Tarea 1 2013-1

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EAE 210B-3, Primer Semestre 2013
Tarea 1: Preferencias y demanda
SOLUCIONES
1. En cada uno de los casos siguientes, explica por qué las preferencias de los individuos
no se pueden representar con una función de utilidad cuasi-cóncava.
(a) A Maŕıa le gusta el café pero después de 3 cortados, empieza a sentirse mal.
Las preferencias de Maŕıa no cumplen con el axioma de no-saciedad.
(b) A Juan le gustan las mujeres rubias con ojos azules. Cualquier mujer con pelo
café, la encuentra menos bella que una con pelo rubio. Además, a dentro de las
rubias, él prefiere a todas las que tienen ojos azules que a las otras.
Las preferencias de Juan son lexicográficas y entonces no cumplen con el axioma
de continuidad.
(c) A Nicolás le gusta jugar fútbol y tenis pero prefiere concentrarse en un sólo deporte
a compartir su tiempo entre los dos.
Las preferencias de Nicolás no premian la diversidad lo que hace que la TMS no
sea decreciente o la función de utilidad no sea cuasi-cóncava.
(d) Esteban recibe 5 útil por tomar 10 litros en total de jugo de manzana (x) y de
naranja (y) (no importa cuanto de cada uno). Está también indiferente entre
todas las combinaciones tales que 2x+ y = 12.
Las curvas de indiferencias de Esteban se cruzan lo que no debeŕıa ocurrir de
acuerdo a los axiomas de no-saciedad y transitividad.
(e) Cuando la leche y el pan costaban ambos 1, Isabel usaba su presupuesto de 10
consumiendo 2 unidades de pan y 8 de leche. Ahora que el precio del pan subió
a 2 y el de la leche bajó a 0,5, Isabel usa su mismo presupuesto consumiendo 4
unidades de pan y 4 de leche.
Por preferencias reveladas, Isabel hab́ıa revelado que la canasta (2,8) era revelada
a (4,4). Dado que con los nuevos precios, Isabel puede comprar su canasta an-
terior, no cumple con el axioma débil de preferencias reveladas y entonces, sus
preferencias no se pueden representar como una función de utilidad.
1
2. Un individuo tiene una función de utilidad dada por U(x, y) = min[x+ 2y, y + 2x].
(a) Dibuja una curva de indiferencia del individuo.
y 
x 
(b) Si los bienes x e y tienen el mismo precio, caracteriza la canasta óptima del
individuo.
La canasta óptima del individuo en este caso es el “kink” de la curva de indifer-
encia el que se encuentra igualando x + 2y = y + 2x o x = y. Si los dos bienes
tienen en mismo precio p, la canasta será x = y = m/2p.
(c) Si el bien x cuesta 3 veces más que el bien y, caracteriza la canasta óptima del
individuo.
En este caso, el óptimo para el individuo es consumir solamente el bien y. La
canasta óptima del individuo será x = 0 e y = m/py.
(d) Ahora, encuentra la demanda marshalliana del individuo por los dos bienes.
Si px > 2py, y = m/py y x = 0. Si 2px < py, x = m/px e y = 0. Si 2py > px >
0.5py, entonces x = y y
m = pxx+ pyy
m = (px + py)y
y = x =
m
px + py
Finalmente, si px = 2py, cualquier combinación tal que 2x + y = m/py donde
x ≤ y puede ser óptima. Si py = 2px, cualquier combinación tal que x+2y = m/px
donde x ≥ y puede ser óptima. Entonces, las demandas marshallianas son
x =

0 si px > 2py
m/px − y/2, y ∈ [m/3py,m/py] si px = 2py
m
(px+py)
si 2py > px > 0.5py
m/px − 2y, y ∈ [0,m/3py] si px = 0.5py
m/px si px < 0.5py
y =

m/py si px > 2py
m/py − 2x, x ∈ [m/3px,m/px] si px = 2py
m
(px+py)
si 2py > px > 0.5py
m/py − x/2, x ∈ [0,m/3px] si px = 0.5py
0 si px < 0.5py
2
(e) ¿Son los dos bienes normales? ¿Son los dos bienes complementarios?
Dado que las demandas marshallianas suben con el ingreso, los dos bienes son
normales. Los dos bienes son complementarios brutos dado que la demanda mar-
shalliana por el bien baja cuando el precio del otro bien sube.
3. A José le gusta tomar cerveza (c) y comer salchichas (s) y hamburguesas (h) según la
función de utilidad U(c, s, h) = ln(c) + ln(s+ h).
(a) Explica si y por qué José puede querer no tomar cerveza y no comer salchichas o
hamburguesas.
José siempre quiere tomar cerveza porque su utilidad marginal cuando c = 0 es
infinita. Del otro lado, puede eligir no comer salchichas o hamburguesas (pero
tiene que comer algo) por lo que la utilidad marginal de los otros bienes sigue
siendo positiva aunque que s = 0 o h = 0.
(b) Encuentra la función de demanda marhsalliana del individuo por los tres bienes.
Para encontrarla, tenemos que usar el Lagrangiano siguiente: £ = ln(c) + ln(s+
h) + λ(m− pcc− pss− phh).
∂£
∂c
=
1
c
− λpc
∂£
∂s
=
1
s+ h
− λps
∂£
∂h
=
1
s+ h
− λph
∂£
∂λ
= m− pcc− pss− phh
Usando nuestra respuesta en (a), sabemos que la primera y la cuarta (porque hay
no-saciedad en la función de utilidad) condiciones de primer order se cumplen
con igualdad. Pero tenemos que usar el método de Kuhn-Tucker en el caso de la
segunda y tercera. Tenemos 3 casos posibles: s, h > 0, s = 0, h > 0 y s > 0, h = 0
(el caso s = 0, h = 0 no es posible como explicado en (a)). Si s, h > 0, las
condiciones se cumplen todas con igualdad y obtenemos que eso ocure solamente
si ps = ph. En este caso, las 3 primeras condiciones de primer orden nos dicen que
pcc = ps(s+ h). Usando la restricción de presupuesto, obtenemos que c = m/2pc
y el individuo está indiferente entre todas las combinaciones de s y h que cumplen
s+h = m/2ps, donde s ∈ [0,m/2ps]. Si s = 0, h > 0, entonces la tercera condición
se cumple con igualdad y combinándola con la primera, obtenemos pcc = phh.
Usando la restricción de presupuesto, c = m/2pc, h = m/2ph. Usando la primera
condición, sabemos que λ = 2/m. En este caso, la segunda restricción se cumple
con desigualdad lo que implica 2ph/m − 2ps/m < 0 o ph < ps. Finalmente, si
s > 0, h = 0, la situación es al revés y obtenemos c = m/2pc, s = m/2ps y eso
ocurre cuando ph > ps.
(c) Calcula la elasticidad precio de la cerveza. ¿Es la cerveza un bien de lujo?
3
εcpc =
∂c
∂pc
pc
c
=
−m
2p2c
pc
m/2pc
= −1
Para saber si la cerveza es un bien de lujo, hay que calcular la elasticidad ingreso
que en este caso nos da
εcm =
∂c
∂m
m
c
=
1
2pc
m
m/2pc
= 1
Dado que la elasticidad no es mayor a 1, la cerveza no es un bien de lujo.
(d) Encuentra la función de utilidad indirecta. Demuestra el teorema de la envolvente
en el caso del precio, es decir que la derivada de la función de utilidad indirecta
con respecto a pc (el precio de la cerveza) es −λc, donde λ es el multiplicador del
Lagrangeano.
V (m, pc, ps, ph) = ln
(
m
2pc
)
+ ln
(
m
2ps
)
si ps ≤ ph
= ln
(
m
2pc
)
+ ln
(
m
2ph
)
si ps > ph
∂V
∂pc
=
2pc
m
−m
22pc
= −1/pc
= −(2/m)c = −λc
4. A Josefina le gustan las frutillas (F ) y la crema (C) según la función de utilidad
U(C,F ) =
√
FC
(a) Encuentra las funciones de demanda Hicksiana de Josefina.
Para encontrar las demandas hicksianas, tenemos que minimizar los gastos us-
ando el Lagrangiano. Aqúı, es claro que no se puede querer consumir 0 de uno de
los dos bienes porque la utilidad marginal del consumo es infinita y la utilidad de
consumir el otro bien seŕıa 0. Además, la función de utilidad es creciente en am-
bos argumentos y tendremos que la restricción de presupuesto impone un ĺımite,
es decir, se cumplir con igualdad. Entonces, las condiciones de primer orden se
cumplen todas con igualdad.
4
£ = pFF + pCC + λ(u−
√
FC)
∂£
∂F
= pF − λ
√
C/2
√
F = 0
∂£
∂C
= pC − λ
√
F/2
√
C = 0
∂£
∂λ
= u−
√
FC = 0
Combinando las dos primeras, obtenemos pFF = pCC y reemplazando en la re-
stricción de utilidad, obtenemos
u =
√
pCC2
pF
C = u
√
pF/pC
F = u
√
pC/pF
(b) Encuentra la función de gastos mı́nimos y a través de esa, la función de utilidad
indirecta.
E(u, pC , pF ) = pCC
H + pFF
H
= u
√
pFpC + u
√
pFpC
= 2u
√
pFpC
Reorganizando los términos, uno puedo obtener la función de utilidad indirecta
como m
2
√
pF pC
= V (m, pC , pF ).
(c) Obtenga las demandas marshallianas por los dos bienes sin usar el Lagrangiano.
Usando la identidad de Roy, uno obtiene
CM(m, pC , pF ) =
−∂V
∂pC
∂V
∂m
=
m
4
√
pF p
3/2
C
1
2
√
pF pC
=
m
2pC
FM(m, pC , pF ) =
−∂V
∂pF
∂V
∂m=
m
4
√
pCp
3/2
F
1
2
√
pF pC
=
m
2pF
5
(d) Si Josefina recibe 5 frutillas como regalo, encuentra sus nuevas funciones de de-
manda Hicksiana. ¿Prefiere Josefina recibir frutillas o el dinero equivalente?
£ = pF (F − 5) + pCC + λ(u−
√
CF ) + µ(F − 5)
∂£
∂F
= pF − λ
√
C/2
√
F + µ = 0
∂£
∂C
= pC − λ
√
F/2
√
C = 0
∂£
∂λ
= u−
√
FC = 0
∂£
∂µ
= F − 5 ≥ 5 y ∂£
∂µ
µ = 0
Si µ = 0, entonces, las demandas son como lo hemos encontrado antes porque la
restricción de utilidad de Josefina no cambia. Pero, si µ > 0, es decir si Josefina
está obligada a comerse F = 5 por el regalo, entonces, en este caso C = u2/5. La
segunda condición de primer orden nos da que λ = 2pC
√
C√
F
y con eso, la primera
condición de primer orden nos dice que µ = pF − pCu
2
25
. Entonces, esto ocurre si
pF
pC
> u
2
25
.
Josefina va a siempre preferir obtener el dinero pero no le va a importar mientras
que su consumo de frutillas es mayor a 5. Cuando es menor, ahi el hecho de
recibir las frutillas en vez del dinero va a bajar su utilidad.
6