Ayudantía 2

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Pontificia Universidad Católica de Chile 2018-2
Ayudant́ıa 2
Macroeconomı́a I - EAE220D-3
Profesor: Emilio Depetris
Ayudantes: Marcela Arriagada - Carmen Cifuentes
24 de agosto, 2018
Preguntas conceptuales
1. Discuta qué efecto tendrá sobre el consumo de los trabajadores independientes la implementación de una norma
que los obliga a aportar al sistema de pensiones, de acuerdo a las teoŕıas del ingreso corriente (Keynes) y la del
ciclo de vida (Modigliani).
X Teoŕıa del ingreso corriente de Keynes: Disminución. Dado que el consumo depende del ingreso
corriente disponible. Esta norma, al hacer que los trabajadores independientes tengan menos “dinero en el
bolsillo”, hará también que consuman menos.
X Teoŕıa del ciclo de vida de Modigliani: Inexistente. De acuerdo con esta teoŕıa, los trabajadores ya
habŕıan previsto distribuir establemente su consumo en un horizonte temporal amplio (ciclo de vida) y si no
aportaban ya al sistema de pensiones deb́ıan haber estado ahorrando por su cuenta. Por tanto, esta norma
no debeŕıa implicar ningún impacto significativo sobre el flujo de ingreso disponible ni, consiguientemente,
sobre el consumo.
2. Si un individuo es acreedor neto, una disminución de la tasa de interés aumentará indudablemente su consumo
presente. Comente.
X Ante una disminución de la tasa de interés, no sabemos como cambiará el nivel de consumo de un individuo
que es acreedor neto. Por una parte, el efecto sustitución hará más barato el consumo presente respecto del
futuro, por lo que consumirá más y disminuirá su ahorro. Pero por otra, sus activos disminuirán su retorno,
disminuyendo los frutos de su ahorro inicial. Por efecto ingreso entonces el individuo querrá aumentar su
ahorro y disminuirá su consumo. El efecto final dependerá de la magnitud de los efectos sustitución e ingreso.
El efecto final será ambiguo.
Ejercicio 1: “Consumo intertemporal”
Considere una persona que vive dos peŕıodos, t y t+ 1, y sus ingresos son de 100 y 150 respectivamente. Si la tasa de
interés es del 15 %:
a. Determine la restricción presupuestaria de este individuo y graf́ıquela.
Respuesta:
C1 +
C2
1 + r
= 100 +
150
1 + r
b. Suponga que a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos peŕıodos. Encuentre el valor de éste.
Respuesta:
C1 = C2 = C ⇒ C(1 + r) + C = (1 + r)Y1 + Y2 ⇒ C ' 123
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c. Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble del primer peŕıodo t en el peŕıodo
t+ 1, identifique el consumo en t y t+ 1.
Respuesta:
C1 +
2C1
(1 + r)
= Y1 +
Y2
(1 + r)
C∗1 ' 84
C∗2 ' 168
d. Identifique en un mismo gráfico los resultados obtenidos en las partes b) y c), y explique los cambios ocurridos
en el consumo si la tasa de interés aumenta a 20 %.
Respuesta:
e. Suponga ahora que el gobierno ha instaurado un nuevo impuesto de suma alzada de 50 en cada peŕıodo. En-
cuentre la nueva restricción presupuestaria considerando una tasa del 15 % y grafique.
Respuesta:
C1 +
C2
(1 + r)
= Y1 − T +
Y2 − T
(1 + r)
⇒ C1 +
C2
(1,15)
= 50 +
100
(1,15)
El gráfico es el siguiente:
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Ejercicio 2: “Restricciones de liquidez y seguridad social”
Considere una economı́a compuesta por tres clases de individuos: jóvenes, desde el nacimiento hasta los 20 años;
adultos, desde los 21 hasta los 60, y viejos, desde los 61 hasta los 70, edad a la cual mueren. Cada año nace un nuevo
joven y muere un viejo. De esta forma, en la economı́a hay 70 individuos: 20 jóvenes, 40 adultos y 10 viejos. Los
individuos reciben anualmente ingresos iguales a YA cuando son adultos, mientras que cuando son jóvenes reciben
YJ =
1
4YA al año, y en la vejez su ingreso es igual a YV =
1
5YA anuales. La función de utilidad de los habitantes de
esta economı́a viene dada por:
U =
70∑
t=1
logCt
Donde Ct representa el consumo en cada peŕıodo. Considere para todo el problema que r = ρ = 0 (ρ es la tasa de
descuento).
a. Suponga que los individuos no enfrentan restricciones de liquidez. Escriba el problema de optimización que afron-
ta el individuo, incorporando la restricción presupuestaria (ésta última no es necesario deducirla) y obtenga el
consumo óptimo Ct para cada peŕıodo. Derive expresiones para el ahorro st a lo largo de la vida del individuo y
para el ahorro agregado St.
Respuesta:
20
4
Y + 40Y +
10
5
Y =
70∑
t=1
Ct
5Y + 40Y + 2Y =
70∑
t=1
Ct
47Y =
70∑
t=1
Ct
Planteamos el lagrangeano: L :
∑70
t=1 logCt + λ
(
47Y −
∑70
t=1 Ct
)
De las CPO tenemos que Cj = Ci = C para cualquier peŕıodo. Por lo tanto, Ct =
47Y
70 . Luego, los ahorros para
cada peŕıodo son:
sj =
−59Y
140
sA =
23Y
70
sv = −
33Y
70
St = 0
b. Suponga ahora que, durante su juventud, los individuos enfrentan restricciones de liquidez, de forma tal que
no se pueden endeudar. Escriba el problema de optimización que enfrenta el individuo en este caso y calcule la
trayectoria óptima del consumo Ct, el ahorro st y el ahorro agregado de la economı́a St. ¿Cómo se compara con
el calculado en la parte a)?
Respuesta:
Siguiendo la misma lógica anterior, llegamos a que Ct =
21Y
25 y los ahorros:
sa =
4Y
25
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sv =
−16Y
25
El ahorro agregado se mantiene en cero, pero ahora el ahorro en la adultez es menor que en el caso en que no
teńıa restricciones crediticias durante la juventud. Esto ocurre debido a que no puede suavizar consumo durante
sus años de juventud.
c. Calcule la utilidad de los individuos en los casos a) y b). ¿En qué caso es mayor la utilidad? Explique su resultado.
Respuesta:
En el primer caso: U =
∑70
t=1 logCt = 70 · log
(
47Y
70
)
En el segundo caso: U =
∑20
t=1 logCj +
∑70
t=21 logCt = 20 · log
(
Y
4
)
+ 50 · log
(
21Y
25
)
Entonces, para cualquier valor de Y , el primer caso entrega una mayor utilidad. Esto ocurre porque en el
segundo caso, el individuo se enfrenta a una restricción intertemporal más acotada, al no tener posibilidades de
endeudamiento en su juventud.
Esto lo limita en cuanto al nivel de consumo que el quisiera conseguir para ese periodo de su vida, ya que es
mayor a lo que puede acceder con el ingreso que recibe en ese momento.
d. Suponga ahora que los individuos no tienen restricciones de liquidez, pero se ven forzados a pagar un impuesto
de suma alzada τ = 16YA durante su juventud y adultez que se les devuelve ı́ntegramente en forma de transfe-
rencia al llegar a la vejez. Calcule nuevamente las trayectorias de ahorro y consumo. ¿Tiene algún efecto sobre
la conducta del individuo este mecanismo de seguridad social? ¿En qué casos se podŕıa justificar la existencia de
mecanismos de seguridad social?
Respuesta:
20
12
Y + 40Y · 5
6
+
10
5
Y + 10Y =
70∑
t=1
Ct ⇒ Ct =
47Y
70
El consumo óptimo no cambia. El ahorro durante cada peŕıodo de la vida es como sigue:
sj =
−247Y
420
sa =
17Y
105
Y el ahorro agregado sigue sumando cero. Como vemos, el impuesto de suma alzada no afecta las decisiones
óptimas de consumo de el individuo. Este mecanismo de seguridad social puede servir para una sociedad con
muchos individuos poco previsores, que no ahorran para el futuro y se inclinan fuertemente por el consumo
actual.
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Ejercicio 3: Consumo en dos periodos
Suponga que los individuos viven dos peŕıodos y tienen la siguiente función de utilidad:
u(c) =
c1−σ
1− σ
, σ ≥ 0 y σ 6= 1
u(c) = log(c), σ = 1
La utilidad viene dada por:
U(c1, c2) = u(c1) + βu(c2)
Los ingresos del periodo 1 y 2 son Y1 e Y2 respectivamente. La tasa de interés r es exógena y los agentes pueden ahorrar
o endeudarse sin restricciones.
a. Plantee la restricción presupuestaria intertemporal y las condiciones de primer orden del problema e interpréte-
las.
Respuesta:
MaxU = u(C1) + βu(C2) s.a y1 ≥ C1 + s, y2 + (1 + r)s ≥ C2
L: u(C1) + βu(C2) + λ
[
y1 +
y2
1+r − C1 −
C2
1+r
]
Condiciones de primerorden:
∂L
∂C1
= 0⇒ u′(C1) = λ
∂L
∂C2
= 0⇒ βu′(C2) = λ1+r
∂L
∂λ = 0⇒ y1 +
y2
(1+r) = C1 −
C2
(1+r)
Ecuación de Euler: u′(C1) = β(1 + r)u
′(C2)
Interpretación: Si aumenta r, se hará relativamente más caro el consumo del primer peŕıodo, por Efecto susti-
tución. En C2, se transforma en (1 + r) unidades si dejamos de consumir hoy. El factor β hace que las utilidades
sean comparables, donde β ≡ 11+δ , donde δ es la tasa de descuento.
b. Obtenga la elasticidad sustitución intertemporal del agente. Interprete los casos en que σ > 1 y σ < 1.
Usando la Ecuación de Euler llegamos a que C2C1 = (β(1 + r))
1
σ , luego, la EIS:
∂ C2C1
∂(1 + r)
· (1 + r)
C2
C1
=
1
σ
EIS mide suavizamiento del consumo, con σ el factor de concavidad de la función de utilidad (a mayor σ, más
cóncava). Luego, se tiene lo siguiente:
σ > 1: Esto implica una EIS menor a 1, por lo cual es menos sensible a cambios en la tasa de interés (suaviza
más).
σ < 1: Esto implica una EIS mayor a 1, por lo cual es muy sensible a cambios en la tasa de interés (suaviza
menos).
c. ¿Cómo va a impactar el aumento de la tasa de interés sobre el ahorro? Explique los efectos sustitución e ingreso.
¿Cómo cambia este resultado dependiendo si el individuo es acreedor deudor?
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Respuesta:
Por efecto sustitución, el consumo en el segundo peŕıodo se hace relativamente más barato, incentivos al ahorro.
Por efecto ingreso, dependerá de la posición financiera del individuo. Si es deudor, aumenta el ahorro ante un
aumento en r (ambos efectos van en la misma dirección), mientras que si es acreedor disminuirá el ahorro, dado
que el poder adquisitivo aumenta aunque no ahorre, por lo tanto opera en el sentido contrario. En este caso, el
efecto total dependerá de cuál efecto domine.
Ejercicio 4: Ciclo de vida
Suponga que un consumidor que vive T periodos y que tiene una función de utilidad instantánea u(ct) con u
′ > 0 y
u′′ < 0. La tasa de interés (r) es igual a cero. Inicialmente, no hay activos financieros (A0 = 0). Para algunos cálculos,
puede ser útil recordar que
∑n
1 i =
n(n+1)
2 .
a. Asuma, en principio, que el ingreso corriente es yt = y para todos los peŕıodos. Demuestre que la función de
consumo esta dada por ct = yt para todo t.
Respuesta:
El problema de maximización es Max
∑T
t=1 u(ct) s.a
∑T
t=1
ct
(1+r)t =
∑T
t=1
yt
(1+r)t +A0
Como r=0, el lagrangeano queda: L =
∑T
t=1 u(ct) + λ
(∑T
t=1 yt −
∑T
t=1 ct
)
, resolviendo:
∂L
∂ct
= u′(ct) = λ⇒ u′(ct) = u′(ct+1)⇒ ct = ct+1 = c (ya que u′ > 0 y u′′ < 0)
∂L
∂λ = 0⇒
∑T
t=1 ct =
∑T
t=1 yt ⇒ Tc = Ty ⇒ c = yt
b. Suponga que ahora el proceso de ingreso esta dado por yt = y para años pares e yt = 0 para impares. Calcule la
nueva función de consumo ct, la de ahorro st y la de riqueza At.
Respuesta:
El problema que se resuelve es el mismo, por lo tanto, la condición de primer orden con respecto al consumo es
la misma, por lo que ct = ct+1 = c. Para la restricción asumiremos que T es par:
∂L
∂λ
= 0⇒
T∑
t=1
ct =
T∑
t=1
yt ⇒ Tc =
T
2
y ⇒ c = y
2
El ahorro queda: st = yt − ct = yt − y2 , entonces, st =
{
y
2 , pares
−y
2 , impares
La riqueza financiera con r = 0 y A0 = 0 queda:
A1 = A0 + s1 = s1
A2 = A1 + s2 = s1 + s2 = 0
A3 = A2 + s3 =
−y
2
At =
{
0,T par
−y
2 ,T impar
c. Suponga ahora que yt = 0 ∀t y que A0 = A > 0. Derive la nueva función de consumo y calcule la función de
ahorro st y la de riqueza financiera At.
Respuesta:
Teniendo ct = ct+1 = c, la RP considerando los ingresos nulos y el nivel inicial de riqueza queda de la forma:
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∂L
∂λ = 0⇒
∑T
t=1 ct = A⇒ Tc = A⇒ c =
A
T
El ahorro queda st = yt − ct = 0− AT = −
A
T ∀t.
La riqueza financiera:
A1 = A0 + s1
At = A+
∑T
t=1 st = A− t
A
T
Ejercicio 5: Consumo y restricciones de liquidez
Considere un consumidor que vive dos peŕıodos y cuyas preferencias son representadas por una función de utilidad
U(C1, C2), donde C1 y C2 denotan consumo en el primer y segundo peŕıodo, respectivamente, y la utilidad no es
necesariamente separable. Los ingresos del consumidor en los peŕıodos 1 y 2 son Y1 e Y2, respectivamente, y no hay
incertidumbre. El consumidor puede endeudarse a una tasa rD y puede ahorrar a una tasa rA, con rA < rD.
a. Dibuje la restricción presupuestaria del consumidor en el plano (C1, C2). Concluya que ésta se compone de dos
rectas e identifique la pendiente de cada una de ellas.
Respuesta:
Las pendientes son −(1 + rD) para la sección que implica deuda, donde C1 > Y1 y −(1 + rA) para la sección de
la restricción presupuestaria que implica ahorro en el primer periodo con C1 < Y1. Entonces, dependiendo de las
preferencias del consumidor, y por ende, de las formas de sus curvas de indiferencia, éste tendrá un consumo en
la parte ahorradora o deudora.
b. Determine condiciones necesarias y suficientes para que la trayectoria de consumo óptima sea (Y1, Y2). Estas
condiciones debieran ser dos desigualdades en términos de la función u(C1, C2) y sus derivadas parciales evaluadas
en (Y1, Y2) y ambas tasas de interés.
De las condiciones de primer orden se tiene que:
Uc1(C1, C2)
Uc2(C1, C2)
= (1 + r)
Sabemos que rA < rD, entonces:
Uc1(C1, C2)
Uc2(C1, C2)
≤ |1 + rD|
Uc1(C1, C2)
Uc2(C1, C2)
≥ |1 + rA|
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Evaluando en C1 = Y1 y C2 = Y2:
Uc1(Y1, Y2)
Uc2(Y1, Y2)
≤ |1 + rD|
Uc1(Y1, Y2)
Uc2(Y1, Y2)
≥ |1 + rA|
c. Suponga que la brecha entre rD y rA es mayor en páıses en desarrollo, discuta utilizando sus resultados de las
partes anteriores, si las restricciones de liquidez son más relevantes en páıses en desarrollo o en páıses industria-
lizados.
Respuesta:
Si la brecha entre rD y rA es muy grande y se cumple que rD > rA, sucede que es muy caro endeudarse, y
el retorno del ahorro es muy bajo (relativamente). Al ser la brecha grande entre tasas, existe un conjunto más
grande de agentes que optan por consumir su dotación y se utiliza menos el mercado financiero para suavizar su
consumo, lo cual genera bajos niveles de ahorro y deuda. En los páıses en desarrollo, es de esperar que tengan
una trayectoria de ingreso con mayor pendiente que los páıses industrializados y, por ende, menores incentivos
al ahorro. Este punto es vital para un páıs en desarrollo, ya que existe una correlación positiva entre ahorro y
crecimiento.
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