Tarea 1 Enunciado

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EAE 210B Primer Semestre 2021
Profesores: Bernardita Vial, Rodrigo Fuentes, Tibor Heumann
Tarea 1
1. Pregunta 1
Considere un individuo que consume bienes x1, x2, cuyos precios son p1, p2 y tiene un
ingreso monetario m para su consumo. Para cada una de las siguientes funciones de
utilidad:
(a) u = log x1 + log x2;
(b) u =
√
x1 +
√
x2;
(c) u = (x1)
2 + (x2)
2;
(d) u =
√
x1 + 1 +
√
x2 + 1;
realice el siguiente análisis:
(i) Dibuje las curvas de indiferencia. No es necesario que los dibujos sean exac-
tos, pero deben ilustrar correctamente la curvatura de las curvas de indiferencia,
posibles intersecciones con los ejes, y derivadas en las intersecciones con los ejes
(cuando estas intersecciones existen);
(ii) Indique si el consumo optimo es una canasta interior (es decir, x1, x2 > 0), una
canasta esquina (es decir, x1 = 0 o x2 = 0), o si esto depende de los precios
p1, p2. En caso de no depender de los precios, justifique su respuesta; en caso de
depender de los precios, encuentre precios p1, p2 > 0 tal que el individuo prefiere
consumir una canasta esquina y precios p1, p2 > 0 tal que el individuo prefiere
consumir una canasta interior.
(iii) Discuta la relación entre sus dibujos en (i) con sus respuestas en (ii).
2. Pregunta 2
Un individuo consume dos bienes x1 y x2. Para consumir cada uno de estos bienes
dispone de un ingreso monetario m y el precio de los bienes es p1, p2. Su función de
utilidad puede ser escrita como u =
√
x1 +
√
x2.
(a) ¿Es posible que en el consumo optimo el individuo elija x1 = 0 o x2 = 0? Explique.
(b) ¿Es la función de utilidad cóncava? Demuestre.
(c) ¿Qué implicancia tienen sus respuestas anterior en la solución del problema de
optimización?
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(d) Utilizando las condiciones de Kuhn-Tucker, encuentre los consumos óptimos de
este individuo.
(e) Suponga ahora que el gobierno exige que el consumidor debe consumir al menos
q unidades de x1.
(b) Plantee matemáticamente las restricciones que enfrenta este individuo y grafique
las canastas disponibles para el individuo.
(ii) Evalue bajo que condiciones la solución de la parte (d) satisface la restricción
impuesta por el gobierno.
(iii) ¿Cuando la solución de la parte (d) no satisface la restricción impuesta por
el gobierno, cual debe ser el consumo óptimo?
(iv) Encuentre los consumos óptimos de este individuo como función de los parámetros.
(Notar que no es necesario resolver el problema nuevamente usando las condi-
ciones de Kuhn-Tucker.)
(f) Suponga ahora que la exigencia del consumo mı́nimo ya no es valida, pero en lugar
de esto, el gobierno limita el consumo máximo del bien x1 a los consumidores, el
cual no puede exceder q.
(b) Plantee matemáticamente las restricciones que enfrenta este individuo y grafique
las canastas disponibles para el individuo.
(ii) Evalue bajo que condiciones la solución de la parte (d) satisface la restricción
impuesta por el gobierno.
(iii) ¿Cuando la solución de la parte (d) no satisface la restricción impuesta por
el gobierno, cual debe ser el consumo óptimo?
(iv) Encuentre los consumos óptimos de este individuo como función de los parámetros.
(Notar que no es necesario resolver el problema nuevamente usando las condi-
ciones de Kuhn-Tucker.)
3. Pregunta 3
Un individuo consume dos bienes de recreación x1 y x2. Para consumir cada uno de
estos bienes dispone de un ingreso monetario m y una cantidad de enerǵıa E. El precio
de los bienes es p1, p2 y cada unidad de consumo de cada bien requiere 1 unidad de
enerǵıa. Asuma que:
m
p1
> E >
m
p2
.
Su función de utilidad puede ser escrita como u = αln(x1)+(1−α)ln(x2), con α ∈ (0, 1).
(a) ¿Es la función de utilidad cóncava? Demuestre.
(b) Plantee matemáticamente las restricciones que enfrenta este individuo y grafique
las canastas disponibles para el individuo.
(c) Utilizando las condiciones de Kuhn-Tucker, encuentre el consumos óptimo de este
individuo en función de α.
(d) Encuentre nuevamente los consumos óptimos de este individuo en función de α,
pero esta vez, respondiendo las siguientes preguntas.
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(i) Encuentre el consumo óptimo asumiendo que la restricción de tiempo no es
necesario cumplirla (pero si la restricción presupuestaria). ¿Bajo qué valores
de α el consumo satisface la restricción de tiempo? Concluya que para estos
valores de α esta es la solución al problema resuelto en (c).
(ii) Encuentre el consumo óptimo asumiendo que la restricción presupuestaria no
es necesario cumplirla (pero si la restriccion de tiempo). ¿Bajo qué valores
de α el consumo satisface la restricción presupuestaria? Concluya que para
estos valores de α esta es la solución al problema resuelto en (c).
(iii) ¿Bajo qué valores de α las dos restricciones son activas? ¿Cuales son las dos
ecuaciones que deben ser usadas en este caso para encontrar el consumo del
individuo?
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