Consumo

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Consumo
Macroeconomı́a I
Primer Semestre, 2018
Profesor : Elias Albagli
TA : Mart́ın Carrasco N (mdcarrasco@uc.cl).
Consumo bajo certidumbre
1. Problema de optimización
•
max
~c
U(~c) =
T∑
s=0
βsu(ct+s) s.a
T∑
s=0
ct+s
(1 + r)s
+
AT
(1 + r)T
≤ A0 +
T∑
s=0
yt+s
(1 + r)s
• Note que la CPO u
′(ct)
u′(ct+1)
= β(1 + r) es la ecuación de Euler.
• Se asume que limT→∞ AT(1+r)T = 0.
• Supuestos del modelo:
(a) Perfecta certidumbre : se conocen con total certeza los ingresos, el número de
peŕıodos y la tasa de interés.
(b) Función de utilidad aditivamente separable : ∂Ct+s∂Ct = 0∀s . Este supuesto
es simplificador. Sin embargo, en modelos más complejos se levanta el supuesto
(modelos con adicción en donde consumos anteriores afectan a consumos actuales).
(c) Mercado de capitales perfecto: Nos permite trasladar ingreso enter los peŕıodos
sin dificultad.
(d) uc > 0 y ucc < 0 : La función de utilidad es concava lo que nos señala que las
personas quieren suavizar y por lo general no siguen la trayectoria del ingreso.
2. Ecuación de Euler
• u
′(ct)
u′(ct+1)
= β(1 + r) define la trayectoria del consumo.
•
x =
 creciente si β(1 + r) > 1;constante si β(1 + r) = 1;
decreciente si β(1 + r) < 1.
.
• La trayectoria del consumo es independiente del ingreso.
• Si bien la trayectoria es independiente del ingreso, este determina si ahorra o se endeuda.
• La gente quiere suavizar el consumo : dado las preferencias cóncavas no quiere consumos
extremos.
1
3. Teoŕıa del Ingreso Permanente (Friedman)
• El consumo de los peŕıodos depende del ingreso de toda la vida.
• Ante cambios transitorios del ingreso el consumo responde menos por la suavización,
mientras que a cambios en el ingreso permanente el consumo vaŕıa uno a uno.
• La distribución del ingreso no afecta al consumo, sin embargo es determinante para el
ahorro.
• En horizontes largos de tiempo un shock de ingreso T es marginal ,es decir tiene poco
efecto y este es menor a medida se retrasa en el tiempo.
• El consumo se ajusta anticipadamente a las variaciones del ingreso.
4. Teoŕıa del Ciclo de la Vida (Modigliani)
• Supuestos: No hay sistema de pensiones; mercado de capitales perfectos y perfecta
certidumbre.
• El ciclo es el siguiente: no percibe ingresos, luego trabaja y finalmente se jubila.
• Individuos tratan de suavizar su consumo y para ello deben ahorrar y desahorrar en su
ciclo de vida, para mantener un consumo parejo.
Figure 1: Teoŕıa del ciclo de la vida
Consumo bajo Incertidumbre
1. Problema de optimización
•
max
~c
Et {U(~c)} = Et
{
T∑
s=0
βsu(ct+s)
}
s.a Et
{
T∑
s=0
ct+s
(1 + r)s
+
AT
(1 + r)T
}
≤ Et
{
A0 +
T∑
s=0
yt+s
(1 + r)s
}
2
• Note que la CPO u
′(ct)
Et{u′(ct+1)} = β(1 + r) es la ecuación de Euler.
• Se mantienen los supuestos anteriores salvo el de perfecta certidumbre.
2. Ecuación de Euler
• u
′(ct)
Et{u′(ct+1)} = β(1 + r) define la trayectoria del consumo en valor esperado.
•
x =
 creciente si β(1 + r) > 1;constante si β(1 + r) = 1;
decreciente si β(1 + r) < 1.
.
• La trayectoria del consumo es independiente del ingreso.
• Si bien la trayectoria es independiente del ingreso, este determina si ahorra o se endeuda.
3. Teoŕıa del Camino Aleatorio de Hall
• u(ct) = ct − a2 c
2
t y u
′(ct) = 1− act que se asume mayor que cero, y u′′(ct) = −a < 0.
• Si β(1 + r) = 1 tenemos que ct = Et{ct+1}.
• El consumo sigue un camino aleatorio ct = ct−1 + et.
4. Teoŕıa del Ahorro precautorio de Carrol
• u′′′(c) > 0 (utilidad marginal convexa ) lo que hace que ignorar la incertidumbre no es
solución.
• Existe un ahorro adicional por la incertidumbre.
3
2.Ejercicios Consumo bajo Certidumbre
1. Analice el caso de un individuo que vive sólo 2 periodos con ingresos (Y1;Y2) = (55; 105) y
que se puede endeudar en el mercado a unaa tasa r=10%. Suponga que las preferencias del
individuo son
ln(C1) + β ln(C2)
donde β = 11+10% . Además el páıs tiene una deuda iniciales (B0) de 50. Por lo tanto
suponemos que B0 = −50. Esta deuda tiene una tasa de interés r0 = 10%.
(a) Escriba las restricciones presupuestarias en el periodo 1 y 2 que enfrenta este páıs.
Además escriba la restricción presupuestaria intertemporal.
R: Para escribir las restricciones de cada peŕıodo hay que pensar siempre algo del tipo
”lo que quiero hacer” tiene que ser menor o igual a lo que ”tengo”. Luego, en el primer
periodo el individuo tiene un ingreso de Y1 y debe pagar una deuda más los intereses de
(1 + r0)B0. Por otro lado, el individuo busca (o quiere) consumir (C1) y ahorrar (S1).
Luego1,
lo que quiero hacer = lo que tengo
C1 + S1 = Y1 + (1 + r0)B0 (1)
Análogo para el peŕıodo 2, obtenemos que
C2 + S2 = Y2 + (1 + r1)S1
Notar que podemos modificar la ecuación anterior, ya que como el individuo vive so-
lamente dos peŕıodos no es óptimo ahorrar para un peŕıodo que no llegará o , de otra
manera, nadie prestará. Por ende, podemos decir que S2 = 0. Aśı, nos queda que para
el peŕıodo 2
C2 = Y2 + (1 + r1)S1 (2)
Para encontrar la restricción presupuestaria intertemporal, básicamente combinamos
(1) y (2). Aśı, de (1)
S1 = Y1 + (1 + r0)B0 − C1
Remplazando en (2),
C2 = Y2 + (1 + r1)S1
C2 = Y2 + (1 + r1)(Y1 + (1 + r0)B0 − C1)
C2
1 + r1
=
Y2
1 + r1
+ Y1 + (1 + r0)B0 − C1
C1 +
C2
1 + r1
= Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
1Dado que la función de utilidad es estrictamente cóncanva (o que no hay saciedad) la restricción se satisface
con igualdad
4
Aśı, la restricción intertemporal no es más que el valor presente del consumo no puede
sobrepasar al valor presente de los ingresos,
C1 +
C2
1 + r1
= Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
(b) Obtenga los niveles de consumo óptimo y el ahorro óptimo en los periodos 1 y 2.
R:Para encontrar los niveles de consumo óptimo se resuelve
max
C1,C2
ln(C1) + β ln(C2) (3)
s.a
C1 +
C2
1 + r1
= Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
Se plantea el lagrangeano
£ = ln(C1) + β ln(C2) + λ
(
Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
− C1 −
C2
1 + r1
)
(4)
Las condiciones de primer orden son
[C1] :
1
C1
= λ
[C2] :
β
C2
=
λ
1 + r1
Ordenando ambas, se tiene que
C2
C1
= β(1 + r1)
Donde obtenemos la siguiente relación
βC1 =
C2
1 + r1
(5)
Remplazando la ecuación anterior en la restricción presupuestaria se tiene
C1 +
C2
1 + r1
= Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
C1 + βC1 = Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
C1(1 + β) = Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
C1 =
1
1 + β
(
Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
)
5
Aśı, tenemos que los consumos óptimos (sin remplazar los valores) son
C∗1 =
1
1 + β
(
Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
)
Utilizando βC1 =
C2
1+r1
⇔ C2 = β(1 + r1)C1 tenemos que
C∗2 =
β(1 + r1)
1 + β
(
Y1 + (1 + r0)B0 +
Y2
1 + r1
)
Utilizando los valores del enunciado se tiene que
(C∗1 , C
∗
2 ) = (50, 50)
Para encontrar la balanza comercial el ahorro, utilizamos su definición:
St = Yt + (1 + rt−1)St−1 − Ct
Aśı, para el peŕıodo 1
S1 = Y1 + (1 + r0)B0 − C1 = 55− 55− 50 = −50
(c) Suponga que el Fondo Monetario Internacional (FMI) está considerando dos programas
para ayudar a este individuo. Estos dos programas de ayuda internacional son:
(i) Programa de reducción de deuda (PRD): que disminuye el nivel de deuda inicial
desde 50 a 40. Es decir, B0 = −40.
(ii) Programa de deuda subsidiada (PDS): el FMI permitiŕıa que el individuo pudiera
pedir préstamos a la tasa r=0% , aunque se mantendŕıa r0 = 10%. Es decir, la tasa
subsidiada seŕıa sólo para la nueva deuda y no para el pago de B0.
¿Cuáles son los efectos de PRD sobre el ahorro en el periodo 1? Explique (no es nece-
sario hacer cálculos).
R: Notar que la reducción en la deuda es un aumento en los ingresos del individuo. Al
no existir cambio en la tasa de interés, la condición de optimalidad se mantiene
C2
C1
= β(1 + r1)
la que incorporando los valores del enunciado nos queda
C2
C1
= 1⇔ C2 = C1
Luego, el individuo tendrá más ingresos por lo que consuimá más de ambos bienes
(C1 ↑). Dado que el ahorro es S1 = Y1 + (1 + r0)B0 − C1, y que no cambia Y1 pero siaumenta C1 y cae B0, tendremos que
S1 = Y1 + (1 + r0)B0 ↑ −C1 ↑
el efecto es incierto.
6
(d) ¿Cuáles son los efectos de PDS sobre el ahorro en periodo 1? Explique (no es necesario
hacer cálculos).
R: Notar que la cáıda en la tasa de interés a 0 tiene dos efectos. En primer lugar
aumenta el lado derecho de la restricción intertemporal debido a que aumenta el valor
presente de los ingresos; en segundo lugar incentiva al individuo a consumir más en el
presente. Este último punto se puede notar en la condición de optimalidad
C2
C1
= β(1 + r1)⇔ C2 = β(1 + r1)C1
Al caer r1, en el óptimo vamos a consumir menos en C2 y más en C1. Luego, ambos
efectos llevan a aumentar el consumo en el primer peŕıodo C1 ↑. Dado que el ahorro es
S1 = Y1 + (1 + r0)B0 − C1, y que no cambia Y1 ni B0, pero si aumenta C1, tendremos
que
TB1 ↓= Y1 − C1 ↑
Por lo que va a disminuir.
(e) Calcule los niveles de consumo del páıs bajo PDS y PRD ¿Usted piensa que el páıs
prefiere PRD o PDS?
R:Para el caso de PRD, solamente debemos remplazar en los resultados de (b) los
valores del enunciado, pero ahora en lugar de utilizar B0 = −50 utilizaremos B0 = −40.
Con esto, se tiene que
(CPRD1 , C
PRD
2 ) = (55.762; 55.762)
Para el caso de PDS, solamente debemos remplazar en los resultados de (b) los valores
del enunciado, pero ahora en lugar de utilizar r1 = 10% utilizaremos r
PDS
1 = 0%. Con
esto, se tiene que
(CPDS1 , C
PDS
2 ) = (55; 50)
¿Qué poĺıtica elegir?
Para responder esto, básicamente comparamos los niveles de utilidad bajo las distintas
poĺıticas. Aśı, para PRD tenemos que
UPRD = ln(CPRD1 ) + β ln(C
PRD
2 ) = ln(55.762) +
1
1.1
ln(55.762) = 7.676
Mientras que para PDS, tenemos que
UPDS = ln(CPDS1 ) + β ln(C
PDS
2 ) = ln(55) +
1
1.1
ln(50) = 7.563
Dado que
UPRD > UPDS
escogemos la poĺıtica PRD.
7
2. Asuma que la función de utilidad instantánea es
u(C) = ln(c1) + β ln(c2)
Considere el t́ıpico problema de un individuo maximizador de utilidad sujeto a sus ingresos,
ima tasa de interés y parámetros de la función de utilidad. Encuentre el consumo óptimo de
ambos peŕıodos en función del ingreso, tasa de interés y factor de descuento.
R: Se resuelve
max
c1,c2
U(c1, c2) = ln(c1i) + β ln(c2i) s.a c1 +
c2
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
La ecuación de Euler nos queda
c2
c1
= β(1 + r)⇔ c2 = β(1 + r)c1
Aśı, dado esa condición e introduciendo esto en la restricción
c1 +
c2
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
c1 +
β(1 + r)c1
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
Despejando c1 tenemos
c∗1 =
1
1 + β
{
y1 +
y2
1 + r
}
Luego,
c2 = β(1 + r)c
∗
1 =
β(1 + r)
1 + β
{
y1 +
y2
1 + r
}
El ahorro s1 es igual a
s∗1 = y1 − c∗1 = y1 −
{
1
1 + β
{
y1 +
y2
1 + r
}}
3. Discuta acerca el sentido económico de la ecuación de Euler y comente lo siguiente: el ingreso
va a determinar la trayectoria de mi consumo, y lo que mi óptimo que yo elijo es por mis
preferencias.
R: La implicancia de la ecuación de Euler es que la trayectoria de mi consumo va a estar
determinado por β(1 + r) que es independiente de mi ingreso. Acá se puede apreciar que hay
dos fuerzas, la primera β nos hace querer más consumo en el presente (ya que es menor que
uno) y otra fuerza que nos hace llevar consumo hacia el futuro (1 + r), luego
x =
 creciente si β(1 + r) > 1;constante si β(1 + r) = 1;
decreciente si β(1 + r) < 1.
Ahora, si bien define la trayectoria de consumo , el cuanto consumo va a estar determinado
por el ingreso como tambien lo va a estar si es ahorrante o deudor.
8
4. Suponga U(c1, c2) = ln(c1i) + β ln(c2i) ¿Qué ocurre con la ecuación de Euler si existen im-
puestos a ci de tasa τi(puede que sean distintas o iguales tasas)? Discuta acerca de la
distorsión que producen los impuestos.
R: Se resuelve
max
ci
U(c1, c2) = ln(c1i) + β ln(c2i) s.a c1(1 + τ1) +
c2(1 + τ2)
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
La ecuación de Euler nos queda
c2
c1
= β(1 + r)
(1 + τ1)
(1 + τ2
Notar que cuando los impuestos son iguales, τ1 = τ2, no van a ser distorsionadores ya que la
ecuación de Euler nos queda igual a caso sin impuestos
c2
c1
= β(1 + r)
Los anterior se debe a que lo que importa es el precio relativo entre ambos bienes.
Cuando los impuestos son diferentes el análisis es el mismo. El efecto que tenga va a depender
de que impuesto es mayor para ver el peso o el incentivo que hace para traer consumo tanto
para el futuro o al presente. Si es mayor el impuesto en 2 relativo a 1 (τ2 > τ1) entonces hay
mayor incentivo a consumir más del bien 1.
5. Explique los efectos que tiene un aumento de la tasa de interés en los consumos de un agente
que vive solo dos peŕıodos y en el ahorro. Distinga entre efecto sustitución y efecto ingreso.
R: A pesar de que un aumento en la tasa de interés provoca un patrón de consumo más
inclinado (más en el futuro viendo la ecuación de Euler) no necesariamente implica que un
aumento de la tasa reduce el consumo presente y por ende aumetar el ahorro.
La complicación es que el cambio en la tasa de interés no solo tiene efecto sustitución sino
tambien efecto ingreso, en primer lugar tiene un efecto sustitución que hace disminuir el
consumo del peŕıodo inicial (se hace relativamente más caro), pero tiene un efecto ingreso
(está más rico o más pobre) que depende si es ahorrador(Estoy ahorrando y aumenta la tasa
tengo más) o deudor(si tengo una deuda y me aumenta la tasa debo más por lo que estoy más
pobre). Espećıficamente, si el individuo es un ahorrador neto el aumento en la tasa implica
que el pueda tener mayor patrón de consumo.
Para ver lo anterior, supongamos el t́ıpico problema en dos peŕıodos ya que podemos ocupar
curvas de indeferencias. Luego, graficando lo anterior a mayor tasa , la recta de pendiente
(1+r) se hace más inclinada pero sigue pasando por la canasta inicial.
9
Luego, en un primer caso el individuo tiene ahorro igual a cero. En este caso el aumento
en r no tiene efecto ingreso, y dado que el individuo estaba situado en la canasta inicial el
consumo del primer peŕıodo cae y por ende el ahorro aumenta.
En un segundo caso, el individuo es un ahorrador. Aśı, un aumento en r tiene un efecto in-
greso positivo (el individuo puede consumir más que su canasta inicial). Aśı el efecto ingreso
produce que disminuya el ahorro, sin embargo el efecto sustitución actua al igual que en el
caso aumentando el ahorro. Luego, el efecto es ambiguo.
En un tercer caso el individuo es deudor, en este caso el efecto ingreso y sustitución van en
el mismo sentido disminuyendo el consumo del primer peŕıodo y aumentando el ahorro.
En sintesis, lo que provoca este aumento de la tasa de interés va a depender de si el individuo
es ahorrador o deudor neto.
6. Considere un individuo que vive por dos peŕıodos y maximiza la siguiente función de utilidad
U = ln(c1) + β ln(c2)
donde ci es el consumo en el peŕıodo i, con i = 1, 2; β =
1
1+ρ representa el factor de descuento
intertemporal y ρ la tasa de descuento (que refleja sus preferencias por el futuro respecto al
presente). El individuo recibe flujos de ingreso y1 e y2 en los peŕıodos 1 y 2 , respectivamente.
Suponga que hay una tasa de interés r y en donde la tasa de descuento es igual a la tasa de
interes r en todo momento (r y ρ se mueven conjuntamente)
(a) Escriba la restricción presupuestaria intertemporal del individuo y encuentre las expre-
siones para el consumo y el ahorro individual en ambos peŕıodos en función de los flujos
de ingreso y la tasa de interés ¿Qué pasa con el ahorro cuando y1 = y2?
R: Se resuelve
max
ci
U(c1, c2) = ln(c1) + β ln(c2) s.a c1 +
c2
1 + r
= y1 +
y2
1 + r
La ecuación de Euler nos queda
c2
c1
= β(1 + r) = 1
Luego,
c∗1 =
1 + r
2 + r
{
y1 +
y2
1 + r
}
c∗2 =
1 + r
2 + r
{
y1 +
y2
1 + r
}
s∗1i = y1 −
{
1 + r
2 + r
{
y1 +
y2
1 + r
}}
=
y1 − y2
2 + r
10
Luego, si y1 = y2 es trivial notar que el ahorro es cero y que c1 = y1 y c2 = y2 ,
que intuitivamente es porque los individuos quieren tener un consumo constante en el
tiempo y dado que tienenel mismo ingreso lo dividen en dos.
(b) Ahora estudiaremos el impacto de un cambio en la tasa de interés sobre el ahorro en los
casos extremos:
(i) ¿Cuál es el signo del impacto de un aumento en la tasa de interés sobre el ahorro,
cuando todo su ingreso se recibe en el peŕıodo 1, es decir y2 = 0?
R: Para resolver esto usamos las derivadas, aśı
∂s1
∂r
=
−y1
(2 + r)2
< 0
Intuitivamente es porque dado que quiero mantener un consumo constante (piensenlo
en que tengo que dividir mi ingreso en dos) y dado que la tasa es mayor tengo que
ahorrar menos , ya que con una tasa mayor menos ingreso se transforma en más
ingreso en el futuro si lo invierto.
(ii) ¿Cuál es el signo del impacto de un aumento en la tasa de interés sobre el ahorro,
cuando todo su ingreso se recibe en el peŕıodo 2, es decir y1 = 0?
R: Para resolver esto usamos las derivadas, aśı
∂s1
∂r
=
y2
(2 + r)2
> 0
La intuición es análoga a la anterior solo que en sentido contrario.
7. Considere una persona que vive dos peŕıdos t y t+ 1 y sus ingresos son y1 > y2 con una tasa
de interés r.
(a) Determine la restricción presupuestaria de este individuo.
R: En el peŕıodo t consumo o ahorra y eso debe ser igual a su ingreso
Ct + st = yt
Luego, en el peŕıodo siguiente (y suponiendo que muero en t+ 1 lo que nos hace s2 = 0)
tengo que consumir solamente, pero ahora mi ingreso está dado por lo que recibo en
t+ 1 más lo ahorrado que fue invertido a tasa (1 + r)
C2 + s2 = y2 + s1(1 + r)
Dado que existen mercados capitales perfectos (sin este supuesto el resultado seŕıa dis-
tinto) tenemos que
Ct +
Ct+1
1 + r
≤ yt +
yt+1
1 + r
11
(b) Suponga a esta persona le interesa tener el mismo consumo en ambos peŕıdos. Encuen-
tre el valor de este.
R: La idea de que nos digan ”le interesa tener el mismo consumo” es que nos están
dando la ecuación de Euler de otra manera, seŕıa algo como β(1 + r) = 1. Luego, lo que
sige es trivial , tomamos esta identidad y la incorporamos a la restricción (maximización
con restricciones) aśı
C∗t = C
∗
t+1 =
(
1 + r
2 + r
)(
y1 +
y2
1 + r
)
(c) Si las preferencias de este individuo son tales que desea consumir el doble del primer
peŕıodo t en el peŕıodo t+ 1, identifique ambos consumos.
R: Análogo al anterior solo que ahora quiere una relación de ct+1 = 2ct luego, incorpo-
ramos esto a la restricción y nos queda
C∗t =
(
1 + r
3 + r
)(
y1 +
y2
1 + r
)
C∗t+1 = 2
(
1 + r
3 + r
)(
y1 +
y2
1 + r
)
(d) Suponga ahora que el gobierno ha instaurado un nuevo impuesto de suma alzada de T
en cada peŕıodo. Encuentre la nueva restricción presupuestaria ¿Cambia la ecuación de
Euler?
R: Un impuesto de suma alzada es un impuesto de monto fijo Ti independiente de las
caracteŕısticas del individuo.
Aśı en el primer peŕıodo consumo, ahorro y tengo que pagar un tax, luego la restricción
en el peŕıodo t
Ct + st + Tt = yt
Y en el peŕıodo dos (Análogo a la letra anterior)
Ct+1 + Tt+1 = yt+1 + st(1 + r)
Que dado mercados de capitales perfectos
Ct +
Ct+1
1 + r
≤ yt +
yt+1
1 + r
−
{
Tt +
Tt+1
1 + r
}
Luego, es trivial notar que no cambia la ecuación de Euler (si uno resuelve el problema
queda igual),ya que estos tax tienen puramente efecto ingreso y no cambian los pre-
cios relativos, aunque si podŕıan cambiar la posición del individuo (es decir, pasar de
ahorrante a deudor por ejemplo)
12
8. (Dificil) Suponga un individuo con la siguiente función de utilidad
U = ln(c) + ρ ln(ψ)
donde ψ > 0 es una proxy del bienestar de su hijo y ρ es la valoración que tiene el individuo
del bienestar de su hijo. Aśı, si ρ → 1 básicamente valora tanto su bienestar como el de su
hijo de manera igual; si ρ → 0 no le interesa el bienestar de su hijo y ρ < 0 implica que el
bienestar de su hijo le molesta (mal padre).
Además se sabe que ψ = φ+ h en donde h es la herencia que le deja el individuo a su hijo y
φ es un parámetro exógeno que mide el valor presente del ingreso del hijo.
El individuo tiene hoy una riqueza de β y enfrenta un mercado financiero perfecto a tasa r.
(a) Plantee el problema de maximización del individuo.
R: El individuo tiene que consumir y además dejar herencia, aśı la primera restricción
es
c+ h = β
Luego, sabemos tambien que ψ = φ+ h, aśı el individuo resuelve
max
c,h
U = ln(c) + ρ ln(ψ) s.a c+ h = β ψ = φ+ h
Podemos dejar todo expresado en terminos de h, aśı el individuo
max
h
U = ln(β − h) + ρ ln(φ+ h)
(b) Encuentre el consumo y herencia óptimos para el individuo. Explique el rol de φ ¿Puede
ser h < 0?¿Qué significaŕıa?
R: Se resuelve
max
h
U = ln(β − h) + ρ ln(φ+ h)
Derivando e igualando a cero, tenemos
1
β − h
− ρ
φ+ h
= 0
Despejando h, tenemos
h∗ =
ρβ − φ
1 + ρ
que vemos puede ser positiva o negativa dependiendo de del tamaño realtivo de φ que
son los ingresos del hijo. Aśı, si el hijo tiene mucha plata no le encuentra sentido a
dejarle herencia e incluso podŕıa endeudarse con el. De hecho h > 0 si ρβ > φ es decir
hay un nivel de ingreso en que el individuo ya no le da herencia.
Para encontrar c, usamos c∗ + h∗ = β aśı
c∗ = β −
{
ρβ − φ
1 + ρ
}
=
β + φ
1 + ρ
13
(c) Suponga que ahora φ = aw con a = θe
1
2 y w un parámetro exógeno positivo y e es
la inversión en educación. Calcule la herencia e inversión en educación que hace con-
dorito si θ > 0 ¿Puede ser e = 0? ¿Como se relaciona e con h ? ¿Qué ocurre si cambia θ?
R: El individuo tiene que consumir , invertir en educación y además dejar herencia, aśı
la primera restricción es
c+ h+ e = β
Luego, sabemos tambien que ψ = e
1
2w + h, aśı el individuo resuelve
max
c,h
U = ln(c) + ρ ln(ψ) s.a c+ h = β ψ = θe
1
2w + h
Podemos dejar todo expresado en terminos de h y e, aśı el individuo
max
e,h
U = ln(β − h− e) + ρ ln(θe 12w + h)
Derivando parcialmente igualando a cero, tenemos
∂£
∂h
=
1
β − e− h
− ρ
θe
1
2w + h
= 0
∂£
∂e
=
1
β − e− h
−
1
2 · θρ · e
−1
2 w
θe
1
2w + h
= 0
Resolviendo esto, lo primero que podemos notar es que
1
β − e− h
=
ρ
θe
1
2w + h
=
1
2 · θρ · e
−1
2 w
θe
1
2w + h
Lo cual implica que dado que ρ
θe
1
2w+h
=
1
2 ·θρ·e
−1
2 w
θe
1
2w+h
ρ =
1
2
· θρ · e
−1
2 w
e∗ =
(
θw
2
)2
Luego, introduciendo esta inversión en eduación óptima en alguna CPO obtenemos la
herencia óptima, ocupando la primera
1
β − e− h
=
ρ
θe
1
2w + h
θe
1
2w + h = ρ(β − e− h)
h∗ =
ρβ − ρe∗ − θe
1
2
∗ w
1 + ρ
14
Ahora, usando e∗ =
(
θw
2
)2
h∗ =
ρβ −
(
θw
2
)2
(2 + ρ)
1 + ρ
La relación de e y h es una relación inversa, la cual se puede ver en
h∗ =
ρβ − ρe∗ − θe
1
2
∗ w
1 + ρ
La intuición es que ambos ,tanto h como e , son tipos de ”herencias” uno en forma de
dinero y la otra en educación.
9. Considere un individuo que vive por tres peŕıodos: en el peŕıodo 1 su ingreso es y1 = y y en
el peŕıodo 2 el ingreso crece a una tasa γ, es decir y2 = y(1 + γ). Finalmente, en el peŕıodo
3 se jubila y no tiene ingresos, i.e y3 = 0. La tasa de interés es cero y por otra parte su
función de utilidad es tal que siempre querrá un consumo parejo durante toda su vida (i.e
c1 = c2 = c3).
(a) Calcule el consumo y ahorro (si) en cada peŕıodo.
R: Sabemos que en el problema general
T∑
s=0
ct+s
(1 + r)s
+
AT
(1 + r)T
≤ A0 +
T∑
s=0
yt+s
(1 + r)s
Luego ,el valor presente del ingreso y dado que la tasa es igual a cero
T∑
s=0
yt+s
(1 + r)s
= y + y(1 + γ)
Y dado que quiere tener un consumo parejo y además de la tasa igual cero
C1 = C2 = C3 =
1
3
(y + y(1 + γ))
Luego,
s1 = y −
1
3
(y + y(1 + γ))
s2 = y(1 + γ)
1
3
(y + y(1 + γ))
s3 = −
1
3
(y + y(1 + γ))
(b) Suponga que en esta economı́a no hay crecimiento del ingreso ni de la población ¿Qué
pasa con el ahorro agregado en cada momento?
R: Va a depender de muchas cosas :si los agentes son homogéneos o heterogeneos ,
además si es un bien perecible o no o si estamos en economı́a cerrada o abierta. Aśı por
ejemplo, si son homogeneos con bien no perecible y en economı́a cerrada básicamente el
agregado va a ser la suma de los ahorros individualesy si son heterogéneos la suma del
ahorro agregado debe ser cero (transan entre ellos), lo cual no va a ser cierto si estamos
en economı́a abierta.
15
2.Ejercicios Consumo bajo Incertidumbre
1. (Dificil) En el modelo de camino aleatorio de Hall encuentre una expresión para el término
del error asumiendo que β(1 + r) = 1 y discuta su intuición.
R: Sabemos que si β(1 + r) = 1 y r = 0, entonces:
C1 =
1
T
(
A0 +
T∑
t=1
E1(Yt)
)
Luego, dado que Ct = Ct−1 + et y
C2 =
1
T − 1
(
A1 +
T∑
t=2
E2(Yt)
)
Y como A1 = Y1 +A0 − C1
C2 =
1
T − 1
(
Y1 +A0 − C1 +
T∑
t=2
E2(Yt)
)
Ahora, sumando un cero conveniente
C2 =
1
T − 1
(
Y1 +A0 − C1 +
T∑
t=2
E2(Yt) +
T∑
t=2
E1(Yt)−
T∑
t=2
E1(Yt)
)
C2 =
1
T − 1
(
Y1 +A0 − C1 +
T∑
t=2
E1(Yt) +
(
T∑
t=2
E2(Yt)−
T∑
t=2
E1(Yt)
))
Luego, de
C1 =
1
T
(
A0 +
T∑
t=1
E1(Yt)
)
tenemos que TC1 = A0 +
∑T
t=1E1(Yt) y remplazando
C2 =
1
T − 1
(
TC1 − C1 +
(
T∑
t=2
E2(Yt)−
T∑
t=2
E1(Yt)
))
C2 = C1 +
1
T − 1
(
T∑
t=2
E2(Yt)−
T∑
t=2
E1(Yt)
)
C2 − C1 =
1
T − 1
(
T∑
t=2
E2(Yt)−
T∑
t=2
E1(Yt)
)
La expresión anterior nos refleja que los cambios del consumo entre el peŕıodo 1 y el peŕıodo
2 es igual al cambio de la estimación que el individuo hace de sus recursos de todas su vida
divido por el número de periodos que quedan.
16
2. En muchos casos los datos actuales no nos dicen mucho acerca del consumo en peŕıodos
extensos. Este problema nos lleva a examinar estos efectos. Suponga que el consumo sigue
un camino aleatorio
ct = ct−1 + et
en donde e es un error sin ruido (con esperanza igual a cero y no covaŕıa no nada).
Suponga que los datos nos muestran el promedio el consumo entre dos intervalos, esto es ,
uno observa
ct + ct+1
2
,
ct+2 + ct+3
2
(a) Encuentre una expresión del cambio en la medida del consumo de un periodo (anteri-
ormente definido) para los próximos terminos de e.
R: Necesitamos encontrar una expresión para
ct+2 + ct+1
2
− ct+1 + ct
2
Podemos escribir Ct+1, Ct+2, Ct+3 en termino de Ct y los e. Espećıficamente
Ct+1 = Ct + et+1
Ct+2 = Ct+1 + et+2 = Ct + et+1 + et+2
Ct+3 = Ct+2 + et+3 = Ct + et+1 + et+2 + et+3
Luego,
ct+2 + ct+1
2
− ct+1 + ct
2
=
ct + et+1 + et+2 + Ct + et+1
2
− ct + et+1 + ct
2
ct+2 + ct+1
2
− ct+1 + ct
2
=
et+3 + 2et+2 + et+1
2
Que luego de unas manipulaciones parecidas a las anteriores podemos hacer
ct + ct+1
2
− ct−2 + ct−1
2
=
et+1 + 2et + et−1
2
(b) ¿Es el cambio en el consumo no correlacionado con los previos valores del cambio del
consumo? Con respecto a esto ¿Sigue un camino aleatorio?
R: Es básicamente ver como covaŕıan estos
Cov
{
ct+2 + ct+1
2
− ct+1 + ct
2
;
ct + ct+1
2
− ct−2 + ct−1
2
}
Cov
{
ct+2 + ct+1
2
− ct+1 + ct
2
;
ct + ct+1
2
− ct−2 + ct−1
2
}
= Cov
{
et+3 + 2et+2 + et+1
2
;
et+1 + 2et + et−1
2
}
17
Como los errores estan no correlacionados con los otros errores Cov{et, et+j} = 0 nos
queda que
Cov
{
ct+2 + ct+1
2
− ct+1 + ct
2
;
ct + ct+1
2
− ct−2 + ct−1
2
}
=
σ2e
4
Con σ2e es la varianza de los errores. Aśı, la medida de consumo está correlacionado con
los valores previos., y como es positiva implica que la medida de consumo en t, t+ 1 es
mayor que la medida de consumo en el peŕıodo t− 2, t− 1.
Dado que cuando una variable sigue un camino aleatorio, los cambios sucesivos de la
variable no están correlacioandos, y dado el resultado anterior que nos dice que están
correlacionados positivamente lo que nos da información sobre el cambio del consumo
en el futuro.
(c) Suponga que la medida del consumo de dos intervalos no es el promedio del intervalo,
sino que se observa ct+1 y ct+3 y aśı ¿Sigue entonces un camino aleatorio?
R: Podemos escribir ct+3 como función de ct+1 y los e. Espećıficamente,
ct+3 = ct+2 + et+3 = ct+1 + et+2 + et+3
Aśı, el cambio del consumo en una peŕıodo de dos periodos es
ct+3 − ct+1 = ct+1 + et+2 + et+3 − ct+1 = et+2 + et+3
Y análogo al caso anterior
ct+1 − ct−1 = et + et+1
Luego,
Cov{ct+3 − ct+1; ct+1 − ct−1} = Cov{et+2 + et+3; et + et+1}
Y como los errores no están correlacionados entre si , la covarianza es cero. En este
caso, la medida sigue un camino aleatorio.
3. Dificil: (Hansen and Singleton)Suponga una función de utilidad instantánea
u(ct) =
c1−θt
1− θ
, θ > 0
Asuma que la tasa de interés es r y es constante , pero no necesariamente igual a ρ.
(a) Encuentre la ecuación de Euler que relaciona ct con la esperanza de ct+1.
R: Dado que
u(ct) =
c1−θt
1− θ
, θ > 0
Luego,
u′(ct) = c
−θ
t
Aśı
u′(ct)
Et(u′(ct+1))
= fracc−θt Et(c
−θ
t+ ) = β(1 + r)
c−θt = β(1 + r)Et(c
−θ
t+1)
18
(b) Suponga que el log(·) del ingreso está distribúıdo normalmente, y como resultado el log-
aritmo de ct+1 está distribúıdo normalmente, sea σ
2 la varianza condiconal en la infor-
mación disponible en t. Escriba la expresión de (a) en terminos de ln(ct), Et(ln(ct+1)),σ
2
y los parámetros ,r ,ρ y θ. (Recuerde que si una variable x está distribúıda normal con
media µ y varianza v, E(ex) = eµe
v
2 ).
R: Tenemos la siguiente expresión:
c−θt = β(1 + r)Et(c
−θ
t+1)
Y podemos escribir , usando propiedades del logaritmo
c−θt+1 = e
−θ ln(Ct+1)
Luego,
c−θt = β(1 + r)Et(c
−θ
t+1) = β(1 + r)Et(e
−θ ln(Ct+1))
Y dado que tenemos que dejar todo en expresión de logaritmos, aplicamos log
ln(c−θt ) = ln
(
β(1 + r)Et(e
−θ ln(ct+1))
)
−θ ln(ct) = ln(β(1 + r)) + ln
(
Et(e
−θ ln(ct+1))
)
Luego, como señala el enunciado E(ex) = eµe
v
2 , aśı(
Et(e
−θ ln(ct+1))
)
= e(Et(e
−θ ln(ct+1)))e
θ2v
2
Ya que
V ar(−θ ln(ct+1)) = θ2V ar(ln(ct+1)) = θ2σ2
Luego,
−θ ln(ct) = ln(β(1 + r)) + ln
(
e(Et(e
−θ ln(Ct+1)))e
θ2σ2
2
)
−θ ln(ct) = ln(β(1 + r))− θEt((Ct+1)) +
θ2σ2
2
ln(ct) = Et((Ct+1))−
ln(β(1 + r))
θ
− θσ
2
2
(c) Muestre que si r y σ2 son constantes en el tiempo, el resultado anterior implica que
el log del consumo sigue un consumo aleatorio con drift : ln(ct+1) = a + ln(ct) + ut+1
siendo u un error sin ruido.
R: De la expresión anterior
ln(ct) = Et(ln(Ct+1))−
ln(β(1 + r))
θ
− θσ
2
2
19
y reordenando
Et(ln(Ct+1)) = ln(ct) +
ln(β(1 + r))
θ
+
θσ2
2
Lo que implica que se espera que cambie el consumo en un monto constante, ya que
existe una parte que es impredecible. De hecho, por la definición de esperenza podemos
escribir
ln(Ct+1) = ln(ct) +
ln(β(1 + r))
θ
+
θσ2
2
+ ut+1
Con un error u que tiene media cero. Luego, el consumo sigue un camino aleatorio con
drift en donde el parámetro de drift es ln(β(1+r))θ +
θσ2
2
(d) ¿Cómo cambia respecto a r y a σ2 la esperanza del crecimiento del consumo
Et(ln(ct+1)− ln(ct)
Interprete el efecto de σ2 en vista del ahorro precautorio.
R: Ocupando el resultado anterior
Et(ln(Ct+1)) = ln(ct) +
ln(β(1 + r))
θ
+
θσ2
2
Podemos hacer
Et(ln(Ct+1))− ln(ct) =
ln(β(1 + r))
θ
+
θσ2
2
Et(ln(Ct+1)− ln(ct)) =
ln(β(1 + r))
θ
+
θσ2
2
Aśı,
∂ {Et(ln(Ct+1)− ln(ct))}
∂β
= frac1βθ > 0
∂ {Et(ln(Ct+1)− ln(ct))}
∂r
= frac1(1 + r)θ > 0
∂ {Et(ln(Ct+1)− ln(ct))}
∂σ2
= fracθ2 > 0
4. Muestre que la solución del modelo de Hall en el modelo de Carrol del ahorro precautorio no
cumple la ecuación de Euler ¿Significa lo anterior que en el modelo de Hall nunca vamos a
tener ahorro precautorio y que solo los agentes aversos al riesgo van a tener ahorro precau-
torio?
R: Si β(1 + r) por simplicidad, tenemos que la solución del modelo de Hall
ct = Et(ct+1)
Luego, sabemos que en el modelo de Carrol u′′′()̇ > 0 por lo que en términos de utilidad
marginal es averso al riesgo, y además la utilidad marginal es una función convexa por lo que
se cumple la desigualdad de Jensen
E(u′(ct+1)) > u
′(E(ct+1))
20
Luego, si yo eligiera la solución de Hall, es decir la solución de una utiidad cuadrática no
seria una solución puesto que no satisface la ecuación de Euler. Lo anterior se ve en
E(u′(ct+1)) > u
′(E(ct+1))
Y como en el modelo de Hall
ct = Et(ct+1)
Tenemos que
E(u′(ct+1)) > u
′(ct)
5. Dado el modelo de los activos comente lo siguiente:
(a) En equilibrio los activos más demandados son los másrentables.
R: En equilibrio, todos los activos son igual de demandados. Lo anterior se ve en la
ecuación de Euler
u′(ct) = Et {βu′(ct+1)(1 + ri)}
Et
{
β
u′(ct+1)
u′(ct)
· (1 + ri)
}
= 1
Luego, si β u
′(ct+1)
u′(ct)
= mt+1
Et {mt+1 · (1 + ri)} = 1
Aśı, en equilibrio ∀i se cumple lo anterior, que básicamente nos señala que la utilidad
de hoy es igual a la utilidad esperada de mañana ajustada por riesgo.
(b) Los agentes valoran más los activos que covaŕıan negativamente con el consumo. Por lo
tanto , esos deben ser los activos con mayor rentabilidad en equilibrio.
R: Efectivamente los agentes valoran más aquellos activos que covaŕıan negativamente
con el consumo, porque cumplen el rol de un seguro que paga más en el estado malo
de la naturaleza para el consumidor. Como los valoran más, están dispuesto a pagar
un precio más alto y por den exigen una rentabilidad menor. En equilibrio esos activos
tendrán una rentabilidad menor.
En el modelo de clases, esto se puede ver en que
Et(ri)− r =
−Cov{ri, u′(ct+1)}
Et(u′(ct+1))
6. Considere un individuo que vive por tres peŕıodos y en donde su utilidad intertemporal viene
dada por
u(c1, c2, c3) = u(c1) + βu(c2) + β
2u(c3)
con
u(ct) = 100ct −
c2t
2
21
El individuo recibe un ingreso de acuerdo a su trabajo inicial en donde gana 10 um. Sin em-
bargo, tiene el riesgo de ser despedido, de hecho la probabilidad de despido en cada peŕıodo
es de 0,2.
Si el individuo es despedido no podrá trabajar en ese peŕıodo, pero después probablemente
encontrará otro trabajo en donde ganará 8um , lo anterior no se aplica si es despedido en el
tercer peŕıodo ya que en ese caso muere desempleado). La probablidad de ser contratado en
otro trabajo es de 0,7.
(a) Suponga que nos encontramos en el peŕıodo 1 y que el individuo sabe que no fue des-
pedido ¿Cuál es el ingreso esperado para el resto de su vida? Planteando y resolviendo
el problema de optimización, determine el consumo que elegirá el individuo hoy el con-
sumo esperado en los proximos resultados. Explique sus resultados ¿Ahorra en el primer
peŕıodo? ¿Existe ahorro precautorio?
R: El ingreso esperado:
E(y2 + y3) = 0.8 · (10 + 0.8 · 10 + 0.2 · 0) + 0.2 · (0 + 0.7 · 8 + 0.3 · 0) = 15.5
El primer término es la secuencia de ingreso esperada si no es despedido en el periodo 2.
De ser aśı, recibe 10 ese periodo, y el tercer periodo tiene probabilidad 0,8 de conservar
si empleo y recibir otros 50.
El siguiente término es la secuencia asociada al caso en que es despedido en el periodo
dos. De ser aśı, recibe 0 ese periodo, y con probabilidad 0,7 es contratado en el otro
trabajo al peŕıodo siguiente.
Luego,su riqueza esperada es 25.5
El problema del individuo es entonces
max
c1,E(c2),E(c3)
u(c1, c2, c3) = u(c1)+βu(c2)+β
2u(c3)+λ1(y1+E(y2+y3)−(c1+E(c2)+E(c3)))
Las condiciones de primer orden respecto al consumo son:
u′(c1) = 100− c1 = λ
E(u′(c2)) = 100− E(c2) = λ
E(u′(c3)) = 100− E(c3) = λ
De donde
c1 = E(c2) = E(c3) =
(y1 + E(y2) + E(y3))
3
= 8, 5
Como la tasa de interés es cero, el mercado no ofrece premio o castigo por consumir.
Las personas tampoco castigan el futuro. Si ello se combina con la utilidad cuadrática,
que hace que las personas no se vean afectadas por el riesgo, el perfil optimo de consumo
esperado es plano.
22
El primer periodo hay un ahorro positivo de 1,5 (s1 = y1 − c1). Esto NO es ahorro
precautorio, ya que habŕıa elegido el mismo ahorro en un mundo sin incertidumbre
en que el ingreso intertemporal fuera igual al ingreso esperado de este ejemplo. Es
decir, el ahorro no es un intento de asegurarse frente a la incertidumbre, sino el reflejo
que a futuro espero menos ingreso y por tanto quiero suavizar mi consumo esperado
ahorrando.
(b) Suponga que el individuo es despedido del trabajo a comienzos del peŕıodo 2. Determine
sus decisiones de consumo a partir de ese peŕıodo ¿Ahorra o se endeuda en el peŕıodo
2? Explique.
R: Al ser despedido, tiene un ingreso de cero ese periodo. En el periodo 3, con 0,7 de
probabilidad recibirá 8. Es decir, su ingreso esperado hacia el futuro es 5,6. Además,
tengo 1,5 ahorrados del periodo anterior, por lo que mis recursos totales esperados son
7,1.
Es fácil ver que nuevamente elegiré consumo esperado plano, ya que el problema es
análogo al del periodo 1. Por tanto,
c2 = E(c3) =
7, 1
2
= 3, 55
Es decir, en el periodo 2 consumo lo que hab́ıa ahorrado el periodo 1, y me endeudo en
2,05 a costa de mi ingreso esperado en el periodo 3.
(c) Supoga que ahora el individuo solo puede ahorrar , pero no endeudarse. Plantee el
nuevo probla de optimización, tomando en cuenta esta restricción ¿Como cambia su
decisión? ¿Hay ahora ahorro precautorio? (Hint: No es necesario resolver)
R: El individuo resuelve
max
c1,E(c2),E(c3),s1,E(s2)
u(c1) + E(u(c2)) + E(u(c3)) + λ1(y1 − c1 − s1)
+ λ2(s1 + E(y2)− E(c2)− E(s2)) + λ3(E(s2) + E(y3)− E(c3))
donde s1, s2 son los ahorros en los peŕıodos correspondientes.
Además, s1, E(s2) ≥ 0 E(s3) = 0 ya lo supońıamos al hacer la restricción intertemporal
en a)).
La existencia de restricciones de liquidez hace que ya no podamos escribir una única
restricción presupuestaria durante la vida.
¿Cómo afecta la restricción lo que ocurre el periodo 1? Para entenderlo, debemos pensar
en lo que puede ocurrir en el periodo 2. En b) vimos que, de quedar desempleado,
el individup se endeudaŕıa a costa del periodo 3 para poder mantener un consumo
relativamente alto. Esa opción ya estaba internalizada cuando los agentes decid́ıan
su consumo óptimo en la pregunta a). Al existir restricciones de liquidez, de quedar
desempleado en el peŕıodo 2Homero no podrá endeudarse y, por tanto, solo podrá
consumir lo que dejó ahorrado en el peŕıodo 1. Por ello, de no cambiarse el ahorro
23
del peŕıodo 1, el nivel de consumo esperado en el peŕıodo 2 es necesariamente menor
que el que teńıamos previamente. Ello implica que, se mantiene el nivel de ahorro
escogido en a), el consumo esperado del peŕıodo 2 será más bajo que el consumo del
peŕıodo 1, con lo que la condición de primer orden que iguala utilidades marginales
no se cumplirá. Por tanto, el ahorro escogido anteriormente no puede ser óptimo. El
nuevo ahorro óptimo debe ser mayor, reduciendo el consumo hoy y aumentando el valor
esperado del consumo mañana. Por tanto, en respuesta a la restricción de liquidez, los
agentes aumentan su ahorro, para tener un ”colchón” que los cubra, dado que ya no
pueden usar deuda, en caso de quedar desempleados.
24