PS2 (E) (2)

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MACROECONOMÍA I
EAE220D-2
Profesor: Emilio Depetris-Chauvin
Ayudante: Raimundo Pino (rpino2@uc.cl)
PROBLEM SET 2
El ejercicio 1 es obligatorio.
Fecha de entrega: Fecha de Entrega: Viernes 10 de Septiembre antes de las 3 pm v́ıa Canvas (en tareas)
1. Limitación al Almacenamiento
Suponga un individuo representativo que se encuentra en páıs que sólo dura dos peŕıodos t = 1 y t = 2, y
que se puede consumir el bien X. La dotación inicial de este individuo es Y unidades del bien, X y además este
individuo no puede trabajar por lo que esa es su única fuente de ingreso. El individuo tiene que decidir cuánto
de su dotación inicial va a destinar para consumir en t = 1 y cuanto para t = 2.
También debe considerar que el páıs en el que vive el individuo no hay suficientes bodegas para que todos
los individuos almacenen consumo para el peŕıodo t = 2 y que todas las bodagas tienen distintos tamaños.
Por lo tanto, el presidente de dicho páıs indico que cada individuo podrá ahorrar θis̄, donde s̄ es el máxi-
mo almacenamiento que puede tener un individuo y θi es un parametro que se asigna aleatoriamente a cada
individuo que indica el tamaño de la bodega a la que tendrá acceso el individuo (donde θi U [0; 1]). El presi-
dente fue muy insistente en que los individuos no pueden compartir su bodega para que otros puedan almacenar.
Finalmente, suponga que no hay tasa de interés, que el bien X es perfectamente divisible y que la función de
utilidad del individuo representativo es:
U(c1; c2) = ln c1 + ln c2
a) Calcule el consumo óptimo y el almacenamieto que escogeŕıa el individuo en ausencia de estas restricciones.
¿Qué busca el individuo a través del almacenamiento?
b) Suponga que s̄ > Y ¿Qué porcentaje de la población se veŕıa afectado negativamente por la restricción?
A partir de ahora considere que Y = 1000 y que s̄ = 1200
c) Estime la pérdida de utilidad que implica la restricción impuesta para el presidente para los siguientes
escenarios. ¿Qué genera esa pérdida?:
i) Individuo con θ = 0, 7
ii) Individuo con θ = 0, 3
Los ciudadanos del páıs no están de acuerdo con las decisiones que ha tomado su presidente porque sienten
que no esta tomando decisiones de forma sensata. Algunos ciudadanos más ilustrados han comenzado a
esbozar algunas propuestas para mejorar la situación del páıs.
La propuesta que ha ganado más popularidad consiste en que el presidente asegure a todos los ciudadanos
almacenar Y4 de su dotación inicial para devolversela en t = 2. El presidente considera que es una opción
bien razonable, pero les advierte que el costo de dicha propuesta es que el almacenamiento máximo se
ĺımite a 3s̄4 .
d) Evalue si la propuesta de los ciudadanos ilustrados mejora el bienestar de los habitantes del páıs. Piense
bien cómo comparar las propuestas.Debe justificar su respuesta con cálculos numéricos.
e) En base a lo discutido en este ejercicio ¿Cree que aumentar la contribución al pilar solidario es una buena
medida para mejorar el bienestar de las familias en tiempos de pandemia? Discuta bajo que condiciones
seŕıa favorable y cuáles no. Haga todos los supuestos necesarios. (Hint: si no esta familiarizado con
el pilar solidario, se le recomienda investigar en internet)
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2. Consumo en dos peŕıodos
Suponga que los individuos viven dos peŕıodos y tienen la siguiente función de utilidad instantánea:
u(c) =
c(1−σ)
1− σ
cuando σ > 0 y σ 6= 1,
u(c) = ln(c)
cuando σ = 1
La utilidad total viene dada por:
U(c1, c2) = u(c1) + βu(c2)
Los ingresos del peŕıodo 1 y 2 son Y1 e Y2 respectivamente. La tasa e interés r es exógena y los agentes
pueden ahorrar o endeudarse sin restricciones.
a) Plantee la restricción presupuestaria intertemporal y las condiciones de primer orden e interprételas.
b) Obtenga la elasticidad de sustitución intertemporal del agente. Interprete los casos en que σ > 1 y σ < 1.
c) ¿Cómo va a impactar el aumento de la tasa de interés sobre el ahorro? Explique los efectos sutitución e
ingreso. ¿Cómo cambia este resultado dependiendo si el individuo es deudor o acreedor?
3. Consumo en presencia de hábitos
Considere un individuo que vive por dos peŕıodos y que tiene la siguiente función de utilidad: U = ln(c1 −
αc0) + βln(c2 − αc1) donde α es un parámetro positivo y menor que 1, y c0 es un dato (tal vez su historia
de consumo antes de que tomara decisiones). El individuo puede prestar y pedir prestado todo lo que desee a
una tasa de interés r; esta tasa de interés es tal que β(1 + r) = 1 Elindividuo recibe un ingresoW en el primer
peŕıodo y 0 en el segundo.
a) Interprete la función de utilidad y encuentre las condiciones de primer orden que relacionan c1 y c2.
b) Usando las condiciones de primer orden y la restricción presupuestaria, encuentre c1 como funciónde los
parámetros α, β, W , y c0 ¿Cuál es la solución para c1 cuando α = 0?
c) Suponga que c0 = 0. ¿Qué pasa con c1 y c2 cuando α aumente.
d) ¿Qué pasa con c1 y c2 cuando c0 aumenta?
e) Determine el valor de c0(como función del resto de los parámetros) que hace que el individuo tenga un
perfil de consumo constante. Compare con los valores de c1 y c2 y discuta el resultado.
4. Seguridad Social
Considere una economı́a donde todos los agentes se comportan según la teoŕıa del ciclo de vida o del
ingreso permanente. Suponga que el gobierno obliga a todos a ahorrar una fracción de su ingreso (cotización
previsional)¿Cuál cree usted que será el efecto sobre el ahorro de la economı́a (comparado con el caso en el cual
a nadie sele exige ahorrar) en las siguientes situaciones?
a) Todos los agentes tienen pleno acceso al mercado financiero y pueden pedir prestado o ahorrar todo loque
quieran a una tasa de interés dada (igual a la del retorno del fondo de pensiones).
b) Hay una fracciÓn importante de agentes (jóvenes) que no pueden pedir prestado todo lo que quisieran.
c) En el caso anterior, ¿cómo podŕıa variar su respuesta si los padres se preocupan por el bienestar de sus
hijos y les pueden transferir recursos mientras están vivos (es decir, no sólo a través de la posible herencia)?
d) Considere ahora el siguiente supuesto sobre el comportamiento de las personas: cuando llegan a la edadde
jubilar y dejan de trabajar, ellos saben que el gobierno no los dejará morir de hambre y les proveerá
transferencias en caso de que no tengan ingresos. Suponga en este contexto que el gobierno obliga a
lagente a ahorrar y el entrega el dinero sólo cuando jubilan ¿Qué cree usted que pasa con el ahorro? ¿Le
parece esta una racionalización útil para justificar la existencia de un sistema de pensiones?
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5. Preguntas Conceptuales
a) Discuta qué efecto tendrá sobre el consumo de los trabajadores independientes la implementacion de una
norma que los obliga a aportar a un sistema de pensiones, de acuerdo a la teoŕıas del ingreso corriente
(Keynes) y la del ciclo de vida (Modigliani).
b) Si un individuo es acreedor neto, una disminución de la tasa de interés aumentará indudablemente su
consumo presente. Comente.
6. Consumo Intergeneracional
Considere un individuo que vive por tres peŕıodos: en el peŕıodo 1 su ingreso es Y1 = Y , en el peŕıodo 2 el
ingreso crece a una tasa γ, es decirY2 = Y (1 + γ) Finalmente, en el peŕıodo 3 se jubila y no tiene ingresos,o sea
Y3 = 0. La tasa de interés en la economı́a es 0. Por otra parte su utilidad es tal que siempre querrá un consumo
parejo durante toda su vida (es decir, C1 = C2 = C3).
a) ¿Qué sospecha tiene ud sobre el tamañoo de la tasa de impaciencia de este individiuo relativo a la tasa
de interés de mercado? Explique.
b) Calcule el consumo y ahorro (S1, S2y S3) en cada peŕıodo.
c) Suponga que en esta economı́a no hay crecimiento de la población.Tampoco crecen los ingresos entre
generaciones. ¿Qué pasa con el ahorro agregado en cada momento? Interprete su resultado.
d) Suponga que se introduce un sistema de pensiones donde se obliga a cada individuo joven y en edad mediaa
ahorraruna magnitud A, y le devuelven 2A cuando viejo. ¿Qué pasa con el ahorro de los individuos?¿Tiene
alguna implicancia sobre el ahorro o la conducta de los individuos la introducción de un sistema de
seguridad social?
e) Suponga que la población crece a una tasa n. Calcule el ahorro agregado de la economı́a (cuide de ponderar
adecuadamente el ahorro de cada generación).
f) Cuál es la tasa de crecimiento del ingreso agregado en esta economı́a? Muestre cómo vaŕıa (sube o baja)
el ahorro agregado con un aumento en la tasa de crecimiento de esta economı́a. Interprete su resultado,
ycompárelo con el obtenido en c.).
7. Cuando las Buenas Noticias Traen Mejores Noticias
Considere un individuo que vive infinito. Estamos en t y sus ingresos pasados han sido siempre iguales a
y,y se espera que sigan siendo y en el futuro. No hay impuestos y el individuo nace sin activos financieros. Este
individuo quiere tener un consumo parejo siempre. La tasa de interés real es constante e igual a r.
a) ¿Cuál es el consumo en t− 1 y en todos los peŕıodos previos?
b) Considere que repentinamente en t, el individuo recibe un ingreso y+ e donde e > 0. Podemos pensar que
demostró ser muy talentoso y eso le significa un aumento para siempre en sus ingresos. En consecuencia
el individuo preveé que su ingreso permanecerá constante en t + 1 en y + e con probabilidad p, pero
puede aumentar a y + 2e con probabilidad 1 − p y quedarse ah́ı para siempre. Calcule el valor presente
de sus ingresos en caso que el ingreso permanezca alto en en y + e y en el caso que sea aún más alto en
y+2e.(LlamemosVa y Vm por alto y muy alto, respectivamente). Ahora, calcule el valor esperado del valor
presente de los ingresos y su nuevo nivel de consumo en t.
c) Calcule la propensión marginal a consumir que un economista deduciŕıa de estos datos; es decir, ct−ct−1yt−yt−1 .
Un economista plantea que cuando el consumo sube mas que el ingreso esto es una demostración que
lagente es irracional ya que las teoŕıa de consumo son incapaces de predecir esto. Discuta esta afirmación
a la luz de los resultados. ¿Cuál es su ahorro o endeudamiento en t?
d) Suponga ahora que estamos en t+1, cuando si sabe si el ingreso se mantendrá alto o aumentará mas.Calcule
el consumo del individuo en caso de que el ingreso se quede alto en y + e para siempre (denotelo ca)y en
el caso que suba aún más a y + 2e (denotelo cm) y se quede ah́ı permanentemente. ¿Cómo evoluciona sus
activos financieros en cada caso? ¿Se queda efectivamente constante el consumo?
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8. Consumo
Considere un individuo que vive por dos periodos y tiene la siguiente función de utilidad instantánea:
u(ct) = ln(ct)
Donde ct es el consumo en el peŕıodo t, con t = 1, 2. Denote β al t́ıpico factor de descuento. El individuo
recibe su ingreso total Y repartido entre los dos peŕıodos: en el primero recibe αY y en el segundo (1 − α)Y .
Supondremos que existe un mercado financiero con tasa r a la cual el individuo tiene acceso ilimitado (esto es,
se puede endeudar o ahorrar todo lo que quiera a esa tasa).
a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del individuo.
b) Encuentre la ecuación de Euler y las expresiones para el consumo y el ahorro individual óptimos en ambos
periodos como función de Y , α, r y β.
c) Suponga que α = 0 Cómo se ve afectado el ahorro cuando cambia la tasa de interés? ¿Qué pasa en el caso
general cuando α ∈ (0; 1)? ¿Puede ser que ante un aumento en la tasa de inter és la respuesta del ahorro
sea negativa?
d) Ahora considere a otro individuo con la siguiente función de utilidad intertemporal:
U(c1, c2) = mı́n{c1, c2}
Determine el consumo óptimo y el ahorro en cada periodo y discuta el efecto dersobre el ahorro. En
particular analice los casos con α = 0 y α = 1 ¿Puede ser que ante un aumento en la tasa de interés la
respuesta del ahorro sea negativa? Compare sus resultados con los de la respuesta anterior.
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