................................................................................................11
Aplicación de una política del gobierno......................................................................14
Análisis........................................................................................................................17
Conclusiones...............................................................................................................17
Referencias.................................................................................................................19
0 0
Introducción 
Uno de los principales modelos que explica cómo se fomenta el crecimiento
económico en un país es el modelo de Solow; el cual ha sido objeto de estudio por la
teoría económica en los últimos años. 
En el presente trabajo de investigación macroeconómica se busca estudiar el
modelo de crecimiento económico de Solow con una función de producción CES.
Además, se analizará las principales diferencias que esta tiene cuando se trabaja
con una función de producción Cobb-Douglas. En este sentido los principales
objetivos que plantea el trabajo de investigación son los siguientes:
 Plantear y resolver el modelo de Solow con función de producción CES.
 Realizar simulaciones numéricas.
 Analizar el impacto de políticas económicas.
 Definir las diferencias en el modelo de Solow cuando la función es CES y no
Cobb-Douglas.
Planteamiento del modelo
0 0
Los supuestos principales del modelo descansan en las siguientes 
afirmaciones:
 En la economía, la oferta laboral es dada por una familia representativa y se 
asume que es el propietario de la única empresa.
 Economía cerrada.
 La tecnología es un bien público y es constante en el tiempo.
 La tasa de depreciación es constante e igual a δ.
 La fuerza laboral crece de manera exponencial a una tasa n.
0 0
Resolución del modelo 
Partimos de la función de producción CES, el cual tiene como insumos
principales al capital (K), al trabajo (L) y una tecnología (A) constante en el instante
“t”.
… (1)
Donde 0 
El comportamiento de la función varía de acuerdo al valor que asume . Donde
la elasticidad de substitución entre capital y trabajo se representa de la siguiente
manera
Si 
Si 
Propiedades
 El modelo presenta rendimientos constantes a escala 
Factorizando 
Además ; por lo que la producción es positiva, pero decreciente.
Derivadas de la función
Con Respecto al Capital
 
Con respecto al Trabajo 
0 0
Economía cerrada
La producción de la economía se va al consumo o a la inversión.
 (2)
Se asume que la tasa de ahorro de los agentes económicos es constante, que
toma valores entre 0 y 1 y se le domina “s”, por lo tanto:
Además, se conoce que el ahorro es igual a la inversión, entonces haciendo
uso de (1) y (2):
Se asumirá que la tasa de cambio del capital se describe de la siguiente
manera:
 (4)
La población de la economía es equivalente a la fuerza laboral, por lo que
crecerán a la misma tasa de manera endógena.
 … (5)
Para el análisis se utilizará las variables en términos per cápita, por lo que
cada expresión se tendrá que dividir por la fuerza laboral (L):
 (6)
De las ecuaciones anteriores se llega a los siguiente (7):
Haciendo uso de la ecuación fundamental del capital, se llega a la siguiente
expresión:
 … (8)
0 0
Análisis cualitativo 
Caso 1
Para observar porqué pasa esto, es necesario observar la función (8) con
detenimiento.
En la primera parte de la ecuación se encuentra una parte que no depende
directamente del capital, el cual se encuentra en el gráfico como . Esta parte puede
considerarse como un piso de la ecuación que evita que se corte con la curva de
depreciación. Esto solo sucede para valores de positivos; es decir, valores entre 0 y
1.
Se pude demostrar esto a través de límites:
Cuando la función de producción sobre capital per cápita tiende al piso
definido, debido a los valores positivos que toma .
Esto indica que existe crecimiento económico (endógeno) sin tecnología y que
siempre se cumple cuando la elasticidad es mayor a 1 ( Además, bajo este caso no
se cumple la condición de INADA de limDe hecho, este se aproxima al valor , por lo
que decrece, pero no tiende a 0.
Naturalmente la tasa de crecimiento del capital per cápita va a estar definido
por la diferencia entre la curva de ahorro y la curva de depreciación. Además, esta
tasa decrece tendiendo a la diferencia entre el suelo de la función y la tasa de
depreciación .
Como se observa en el gráfico,
a diferencia cuando se trabaja
con una Cobb-Douglas, la curva
de la producción sobre el
capital no llega a cortar la curva
de depreciación.
0 0
Crecimiento económico endógeno de la función CES 
Como se indicó en el análisis cualitativo, la curva de producción es mayor a
la curva de depreciación :
Al establecerse esta comparación, se asume que el crecimiento del capital per
cápita es positivo:
Es importante aclarar que, el crecimiento per cápita será positivo, siempre y
cuando la curva de producción sea mayor a la curva de depreciación.
Para verificar esto, se tienen que:
Entonces, a medida que el valor de aumente, el límite de va a tender a cero:
Por lo tanto,
Además, la asíntota determinada por
Será mayor a la curva de depreciación
Lo que indica que, a pesar de hay crecimiento en la curva de producción, la
tasa de crecimiento del capital per cápita va a decrecer.
Caso 2
0 0
El análisis es similar; sin embargo, esto pasa cuando el valor de es menor a
0. Por lo que se presenta una situación donde no existe crecimiento económico, más
bien la economía pierde valor agregado perdiendo capital. Además, la elasticidad es
menor a 1.
Estado estacionario 
El estado estacionario se da en el punto donde la curva de ahorro y
depreciación se cortan; sin embargo, observando los casos presentados
anteriormente se concluye que no existe dicho estado, debido a los valores que
asume el valor del parámetro . Para que pueda presentarse dicho caso se debe
cumplir que tienda a 0 o sea muy cercano a este valor; debido a que tiende a una
Cobb-Douglas.
Beneficios de la empresa representativa 
En este modelo si es necesario hacer supuestos sobre la función de utilidad,
puesto que proviene de una función de producción más que de la utilidad. Sin
embargo, también puede ser aplicada porque es una función para el consumidor. En
cuanto la tasa de ahorro se sabe que es endógena. No obstante, sí usamos los
resultados clásicos de la minimización de los beneficios por parte de la empresa
representativa.
Como se observa en el gráfico, 
a diferencia cuando se trabaja 
con una Cobb-Douglas, la curva
de la producción sobre el 
capital no llega a cortar la curva
de depreciación.
0 0
Condiciones de Primer Orden 
 (9)
 (10)
Por (9): 
 (11)
Por (10)
 (12)
Sustituyendo (11) (12)en
(13)
 (14)
Análogamente, despejando en (9) y sustituyendo en (12)
 (15)
Sustituyendo (14) y (15) en la función de costos
(16)
0 0
Para minimizar sus beneficios, la empresa representativa igualará las
retribucionesde los factores a sus respectivas productividades marginales.
Análisis cuantitativo 
Generalmente la ecuación fundamental de Solow se puede resolver mediante
la técnica de variables separables como se muestra a continuación.
En el caso particular de la función de producción CES, no se encuentra una
solución integral en términos generales, debido a que no tiene una forma conocida
dentro del estudio de las ecuaciones diferenciables ordinarias (Marciales, 2012).
… (17)
En este sentido, con la intención de poder resolver dicha ecuación o
aproximarse a una, es necesario emplear el uso de los métodos numéricos. Uno de
los métodos más comunes para esto es a través del método numérico de Euler o de
Gauss, las cuales tratan de aproximarse a la solución mediante una aproximación de
una Serie de Taylor y con un conjunto de iteraciones.
Utilizando el método numérico de Gauss, se llegan a las siguientes series de
tiempo. Se trabajará con el caso 1 expuesto anteriormente 
 (10)
A su vez, se pude estimar las series de tiempo del producto, consumo e
inversión per cápita:
(18)
Por la ecuación (7) y (11) llegamos a las funciones de consumo e inversión
per cápita:
0 0
 (19)
 (20)
En cuanto a la tasa de crecimiento instantáneo del capital per cápita, esta
puede ser calculada de la siguiente manera: 
 (21)
A su vez se puede determinar que la tasa de crecimiento instantáneo del
consumo, la inversión y el producto per cápita son iguales a la siguiente expresión:
 (22)
Para encontrar las mismas funciones de tiempo de las variables agregadas, se debe 
multiplicar cada función per cápita por el trabajo .
Por lo tanto, las series de tiempo en términos agregados serían de la forma:
)* 
)* 
 
Simulación numérica
Para realizar una simulación numérica se partirá del casi 1 presentado
anteriormente, debido a que es una situación más favorable y plausible para una
economía.
Con la finalidad de hacer una simulación más realista se dará valores a los
parámetros provenientes de investigaciones o regresiones hechas por los
investigadores para la economía peruana
Tasa de ahorro (s): Para estimar la tasa de ahorro, se hará una regresión
entre del consumo con respecto al ingreso nacional con el método de mínimo
cuadrados ordinarios (Ver anexo 1).
0 0
En la regresión se estima que la propensión marginal a consumir es de
0.9032 (1 – s). Por lo tanto, la tasa de ahorro para la economía peruana es de
0.0968 (s).
Tasa de crecimiento poblacional (n): La tasa de crecimiento poblacional se
obtendrá del informe anual que presenta el INEI sobre la demografía nacional. El
INEI (2020) estima que la tasa de crecimiento poblacional de los últimos años se
encuentra en 8.3%.
Tasa de depreciación del capital (): Se estimará la tasa de depreciación del
capital mediante una media geométrica de los valores máximos de depreciación
permitidos por el gobierno peruano (ver anexo 2). En este caso el valor es de
0.3592.
Tecnología (A): La tecnología se mantendrá constante e igual a 7.
Valores de “a” y “b”: Con la intención de mantener el supuesto inicial de
crecimiento endógeno, los valores de estos parámetros serán los más cercanos a 1.
a = 0.91 y b = 0.93.
: El valor de este parámetro será otorgado por la investigación de Marciales
(2012), el cual para su trabajo le da el valor de 0.6
Con los valores presentados anteriormente se cumple la siguiente condición:
0.538507802 0.4422
Tabla 1 de parámetros 
Parámetro
s Valores
a 0.91
A 7
s 0.0968
b 0.93
n 0.083
δ 0.3592
Ψ 0.6
k0 5
dt 0.1
(sAb)a(1/Ψ) 0.538507802
n+δ 0.4422
0 0
γk* 0.096307802
El dt es un parámetro que estima los saltos temporales que se da en la serie
numérica.
Figura 1
Serie del capital per cápita 
 
Se observa lo que se había anticipado con anterioridad. El capital per cápita
tiende a crecer de manera indefinida en el tiempo, esto sucede gracias a que el
techo de la función de capital es mayor a la curva de depreciación. Básicamente, en
este modelo no existe un estado estacionario al cual tiende la economía.
Figura 2
Serie del PBI, consumo e inversión per cápita
El análisis es similar, estas variables manera crecen de manera indefinida
debido a la falta de un estado estacionario. 
0 0
Figura 3
Tasa de crecimiento del capital per cápita vs el capital per cápita
5.
1
6.
7
8.
9
11
.8
15
.7
20
.7
27
.2
35
.9
47
.2
62
.0
81
.4
10
6.
8
14
0.
1
18
3.
7
24
0.
7
31
5.
4
41
3.
1
54
1.
0
70
8.
3
92
7.
2
12
13
.5
0.53
0.54
0.54
0.54
0.54
0.54
0.55
0.55
Tasa de crecimiento del capital per cápita
Tasa de crecimiento del capital per cápita
Figura 4
Tasa de crecimiento del capital, consumo e inversión per cápita 
5.
0
5.
7
6.
4
7.
2
8.
2
9.
2
10
.4
11
.7
13
.2
14
.9
16
.8
18
.9
21
.3
24
.0
27
.0
30
.3
34
.1
38
.4
43
.2
48
.6
54
.6
61
.4
69
.0
77
.5
87
.1
97
.9
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
γk γy = γc = γi
Con el uso de unos pocos datos se observa que las tasas caen lentamente,
por lo que se espera que el crecimiento sea acelerado, tal como se observa en las
series per cápita de las figuras anteriores.
0 0
Aplicación de una política del gobierno
Se supondrá que el Estado peruano opta por dar incentivos para que la
población ahorre más. Esto puede ser logrado a través de la creación de más AFP´s
o de mejorar el sistema bancario. Por otra parte, la legislatura disminuirá las tasas
máximas de depreciación del capital, por lo que esta bajará.
Con la implementación de estas políticas públicas se espera que la tasa de
ahorro crezca a 0.2 (s) y la tasa de depreciación caiga a 0.25 (δ).
Tabla 2 de parámetros
Con los nuevos valores de los parámetros y manteniendo todo constante se
llega al primer caso:
1.112619425 0.333
A diferencia del análisis anterior, se observa que la diferencia entre el suelo de
la función y la curva de depreciación es mayor. Esto implica que la tasa de
crecimiento del capital per cápita será mayor también. 
Para este análisis se partirá del periodo 0 hasta el 6.75 con los mismos
parámetros de la tabla 1. A partir de ahí se implementará las políticas antes
mencionadas.
Figura 5
Serie del capital per cápita 
Parámetros Valores
a 0.91
A 7
s 0.2
b 0.93
n 0.083
δ 0.25
Ψ 0.6
k0 5
dt 0.1
(sAb)a(1/Ψ) 1.112619425
n+δ 0.333
γk* 0.779619425
0 0
0
0.
45 0.
9
1.
35 1.
8
2.
25 2.
7
3.
15 3.
6
4.
05 4.
5
4.
95 5.
4
5.
85 6.
3
6.
75 7.
2
7.
65 8.
1
8.
55 9
9.
45
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Capital per cápita
Como se observa, hay un incremento considerable en la tasa de crecimiento
del capital per cápita en el periodo donde se implementa dichas políticas, generando
que el capital per cápita crezca de manera más acelerada con el paso de los
periodos.
Figura 6
Serie del PBI, consumo e inversión per cápita 
0
0.
45 0.
9
1.
35 1.
8
2.
25 2.
7
3.
15 3.
6
4.
05 4.
5
4.
95 5.
4
5.
85 6.
3
6.
75 7.
2
7.
65 8.
1
8.
55 9
9.
45
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Inversión per cápita Consumo per cápita PBI per cápita
El resultado es similar, tras la aplicación de la política las tasas de crecimiento
crecen, por lo que se nota que en menos tiempo se llega a observar niveles altos de
las 3 variables.
Figura 7
Tasa de crecimiento del capital, consumo e inversión per cápita 
0 0
0
0.
45 0.
9
1.
35 1.
8
2.
25 2.
7
3.
15 3.
6
4.
05 4.
5
4.
95 5.
4
5.
85 6.
3
6.
75 7.
2
7.
65 8.
1
8.
55 9
9.
45
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
γy = γc = γi γk
Como se observa, las tasas de las 3 variables crecen velozmente tras la
aplicación de las variables, esto tiene como resultado el rápido crecimiento en las
variables anteriormente expuestas.
Análisis 
Se puede observar que esta economía, bajo los supuestos adoptados, tiende
a crecer de manera acelerada en todas sus variables per cápita. Incluso, al aplicardiversas políticas que incentivan al ahorro y una disminución en la depreciación, esta
solo se ve afectada en la velocidad de crecimiento. Naturalmente esto es positivo
debido a que permite que una economía crezca de manera endógena, por lo que no
habrá necesidad de ningún tipo de shock para que la economía se desarrolle. 
Cuando se trabaja el mismo modelo con una función de producción Cobb-
Douglas, la situación cambia de manera radical, debido a que esta función permite la
existencia de un estado estacionario, la cual la economía tiende en el largo plazo.
Principalmente esto sucede gracias a que la función diferencial del capital tiene una
sección donde la curva de ahorro corta la curva de depreciación. 
Conclusiones
Al estudiar el modelo de crecimiento económico de Solow con una función de
producción CES, se pudo concluir lo siguiente.
En primer lugar, la complejidad para obtener una solución real cuando se
trabaja con la función CES es mayor, a diferencia de cuando se emplea la función
Cobb-Douglas para explicar el crecimiento económico. Esto se debe a los
inconvenientes algebraicos que surgen al resolver tal ecuación. Asimismo, con el
0 0
uso de la función CES, no se puede predecir que los países convergen a un estado
estacionario, pues se verificó que no se cumplen las condiciones de INADA. Por
último, tras la implementación de políticas públicas, se observa que las tasas de
crecimiento del capital, consumo e inversión per cápita experimentan un desarrollo
sumamente positivo a través del tiempo. 
0 0
Referencias
BANCO CENTRAL DE RESRVA DEL PERÚ. (1969–2019). Demanda Interna - 
Consumo Privado [Conjunto de datos]. 
https://estadisticas.bcrp.gob.pe/estadisticas/series/anuales/resultados/PM049
26AA/html
BANCO CENTRAL DE RESERVA DEL PERÚ. (1969-2019). [Conjunto de datos].PBI
https://estadisticas.bcrp.gob.pe/estadisticas/series/mensuales/resultados/PN0
1770AM/html
Efraín, J. (2020, 12 mayo). Perú: Se establece un régimen especial de depreciación 
para los contribuyentes del Régimen General del Impuesto a la Renta 
Garrigues. https://www.garrigues.com/es_ES/noticia/peru-establece-regimen-
especial-depreciacion-contribuyentes-regimen-general-impuesto-renta
Instituto Nacional de Estadística e Informática. (2020, julio). Estado de la población 
peruana 2020. 
https://www.inei.gob.pe/media/MenuRecursivo/publicaciones_digitales/Est/Lib
1743/Libro.pdf
Marciales, N. (2013). Solución numérica de la ecuación fundamental de Solow con 
función de producción CES. Revista CIFE: Lecturas De Economía 
Social 15, (23), 77-92. https://doi.org/10.15332/s2248-4914.2013.0023.04
Rojo, F (2016). Funciones de producción de elasticidad de sustitución constante.
https://eco.aulavirtual.unc.edu.ar/pluginfile.php/195053/mod_resource/content/2/FUN
CIONES%20DE%20PRODUCCIO%CC%81N%20DE%20ELASTICIDAD
%20DE%20SUSTITUCIO%CC%81N%20CONSTANTE.pdf 
Scielo (2009). Elección teórica en economía: el caso de solow, romer y ramsey.
 http://www.scielo.org.co/pdf/ceco/v28n50/v28n50a02.pdf
Anexos
0 0
En la regresión se estima que la propensión marginal a consumir es de
0.9032 (1 – s). Por lo tanto, la tasa de ahorro para la economía peruana es de
0.0968 (s).
Tasa de crecimiento poblacional (n): La tasa de crecimiento poblacional se
obtendrá del informe anual que presenta el INEI sobre la demografía nacional. El
INEI (2020) estima que la tasa de crecimiento poblacional de los últimos años se
encuentra en 8.3%.
Tasa de depreciación del capital (): Se estimará la tasa de depreciación del
capital mediante una media geométrica de los valores máximos de depreciación
itid l bi ( 2) E t l l d
0 0
permitidos por el gobierno peruano (ver anexo 2). En este caso el valor es de
0.3592.
Tecnología (A): La tecnología se mantendrá constante e igual a 7.
Valores de “a” y “b”: Con la intención de mantener el supuesto inicial de
crecimiento endógeno, los valores de estos parámetros serán los más cercanos a 1.
a = 0.91 y b = 0.93.
: El valor de este parámetro será otorgado por la investigación de Marciales
(2012), el cual para su trabajo le da el valor de 0.6
Con los valores presentados anteriormente se cumple la siguiente condición:
0.538507802 0.4422
Tabla 1 de parámetros 
Parámetro
s Valores
a 0.91
A 7
s 0.0968
b 0.93
n 0.083
δ 0.3592
Ψ 0.6
k0 5
dt 0.1
(sAb)a(1/Ψ) 0.538507802
n+δ 0.4422
0 0