C3 2021 - I

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
INSTITUTO DE ECONOMÍA 
 
Control 3. Macroeconomía I 
Profesor Emilio Depetris-Chauvin	
1. Considere un individuo que vive por dos períodos y tiene la siguiente función de utilidad 
intertemporal 
𝑈(𝑐!, 𝑐") = 𝑙𝑛(𝑐!) + 𝛽𝑙𝑛(𝑐") 
Este agente tiene una riqueza total 𝑊 para repartir entre los dos períodos (W sería el valor 
presente de los ingresos). 
Suponga por simplicidad que 𝛽(1 + 𝑟) = 1. 
Existe un gobierno que cobra un impuesto al consumo en cada período. Es decir, en el primer 
período el gobierno le cobra al consumir un impuesto total igual a 𝜏!𝐶! y en el período 2 sería 
𝜏"𝐶". Donde 𝜏 es la tasa del impuesto. El gobierno puede cobrar dos tasas de impuestos 𝜏 
distintas entre períodos. Claramente los impuestos hacen más caro el consumo. 
a. Escriba la restricción de presupuesto intertemporal del individuo 
La RPI será 
(1 + 𝜏!)𝐶! +
(1 + 𝜏")𝐶"
1 + 𝑟
= 𝑊 
b. Escriba el Lagrangiano correspondiente al ejercicio de maximización de utilidad del 
individuo 
El lagrangiano será 
𝐿 = 𝑙𝑛(𝑐!) + 𝛽𝑙𝑛(𝑐") + 𝜆 2𝑊 − (1 + 𝜏!)𝐶! −
(1 + 𝜏")𝐶"
1 + 𝑟
4 
c. Obtenga los consumos óptimos en cada período. ¿Afectan las tasas de impuestos las 
decisiones intertemporales de consumo? Explique 
Se obtienen las 3 condiciones de primer orden 
1
𝑐!
− 𝜆(1 + 𝜏!) = 0 
𝛽
𝑐"
− 𝜆
(1 + 𝜏")
1 + 𝑟
= 0 
(1 + 𝜏!)𝐶! +
(1 + 𝜏")𝐶"
1 + 𝑟
= 𝑊 
De las dos primeras condiciones de primer orden se obtiene la ecuación de Euler 
1
𝑐!(1 + 𝜏!)
=
𝛽(1 + 𝑟)
𝑐"(1 + 𝜏")
 
Reordenando 
𝑐"
𝑐!
=
𝛽(1 + 𝑟)(1 + 𝜏!)
(1 + 𝜏")
 
Usando 𝛽(1 + 𝑟) = 1 queda 
𝑐"
𝑐!
=
1 + 𝜏!
1 + 𝜏"
 
Claramente, al estar en la ecuación de Euler, las tasas de impuestos afectan las decisiones 
intertemporales de consumo. Por ejemplo, si la tasa del impuesto en el segundo período fuera 
cero, el ratio #!
#"
 sería mayor a uno lo que implicaría un consumo creciente en el tiempo. Pero si 
las dos tasas de impuestos son iguales, entonces el consumidor prefiere consumir lo mismo en 
ambos períodos. 
De la ecuación de Euler podemos obtener 	
𝐶" =
1 + 𝜏!
1 + 𝜏"
𝐶! 
Y reemplazarlo en 	
(1 + 𝜏!)𝐶! +
(1 + 𝜏")𝐶"
1 + 𝑟
= 𝑊 
Quedando 	
(1 + 𝜏!)𝐶! +
1 + 𝜏"
1 + 𝑟
1 + 𝜏!
1 + 𝜏"
𝐶! = 𝑊 
(1 + 𝜏!)𝐶! +
1 + 𝜏!
1 + 𝑟
𝐶! = 𝑊 
(1 +
1
1 + 𝑟
)(1 + 𝜏!)𝐶! = 𝑊 
71 +
1
1 + 𝑟8
𝐶! =
𝑊
1 + 𝜏!
 
Finalmente queda que el consumo optimo en el primer período será 
𝐶!∗ =
(1 + 𝑟)𝑊
(2 + 𝑟)(1 + 𝜏!)
 
Para el período 2 será 
𝐶"∗ =
(1 + 𝑟)𝑊
(2 + 𝑟)(1 + 𝜏")
 
d. Suponga que 𝑟 = 1, W = 45 y que las tasas de impuestos son 0.5 en el primer período y 0 en 
el segundo. Obtenga los consumos óptimos en los períodos 1 y 2. 
Usando las formulas de consumos óptimos obtenemos 
𝐶!∗ =
(1 + 1)45
(2 + 1)(1 + 0.5)
= 20 
𝐶"∗ =
(1 + 1)45
(2 + 1)(1 + 0)
= 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Sobre Butelman y Gallego (2001) y los determinantes del ahorro voluntario en Chile: 
a. Describa brevemente los principales resultados de este trabajo 
 
Los resultados empíricos en Butelman y Gallego (2001) destacan la importancia del ingreso transitorio en la 
determinación del ahorro, del acceso al crédito (más acceso implica menos ahorros), de la pertenencia a AFP 
(mayores aportes a AFP implica menos ahorro) y de la edad destacándose entonces la relevancia del ciclo de vida. 
Con esta respuesta breve sería suficiente. No obstante, una muy buena respuesta comentaría algunos detalles del 
¨como¨ se llega a esos análisis destacando que Butelman y Gallego (2001) estudia el comportamiento de los hogares 
utilizando evidencia recolectada directamente a nivel microeconómico en Chile y que, particularmente, analiza el 
componente menos estudiado del ahorro nacional y que se mide de modo más indirecto en la literatura que usa datos 
agregados: el ahorro voluntario de los hogares (la mayoría de los estudios previos en Chile utiliza una 
descomposición por agente individual y recupera el ahorro voluntario de los hogares como un residuo) 
 
 
b. Butelmann y Gallego presentan el siguiente gráfico que, basado en dos encuestas de los 
años 1988 y 1997, representa el porcentaje de hogares con acceso al crédito como función 
de la edad del jefe de hogar. Explique la implicancia de esta evidencia sobre el resultado 
teórico que llamamos “suavizamiento del consumo”. 
 
 
 
La respuesta es simple: este patrón tiene implicancias importantes en la capacidad efectiva de suavización 
intertemporal del consumo por parte de los agentes económicos, ya que en el enfoque tradicional las personas utilizan 
el crédito en los momentos en que sus ingresos están bajo su ingreso permanente (recuerde que los ingresos a lo largo 
del ciclo de vida tienen una forma de U invertida). Es de esperar que para suavizar el consumo un joven tenga que 
endeudarse pero parecería que el acceso al crédito es mas restrictivo a esa edad. Eso dificulta la suavización. Aunque 
no era necesario el alumno podría destacar que ese patrón parecería ser persistente porque se cumple para datos de 
dos encuestas separadas por casi 10 años.