resumen CRECI

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Universidad de Buenos Aires
Facultad de Ciencias Económicas
CRECIMIENTO ECONÓMICO
Alumna: Valentina Lovazzano
Profesor: Danilo Trupkin
2022 2do Cuatrimestre
Capı́tulo 1
MODELO DE SOLOW-SWAN: Enfoque
Neoclásico de Crecimiento
Emerge como alternativa a Harrod-Domar (teorı́a que veremos más adelante), al introducir
una función de producción agregada con rendimientos decrecientes y sustituibilidad de
factores.
El modelo trata de explicar el crecimiento mediante la ACUMULACIÓN de CAPITAL
FÍSICO.
Llegaremos a la conclusión de que la acumulación de capital fı́sico, si bien central, no puede
explicar por sı́ sola el crecimiento en el tiempo o las (grandes) diferencias de ingreso per
cápita entre los paı́ses.
Otros factores- determinantes del crecimiento son excluidos (ahorro endógeno,
externalidades, entre otros). o exógenos (ej., progreso tecnológico), que podemos verlos en
la “A´´, caja negra a descular.
Especifica relaciones entre variables agregadas, sin individuos, y por lo tanto nos deja sin la
posibilidad de analizar decisiones óptimas y bienestar.
Hay una función de producción agregada, no hay individuos optimizadores ni mercados,
Existe un agente representativo -planificador central- que consume y produce a la vez,
maneja la tecnologı́a y es dueño de los factores.
La economı́a, a su vez, tiene un solo sector, y el producto es un bien homogéneo que puede
ser consumido o invertido.
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO:
El modelo de Solow gira en torno a cuatro variables: La producción (Y ), El capital (K), El
trabajo (L) y la “tecnologı́a´´ o la “eficacia del trabajo - conocimiento´´ (A) Donde, en este último,
podemos interpretar que a mayor conocimiento, mayor progreso tecnológico.
La economı́a dispone, en cualquier perı́odo dado, de ciertas dotaciones de capital, trabajo y
tecnologı́a que se combinan en el proceso de producción. La función de producción adopta la
forma:
Y (t) = F(K(t),A(t)L(t))
El nivel de producción varı́a en el tiempo sólo si lo hacen los factores que la determinan
(A,K,L).
En A hallamos todas las fallas de mercado. Ej: Existencia de mercados competitivos que da idea
de poder de mercado en ciertos sectores.
1
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO: 2
A(t) multiplica a L(t) lo cual se nombra como “neutral a la Harrod´´ o más bien “aumentador
de trabajo´´ → el progreso tecnológico está haciendo más efectivo al trabajo y no al capital. De
esta forma, el ratio K(t)/Y(t) se vuelve constante en el tiempo (estabiliza).
Plus: Si la tecnologı́a se presenta en la forma Y = F(AK,L), el progreso técnico es aumentador de
capital. Si se presenta como Y = AF(K,L), se dice que es neutral en el sentido de Hicks.
1.1.1. SUPUESTOS SOBRE LA FUNCIÓN:
1. Exhibe rendimientos constantes a escala en sus dos factores: Capital y trabajo efectivo. Si
multiplicamos ambos argumentos por una constante positiva z, ceteris paribus A, el nivel
de producción se multiplica por ese mismo factor:
F(zK,zAL) = zF(K,AL) para todo z > 0
Combina 2 supuestos:
Las ganancias de la especialización han sido ya agotadas: Para economı́as
suficienemente desarrolladas. No se producen rendimientos crecientes. La producción
aumenta en igual proporción que el aumento dado en las cantidades de capital y
trabajo. La incorporación de nuevos factores se usan de la misma forma y solo elevan
las cantidades proporcionalmente. Ergo, si duplico factores, duplico producción.
Los factores productivos que son el capital, el trabajo y la tecnologı́a, y en particular
la tierra y los recursos naturales, son relativamente irrelevantes: Si esto no es ası́,
aumentos de K y T pueden causar un aumento menos que proporcional sobre la
producción.
Dado el supuesto de RCE, si hacemos z ≡ 1/AL, transformamos la función de producción
a su forma intensiva.
Esto es,
F
( K
AL
,1
)
=
1
AL
F(K,AL)
K/AL es la cantidad de capital por unidad de trabajo efectivo y
F(K,AL)/AL es Y /AL, es decir, el producto por unidad de trabajo efectivo.
Luego, Si definimos k = K/AL,y = Y /AL y f (k) = F(k,1)
f (k) = y
Podemos expresar la producción por unidad de trabajo efectivo como una función
del capital por unidad de trabajo efectivo. Nuestra medida relevante pasa a ser la
cantidad de producto por unidad de trabajo efectivo. el volumen de producción por
unidad de trabajo efectivo depende exclusivamente de la cantidad de capital por
unidad de trabajo efectivo y no del tamaño total de la economı́a. Esto es lo que expresa
matemáticamente la ecuación
2. Suponemos f (0) = 0, f ′(k) > 0, Pmg K, f ′′(k) < 0 Por tanto, en el supuesto de que f ′(k) sea
positivo y f ′′(k) sea negativo implica que la productividad marginal del capital es positiva,
pero que disminuye a medida que la cantidad de capital (por unidad de trabajo efectivo)
aumenta.
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO: 3
3. Se cumplen las condiciones de INADA: Esta condición solicita que el rendimiento
marginal del capital (trabajo) se acerque a infinito a medida que el capital (trabajo) llegue a
cero, y que se acerque a cero a medida que el capital (trabajo) llegue al infinito.
2) lı́mf ′(k)→ lı́m
K→0
(
∂F
∂K
)
= lı́m
L→0
(
∂F
∂L
)
=∞
1)lı́mf ′(k)→ lı́m
K→∞
(
∂F
∂K
)
= lı́m
L→∞
(
∂F
∂L
)
= 0
Nos dicen que la productividad marginal del capital es elevada cuando el stock de capital
es lo suficientemente pequeño y que se vuelve muy pequeña a medida que éste aumenta→
permiten garantizar que la evolución de la economı́a no sea divergente.
EJEMPLO: Cobb-Douglas
Cumple supuesto RENDIMIENTOS CONSTANTES A ESCALA.
Siendo:
z =
1
AL
→ 1
AL
F (K ;AL)
Yt = (AtLt)
1−αKαt
Divido por AtLt :
Yt/AtLt =
(AtL)
1−αKαt
(AtLt)
α (AtLt)
1−α =
(
Kt
AtLt
)α (
AtLt
AtLt
)1−α
=
(
Kt
AtLt
)α
= kαt
yt = k
α
t
f ′ (kt) = αk
α−1
t > 0
f ′′ (kt) = α · (α − 1)kα−2t ⇒ f ′′ (kt) = −(1−α) ·αkα−2t < 0
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO: 4
1.1.2. EJERCICIO TEÓRICO DE LA GUIA:
a) :
Retornos Constantes a escala. La función F(·) presenta retornos constantes a escala
cuando el producto aumenta en la misma cuantı́a que un incremento en los insumos.
Matemáticamente, lo vemos cuando la función es homogénea de primer grado, es decir:
F(λA,λB) = λF(A,B) ∀λ > 0
Retornos privados positivos decrecientes.Para cada K > 0 y L > 0, F(·) presenta
productos marginales decrecientes respecto a cada insumo si:
∂F
∂K > 0
∂2F
∂K2
< 0
∂F
∂L > 0
∂2F
∂L2
< 0
Condiciones de Inada:
lı́m
K→0
∂F
∂K
= lı́m
L→0
∂F
∂L
=∞ lı́m
K→∞
∂F
∂K
= lı́m
L→∞
∂F
∂L
= 0
Esencialidad:
F(0,L) = F(K,0) = 0
b) :
Retornos Constantes a Escala
F(λK,λAL) = (λK)α(λAL)1−α
F(λK,λAL) = λα+1−α(K)α(AL)1−α
F(λK,λAL) = λF(K,AL)
El supuesto de retornos constantes a escala, nos permite trabajar con la forma intensiva
de la función de producción. Tomando λ = 1AL :
F
( K
AL
,1
)
=
1
AL
F(K,AL)
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO: 5
De esta forma KAL representa la cantidad de capital por unidad de trabajador efectivo
y F(K,AL)AL es
Y
AL , será el producto por unidad de trabajador efectivo. Si definimos
k = KAL , y =
Y
AL y f (k) = f (k,1) entonces podemos reescribir la ecuación para el producto
agregado en su forma intensiva:
y = f (k)
Retornos privados positivos decrecientes. La forma intensiva facilitará la tarea de
chequear el signo de las derivadas parciales.
f ′(k) = αkα−1 > 0
f ′′(k) = α(α − 1)kα−2 < 0
Condiciones de Inada
lı́m
k→∞
αkα−1 = 0
lı́m
k→0
αkα−1 =∞
1.1.3. EVOLUCIÓN EN EL TIEMPO DE LOS FP:
El modelo presupone que el tiempo es continuo, es decir, que sus variables están definidas
en todos y cada uno de los momentos. Existe la alternativa de análisis en tiempo discreto siendo
los resultados obtenidos prácticamente iguales en ambos casos. La versión continua facilita su
análisis.
Dados niveles iniciales de capital (K0) > 0, trabajo (L0) > 0, y conocimiento (A0), el modelo
asume tasas de crecimiento constantes para el trabajo y el conocimiento:
L̇ = nL (1.1)
Ȧ = gA (1.2)
Donde:
n tasa de crecimiento de la población exógena
y g tasa de crecimiento del conocimiento - procesotecnológico exógena
y el punto sobre la variable indica su derivada respecto al tiempo: L̇ ≡ ∂L
∂t
y Ȧ ≡ ∂A
∂t
La tasa de crecimiento de una variable es su tasa de cambio proporcional, es decir, la
expresión tasa de crecimiento de X no es sino el valor Ẋ(t)/X(t). Por tanto, la ecuación (1.1)
implica que la tasa de crecimiento de L es constante e igual a n y la ecuación (1.2) implica que la
tasa de crecimiento de A es constante e igual a g.
La tasa de crecimiento de una variable es igual a la tasa de crecimiento de su logaritmo natural.
Es decir, Ẋ(t)/X(t) es igual a d lnX(t)/dt. Si aplicamos este resultado a las ecuaciones nuestra
hipótesis es que tanto L como A crecen exponencialmente.
Asimismo, asumimos economı́a cerrada y sin gobierno, con lo que el producto agregado
se asigna a consumo e inversión,
Y = C + I
Se asume además que la tasa de ahorro (s), es decir, la fracción del producto destinada a
inversión, es exógena y constante:
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO: 6
I = S = sY
Asumimos también que la tasa de depreciación del capital (δ), es exógena y constante.
Luego, dados los supuestos previos, el capital evoluciona de acuerdo con la siguiente ley de
movimiento,
K̇t = sYt − δKt
De esta forma, lo que aumenta al capital en el tiempo es la tasa de ahorro neto de la
depreciación.
Finalmente, completamos la descripción del modelo asumiendo n + g + δ > 0 tal que
lleven a converger a un equilibrio positivo.
ENTONCES:
El modelo considera sólo un bien, prescinde del papel del Estado en la economı́a, ignora
las fluctuaciones del empleo, describe la producción a través de una función donde sólo
intervienen tres factores y las tasas de ahorro, depreciación, crecimiento de la población y
progreso tecnológico se suponen constantes. Es lógico pensar que éstos son defectos del modelo:
el modelo está prescindiendo de muchas caracterı́sticas obvias del mundo real. Sin embargo, el
modelo no pretende ser realista.
Refiriendo a una Economı́a abierta, podemos ampliar a Y = C + I +G+ (X −M), que, para el
caso de la economı́a cerrada, la balanza comercial puede verse implı́cita dentro de la inversión o
como margen externo puede pasarse restado y englobarse dentro del Producto.
1.1.4. DINÁMICA DE LA ECONOMÍA:
Sabemos que el trabajo y el conocimiento son exógenos, de modo que, para caracterizar el
comportamiento de la economı́a, debemos analizar la evolución del capital.
Corno la economı́a puede crecer a lo largo del tiempo, puede ser más útil centrarse en el
stock de capital por unidad de trabajo efectivo, k, que en el stock de capital no ajustado, K.
Dado k =
K
AL
, podemos descomponer la variación del capital por trabajo efectivo (k) de la
siguiente forma:
k̇ ≡ d(K/AL)
dt
=
K̇AL−K[ȦL+AL]
(AL)2
=
K̇
AL
− K
(AL)2
[AL̇+ ȦL] =
K̇
AL
− K
AL
Ȧ
A︸︷︷︸
g
− K
AL
L̇
L︸︷︷︸
n
Siendo K̇(t) = sY (t)− δK(t)
k̇(t) =
sY (t)− δK(t)
A(t)L(t)
− k(t)n− k(t)g
= s
Y (t)
A(t)L(t)
− δk(t)−nk(t)− gk(t)
Teniendo en cuenta que f (k) =
Y
AL
Obtenemos la ecuación central del modelo de
Solow-Swan:
1.1. ESTRUCTURA DEL MODELO: 7
k̇ = sf (k)− (n+ g + δ)k
La tasa de cambio del stock de capital por unidad de trabajo efectivo es la diferencia entre
dos términos.
sf (k) es la inversión realizada por unidad de trabajo efectivo: el producto por unidad de
trabajo efectivo es f (k) y la proporción de este producto que se destina a la inversión es s.
(n+ g + δ)k es la inversión de reposición, es decir, el volumen de inversión que es necesario
para mantener k constante.
Hay dos razones por las que es necesario un cierto nivel de inversión para evitar que k
disminuya. En primer lugar, el capital se deprecia, por lo que para evitar que el stock de
capital se reduzca es necesario reponerlo. Esto es lo que expresa el término δk.
Si no hay ahorro, el stock de capital por trabajo efectivo decrece, por la depreciación del
capital y en parte porque el crecimiento poblacional y el avance tecnológico hacen que el
trabajo efectivo crezca a una tasa n + g.
1.1.5. EL STADY STATE
La ecuación fundamental establece que la tasa de crecimiento del capital por trabajo
efectivo depende de la diferencia entre:
1. la inversión actual por unidad de trabajo efectivo, sf (k), y
2. la inversión necesaria para mantener estable su stock, (n+ g + δ)k.
Cuando la inversión realizada por unidad de trabajo efectivo es mayor que la inversión de
reposición, k aumenta; si es inferior, por el contrario, k disminuye. Cuando la inversión realizada
es igual a la de reposición, k es constante. Esto es:
Si k < k∗ ,sf (k) > (n+ g + δ)k, entonces k̇ > 0.
Económicamente, que un k0 < k∗ significa que la tasa de interés es alta, es decir, que los
retornos del capital son más altos de forma tal que f ′(k) > (n+ g + δ) siendo su pendiente
más empinada. En este punto los individuos comienzan a ahorrar más, acumulan más
capital. De esta forma, las fuerzas del mercado llevan a una disminución de la tasa de
retorno hasta alcanzar el punto donde sf (k) = (n + δ + g)k. Los rendimientos decrecientes
hacen que la tasa de retorno caiga.
Si k > k∗ ,sf (k) < (n+g +δ)k, entonces k̇ < 0. En este caso sucede lo contrario a lo planteado
anteriormente, f ′(k) < (n+ g + δ) produciéndose un incentivo al des-ahorro.
Si k = k∗, sf (k) = (n+ δ+ g)k, k = 0.
Solo hay un nivel de k > 0, que llamamos k∗, tal que k = 0 :
sf (k∗) = (n+ g + δ)k∗
Este es el nivel de capital, por trabajo efectivo, de steady state: k permanece constante en el nivel
k∗, y por lo tanto y = y∗.
Ello implica además un sendero de crecimiento balanceado en el que las variables, tanto
agregadas como por trabajador, crecen a una tasa constante. Resulta entonces un punto donde
1.2. PRINCIPALES RESULTADOS DEL MODELO: 8
las variables por trabajo efectivo crecen a tasa 0 y donde las variables agregadas crecen a tasa
constante pero positiva. Esto quiere decir que, no importa de que punto parta el sistema,
k convergerá a k∗. es decir, al estado estacionario dado que y = f (k)⇒ f (k∗) = y∗
k
k∗0
reposición, ahorro
sf(k)
(δ+n+ g)k
k̇ > 0
k̇ < 0
EJEMPLOS:
Aumento en n: Puede sufrir aumento debido, por ejemplo, a un aumento en la tasa de
fertilidad o por una oleada migratoria. En este caso, sucede que para un mismo nivel de k existe
más población entre quienes distribuirlo. La reposición del capital se vuelve mayor al retorno del
capital pasando de un punto 1 al 2.
k
k*0
reposición, ahorro
sf(k)
(δ+n+ g)k
k**
(δ+ ↑ n+ g)k
1
2
3
A mayor población, para una misma tasa de ahorro, va a estar consumiéndose parte
del capital. Si aumenta n dado un K constante, se agota parte del mismo tal que comienza
a disminuir. El aumento de la reposición induce un incentivo a desahorrar por parte de los
individuos, ese desahorro produce un aumento de la tasa de retorno del capital lo cual lleva a un
nuevo equilibrio de s.s con menor capital en la economı́a.
1.2. PRINCIPALES RESULTADOS DEL MODELO:
El modelo muestra que, sin importar las condiciones iniciales, la economı́a converge hacia
un sendero de crecimiento balanceado:
1.2. PRINCIPALES RESULTADOS DEL MODELO: 9
1. El trabajo y el conocimiento crecen (exógenamente) a tasas n y g.
A partir de lo demostrado en en punto 2) vemos que tanto el trabajo como el conocimiento
se desprenden de
K̇
K
de forma tal que se concluye que el trabajo crece a tasa n y el
conocimiento a tasa g. O También:
Dados niveles iniciales de capital (K0) > 0, trabajo (L0) > 0, y conocimiento (A0), el modelo
asume tasas de crecimiento constantes para el trabajo y el conocimiento:
L̇ = nL
Ȧ = gA
2. El capital agregado, que es equivalente a ALk, evoluciona a tasa n + g, pues el trabajo
efectivo, AL, crece a tasa n+ g, mientras que k = k∗ no cambia.
K = ALk⇒ K̇
K
=
˙(ALk)
K
=
˙(AL)k
K
+
=0∗1︷︸︸︷
ALk̇
K
=
ȦL
AL
=
ȦL
AL
+
AL̇
AL
=
Ȧ
A
+
L̇
L
= g +n = n+ g
*1 es ası́ dado que en el s.s k converge a k∗.
3. Dado que tanto el capital como el trabajo efectivo crecen a tasa n + g, los RCE implicanque el output agregado, Y , crecerá también a tasa n+ g.
Sabiendo que:
Y = F(K ;AL)
Y
AL
= F
( K
AL
;1
)
y = F(x)
Entonces:
Ẏ
Y
=
˙(ALy)
Y
=
˙(AL)y
Y
+
ALẏ
Y
=
ȦL · YAL
Y
=
(ȦL)
AL
=
AL̇
AL
+
ȦL
AL
=
L̇
L
+
Ȧ
A
= n+ g
Dado que el nivel de capital por unidad de trabajo efectivo es constante en el estado
estacionario, y y c también lo son y∗ = f (k∗) , c∗ = (1 − s)f (k∗) Las cantidades de capital,
producto y consumo por unidad de trabajo efectivo no crecen en el estado estacionario.
Esto implica que los niveles de estas variables, K, Y y C crecen, en el largo plazo, a la tasa
de crecimiento poblacional sumada a la tasa de progreso tecnológico, n + g.
C = (1− s)Y ⇒ Ċ
C
= ̂(1− s) + Ŷ = n+ g
4. Finalmente, el capital por trabajador, K/L, ası́ como el output por trabajador, Y /L,
crecerán a tasa g. ⇒ En definitiva, solo la tasa de progreso técnico (una variable
exógena) determina la tasa de crecimiento del ingreso por trabajador.
̂(K/L) = K̂ − L̂ = g
̂(Y /L) = Ŷ − L̂ = g
̂(C/L) = Ĉ − L̂ = g
1.3. EL IMPACTO DE UN CAMBIO EN LA TASA DE AHORRO: 10
Sin importar su punto de partida, el sistema converge al sendero de crecimiento balanceado,
donde todas las variables crecen a una tasa constante. En este sendero, el crecimiento del
producto per cápita es determinado solamente por el ratio de progreso tecnológico.
1.3. EL IMPACTO DE UN CAMBIO EN LA TASA DE AHORRO:
La tasa de ahorro es el parámetro del modelo de Solow-Swan que más probablemente esté
afectado por la polı́tica (ej., cambios en los gastos del gobierno o en los impuestos, o incluso
cambios en la polı́tica de endeudamiento público).
Para empezar con el análisis, consideremos una economı́a en el estado estacionario, y
supongamos un incremento de carácter permanente en s.
Por lo general, veremos las propiedades del modelo en los casos en que la economı́a no se
encuentra en el estado estacionario.
Para ello, vale recordar la ecuación principal que describe la dinámica de una economı́a a la
Solow:
k̇ = sf (k)− (n+ g + δ)k
Un incremento en s (digamos de s0 a s1 ) desplaza la curva de inversión hacia arriba, y de
esta manera k∗ aumenta (digamos de k∗0 a k
∗
1, tal como se muestra en la figura de la hoja
siguiente).
Como toda variable de estado en un modelo dinámico, k no se mueve inmediatamente al
nuevo k∗.
Al nivel previo
(
k∗0
)
, la inversión actual es mayor que la de equilibrio estable y entonces k
se vuelve positivo.
Ası́, k comienza a aumentar hasta alcanzar el nuevo valor
(
k∗1
)
para luego permanecer
constante.
En la nueva curva de inversión, la pendiente de la tasa de retorno es mayor, en ese punto la
inversión realizada es mayor que la de reposición (es decir, se están dedicando a la inversión más
1.3. EL IMPACTO DE UN CAMBIO EN LA TASA DE AHORRO: 11
recursos que los que son necesarios para mantener constante k) por lo tanto hay un incentivo
a la acumulación de capital hasta el nuevo estado estacionario. Esto explica que k comience a
aumentar y que siga haciéndolo hasta alcanzar el nuevo valor de k*, a partir del cual se mantiene
constante.
Por definición, s aumenta en t0 y permanece después constante. Como el aumento de s
provoca que la inversión efectiva supere a la inversión de reposición en una cuantı́a estrictamente
positiva, k̇ pasa de 0 a un valor estrictamente positivo. k aumenta paulatinamente desde el valor
original de k* hasta el nuevo valor y k̇ disminuye gradualmente hasta volver a cero.
1.3.1. EFECTO SOBRE EL PRODUCTO:
Analicemos el comportamiento del producto por trabajador, Y /L.
Como YL = Af (k), entonces, dado A (y dada su tasa de crecimiento, la cual asumimos no
cambió), YL cambiará dependiendo de la dinámica de f (k), como ası́ también de k.
Dado que k permanece constante en el nuevo estado estacionario, entonces cambios en s
tienen un efecto nivel, pero NO efecto crecimiento en el largo plazo. Cuando k es constante,
Y /L crece a una tasa g, la tasa de crecimiento de A. Cuando k comienza a aumentar, Y /L
también lo hace, tanto porque A como k aumentan, y su tasa de crecimiento es mayor que g.
Sin embargo, cuando k alcanza el nuevo valor de k∗, el crecimiento de Y /L pasa a depender
de nuevo exclusivamente del comportamiento de A, de manera que su tasa de crecimiento
vuelve a ser igual a g.
⇒ Solo cambios en la tasa de progreso tecnológico tienen efectos sobre el crecimiento de
largo plazo: un incremento permanente de la tasa de ahorro genera un incremento temporal
en el crecimiento de la ratio producción por trabajador: aunque k aumenta durante un
determinado perı́odo, finalmente llega a un punto en el que todo el ahorro adicional es
destinado en su totalidad a mantener ese mayor nivel de k.
1.4. EFECTOS SOBRE EL CONSUMO: 12
Muestran cómo reacciona la ratio producción por trabajador ante un incremento de la tasa
de ahorro. La tasa de crecimiento de esta ratio, que es inicialmente g, se eleva en t0 para
regresar después a su valor inicial.
Esto significa que la producción por trabajador comienza a crecer por encima de su valor
estacionario original y se sitúa finalmente sobre una senda paralela, pero por encima de la
original.
En definitiva, un cambio en la tasa de ahorro tiene un efecto nivel, pero no un efecto
crecimiento: altera la senda de crecimiento sostenido de la economı́a y, por tanto, la ratio
producción por trabajador, pero no afecta a su tasa de crecimiento en el nuevo estado
estacionario.
1.4. EFECTOS SOBRE EL CONSUMO:
Si introducimos a las economı́as domésticas en el modelo, el bienestar no depende ya
de la producción, sino del consumo: la inversión es simplemente un factor que determina la
producción futura. Analicemos ahora el comportamiento del consumo en términos de unidades
de trabajo efectivo, el cual está definido como:
c = (1− s)y = (1− s)f (k)
Como s varı́a de forma discontinua en t0 (impacto) y k no, el consumo por unidad de trabajo
efectivo se desplaza inicialmente hacia abajo. El consumo aumenta gradualmente a medida que k
aumenta y s permanece elevada.
No está claro que el consumo final sea mayor que el que existı́a antes del incremento de
s. El hecho de que el consumo eventualmente exceda su nivel previo al incremento en s no es
trivial. En el estado estacionario, el consumo es igual a:
Planteando la maximización: Maxsc
∗ = f (k∗(s))− sf (k∗(s))︸ ︷︷ ︸
=(n+g+δ)k∗ en s.s
1.4. EFECTOS SOBRE EL CONSUMO: 13
c∗ = f (k∗)− (n+ g + δ)k∗
1.4.1. CONSUMO Y REGLA DE ORO:
Sabemos que k∗ está determinado por s y el resto de los parámetros del modelo. Cuento con
una sola variable endógena (k) que depende a su vez de la evolución de s, por lo tanto derivo la
expresión anterior respecto de s.
Luego, tenemos que:
∂c∗
∂s
= f ′ (k∗)
∂k∗
∂s︸︷︷︸
>0
−(n+ g + δ) ∂k
∗
∂s︸︷︷︸
>0
Donde sabemos que ∂k
∗
∂s > 0 porque el k de estado estacionario aumenta dado el s.
∂c∗
∂s
= [f ′ (k∗)− (n+ g + δ)] ∂k
∗
∂s
f ′ (k∗) = (n+ g + δ) Caracterización del s.s según la regla de oro
intuitivamente, cuando k aumenta, la inversión (por unidad de trabajo efectiva) debe
aumentar en n+ g + δ multiplicado por la variación de k si queremos mantener dicho aumento.
Luego, el efecto de largo plazo sobre el consumo dependerá de si el producto marginal
del capital por unidad de trabajo efectivo, f ′ (k∗), es mayor o menor a la inversión de equilibrio
estable, n+ g + δ :
1. Si f ′ (k∗) > n+ g + δ, entonces el consumo aumentará.
2. Si f ′ (k∗) < n+g+δ, entonces el consumo caerá. El producto adicional que se obtiene gracias
al aumento de k no resulta suficiente para mantener el nuevo stock de capital.
3. Si son iguales, el efecto de un cambio marginal en s será nulo.
En el caso 3, el consumo estará en su máximo nivel para todos los estados estacionarios
posibles. Al valor de k∗, donde f ′ (k∗) = n+ g +δ, lo llamamos nivel de capital de la regla de oro.
1.4. EFECTOS SOBRE EL CONSUMO: 14
CASO 1
En primer instancia, aumentos en s provocan una caı́da del consumo. s y k∗ son bajos, f ′ (k∗)es mayor que n + g + δ y un aumento de s eleva el consumo en el largo plazo. Partiendo de un k
bajo, la tasa de retorno es alta produciendo incentivo a la inversión/acumulación de capital y en
el largo plazo se da un aumento del consumo. Para niveles de k̇ > 0.
CASO 2
En este caso s y, por tanto, k∗ son elevados y f ′ (k∗) es menor que n + g + δ, de modo que el
crecimiento de la tasa de ahorro provoca una disminución en el consumo incluso sobre la nueva
senda de crecimiento.
CASO 3: LA REGLA DE ORO
Para el gráfico de la izquierda el valor de s provoca que f ′ (k∗) sea exactamente igual a
n+g +δ (es decir, las curvas f (k) y (n+g +δ)k son paralelas en k = k∗). En este caso, una variación
1.4. EFECTOS SOBRE EL CONSUMO: 15
marginal en s no afecta al consumo en el largo plazo y el consumo alcanza su máximo nivel
posible en algún punto intermedio entre las dos sendas de crecimiento. Este valor de k∗ recibe el
nombre de la regla de oro del stock de capital.
Para el gráfico de la derecha, Esta figura muestra tres valores para el capital en potenciales
estados estacionarios:
Solo k∗g es el único que maximiza el consumo.
Tanto k∗I como k
∗
h implican menor consumo en el estado estacionario.
1.4.2. CONCLUSIÓN:
El concepto de regla de oro refiere al nivel de capital por trabajador que permite maximizar
el nivel de consumo por trabajador de estado estacionario. Intuitivamente, la regla de oro puede
interpretarse como el resultado obtenido de proveer la misma cantidad de consumo a cada
miembro familiar de cada generacin, entonces el mÁximo nivel de consumo per cápita que podrá
obtenerse será coro .
En el ss de golden rule el consumo depende del producto marginal del capital por trabajador
efectivo y de la inversión necesaria para mantener el stock de capital constante: f ′(k) = (n+ g + δ)
donde el efecto de un cambio marginal en s será nulo y por lo tanto el consumo estará en su nivel
máximo para todos los ss posibles.
Recuerden que en el modelo de Solow-Swan el capital por trabajador de la regla de oro no
debe necesariamente coincidir con el nivel de capital de estado estacionario. El nivel de capital
por trabajador de estado estacionario es aquel de equilibrio de largo plazo del sistema, donde
dicha variable crece a una tasa constante. El nivel de capital por trabajador correspondiente a la
regla de oro es aquel que, adicionalmente, permite maximizar el consumo de estado estacionario.
De esta diferencia justamente nace el concepto de ineficiencia dinámica. Obviamente, cada
variable tiene su nivel de regla de oro asociado, a saber: coro , koro y soro. .
1.5. LA VELOCIDAD DE CONVERGENCIA: 16
1.5. LA VELOCIDAD DE CONVERGENCIA:
En la práctica, no solo nos interesan los efectos de un shock en particular, sino además la
velocidad en la que esos efectos ocurren.
Al utilizar modelos dinámicos usualmente verificamos la existencia de un estado
estacionario (EE), su unicidad, ası́ como su estabilidad (tanto global como local).
Si el sistema es ligeramente movido de su posición original, nos interesa saber si volverá, si
se aproximará a otro EE o si simplemente divergerá.
Y, en el caso que converja, cuál serı́a la velocidad de ajuste/convergencia?
Esto es sumamente relevante en varios campos. En teorı́a del crecimiento, en particular,
nos interesa la velocidad de convergencia pues nos ayuda a hallar respuestas al problema
de la convergencia entre paı́ses.
Para responder este tipo de preguntas, utilizaremos aproximaciones en torno al equilibrio
de largo plazo, y nos concentraremos en el comportamiento de k. Nuestro objetivo es entonces
determinar cuán rápido se aproxima k hacia k∗.
Recordemos k̇ depende de k, que el comportamiento de k está determinado solamente por
k. Luego, podemos escribir k = k̇(k).
Cuando k es igual a k∗, k es cero. Una aproximación de Taylor de primer orden sobre k̇(k),
alrededor de k = k∗, implica:
f (x) ≈ f (x0) + f ′(x) |x0 · (x − x0)
k̇(kt) ≈ k̇(k∗t )︸︷︷︸
=0por s.s
+
∂k̇(kt)
∂k
· (kt − k∗)
Es decir, k̇ es aproximadamente igual al producto de la diferencia entre k y k∗ y la derivada
de k̇ con respecto a k en k = k∗.
k̇(kt) ≃
[
∂k̇(kt)
∂k
]
k=k∗
[kt − k∗]
Donde utilizamos el hecho de que k̇ (k∗) = 0 y notemos que k se mueve hacia k∗ en un
entorno proporcional a (k − k∗) .
Definamos λ = − ∂k̇(k)
∂k
∣∣∣∣∣∣
k=k∗
. Entonces, tenemos que:
k̇(t) ≃ −λ [k(t)− k∗] .
Sabemos que k > 0 cuando k < k∗, y viceversa. Por lo tanto, debemos tener λ > 0
Como resultado, k se mueve hacia k∗, en la vecindad de este último, a una velocidad
aproximadamente proporcional a su distancia de k∗. Esto es, la tasa de crecimiento de
k(t)− k∗ es aproximadamente constante e igual a −λ. Esto implica que,
Ẋ︷ ︸︸ ︷
(k(t)− k∗) = −λ
X︷ ︸︸ ︷
[k(t)− k∗]
⇒ Ẋ = −λX
⇒ ẋ
x︸︷︷︸ = −λ
1.5. LA VELOCIDAD DE CONVERGENCIA: 17
RECORDAR:
L̇
L
= n→ L(t) = L(0) · ent
⇒ X(t) = X(0) · e−λτ (1.1)
⇒
(
k(t) − k∗
)
=
[
k(t) − k∗
]
· e−λt
⇒ k(t) ≃ k∗ + e−λt ·
[
k(t) − k∗
]
(1.2)
Notemos que la dinámica del comportamiento de k se sigue del hecho de que el sistema es
estable ( k converge a k∗ ) y que estamos linealizando la ecuación para k̇ alrededor de k = k∗.
De (1.1):
ln
 x(t)x(0))
 = −λt
⇒ t =
ln
(
x(t)/x(0)
)
−λ
⇒ t
ln
(
k(t)−k∗
k(0)−k∗
)
−λ
Ahora, para encontrar el valor de λ procedemos a diferenciar la ecuación clave del modelo
de Solow con respecto a k, evaluándola en k = k∗ :
Sabiendo que:
k̇ = Sf (k∗)− [n+ g + δ]k∗ = 0 (1.3)
Despejamos s obteniendo:
s =
[n+ g + s]k∗
f (k∗)
(1.4)
Si λ ≡ −
[
∂k̇(k)
∂k
]
k=k∗
= − [sf ′ (k∗)− (n+ g + δ)] Reemplazando (6.3) en esta última expresión:
⇒−
[
[n+ g + δ]k∗ · f ′ (k∗)
f (k∗)
− (n+ g + δ)
]
⇒ (n+ g + δ) ·
[
−k∗f ′ (k∗)
f (k∗)
+ 1
]
Dado que, en el steady state, es cierto que s = (n+g+δ)k∗/f (k∗), y definiendo a la elasticidad
capital-producto evaluada en k∗ como
k∗f ′ (k∗)
f (k∗)
=
∂f ′ (k∗)
∂k∗
· k
∗
f (k∗)
≡ αk (k∗) , tenemos finalmente la
siguiente expresión:
⇒ λ = [1−αk (k∗)] (n+ g + δ) (1.5)
Siendo la tasa a la que k converge hacia su valor estacionario. Además, es posible demostrar
que y se aproxima a y∗ a la misma tasa a la que k tiende a k∗. Es decir, que y(t)−y∗ ≃ e−λ·t [y(0)− y∗]
1.5. LA VELOCIDAD DE CONVERGENCIA: 18
1.5.1. CONCLUSIÓN: SOLOW Y LA CONVERGENCIA
Podemos ahora calibrar λ para evaluar la velocidad de convergencia entre paı́ses.
Por ejemplo, n+g+δ es alrededor de un 6% anual (en paı́ses desarrollados) y la participación
del capital es cercana a un tercio.
De este modo, la tasa de crecimiento de k − k∗ serı́a del orden del 4% anual, lo que implica
que a una economı́a con las caracterı́sticas descritas le tomarı́a unos 18 años alcanzar la
mitad de su nivel de estado estacionario.
Los valores empı́ricos de λ arrojan conclusiones referidas a la convergencia que no se
coinciden con la realidad de los paı́ses. Esto nos lleva a la principal conclusión de Solow: de
por si solo, la acumulación de capital fı́sico no puede dar cuenta de una parte significativa del
crecimiento económico mundial, ni explicar las diferencias de producto entre paı́ses.
EJEMPLO:
1. Si la brecha es = 1/2 (remanente de 1/2)
⇒ t = − ln(1/2)
λ
= −
≈0.7︷ ︸︸ ︷
ln(1)− ln(2)
0.04
≈ 18 AÑOS
2. Para cubrir 3/4 de la Brecha ( remanente de 1/4)
⇒ t = ln(4)
0.04
≈ 35 AÑOS
Una conclusión rápida respecto al modelo de Solow podrı́a ser la siguiente:
Si los retornos al capital en el mercado explican aproximadamente sus contribuciones al
producto, entonces la acumulación de capital fı́sico no puede por sı́ sola dar cuenta de
una parte significativa del crecimiento económico mundial, ni explicar las diferencias de
producto entre paı́ses.
1.6. FUENTES DEL CRECIMIENTO: 19
En el modelo de Solow, la producción por trabajador (Y/L) tiene 2 posibles causas de
variación:
Las diferencias en el stock de capital por trabajador (K/L) y
Las diferencias en la eficacia del trabajo (A).
El tratamiento que hace Solow de la eficacia del trabajo es muyincompleto. El modelo
presume de exógeno en el crecimiento de la eficacia del trabajo, no describe qué es. Una
interpretación natural de esta variable consiste en identificarla con el nivel de conocimientos
abstractos. Hay otras interpretaciones posibles de A: podrı́a ser la educación y las cualificaciones
de la fuerza de trabajo, el grado de definición de los derechos de propiedad, la calidad de las
infraestructuras, las actitudes culturales en relación a la iniciativa empresarial y el trabajo y
demás factores, o podrı́a consistir en una combinación de diversas fuerzas. En todo caso, por cada
posible interpretación que propusiéramos, tendrı́amos que analizar de qué modo afecta al nivel
de producción, cómo evoluciona en el tiempo y por qué difiere en distintas partes del mundo.
1.6. FUENTES DEL CRECIMIENTO:
En el modelo de Solow, el crecimiento de largo plazo de (Y /L) depende solo del progreso
tecnológico (A). En el corto plazo, sin embargo, depende además de K/L.
Si descomponemos el crecimiento del producto en el tiempo, tenemos:
Ẏ =
∂Y
∂K
K̇ +
∂Y
∂L
L̇+
∂Y
∂A
Ȧ
Dividiendo ambos lados por Y y reordenando, obtenemos
Ẏ
Y
=
(
∂Y
∂K
K
Y
)
K̇
K
+
(
∂Y
∂L
L
Y
)
L̇
L
+
(
∂Y
∂A
A
Y
)
Ȧ
A
= αK
K̇
K
+αL
L̇
L
+R
Donde αK representa la elasticidad de la producción con respecto al capital y αL es la
elasticidad de la producción con respecto al trabajo en el perı́odo t, y R denota el “Residuo de
Solow´´.
1.7. EL RESIDUO DE SOLOW
Usando el hecho que αK +αL = 1, definiendo gy ≡ Ẏ /Y − L̇/L y gk ≡ K̇/K − L̇/L, obtenemos la
tasa de crecimiento de la producción por trabajador:
Ẏ (t)
Y (t)
− L̇(t)
L(t)
= αK (t)
[
K̇(t)
K(t)
− L̇(t)
L(t)
]
+R(t)
gy = αkgk +R
Las tasas de crecimiento de Y, K y L son fáciles de estimar a partir de esta expresión.
Por otro lado, sabemos que si el capital recibe como remuneración su productividad
marginal, podemos calcular αk a partir de los datos sobre la participación del capital en
la renta total.
1.8. PRINCIPALES LIMITACIONES 20
R(t), por su parte, puede estimarse como el residuo de la expresión que nos proporciona un
modo de descomponer el crecimiento de la producción por trabajador en la contribución
del crecimiento del capital por trabajador y un término remanente.
En steady state, gy = gk. Luego, obtenemos una simple expresión para el residuo de Solow
en el largo plazo:
R = (1−αK )gy
El residuo de Solow es interpretado a veces como una medida de la contribución del progreso técnico
al crecimiento de la producción; sin embargo, como muestra el desarrollo que hemos realizado, lo
que en realidad refleja es la contribución de todas las restantes fuentes del crecimiento económico a
excepción de la que hace el capital a través de su rendimiento privado.
Por ejemplo, para la Argentina, si gy de posguerra ha sido del 1,5% promedio aprox., y la
participación del capital es algo ası́ como el 55%, el residuo de Solow podrı́a aproximarse en
0,7%.
1.8. PRINCIPALES LIMITACIONES
1. Ahorro exógeno; i.e., no permite analizar efectos de cambios de polı́tica sobre el bienestar
(más allá de la conocida regla de oro).
2. Mercados competitivos, rendimientos decrecientes de los factores; no hay externalidades ni
fallas de mercado o bienes no rivales (excepto la tecnologı́a claro).
3. No hay capital humano ni recursos naturales, tampoco progreso técnico endógeno, ni
crecimiento endógeno de la población o instituciones (se excluyen problemas de political
economy ).
4. Agente representativo (por el lado de la familia) y función de producción agregada (por
parte de la firma).
5. No hay dinero ni efecto persistente de la volatilidad de los ciclos (ej., se consideran como
exógenos los efectos de la inflación).
1.9. MODELO AMPLIADO CON CAPITAL HUMANO:
Consideremos la función de producción que asumimos al inicio, ampliada con capital
humano (H) :
Y = F(K,H,AL)
Manteniendo el supuesto de RCE, y dividiendo por AL, obtenemos nuevamente la función
de producción en forma intensiva:
F
( K
AL
,
H
AL
,1
)
=
1
AL
F(K,H,AL)⇒ f (k,h) = y
donde h ≡H/AL
Operando tal como hicimos antes con el modelo estándar, hallamos una expresión para el
residuo del modelo con capital humano:
1.9. MODELO AMPLIADO CON CAPITAL HUMANO: 21
Rh = (1−αK −αH )gy < (1−αK )gy = R
donde αH es la contribución del capital humano al ingreso agregado.
La desigualdad de arriba muestra que el modelo con capital humano deja una menor
porción sin explicar comparado con el modelo de Solow estándar (Rh < R).
Mankiw, Romer y Weil (1992) (MRW) muestran, utilizando medidas de educación, que un
modelo de Solow ampliado con capital humano contribuye a explicar mejor las diferencias
de ingreso entre paı́ses.
Una vez que las diferencias en tasas de ahorro, crecimiento poblacional y capital humano
son tomadas en cuenta, muestran convergencia condicional.
Recordemos que convergencia absoluta se refiere al hecho de que los papises con menor
ingreso per capita debieran converger hacia aquellos paı́ses con mayor ingreso per capita
(de acuerdo con el modelo estándar de Solow, cuanto más lejos de k∗, mayor la velocidad de
convergencia y por lo tanto mayor la tasa de crecimiento).
El principal aporte del trabajo de MRW es explicar la divergencia entre paı́ses, manteniendo
los supuestos de rendimientos decrecientes (lo cual se diferencia de otras teorı́as que
veremos más adelante en el curso).
Capı́tulo 2
MODELO HARROD-DOMAR: Modelo
Keynesiano de crecimiento:
Variables macro→ agregados. - Economı́a que produce 1 solo bien (interpretación) -
2.1. SUPUESTOS:
1. La tasa de ahorro es determinada exógenamente, representando una proporción fija del
ingreso:
S ≡ sY (2.1)
donde s = proporción media y marginal del ahorro.
2. La fuerza laboral, L, crece a una tasa constante y exógena, n: La exogeneidad implica que
no existe influencia de de otros componentes de la economı́a sobre la tasa de crecimiento
de la fuerza de trabajo.
Lt
Lt−1
= ent aplicando logaritmo ⇒ ln
(
Lt
Lt−1
)
= nt
derivado respecto de t ⇒
∂
(
Lt
Lt−1
)
∂t
= L̇ = n
3. El stock de capital no se deprecia y no hay progreso tecnológico: Â = g = δ = 0 En esta
econom ??a no garantizándonos que la tasa de inversión será igual en todo perı́odo a la
acumulación de capital:
I = k̇ − δ︸︷︷︸
=0
⇒⇕ I = k̇
kt+1 = kt · (1− δ) + I =⇒ I = kt+1 − kt · (1− δ)
4. Existe una única combinación de capital, K, y trabajo, L, para producir una determinada
cantidad de producto, Y .
5. Precios relativos constantes para paliar las dificultades de la agregación.
22
2.1. SUPUESTOS: 23
2.1.1. SOBRE LA FUNCIÓN DE PRODUCCIÓN: Supuesto 4
La función de producción de Leontief, o de coeficientes/proporciones fijos, representa un
caso particular y lı́mite de la función de elasticidad de sustitución constante (CES).
Una implicancia vital de la misma es que no existe sustituibilidad entre los factores
productivos. Más aún, si Ku , Lv entonces hay desempleo de factores.
Consideraremos que los factores productivos serán una proporción fija del producto, con
requerimientos unitarios de producción v para el capital y u para el trabajo.
La función de producción que representa formalmente esta caracterı́stica particular del
proceso productivo es:
Y = F(K,L) = mı́n
{K
v
;
L
u
}
(2.2)
Cuando
k
v
=
L
u
Me encuentro en el vértice.
En particular,
1. Relación trabajo-producto: Si cuento con menos L que K, entonces Kv >
L
u entonces se
usan vuL unidades de capital, permaneciendo el resto desempleada. Esto es:
Y =
L
u
⇒ L
Y
= u
⇒ L = Yu⇒ lnL = lny + lnu
L̇ = Ẏ ⇒ n ⩾ Ẏ
COROLARIO: La tasa de crecimiento de la economı́a va a estar limitada por la tasa de
crecimiento de la fuerza de trabajo.
Si todo el trabajo se encuentra empleado, el flujo de output máximo es
L
u
, cualquiera
sea el stock de capital.
Como L está determinado exógenamente, la relación marginal trabajo-producto será
constante y equivalente a u. De esta forma, L̇ funciona como una cota a la tasa a la quepuede crecer Ẏ , entonces, tasa de crecimiento de Y no podrá exceder permanentemente
n(Ŷ < n).
2. Relación capital-producto: Relación entre el stock de capital y el flujo de producción.
Si cuento con menos K y más L, entonces Kv <
L
u y se usan
u
vK unidades de trabajo,
permaneciendo el resto desempleada. Una fracción de lo que crezca lo voy a conseguir
de K.
Lo relevante es como cambia el capital ante cambios en la producción, entonces
teniendo K = vY
Y =
K
v
K̇ = vẎ
K
Y
= v
2.2. EQUILIBRIO: 24
La variación absoluta del capital va a ser una función lineal de la variación absoluta
del producto. Los supuestos sobre la pendiente v necesariamente condicionarán los
resultados que obtengamos del sistema. La relación marginal capital-producto será
constante y equivalente a v.
2.1.2. IMPLICANCIAS PARA K:
Una situación particular podrı́a darse cuando la inversión es constante.
Ejemplo: trampa de liquidez 6
La inversión es independiente del ciclo económico. Esto es lo mismo que decir que el precio
de la inversión es constante.
En mercados competitivos, la tasa de beneficio se iguala al costo marginal y la productividad
marginal del factor, es decir:
r = r̄ = PmgK =
K̇
Ẏ
= v (2.3)
Se pueden distinguir dos interpretaciones sobre la relación marginal capital-producto:
1. El Incremento Efectivo en el stock de capital en relación al incremento efectivo de la
producción. v, entonces, representa el aumento que efectivamente se haya realizado en
el capital como proporción del incremento efectivamente ocurrido en el producto. En
palabras de Harrod: tasa de crecimiento geométrico del ingreso (o producto) como una
fracción del nivel existente.
2. El Incremento Deseado por los empresarios, hace referencia al aumento del stock de
capital requerido por los empresarios para satisfacer sus expectativas, vr . Siguiendo a
Harrod: Aquella que deja satisfechas a las partes tal que han producido exactamente la
cantidad correcta.
2.2. EQUILIBRIO:
El único equilibrio se da en el mercado de bienes teniendo en cuenta que L se determina de
forma exógena. Asumimos economı́a cerrada sin participación del sector público.
Condición de cierre: I = S
Dados los supuestos: k̇ = I = sY
Del supuesto sobre la función de producción, sabemos que Y = Kv , ergo:
Y v = K → Ẏ v = K̇
Reemplazando K̇ y reordenando obtenemos la ecuación fundamental del crecimiento:
Ẏ v = I = sY
sY = Ẏ v→ g(Y ) ≡ Ẏ
Y
=
s
v
(2.4)
Para que haya equilibrio ex post, capital y producto deben crecer a la misma tasa constante
s
v
2.2. EQUILIBRIO: 25
A su vez, conociendo la variación del stock de capital K̇ y dados nuestros supuestos:
K̇ = I = S = sY
Sustituyendo Y = Kv obtenemos:
K̇ =
s
v
K → g(K) ≡ K̇
K
=
s
v
(2.5)
2.2.1. ACELERADOR KEYNESIANO:
El equilibrio del mercado de bienes asegura que ahorro e inversión se igualen ex-post, pero
nada garantiza que estos sean idénticos ex-ante.
La forma de vincular ahorro ex-ante a la inversión ex-post es mediante una función de
inversión independiente, el acelerador keynesiano.
En este caso, la independencia deriva del hecho de que no esté incluı́da en ninguna
consideración de optimalidad asociada al equilibrio y dependa en cambio de las
propensiones marginales al ahorro de la economı́a.
It = v (Yt −Yt−1)
Los empresarios decidiran un nivel de inversión ex-ante y observarán los resultados ex-post.
ANIMAL SPIRIT:
Notar que de ∆Y podemos deducir el signo de It
Yt −Yt−1 = ∆Y > 0→ It > 0
Si Yt < Yt−1⇒ It < 0 Desinvierten.
Lo que observan ex-post, o lo que esperan que pase, va a llevar a los empresarios a definir la
magnitud de inversión que realizarán.
Recordamos que en equilibrio, la inversión será una proporción fija del producto, por lo
tanto I = K̇ = sY .
(De Caro Isósceles): La relación marginal capital-producto v puede expresarse como:
v =
K̇
Ẏ
=
sY0
Ẏ
a secas, el incremento efectivo en el stock de capital en relación al incremento efectivo de la
producción, o como
vr =
K̇
Ẏ
=
sY0
Ẏ E
el incremento deseado por los empresarios, es decir, el aumento del stock de capital requerido
por los empresarios para satisfacer sus expectativas.
En función de estas definiciones, tendremos dos tasas de crecimiento. La tasa de crecimiento
efectiva,
GA =
Ẏ
Y
=
s
v
2.3. LA REGLA DE ORO EN HARROD: 26
que será aquella que mantenga el equilibrio en el mercado de bienes. Y la tasa de crecimiento
garantizada,
GW =
Ẏ
Y
=
s
vr
que será aquella que dependerá de las expectativas de crecimiento de los empresarios.
El equilibrio, entonces, será aquel en el cual Gav = Gwvr .
En este punto, G (Yt)
E = sv ⇒ G (Yt+1) = G (Yt)
E , es decir, la tasa de crecimiento esperada es
exactamente igual a la condición de equilibrio del mercado de bienes, por lo que los empresarios
habrán producido exactamente la cantidad necesaria para el output efectivo. Como ”le pegaron”
en el perı́odo t, tendrán exactamente las mismas expectativas en t + 1, resultando en un sendero
de crecimiento sostenido a tasa Sv .
2.3. LA REGLA DE ORO EN HARROD:
La única forma en la que la tasa garantizada se iguala a la efectiva es si el ratio de producción
s
v
= Ŷ = K̂ deseado es idéntico al efectivo. Es decir:
GA = Gw⇐⇒
s
v
=
s
vr
Esto es: sv =
s
vr
= n
Ahora, ¿Esta igualdad implica la existencia de un sendero de crecimiento balanceado?
Recordemos que la disponibilidad de mano de obra implica un lı́mite al crecimiento de la
economı́a: g(Y ) ≤ n.
Es decir, existe un lı́mite biológico al crecimiento económico determinado por la tasa
natural de crecimiento g (Yn).
s
v
= g(Y ) ≤ n
(De Caro Isósceles): En cuanto al pleno empleo, si se parte de una economı́a de pleno
empleo y queremos mantenerlo, la tasa de crecimiento de equllibrio para el crecimiento
sostenido equilibrado deberá ser igual a n
(
s
v =
s
vr
= n
)
. Dicho fenómeno fue caracterizado por
Joan Robinson como ”la edad de oro”, refiriéndose a la muy baja probabilidad de que esto se
cumpla y ocurra en el mundo real.
2.3.1. DINÁMICAS:
A su vez,
GA > GW ;vr > v : G (Yt)
E >
s
v
⇒ G (Yt+1) > G (Yt)E
GA = GW ;vr = v : G (Yt)
E =
s
v
⇒ G (Yt+1) = G (Yt)E
GA < GW ;vr < v : G (Yt)
E <
s
v
⇒ G (Yt+1) < G (Yt)E
2.4. PROBLEMAS DE HARROD: 27
La lógica detrás de estas dinámicas será que un desvı́o del equilibrio tendrá un efecto
acumulativo. Una vez que nos salgamos del equilibrio, se profundizará cada vez más la
divergencia.
Si la tasa esperada de crecimiento es mayor que la de equilibrio del mercado de bienes, las
expectativas mismas llevarán a un nivel de output mayor al esperado originalmente. En este
punto, los empresarios habrán invertido demasiado poco para el output efectivo, por lo que en el
perı́odo siguiente nuevamente tendrán expectativas de crecimiento superiores a las del equilibrio
de mercado de bienes, volviendo a iniciar el ciclo y divergiendo hacia un crecimiento explosivo.
Lo contrario ocurrirá en un caso donde la tasa sea menor.
2.4. PROBLEMAS DE HARROD:
1. INEXISTENCIA: no hay ninguna garantı́a de que la economı́a se encuentre sobre el sendero
de crecimiento balanceado. Para estar en la Edad de Oro de Harrod necesitamos que se
genere una igualdad entre la tasa de inversión efectiva, la tasa de inversión deseada y la
tasa de crecimiento demográfico. Dado que s,vr ,v y n se determinan de forma exógena, la
condición de equilibrio para un crecimiento sostenido con pleno empleo se alcanzará con
una probabilidad de casi cero. Nada garantiza que nuestra economı́a llegue a un equilibrio
en su crecimiento.
2. INESTABILIDAD: Supongamos la feliz coincidencia que nos deja en el sendero de
crecimiento balanceado donde
GA = GW = n ≡
s
v
=
s
vr
= n
Si la economı́a sufre un shock que la corre de este sendero, es evidente que no hay ninguna
dinámica dentro del modelo que garantice el retorno al equilibrio. Un desvı́o entre tasa
efectiva de crecimiento y tasa garantizada muestra un efecto acumulativo. Cualquier punto
fuera del equilibrio denota una tendenciadivergente, Esto se conoce como filo de la navaja,
se dice que el equilibrio de Harrod es inestable y no hay garantı́a de igualdad entre tasa
efectiva y garantizada.
Capı́tulo 3
MODELO RAMSEY-CASS-KOOPMANS:
Enfoque neoclásico con ahorro endógeno
Solow al no permitir a los consumidores comportarse de manera óptima (eligiendo de
acuerdo con sus preferencias y restricciones), aquel modelo no nos permitı́a discutir como
afectan los incentivos en la economı́a.
Necesitamos que el sendero de consumo, y por lo tanto de la tasa de ahorro, sea determinado
por agentes que optimizan (hogares y firmas) y que interactúan en mercados, los cuales luego
asumiremos competitivos.
Introduciremos familias que viven hasta el infinito, y que eligen consumo y ahorro de modo de
maximizar su utilidad sujetos a una RP intertemporal.
Como simplificación, introducimos un solo agente que planifica con horizonte de vida
infinito en tiempo contı́nuo.
Sumado a los supuestos de (i) mercados competitivos, (ii) rendimientos constantes a escala
y (iii) agentes homogéneos (idénticos), el supuesto de horizonte infinito implica que la
asignación de recursos generada por una economı́a descentralizada (con mercados) será la
misma que aquella de un solo individuo o que aquella con un planificador que maximiza la
utilidad del agente representativo.
Las familias son dueñas de los factores productivos. Alquilan todo el capital que poseen a
las empresas.
Las empresas alquilan capital a las familias y contratan trabajadores.
Las familias (economı́as domésticas) son iguales entre sı́. Viven al infinito.
3.1. EL MODELO:
3.1.1. ECONOMÍAS DOMÉSTICAS:
Supondremos que no existe depreciación. En cada perı́odo, las economı́as domésticas
distribuyen su renta (procedente del trabajo y del capital que ofrecen y, potencialmente, de los
beneficios que reciben de las empresas) entre el consumo y el ahorro con el objetivo de maximizar
su utilidad a lo largo del ciclo vital. El problema del agente se resume a maximizar su utilidad:
U =
∫ ∞
0
u(c(t))e−ρtdt (3.1)
donde u(·) es la función de utilidad instantánea (asumida no-negativa y cóncava), c(t) es el
consumo per capita, y ρ es la tasa de preferencia temporal (tasa de descuento), -cuanto mayor
es, menor es el valor que la economı́a doméstica otorga al consumo futuro en relación con el
28
3.1. EL MODELO: 29
consumo presente- constante y estrictamente positiva, sujeto a
dk
dt
= f (k(t))− c(t)− δk(t), (3.2)
donde k es el stock de capital, f (k) una función de producción con RCE, ambos en términos
per capita, y δ la tasa de depreciación.
k es una variable de estado, determinada por ’historia pasada’ (no puede cambiar
discretamente, excepto por un shock directo sobre ella), en tanto c es una variable de
control ( ’jumper’) que puede tomar cualquier valor en todo momento.
HAMILTONIANO:
Para resolver el problema procedemos por control óptimo definiendo el Hamiltoniano en
valor presente:
H = u(c(t))e−ρt +λ(t)[f (k(t))− c(t)− δk(t)]
Donde la variable λ es el multiplicador estándar, llamada también aquı́ variable de co-estado
asociada a la variable de estado k y trae a valor presente
El valor de λ puede ser interpretado como el valor marginal al momento 0 de una unidad
adicional de capital al momento t.
Las condiciones de primer orden (CPO) son:
∂H
∂c
= uc (c (t))e
−ρt −λ = 0 (3.3)
λ̇ = −∂H
∂k
= −λ [f ′(k)− δ] (3.4)
∂H
∂λ
= k̇ = f (k)− c − δk (3.5)
Donde uc ≡ u′(c(t)), λ̇ ≡ dλ/dt y k̇ ≡ dk/dt.
Una alternativa diferente dentro del control óptimo (ver Dorfman, 1969), es definir
V (t) = λ(t)k(t)
Como el valor del stock de capital en cada punto del tiempo t, con λ como el ”precio
sombra” (valor que presenta un bien determinado, teniendo en cuenta que no existe un precio
definido de dicho bien en el mercado. Aunque no presente un precio concreto, este se le atribuye
en función del coste que tendrı́a dicho bien en un mercado de competencia perfecta, incluyendo
los costes asociados.) de una unidad de capital. Diferenciando esta expresión respecto del tiempo
nos da:
V̇ (t) = λ(t)k̇(t) + λ̇(t)k(t) (3.6)
La expresión (3.6) nos dice que, en cada punto del tiempo, el valor del stock de capital
cambia ya sea por los cambios en el stock fı́sico o por los cambios en el precio sombra de cada
unidad.
Ramsey: Maximización de la utilidad eligiendo el nivel de c que da directamente utilidad,
por lo tanto el problema de decisión se vuelve endógeno. ¿Cuál es el valor de k en el tiempo que
le asigna la maximización de c en el tiempo? esto serı́a que, para cada punto en el tiempo, el plan
3.1. EL MODELO: 30
óptimo debe maximizar la suma de: (i) la utilidad directa provista por el consumo y ( ii ) la tasa
a la cual el valor del capital está cambiando. Esto es lo que se expresa mediante el hamiltoniano.
CONDICIONES DE OPTIMALIDAD
(3.4) Puede deducirse de esta otra forma de control óptimo.
λ̇ = λ [f ′(k)− δ]
λ̇
λ
= f ′(k)− δ (3.7)
Por propia definición de de consumo Umgc > 0 y Ucc < 0
(3.3) Caracteriza la disposición a pagar de los agentes (λ : disposición a pagar por 1 unidad
de consumo). Diferenciando con respecto de t, tenemos:
ucc (c (t))e
−ρt = λ (3.8)
Por regla de la cadena,
ucc (c (t)) · ċ (t) · e−ρt +uc (c (t)) · (−ρ) · e−ρt = λ̇
Dividiendo a ambos lados por (6.2) obtenemos:
1
uc (c (t))e−ρt
·
[
ucc (c (t)) · ċ (t) · e−ρt +uc (c (t)) · (−ρ) · e−ρt
]
=
λ̇
λ
De esta forma, lo que se encuentra a la izquierda del igual nos lleva a (3.7)
ucc (c (t)) · ċ (t) ·���e−ρt
uc (c (t))��
�e−ρt
−�
���
�uc (c (t)) · ρ ·���e−ρt
���
��uc (c (t))��
�e−ρt
=
−��λ [f ′(k)− δ]
��λ
ucc (c (t)) · c · ċ (t)
uc (c (t)) · c
− ρ = −f ′(k) + δ
ucc (c (t)) · ċ (t)
uc (c (t))
·
˙(c
c
)
= −f ′(k) + δ+ ρ
Multiplicando a izquierda y derecha por (−1) obtenemos la Condición de Euler que expresa
los deseos del agente por asignar los bienes entre ct y ct+1, define lo intertemporal:
˙(c
c
)
=
f ′(k)− δ − ρ
−
(
ucc (c (t)) · c (t)
uc (c (t))
)
︸ ︷︷ ︸
+
(3.9)
DENOMINADOR:
La expresión que se encuentra en el denominador, [−cucc/uc] refleja la curvatura
(concavidad) de la función de utilidad y representa la elasticidad de la utilidad marginal
respecto al consumo. Nos dice cuán elástico es el agente ante cambios en la tasa de retorno en
relación a la tasa de impaciencia. Pondera la sensibilidad de los consumidores a intercambiar
consumo en el tiempo, siendo
1
θ
=
1(
−uccc
uc
)
3.1. EL MODELO: 31
”inversa de la elasticidad de sustitución intertemporal”.
f ′(k)− δ Tasa de retorno neta del capital (tasa de interés en mercados).
ρ tasa de impaciencia. Cuanto mayor sea, mayor valoración por el presente, por lo tanto,
mayor impaciencia.
A mayor concavidad se suaviza el consumo.
Una baja sustitución implica que el consumidor prefiere suavizar consumo
Un shock positivo a la tasa de interés provoca un aumento de s (deseo de prestar), esto va a
estar dado por el denominador.
Cuanto más chico es el denominador el consumidor puede caracterizarse como más “amante
al riesgo´´, por lo tanto, es más propenso a modificar su sendero de consumo (elasticidad >
1 (benchmark)). El caso contrario, es mas averso y por lo tanto inelástico.
Podemos interpretar
˙(c
c
)
como coeficiente de aversión relativa al riesgo
NUMERADOR:
Como θ > 0 siempre, el signo de
ċ
c
esta definido por el numerador. La condición de Euler
implica que el consumo aumenta, permanece constante o disminuye dependiendo de si el
producto marginal del capital neto de depreciación excede, es igual o menor que la tasa de
descuento, por ende:
ċ
c
> 0⇒ f ′k − δ > ρ
Crece el consumo en el tiempo. Ahorra más en capital fı́sico, entonces
ċ
c
> 0. El consumidor es
más paciente, reasigna consumo presente por consumo futuro.
ċ
c
= 0⇒ f ′k − δ = ρ
ċ
c
< 0⇒ f ′k − δ < ρ
Desahorra capital fı́sico, entonces
ċ
c
< 0 El consumidor es más impaciente, cae el consumo a
través del tiempo.
(Notemos que [−cucc/uc] > 0, pues uc > 0 y ucc < 0.)
Entonces:Si la tasa de descuento subjetiva (ρ) es baja en relación con el rendimiento
neto del capital (f ′(k)− δ), entonces el agente preferirá trasladar consumo actual al
futuro, por lo que el consumo aumentará con el tiempo en el sendero óptimo.
Finalmente, tenemos la Condición de Transversalidad (CT),
lı́m
t→∞
λ(t)k(t) =
[
uce
−ρt
]
k(t) = 0 (3.10)
La CT es una condición terminal estándar en problemas de optimización dinámica.
Bajo horizonte finito (con un momento T final), la CT plantea que un individuo racional
finalizarı́a su vida con un stock de activos en cero (obviamente asumiendo que no hay
herederos).
3.1. EL MODELO: 32
La expresión de arriba es simplemente la versión de dicha CT bajo horizonte infinito.
3.1.2. CARACTERIZACIÓN DEL ÓPTIMO:
Finalmente, el sendero óptimo de la economı́a (la solución al sistema dinámico y La
descripción del comportamiento óptimo de la economı́a (o de la familia representativa) está
caracterizado por:
1. La condición de Euler, ecuación (3.9), condición que establece la dinámica del consumo y
el ahorro
2. La condición de transversalidad, ecuación (3.10) que impone una asignación hacia el final
del horizonte de planificación y
3. La restricción de recursos, ecuación (9.2). un lı́mite dado por los recursos
Dejando de lado por ahora la condición de transversalidad, la solución del modelo puede
resumirse a través de las 2 expresiones,
ċ
c
=
1[
− cuccuc
] [f ′(k)− δ − ρ] (3.11)
k = f (k)− c − δk (3.12)
3.1.3. EL ESTADO ESTACIONARIO:
Con la ecuación de Euler y la restricción de recursos planteamos el steady state
definido como aquel en el que las variables endógenas k y c permanecen constantes;
es decir, k∗ y c∗ tales que k = 0 y ċ = 0.
Asumimos n = g = 0→ las variables tanto agregadas como per capita son constantes en el
EE.
Haciendo ċ = 0 en (3.11) tenemos la primera condición de steady state, conocida como regla
de oro modificada:
ċ = 0 −→ f ′ (k∗)− δ = ρ
El consumo permanece constante cuando el producto marginal del capital neto de
depreciación (la tasa de retorno) es igual a la tasa de preferencia temporal (o de descuento)
del agente.
Haciendo k̇ = 0 en (3.12) hallamos el consumo de estado estacionario correspondiente al
k∗ hallado antes:
k̇ = 0 −→ c∗ = f (k∗)− δk∗
Relación tasa de retorno - tasa de impaciencia:
f ′ (k∗)− δ > ρ→↑ c
f ′ (k∗)− δ = ρ→ c̄
f ′ (k∗)− δ < ρ→↓ c
Económicamente, si el consumidor se encuentra conforme, no varı́a su consumo por lo tanto no
tiene incentivo a transferir consumo intertemporalmente hallándose en s.s.
3.1. EL MODELO: 33
3.1.4. LA DINÁMICA
2 ec: (3.11) y (3.12) (da la forma de campana) y 2 endógenas k y c. Construimos el diagrama
de fase:
ċ = 0
E
k* kgold kmax
k̇ = 0
k
c
0
ċ > 0 ċ < 0
k̇ < 0
k̇ > 0
Hay 3 puntos factibles (k;c) = (0;0) que es un punto trivial, pero aún ası́ un equilibrio posible
, Pero no es un óptimo (subópitmo) , (k;c) = (kmax;0) (punto estable) y el que surge de ambas
ecuaciones.
La renta de k que hace al consumo igual a 0 , esta a la izquierda del K gold. El consumo
permanece constante. Si ρ = 0 se llega a la regla dorada.
Haciendo k̇ = 0 Encontramos un máximo cuando f ′(k) = δ que es el capital de la regla de
oro estándar. Para este punto de consumo máximo f ′(kgold)− δ = 0
Cruza el eje horizontal donde f (k) = δk (kmáx).
Haciendo ċ = 0 obtenemos la recta vertical en k∗, siendo este punto el capital de la regla de
oro modificado. con ρ > 0
Por RMD k∗ > kgold ⇒ f ′(k)− δ︸ ︷︷ ︸
ρ
> f ′(kgold)− δ︸ ︷︷ ︸
0
El modelo tendrá una rama de ensilladura donde se convergerá al steady state óptimo,
pero cualquier punto fuera de ella resultará en un desvı́o a alguno de los otros dos estados
estacionarios.
En (A) c se encuentra constante ası́ como k∗ en cada uno de los puntos. Si ρ = 0 se llega a
la golden rule. A mayor tasa de descuento, más a la izquierda nos encontramos del k de
golden rule de modo que reemplazamos consumo futuro por presente. De esta forma no
hay posibilidad de reasignar consumo siendo la tasa de impaciencia > 0
Si c′0 > c0, permanentemente ċ > 0, con f
′(k)− δ > ρ. Continúo consumiendo en el presente,
”comiéndome” el capital (k̇ < 0) y reduciendo el nivel intertemporal de consumo. Esto ocurrirá
hasta llegar a k = 0, donde ya no se podrá consumir más por la condición de esencialidad y se
caerá al steady state (0,0). Este desvı́o del óptimo no cumple con la condición de Euler, ya que
3.1. EL MODELO: 34
habremos llegado a un punto donde f ′(k)− δ > ρ y, sin embargo, ċ = 0..
Si c′′0 < c0, permanentemente ċ < 0, con f
′(k) − δ < ρ. Continúo trasladando consumo al
futuro y acumulando capital (k̇ > 0). Esto ocurrirá hasta llegar a c = 0. Este desvı́o del óptimo
no cumple con la condición de transversalidad, ya que habremos llegado a un punto donde
habremos acumulado tanto capital que en t→∞, el valor presente del capital no es nulo.
En un punto A c0 por encima de la curva, ċ > 0 y dotk < 0
En un punto B c0 es tal que k̇ = 0 la economı́a comienza moviéndose directamente hacia
arriba y se desplaza como en A arriba e izquierda. Me como capital.
En un punto C dotk > 0 levemente y ċ > 0 El consumo aumenta más rápido (por encima de
lo debido), que el capital por ende al cruzar la curva volvemos a la dinámica de B y A.
En un punto D c0 es bajo. ċ > 0 y dotk > 0. Cae el consumo y sobreacumulo capital.
Las derivadas ċ y k̇ son funciones continuas de c y k. Por tanto, existe algún punto entre
los puntos C y D (el punto F en el gráfico) para el que, a ese nivel inicial de c, la economı́a
converge hacia la estabilidad (hacia el punto E).
En un punto F me ubica en la rama estable, que debe tener pendiente positiva. Es un óptimo
y un equilibrio. Cualquier punto por debajo de F viola la condición de transversalidad y
por encima la condición de Euler.
CONCLUSIONES:
De esta forma, si bien la regla de oro es similar a solow con un factor de descuento ρ, el nivel
que obtendremos de k∗ramsey < k
∗
solow al estar correlacionado con una productividad del capital más
alta.
Dado que los agentes se tornan impacientes, dan más peso al consumo presente por sobre el
futuro lo que nos lleva a un sendero de acumulación de capital que genera un nivel de k∗ menor
ya que el agente no busca maximizar el consumo de todos los perı́odos posibles (de todas las
generaciones).
3.2. ECONOMÍA DESCENTRALIZADA: 35
A demás, Ramsey no permite que los agentes sobreahorren por sobre ρ = 0, es decir, por sobre la
golden rule. En Solow, para ciertas tasas de ahorro, sı́ nos encontramos a la derecha del gráfico.
Esto se da ya que en Ramsey si se les permite a los agentes optimizar.
3.2. ECONOMÍA DESCENTRALIZADA:
Población constante→ n familias idénticas que interactúan en diversos mercados.
La fuerza laboral es igual a la población, y cada agente ofrece trabajo inelásticamente, el
cual normalizamos a 1. (Dado que w > 0 y no hay trade-off con ocio, no hay desutilidad por
trabajar y se da una solución de esquina utilizando el máximo de dotación que posee).
y = F (K ;L) no hay crecimiento de la productividad.
Las familias ofrecen trabajo y capital a las firmas.
Por el trabajo, las firmas pagan un salario w en cada t, en tanto que por el alquiler del capital
pagan R.
Existe un mercado de deuda donde los hogares pueden pedir prestado y prestar a una tasa
de interés r.
Como el capital se deprecia a tasa δ y capital y prestamos son sustitutos perfectos para el
ahorrista, definimos r = R− δ.
Tanto los hogares como las firmas tienen previsión perfecta. (Sin embargo, pueden ser
sorprendidos por shocks).
3.2.1. HOGARES:
Al igual que antes, cada hogar maximiza su utilidad de por vida s.a una restricción
presupuestaria para cada t, eligiendo sus niveles de consumo, capital, trabajo y ahorro:
U =
∫ ∞
0
u(c(t))e−ρtdt (3.13)
dω(t)
dt︸︷︷︸
Ahorro total
= w(t) + r(t)ω(t)︸ ︷︷ ︸
Renta del trabajo y los ahorros
− c(t)︸︷︷︸
gasto en consumo
(3.14)
Donde ω(t) ≡ k(t)+ a(t)
wt + (R− δ) ·ω(t)− ct
wt + (R− δ) · (k(t) + a(t))− ct
wt + (R− δ) · k(t) + rt · a(t)− ct
Los primeros dos términos representan las rentas del trabajo y de capital, a las que se le
resta el consumo para determinar la variación del ahorro en el tiempo.
La riqueza de los hogares está dada por ω, que es igual a las tenencias de capital, k, más los
activos netos de los hogares, a.
• Si at > 0 activo
• Si at > 0 deuda
Para cada punto del tiempo, tanto el capital como los activos están dados (variables de
estado), y la oferta de trabajo es inelástica.
⇒ La decisión del hogar será cuánto consumir y cuánto ahorrar en cada t.
3.2. ECONOMÍA DESCENTRALIZADA: 36
CONDICIÓN DE NO-PONZI:
Sumamos una condición al problema de modo que los agentes sean incapaces de hacer roll
over de deuda por indeterminados perı́odos (ω << 0) sin imponer una condición que impida
el endeudamiento temporario. Entonces, imponemos que la deuda de los hogares no aumente
asintóticamente más rápido que r:
lı́m
t→∞
ω(t)e−
∫ t
0 r(v)dv ≥ 0 (3.15)
De esta forma el valor descontado de la riqueza es ≥ 0. Si esto fuese > 0 los agentes dejarı́an
riqueza presente, por lo tanto la condición se cumple con igualdad. Mientras la utilidad marginal
sea positiva los hogares no querrán mantener riqueza creciente por siempre a tasa r.
El problema del hogar se resume en maximizar (3.13) sujeto a (3.14) y (3.15) cumpliendóse
esta última con igualdad en el óptimo y definiendo el siguiente Hamiltoniano en valor presente:
H = u(c)e−ρt +λ[w+ rω − c]
Las condiciones de primer orden (CPO) son:
∂H
∂c
= uce
−ρt −λ = 0 (3.16)
∂λ
∂t
≡ λ̇ = −∂H
∂ω
= −λr (3.17)
∂H
∂λ
=
dω
dt
= w+ rω − c (3.18)
Diferenciamos (3.16) y procemos de la misma forma dividiendo por la misma condición a
ambos lados:
uccċe
−ρt −ucρe−ρt
uce−ρt
=
λ̇
λ
(3.19)
Con las restantes CPO, tenemos la condición de Euler del hogar para una economı́a
descentralizada: [
−cucc
uc
]
ċ
c
= r − ρ (3.20)
De (3.17), sabemos que el precio sombra λ(t) evoluciona en el tiempo de acuerdo con la
siguiente expresión: λ(t) = −λ(t)r(t).
3.2.2. CONDICIONES DE OPTIMALIDAD:
Integrando desde el momento 0 al momento t la expresión para la dinámica de λ(t), tenemos
λ(t) = λ(0)e−
∫ t
0 r(v)dv⇒ λ(t)
λ(0)
= e−
∫ t
0 r(v)dv (3.21)
Sabemos que la condición de No-Ponzi (3.15) se cumple con igualdad, con lo que,
combinada con (3.21), podemos re-expresarla como
lı́m
t→∞
ω(t)e−
∫ t
0 r(v)dv = lı́m
t→∞
ω(t)
λ(t)
λ(0)
= 0 (3.22)
De (3.16), sabemos que λ(t) = uc(c(t))e−ρt > 0 para todo t, pues la utilidad marginal del
consumo es positiva y finita para cualquier nivel de consumo finito en el óptimo.
3.3. EQUILIBRIO 37
En particular, λ(0) = uc(c(0)) > 0, lo que nos permite remover λ(0) en (3.22), y definir la condición
de transversalidad del hogar como
lı́m
t→∞
ω(t)uc(c(t))e
−ρt = 0 (3.23)
3.2.3. LAS FIRMAS:
En cada perı́odo t, las empresas emplean determinadas cantidades de capital y trabajo,
remuneran a los factores en función de su productividad marginal y venden la producción
obtenida. No toman decisiones intertemporales, por lo tanto el problema es estático.
Pmgk =
∂F(K,AL)
∂K
= f ′(k) retorno bruto de una unidad de capital
Mercados son competitivos ⇒ la remuneración del factor capital es igual a su producto
marginal
Asumimos una gran cantidad de firmas idénticas, con acceso a la tecnologı́a F(K(t),N (t)).
Cada firma i interactúa en mercados competitivos (tomadora de precios), demandando los
servicios del capital Ki y del trabajo Ni .
Finalmente, cada firma maximiza beneficios en cada momento t, de acuerdo con la siguiente
expresión:
máx
[Ki(t),Ni(t)]
F (Ki(t),Ni(t))−R(t)Ki(t)−w(t)Ni(t)
Las condiciones de optimalidad de las firmas (para ahorrar notación, removemos subı́ndice i y
argumento t ) estarán dadas por
FK (K,N ) = R = r + δ
FN (K,N ) = w
Sea k ≡ K/N y F(K,N ) ≡ Nf (k). Luego, podemos expresar las productividades marginales
(FK ,FN ), y por lo tanto los precios (r,w), como función de k.
Diferenciando F(K,N ) = Nf (k) respecto de K y N , tenemos
FK (K,N ) = Nf
′(k)
( 1
N
)
= f ′(k)
FN (K,N ) = f (k) +Nf
′(k)
(
− K
N 2
)
= f (k)− f ′(k)k
Finalmente, los pagos a los factores quedan como:
f ′(k)− δ = r
f (k)− kf ′(k) = w
(3.24)
3.3. EQUILIBRIO
Los hogares toman como dada una secuencia de precios ( salarios y de pagos a los servicios
del capital), ası́ los hogares elegirán un sendero de consumo y acumulación de riqueza. En
3.3. EQUILIBRIO 38
equilibrio, la suma de los activos y pasivos privados debe ser igual a cero (deuda total = total de
préstamos en economı́a cerrada), con lo cual Na(t) = 0 (cada uno de los activos financieros van a
ser =0.
Es cierto que los individuos pueden prestar y pedir prestada cualquier cantidad de bonos
que quieran. Pero, si la economı́a es cerrada y no hay gobierno, todo lo que presten los individuos
prestadores tiene que ser necesariamente igual a todo lo que reciben los que piden prestado. Es
decir, la cantidad neta total de deuda debe ser igual a cero, por lo que el único activo en oferta
neta positiva debe ser el capital.
Nω(t) = Nk(t) +Na(t) = Nk(t)
o simplemente ω = k.
Luego, la acumulación de riqueza determinará la acumulación de capital: dω/dt = dk/dt
Como los hogares son idénticos, el nivel de activos netos de cada hogar, a(t), será igual a
cero en equilibrio (no habrá crédito ni endeudamiento).
El sendero del capital, a su vez, implicará un sendero de salarios y de pagos al alquiler
del capital. Los senderos de equilibrio de w y R estarán definidos como aquellos senderos bajo
los cuales las familias y las firmas optimizan, tomando como dadas esas mismas secuencias de
precios.
Como en equilibrio ω = k y dω/dt = dk/dt tomando la RP (3.14) (3.24) y la combinamos con
las dos condiciones que salen del problema de la firma para w y r tenemos:
dk
dt
=
dω
dt
= w+ rω − c
= [f (k)− kf ′(k)] + [f ′(k)− δ]k − c
= f (k)− δk − c
⇒ k̇ = f (k)− δk − c
(3.25)
Asimismo, si utilizamos el hecho que, en equilibrio, f ′(k) − δ = r, y reordenamos términos,
la condición de Euler del hogar (3.20) nos queda:
Recordando
[
−cucc
uc
]
ċ
c
= r − ρ, entonces:
ċ
c
=
1[
−cucc
uc
] [f ′(k)− δ − ρ] (3.26)
3.3.1. CONCLUSIONES:
La condición de transversalidad (3.23), la restricción de recursos (3.25) y la condición de
Euler (3.26) caracterizan el comportamiento de la economı́a descentralizada.
Concluimos entonces que el comportamiento dinámico de la economı́a descentralizada es
el mismo que aquel de un planificador, lo que muestra que es Pareto óptimo.
3.4. MODELO CON GOBIERNO: 39
3.4. MODELO CON GOBIERNO:
Asumimos que el gasto público está fijo exógenamente. Con presupuesto equilibrado: ∆G =
∆T , donde G y T son el gasto y la recaudación impositiva, respectivamente.
El gobierno recauda, per capita, solo impuestos de suma fija (lump-sum), lo que implica
τ = g.
La restricción presupuestaria del hogar ahora resulta en:
dω(t)
dt
= w(t) + r(t)ω(t)− c(t)− τ
Como se cobran impuestos de suma fija con un presupuesto equilibrado, se resta τ adicional a
la restricción presupuestaria de los hogares, mientras que las firmas no serán afectadas. En el
equilibrio, la ecuación de Euler no cambia, pero sı́ se modifica la ley de movilidad del capital, a
la que se le restará τ = g.
DIAGRAMA DE FASES:
Es equivalente al visto antes, excepto que ahora el producto disponible para consumo
privado se reduce por la misma cantidad τ = g. Notemos que la restricción de recursos (LMK)
queda:
k̇ = f (k)− δk − c − g (3.27)
Ahora el consumo de estado estacionario será menor que en el caso sin gastos de gobierno.
El gobierno desplaza al consumo privado pero no tiene ningún efecto sobre el stock de capital.
Un cambio permanente e inesperado en g solo afecta al consumo en esa misma cantidad. Dado
τ = g de forma que g > 0, se desplaza k̇ = 0 hacia abajo desde el punto de vista de un shock
permanente. El nuevo equilibrio, el nuevo sendero de ensilladura resuelve un nivel de consumoinferior, un mismo nivel de k∗ a la vez que la caı́da del consumo se da en la misma magnitud que
el aumento de g.
¿Una vez que aparece el shock en t0, que sucede con las variables?
⇓
3.4. MODELO CON GOBIERNO: 40
Hay una caı́da discreta del consumo.
Los agentes no piensan en una transición, se da un cambio permanente del ingreso por lo
tanto actualizan las decisiones de una vez y para siempre.
crowding-out completo del consumo: ∆c = −∆g
Un cambio transitorio en g (digamos durante el periodo t0→ t1 ), por el contrario, sı́ afecta
la acumulación de capital.
1. En el momento del shock, el incremento en g lleva a una caı́da del consumo que es menor a
dicho aumento (|∆c| < |∆g |).
2. Luego, el consumo estará por encima de la nueva curva k̇ = 0, lo que provocará
desacumulación de capital. ċ se encuentra por encima de k̇.
3. La caı́da de k (porque reduje el consumo menos que el aumento de g), a su vez, hará que el
consumo comience a aumentar ( k estará a la izquierda de la recta ċ = 0 ).
4. Esta dinámica lleva a un aumento en la tasa de retorno por encima de aquella que mantiene
el consumo constante, esto es f ′(k)− δ = ρ
5. Cuando el gobierno vuelva a su antiguo gasto en t1, k y c llegarán al antiguo sendero de
ensilladura regido por la curva k = 0 original.
6. Tanto k como c convergirán nuevamente al estado estacionario original: k∗ y c∗.
Notemos que, por el tiempo en que g es más alto, el capital cae y la tasa de interés aumenta
(efecto crowding-out tradicional).
Cuanto más transitorio es el cambio en el gasto, el cambio en el consumo es más bajo
porque los agentes lo distribuyen en todo su horizonte.
Capı́tulo 4
MODELO DE DIAMOND
4.1. SUPUESTOS:
1. Hipótesis de Recambio poblacional: La principal diferencia entre este modelo y el de
Ramsey-Cass-Koopmans es que ahora en vez de suponer la existencia de una cantidad
fija de hogares con horizontes temporales infinitos, en el modelo de Diamond nacen
continuamente nuevos individuos que vienen a sustituir a los que se van muriendo.
2. Asumimos que el tiempo es discreto en lugar de continuo; es decir, las variables se definen
para t = 0,1,2, . . ., a diferencia de t ≥ 0.
3. El modelo también asume que cada agente vive solo 2 perı́odos y que Lt individuos nacen
en cada t.
4. Se supone que la población crece a tasa n. Luego,
Lt = (1 +n)Lt−1
5. Dado que los agentes viven durante dos periodos, en el tiempo t habrá Lt jóvenes
conviviendo con Lt−1 = Lt/(1 +n) adultos.
Durante la juventud, cada individuo suministra una unidad de trabajo y divide la renta
laboral resultante entre el consumo y el ahorro; en el segundo perı́odo, el individuo se limita
a consumir sus ahorros y cualquier interés que haya obtenido.
Supongamos que c1t y c2t denotan los niveles de consumo de jóvenes y adultos en el
momento t.
Previsión Perfecta
Luego, la utilidad de un agente nacido en t,Ut, depende de c1ty c2t+1; es decir, de su consumo
de joven y su consumo de adulto.
Además, supongamos una función de utilidad instantánea, u, con aversión relativa al riesgo
constante (CRRA); i.e., con coeficiente θ = −cu′′(c)/u′(c) independiente de c :
Ut =
c1−θ1t
1−θ
+
(
1
1 + ρ
)
c1−θ2t+1
1−θ
, θ > 0, ρ > −1
Esta forma funcional asegurará la existencia de un sendero de crecimiento equilibrado,
en tanto ρ > −1 asegura que el peso en el consumo del segundo perı́odo será positivo.
En tanto ρ > 0 la ponderación del consumo en el segundo momento se torna menor a la
ponderación del consumo en el primer perı́odo, es decir, los individuos le asignan más peso
al consumo del primer perı́odo que al del segundo perı́odo. Para ρ < 0 sucede lo contrario.
41
4.2. LOS HOGARES: 42
4.1.1. SET UP:
Hay muchas firmas, todas con acceso a una función de producción Yt = F (Kt,Lt), la cual
satisface las condiciones de INADA y se asume con rendimientos constantes a escala.
Los mercados son competitivos ⇒ capital y trabajo reciben sus productos marginales y la
firma tiene cero beneficios.
No hay depreciación del capital y asumimos que los adultos alquilan el capital a las firmas
por lo que reciben una renta y demandan trabajo a los jóvenes, entonces:
Para simplificar, supongamos que no hay depreciación. Luego:
rt = f
′ (kt)
wt = f (kt)− ktf ′ (kt)
Finalmente, hay un stock de capital inicial K0, cuya propiedad es de todos los adultos por
igual. En el perı́odo cero, el capital que poseen los viejos y el trabajo que suministran los
jóvenes se combinan para la producción de bienes
Entonces, Los adultos consumen tanto su renta de capital como su riqueza existente,
en tanto los jóvenes dividen su ingreso laboral, wt, entre consumo y ahorro. Esos jóvenes
trasladan sus ahorros al siguiente perı́odo, de modo que el stock de capital agregado en t + 1 será
equivalente al número de jóvenes en t, multiplicado por el ahorro de cada uno:
Kt+1 = Lt (wt − c1t)
Este capital se combina con la oferta de trabajo de la próxima generación de jóvenes, y ası́
sucesivamente.
4.2. LOS HOGARES:
El consumo de un individuo nacido en t en el segundo perı́odo de su vida es
C2t+1 = (1 + rt+1) (wtAt −C1t) (4.1)
Al dividir ambos lados de la ecuación entre 1 + rt+1 y pasar C1t al lado izquierdo obtenemos
la restricción presupuestaria individual:
C1t +
1
1 + rt+1
C2t+1 = Alwt (4.2)
El valor presente del consumo a lo largo de la vida de cada individuo es igual a la riqueza
inicial (la cual asumimos es cero) más el valor presente del ingreso laboral de toda la vida (en
realidad, solo de joven). Finalmente, el problema del consumidor se resume a maximizar (4.1) s.a
(4.2)
4.2.1. EL PROBLEMA:
Definimos al Lagrangiano como:
máx
{c1t ,c2t+1}
L =
c1−θ1t
1−θ
+
(
1
1 + ρ
)
c1−θ2t+1
1−θ
−λ
(
c1t +
1
1 + rt+1
c2t+1 −wt
)
Luego, las condiciones de primer orden para c1t y c2t+1 son:
c−θ1t −λ = 0 (4.3)
4.3. CONDICION DE OPTIMALIDAD: 43
1
1 + ρ
c−θ2t+1 −
1
1 + rt+1
λ = 0 (4.4)
De (4.3) y (4.4) tenemos la condición de Euler:
c2t+1
c1t
=
(
1 + rt+1
1 + ρ
)1/θ
(4.5)
Implica que el consumo de los individuos aumentará o disminuirá con el correr del tiempo
dependiendo de si el rendimiento real es mayor o menor que la tasa de descuento. Una vez más,
el valor de θ determina la sensibilidad del consumo individual en respuesta a diferencias entre r
y ρ.
Si aplicamos Logaritmo:
ln [c2t+1]− ln [c1t] =
1
θ
[ln (1 + rt+1)− ln (1 + ρ)]
El miembro derecho es aproximadamente igual a ∆C mientras que en el miembro izquierdo,
el Log(1 + r) y de 1 + ρ es aproximadamente igual a las correspondientes tasas, r y ρ. Cuando las
tasas son bien chicas, el logaritmo se aproxima a ellas. Entonces:
∆C �
1
θ
[r − ρ]
ċ
c
�
r − ρ
θ
De esta forma vemos que la ecuación de Euler de Diamond es aproximadamente igual a la
ecuación de Euler en Ramsey.
4.3. CONDICION DE OPTIMALIDAD:
La ecuación de Euler muestra que el consumo de un hogar aumenta o disminuye en el
tiempo dependiendo de si la tasa de rendimiento es mayor o menor que la tasa de impaciencia.
Cuanto menor es θ más reacciona el agente para sustituir consumo intertemporal ante cambios
de r (recordemos que 1/θ es la elasticidad de sustitución entre consumo en dos puntos del
tiempo).
Podemos re-escribir la condición de Euler como:
c2t+1 =
(
1 + rt+1
1 + ρ
)1/θ
c1t
Luego, combinando con la restricción presupuestaria intertemporal (4.2), hallamos el consumo
de un joven en t :
c1t =
(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)
(1−θ)/θwt (4.6)
Esta ecuación muestra que la tasa de interés determina la fracción del ingreso que un
individuo asigna a consumir en el primer periodo. Siendo s(r) la proporción de renta que se
ahorra:
s(r) =
w − c1t
w
= 1−
(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)
(1−θ)/θ
4.4. EQUILIBRIO Y DINÁMICA: 44
s(r) =
(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ
(4.7)
El ahorro de un joven aumenta en r si, y sólo si, (1 + r)(1−θ)/θ aumenta con r. El ahorro
aumentará con r si y sólo si θ < 1 (cuando la elasticidad de sustitución sea relativamente alta).
Intuitivamente, un incremento en r genera tanto un