Compilado de Evaluaciones I

Vista previa del material en texto

Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Microeconomía II
Guía de Ejercicios N°1
Equilibrio general en una economía de intercambio
Ej. 1 — Encuentre las asignaciones eficientes en los siguientes casos:
Dotaciones Funciones de utilidad
x1 x2 i = 1 i = 2
(a) 100 100 x1 x2
(b) 100 100 2 lnx1 + lnx2 x21x2
(c) 200 100 2 lnx1 + lnx2 x21x2
(d) 200 100 x1 + lnx2 x1 + lnx2
Ej. 2 — En los casos anteriores, encuentre el (los) equilibrios walrasianos suponiendo que ambos
consumidores tienen la misma dotación.
1
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Microeconomía II
Guía de Ejercicios N°2
Riesgo moral
1
1. Un inversionista contrata a un administrador para que ejecute un proyecto. El proyecto retorna
R si es exitoso, y 0 en caso contrario. La probabilidad de éxito del proyecto es igual al nivel
de esfuerzo e 2 [0, 1] que despliegue el administrador. El esfuerzo solamente es observable por
el administrador, y para él tiene un costo de c (e) = 12ce
2. Tanto el administrador como el
inversionista son neutrales al riesgo. Un contrato tiene la forma (wR, w0), donde wR es el pago
en caso de éxito, y w0 en caso de fracaso; ambos pagos deben ser no negativos.
a) Encuentre el contrato óptimo en función de R y de c. Explique.
b) Calcule el nivel de esfuerzo eficiente cuando el esfuerzo es observable, y compare con el
encontrado en (a). Discuta.
2. Hay dos niveles de producto posibles, por un valor de 50.000 y de 25.000, respectivamente.
El delegado puede escoger entre 3 niveles de esfuerzo. La distribución de probabilidad sobre
resultados está dada por:
25.000 50.000 c (e)
e1
1
4
3
4 40
e2
1
2
1
2 20
e3
3
4
1
4 5
donde la última columna indica el costo del esfuerzo para el delegado c (e). Las funciones Bernoulli
están dadas por uP = x�w y uD =
p
w� c (e). El delegado tiene una utilidad de reserva de 120.
a) Encuentre el contrato óptimo para cada nivel de esfuerzo del delegado en el caso de infor-
mación simétrica.
b) Encuentre el contrato óptimo en la situación de riesgo moral. ¿Qué nivel de esfuerzo escoge
el principal?
c) Comente sus resultados en lo relativo al riesgo moral y a los incentivos.
3. Un profesor debe escoger los requisitos para que sus alumnos aprueben su curso. Los alumnos
pueden escoger dos niveles de esfuerzo (horas de estudio): 10 y 20. El profesor quiere que los
alumnos aprendan lo más posible, por lo que quiere incentivarlos a hacer esfuerzo alto. Sin
embargo, el profesor sólo puede observar el puntaje de los alumnos en las pruebas (resultado que
denotaremos con r, y supondremos que puede tomar un valor r o r), que está imperfectamente
correlacionado con el esfuerzo (y aprendizaje, que suponemos es sinónimo de esfuerzo, para
simplificar). Así, la probabilidad con que obtienen resultado r condicional en esfuerzo bajo y alto
1
Algunos de estos ejercicios se han obtenido de diferentes pruebas y guías de ejercicios disponibles
en internet, cuyas soluciones no están disponibles.
1
es Pr (|r 10) = 0,2 y Pr (|r 20) = 0,5 respectivamente. Suponga que la utilidad (función bernoulli)
de cada alumno es:
uA (e, n) =
p
2n� e
10
,
donde n 2 [1, 7] es la nota y e es el esfuerzo realizado por el alumno. El alumno tiene una utilidad
de reserva uR = 1 (si decide botar el ramo obtiene dicho nivel de utilidad).
a) Suponga que el profesor escoge la nota en caso de resultado bajo (nota que denotaremos
n) y en caso de resultado alto (nota que denotaremos n) de modo que la restricción de
participación y compatibilidad de incentivos se cumplan sin holgura. ¿Qué notas debería
escoger?
b) Dado que poner una mayor nota no es costoso para el profesor, él podría escoger cualquier
combinación de n y n que cumpla con las restricciones de participación y compatibilidad
de incentivos (con o sin holgura). ¿Cuál de estas combinaciones maximizaría la utilidad
esperada de los alumnos? Fundamente claramente.
4. Probabilidad condicional
Se ha diseñado un nuevo examen de laboratorio para detectar cáncer. Si el examen se toma a
una persona con cáncer, tiene una probabilidad de 95 % de resultar positivo. Si, en cambio, se
toma a una persona sana, tiene una probabilidad de 5 % de resultar positivo. Si una de cada cien
mil personas tiene cáncer, ¿cuál es la probabilidad de que una persona con un examen positivo
tenga cáncer?
2
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Microeconomía II
Guía de Ejercicios N°3
Señalización1
1. Vino o leche: variaciones
Considere el juego de Vino-Leche visto en clases, en que la probabilidad a priori de que el
forastero sea rudo es de 40 %. Considere los siguientes pagos de los jugadores:
[Forastero]
- utilidad de la bebida favorita: 4
- utilidad de la bebida no favorita: 2
- utilidad de la pelea: �c
[Lugareño]
- utilidad si pelea con débil: 2
- utilidad si pelea con fuerte: -4
- utilidad si no pelea: 0
a) Muestre que si c = 1, no hay equilibrio agrupador posible, y en equilibrio el forastero siempre
pide su bebida favorita.
b) Muestre que si c = 3, no hay equilibrio separador posible. Indique qué creencias fuera del
equilibrio podrían sostener un equilibrio agrupador en que ambos piden vino, y uno en que
ambos piden leche. Interprete sus resultados.
2. Cindy
Revlon quiere vender un nuevo lápiz labial de alta calidad. Existen dos períodos; en el pri-
mero la clientela no distingue al momento de decidir la compra si el producto es de alta o baja
calidad, asignándole a la primera alternativa una probabilidad de sólo 10 %. En el segundo perído
tampoco, pero sí puede observar la calidad de lo que se haya vendido en el período anterior. La
disposición a pagar por un producto de alta calidad es de $10, mientras que por uno de baja
calidad $0. El precio es de $5 y el costo de producción $1 independientemente de la calidad.
Observe que en el segundo periodo la clientela compraría de todas maneras a $5 si el producto
vendido el período anterior fue de alta calidad, y de ninguna manera si fue de baja calidad.
a) Explique por qué el precio no puede ser señal de calidad, es decir, por qué no puede haber
un equilibrio separador en el que empresas de alta calidad cobren más caro por su producto
que empresas de baja calidad. Suponga en cambio que la empresa tiene la posibilidad de
contratar a Cindy para hacer una campaña promocional al costo de $6, de modo que su
opción es hacer o no hacer publicidad mientras que la clientela escoge comprar o no comprar
el producto al precio de $5 en el primer periodo.
b) Dibuje la forma extensiva del juego.
1
Algunos de estos ejercicios se han obtenido de diferentes pruebas y guías de ejercicios disponibles
en internet, cuyas soluciones no están disponibles.
1
c) Muestre que {Hacer publicidad si el producto es bueno, no hacer si es malo; comprar un
producto promocionado por Cindy, no comprarlo si no fue promocionado por Cindy} más
las creencias asociadas constituyen un equilibrio bayesiano perfecto.
d) Explique por qué a Revlon no le conviene contratar a Josefa, quien además de ser igualmente
bonita, habla castellano y sólo cobra $1.
3. Reputación y deuda
Hay dos clases de deudores, los honestos y los deshonestos. Un deudor honesto pagaría su deuda
independientemente de lo que pase, mientras que uno deshonesto no lo haría a menos que con
ello lograra algún beneficio futuro. Un banco no es capaz de distinguir de qué tipo es cada deudor
que enfrenta, aunque cree que cada cliente es honesto con probabilidad p.
a) Imagine un juego de un solo periodo. ¿Podría la tasa de interés que un deudor está dispuesto
a pagar por el préstamo servir de señal de honestidad?
b) Explique cómo una prenda, colateral o garantía (es decir, un bien al que el banco tiene acceso
judicial en el evento de no pago) puede resolver el problema del banco, pues discrimina en
contra de quien no tiene intenciones de devolver el préstamo.
c) Imagine ahoraun juego repetido infinitas veces. ¿Bajo qué condiciones le convendría a un
deudor deshonesto comportarse como si fuera honesto? Explique claramente cómo puede
ser construida esa reputación.
2
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Tiempo total: 80 minutos
Puntaje total: 80 puntos
Primer Control
1. [15 puntos] Preguntas cortas
Comente las siguientes aseveraciones, fundamentando claramente su respuesta:
a) [5 puntos] La tasa de interés real no puede ser negativa, porque de lo contrario no habría
incentivos al ahorro.
b) [5 puntos] Un individuo averso al riesgo sólo aceptará apuestas justas.
c) [5 puntos] Un individuo puede ser averso al riesgo al punto de rechazar un boleto de lotería
de regalo.
2. [20 puntos] Eficiencia
En los siguientes casos encuentre las asignaciones eficientes de los bienes 1 y 2 entre las per-
sonas A y B, explicando su procedimiento:
a) [10 puntos] La dotación agregada del bien 1 es de 200, la del bien 2 es de 100, y las prefe-
rencias son representadas por las siguientes funciones de utilidad:
uA
�
x
A
1 , x
A
2
�
=
q
x
A
1 x
A
2
uB
�
x
B
1 , x
B
2
�
= lnxB1 + lnx
B
2
b) [10 puntos] La dotación agregada del bien 1 es de 100, la del bien 2 es de 100, y las prefe-
rencias son representadas por las siguientes funciones de utilidad:
uA
�
x
A
1 , x
A
2
�
=
q
x
A
1
uB
�
x
B
1 , x
B
2
�
= xB1 x
B
2
1
3. [45 puntos] Precios de activos
Hay dos estados de la naturaleza, “lluvia” (s = 1) y “no lluvia” (s = 2). La persona A tiene
un negocio que en ambos estados paga 100, mientras que la persona B tiene un negocio que paga
100 en el estado 1 y 0 en el 2. Las funciones de utilidad de A y B están dadas, respectivamente,
por:
UA
�
c
A
1 , c
A
2
�
=
1
2
q
c
A
1 +
1
2
q
c
A
2
UB
�
c
B
1 , c
B
2
�
=
1
2
ln cB1 +
1
2
ln cB2
a) Activos puros
i [8 puntos] Encuentre las demandas brutas por activos puros.
ii [8 puntos] Encuentre el equilibrio walrasiano, indicando cuál es el perfil de consumo
contingente que se obtiene en el equilibrio para cada individuo. Explique intuitivamente
la diferencia de precios de equilibrio entre los dos activos puros.
b) Activos ordinarios
Suponga que las dotaciones mencionadas en el enunciado son en realidad los pagos de las
acciones de las empresas A S.A. y B S.A.: cada empresa tiene 100 acciones, de manera que
la matriz de pagos de estos activos es:
✓
r1A r1B
r2A r2B
◆
=
✓
1 1
1 0
◆
i [8 puntos] Reemplazando en la función de utilidad el consumo que en cada estado se
obtiene si se compra una cartera (xA, xB), encuentre las demandas brutas por activos
ordinarios.
ii [8 puntos] Encuentre el equilibrio walrasiano, indicando cuál es la cartera que se obtiene
en el equilibrio para cada individuo.
c) Relación entre activos puros y ordinarios
i [4 puntos] Muestre que si los precios de activos ordinarios y puros satisfacen la siguiente
relación:
pA = p̂1 + p̂2
pB = p̂1
el conjunto de perfiles de consumo a que puede acceder cada individuo es el mismo en
a) y en b). Explique por qué.
ii [4 puntos] Normalice los precios de los activos puros de manera que su suma sea de 0.8
(es decir, que la tasa libre de riesgo sea de 25 %). Encuentre las probabilidades neutrales
al riesgo, y muestre que los precios de las acciones de las empresas A S.A. y B S.A. se
pueden entender como el valor esperado de sus pagos, descontados a la tasa libre de
riesgo.
iii [5 puntos] Explique por qué las probabilidades neutrales al riesgo difieren de las que
reflejan las creencias de las personas. ¿Debe esto siempre ser así?
2
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Tiempo total: 80 minutos
Puntaje total: 80 puntos
Segundo Control
1. [16 puntos] Preguntas cortas
Comente las siguientes aseveraciones, fundamentando claramente su respuesta:
a) [8 puntos] Si hay dos economías abiertas (que enfrentan mismos precios de bienes, los precios
internacionales) con las mismas tecnologías, entonces el precio relativo de los factores en
ambas economías será el mismo, independientemente de las dotaciones de factores y de las
preferencias de los consumidores.
b) [8 puntos] En equilibrio los precios de los insumos siempre deben ser positivos.
2. [34 puntos] Equilibrio en economía cerrada
Considere una economía cerrada con dos bienes y un insumo, L, cuya dotación agregada es L,
con funciones de producción agregadas dadas por:
q1 = aL1
q2 =
p
L2
a) [4 puntos] Caracterice la Frontera de Posibilidades de Producción de esta economía: qué
forma tiene, cómo depende de a y de L (debe explicar la intuición de su resultado).
b) [4 puntos] Verifique que la función de ganancia en el sector 2 es ⇡2 (p2, w) =
p22
4w .
c) [6 puntos] Suponga que hay dos consumidores, A y B, con dotaciones de L que denotamos
por LA y LB respectivamente (y donde LA + LB = L), cada uno dueño de la mitad de
los derechos sobre ambas empresas. Sus preferencias son representadas por las siguientes
funciones de utilidad:
u
A(x1, x2) = x
0,8
1 x
0,2
2
u
B(x1, x2) = x
0,2
1 x
0,8
2
Explique por qué razón sabemos que en equilibrio se debe producir de ambos bienes y que
p1 debe ser igual a
w
a , y encuentre la demanda agregada por el bien 2 (en función de LA,
LB y a).
d) [8 puntos] Resuelva el equilibrio walrasiano en esta economía (en función de LA, LB y a).
Ayuda: recuerde que sólo puede encontrar precios relativos. Puede encontrar entonces
w
p1
y
w
p2
de equilibrio y con ello encontrar
p1
p2
, así como la producción y uso del factor en cada
sector en equilibrio.
e) [6 puntos] Compare el precio relativo p1p2 de equilibrio resultante cuando LA = LB = 1, con
el que se da cuando LA = 0,5 y LB = 1,5. Explique la intuición económica de su resultado.
f ) [6 puntos] Suponga que LA = LB = 1 y que a = 1. Muestre que los niveles de producción
de equilibrio corresponden a un punto en la Frontera de Posibilidades de Producción, y que
además se cumple la condición de eficiencia mixta.
1
3. [30 puntos] Equilibrio en economía abierta
Considere una economía abierta, con dos bienes y dos insumos, con funciones de producción
agregadas dadas por:
q1 =
⇣p
K1 +
p
2L1
⌘2
q2 =
⇣p
2K2 +
p
L2
⌘2
a) [4 puntos] Verifique que se trata de tecnologías de retornos constantes a escala.
b) [8 puntos] Verifique que las funciones de costo unitario de ambos sectores están dadas por:
c1 =
✓
2
wL
+
1
wK
◆�1
=
wKwL
2wK + wL
c2 =
✓
1
wL
+
2
wK
◆�1
=
wKwL
wK + 2wL
¿Cuál sector resiente más un aumento del precio del trabajo que del capital? Explique.
c) [8 puntos] Verifique que en un equilibrio competitivo las razones de precios de insumos y de
productos están relacionadas de la siguiente forma:
wK
wL
=
2� p1p2
2p1p2 � 1
Grafique esta función (restringiéndose al intervalo
p1
p2
2
�
1
2 , 2
�
), y explíquela en conexión
con el teorema de Stolper-Samuelson.
d) [4 puntos] Verifique que en equilibrio las razones de uso de insumos en ambos sectores están
relacionadas de la siguiente forma:
K1
L1
=
1
4
K2
L2
Explique por qué, y discuta la eficiencia de esta situación.
e) [6 puntos] Encuentre el precio relativo de factores de equilibrio si el precio relativo de
bienes es
p⇤1
p⇤2
= 1 y las dotaciones totales de factores son L = K = 100. ¿Cómo cambia su
respuesta si la dotación de trabajo aumental al doble? Ayuda: debe analizar si la economía
se especializa en la producción de alguno de los dos bienes.
2
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Tiempo total: 80 minutos
Puntaje total: 70 puntos
Tercer Control
1. [16 puntos] Preguntas cortas
Comente las siguientes aseveraciones en el contexto del problema de delegación, fundamentando
claramente su respuesta:
a) [8 puntos] Un empresario neutral al riesgo encarga una tarea en un delegado averso al riesgo,
haciendo una oferta de “tómala o déjala”. Explique cuándo y porqué las restricciones de
participación y de compatibilidad de incentivos serán activas.
Respuesta:
La restricción de compatibilidad de incentivos es activa siempre que el costo del esfuerzo alto
sea mayor que el del esfuerzo bajo, es decir, que el principal y el delegado tengan conflictos
de interés. Esto, siempre y cuando sea óptimo inducir el esfuerzo alto. Si, en cambio, fuera
óptimo inducir el esfuerzo bajo, entonces la compatibilidad de incentivos de hecho no es una
restricción.
La restricción de participación, por su parte, es activa siempre porque la oferta del tipo
“tómala o déjala” le deja al principal todo el poder de negociación, de manera que el delegado
no se apropia de parte alguna del excedente. (Una excepción a esta regla se presenta en 3.c).
b) [8 puntos] Si con información simétrica es óptimo que el delegado haga un esfuerzo alto,
entonces con información asimétrica también lo será.
Respuesta:
No necesariamente. Si el delegado es averso al riesgo, y dado que hay que transferirle parte
del riesgo del negocio para incentivarlo a realizar esfuerzo alto, es necesario pagarle un
premio por riesgo para que se esfuerce. Entonces, si el delegado es averso al riesgo, el costo
de inducir esfuerzo alto es más alto cuando la información es asimétrica que cuando es
simétrica (caso en que no es necesario que el delegado asuma parte de la incertidumbre, por
lo que no es necesario pagarle una prima por riesgo), y puede dejar de ser óptimo para el
principal diseñar un contrato para inducir esfuerzo alto. La afirmación conversa sí es cierta:
si con información asimétrica es óptimo que el delegado haga un esfuerzo alto, entonces con
información simétrica también lo será.
2. [20 puntos] Riesgo moral
Considere el problema de una compañía de seguros, que debe diseñar un seguro contra acci-
dentes para un automovilista, lo que comprende: (i) la prima o precio p, y (ii) la cobertura en
caso de siniestro, Z, que se puede especificar como el monto de la pérdida L menos un copago o
deducible D, de modo que Z = L � D. La compañía entiende, sin embargo, que al asegurarse,
1
el automovilista pude perder incentivos a manejar cuidadosamente, pudiendo aumentar la pro-
babilidad de accidente ⇡. Suponga que hay dos niveles de esfuerzo (o cuidado al manejar), alto
y bajo, y que hay dos resultados posibles, accidente y no accidente.
a) [10 puntos] Plantee formalmente el problema de decisión de la compañía de seguros, espe-
cificando las variables de decisión y las restricciones que enfrenta.
Respuesta:
La compañía maximiza utilidad esperada escogiendo D o escogiendo Z.
Si escoge D, y quiere inducir esfuerzo alto, el problema se escribiría como:
máx
D
⇡
A
(p� L+D)+
�
1� ⇡A
�
p
sujeto a:
[RP ]⇡
A
u (W � p�D) +
�
1� ⇡A
�
u (W � p)� c (A) � u
[RCI]⇡
A
u (W � p�D) +
�
1� ⇡A
�
u (W � p)� c (A) � ⇡Bu (W � p�D) +
�
1� ⇡B
�
u (W � p)� c (B)
donde W sería el valor de la riqueza del automovilista antes del accidente, c (e) denota el
costo del esfuerzo (suponiendo que es separable), y u es su utilidad de reserva. Además,
denotamos por ⇡
e
la probabilidad de accidente con esfuerzo e, de modo que ⇡
B
> ⇡
A
.
RP y RCI se refieren a las restricciones de participación y de compatibilidad de incentivos
respectivamente.
Si quiere inducir esfuerzo bajo, en cambio, el problema se escribiría como:
máx
D
�
1� ⇡B
�
⇡
B
(p� L+D)+⇡Bp
sujeto a:
[RP ]⇡
B
u (W � p�D) +
�
1� ⇡B
�
u (W � p)� c (B) � u
[RCI]⇡
A
u (W � p�D) +
�
1� ⇡A
�
u (W � p)� c (A)  ⇡Bu (W � p�D) +
�
1� ⇡B
�
u (W � p)� c (B)
(lo que conlleva un deducible nulo, y restricción de participacón activa).
El problema completo consiste en elegir entre los dos contratos que se obtienen de los
problemas anteriores (es decir, entre inducir esfuerzo alto y bajo). El problema si se elige Z
en vez de D es completamente análogo (basta reemplazar D por L� Z).
b) [10 puntos] Muestre que el contrato óptimo puede tener un deducible o copago. Ilustre en
un gráfico.
Respuesta:
Si se quiere inducir esfuerzo alto, y el esfuerzo es costoso, es necesario que el automovilista
quede con parte del riesgo (no darle cobertura completa), lo que es análogo a pagar un
sueldo variable a un trabajador.
En particular, la restricción de compatibilidad de incentivos se puede reescribir como:
�
⇡
B � ⇡A
�
(u (W � p)� u (W � p�D)) � c (A)� c (B)
y dado que
�
⇡
B � ⇡A
�
> 0y que c (A) � c (B) > 0, se desprende que u (W � p) debe ser
mayor que u (W � p�D), o en otras palabras, que D debe ser positivo.
Los gráficos son similares a los realizados para el caso del diseño de contrato de trabajo visto
en clases (donde w1 correspondería a W � p�D y w2 correspondería a W � p). De hecho,
podrían haber contestado esta pregunta simplemente haciendo la analogía con el caso del
empleador-trabajador visto en clase.
2
3. [34 puntos] Dos candidatos
Considere el problema de un emprendedor que tiene un nuevo producto para vender, pero no
tiene tiempo para hacer él las ventas. Él sabe que si este producto se da a conocer y se promociona
bien, existe una alta probabilidad de lograr ventas altas (x1 = 10,000) y una probabilidad muy
baja de lograr ventas bajas (x2 = 100). Sin embargo, si ese esfuerzo de promoción no se hace, la
probabilidad de ventas altas decae mucho. Así, las probabilidades de obtener x1 y x2 condicional
en esfuerzo alto (e = A) y bajo (e = B) respectivamente son las que se muestran en la siguiente
tabla:
e = A e = B
Pr (x1|e) 0.8 0.4
Pr (x2|e) 0.2 0.6
Este emprendedor puede contratar como vendedor a uno de dos candidatos posibles (al candidato
1 o al candidato 2). Las funciones Bernoulli de los candidatos 1 y 2 respectivamente son de la
forma:
u1 =
( p
w � 10 si e = A
p
w si e = B
; u2 =
(
w � 300 si e = A
w si e = B
y sus niveles de utilidad de reserva son u1 = 10 y u2 = 100.
a) [5 puntos] El caso del esfuerzo observable. Suponga que el esfuerzo es observable.
Muestre que el emprendedor está indiferente entre contratar a cualquiera de los dos candi-
datos.
Respuesta:
Candidato 1:
p
wA � 10 = 10 =) wA = 400 y
p
wB = 10 =) wB = 100
Candidato 2: wA � 300 = 100 =) wA = 400 y wB = 100.
En ambos casos prefiere wA con esfuerzo alto:
0,8 (10000) + 0,2 (100)� 400 = 7620 > 0,4 (10000) + 0,6 (100)� 100 = 3960
b) El caso del esfuerzo no observable. Suponga que el esfuerzo ya no es verificable, y que
el emprendedor puede diseñar un contrato con pagos contingentes en x, donde los pagos si
las ventas son altas (w1) y bajas (w2) pueden tomar cualquier valor.
1) [8 puntos] Encuentre el contrato óptimo a ofrecer al trabajador 1, fundamentando cla-
ramente cada uno de sus pasos.
Respuesta:
Como es averso al riesgo, sabemos que las restricciones de participación (RP) y compa-
tibilidad de incentivos (RCI) serán activas en el óptimo. Luego, resolvemos buscando
w1 y w2 que sastisfacen ambas restricciones con igualdad:
Para esfuerzo alto: RP: 0,8
p
w1 + 0,2
p
w2 � 10 = 10 y RCI: 0,8
p
w1 + 0,2
p
w2 � 10 =
0,4
p
w1 + 0,6
p
w2
=) [pw1 = 25,
p
w2 = 0] o w1 = 625, w2 = 0.
Para esfuerzo bajo
p
wB = 10 =) wB = 100.
Ganancia emprendedor:
Esfuerzo alto: 0,8(10000� 625) + 0,2(100) = 7520
Esfuerzo bajo: 0,4(10000) + 0,6(100)� 100 = 3960
=)Prefiere esfuerzo alto.
2) [8 puntos] Encuentre un contrato óptimo a ofrecer al trabajador 2, fundamentando
claramente cada uno de sus pasos.
Respuesta:
Como es neutral al riesgo, sabemos que la RP será activa en el óptimo, mientras que
la RCI se debe satisfacer pero no necesariamente con igualdad: el emprendedor está
indiferente entre un contrato que sastifaga ambas con igualdad y otro que satisfaga sólo
3
la primera con igualdad y la segunda con desigualdad estricta. Uno de los contratos
óptimos es, entonces, aquél en que w1 y w2 sastisfacen ambas restricciones con igualdad:
Para esfuerzo alto: RP: 0,8w1 + 0,2w2 � 300 = 100 y RCI: 0,8w1 + 0,2w2 � 300 =
0,4w1 + 0,6w2
[w1 = 550, w2 = �200] (o pueden encontrar cualquier contrato que cumpla CPI y deje
al trabajadoren su utilidad de reserva).
Para esfuerzo bajo wB = 100
Ganancia emprendedor:
Esfuerzo alto: 0,8(10000� 550) + 0,2(100 + 200) = 7620
Esfuerzo bajo: 0,4(10000) + 0,6(100)� 100 = 3960.
=)Prefiere esfuerzo alto.
3) [5 puntos] ¿A qué trabajador prefiere contratar el emprendedor? Explique la intuición
económica.
Respuesta:
Al comparar ganancia con esfuerzo alto en ambos casos, vemos que prefiere al trabajador
2. Esto se debe a que no es necesario pagarle un premio por riesgo. (Ésta es la misma
idea que la que aparece en la pregunta 1.b).
c) [8 puntos] El caso de la responsabilidad limitada. Suponga que el esfuerzo sigue sien-
do no observable, pero ahora hay una restricción legal que exige al emprendedor pagar un
salario no negativo.
¿A qué trabajador prefiere contratar el emprendedor? Explique la intuición económica de
su respuesta.
Respuesta:
En este caso, no podría pagar -200 en el estado malo al trabajador 2, sino un salario no-
negativo. Luego, ya no puede dejarlo en su utilidad de reserva e inducir esfuerzo alto al
mismo tiempo.
¿Podría encontrar una combinación de w1 y w2 que deje al trabajador 2 con más utilidad,
lo induzca a realizar esfuerzo alto, y aún deje al empleador con mayor ganancia que contra-
tando al trabajador 1? Para inducir esfuerzo alto con w2 = 0 el salario en el estado bueno
debe satsifacer RCI: 0,8w1 � 300 = 0,4w1; es decir, w1 = 750. En ese caso, la utilidad el
emprendedor queda: 0,8 (10000� 750) + 0,2 (100) = 7420 < 7520. Luego, ya no le conviene
contratar al trabajador 2, si no al 1.
4
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Tiempo total: 80 minutos
Puntaje total: 70 puntos
Cuarto Control
1. [30 puntos] La Carrera Docente
A partir de la preocupación por atraer a los mejores alumnos a la carrera de pedagogía, se han
hecho algunas propuestas para diseñar una Carrera Docente en que se premie el buen desempeño
de los profesores exitosos en Chile.
Imgine que hay dos tipos de personas, las personas tipo A y tipo B, con una fracción ↵ de los
primeros en la población. Cada persona conoce su tipo, pero nadie más lo conoce. Las personas
tipo A son más motivadas y trabajadoras que las personas tipo B, por lo que saben que en
cualquier carrera que escojan les va a ir bien. En particular, si una persona escoge pedagogía,
puede obtener buenos resultados con probabilidad ⇡A = 0, 8 si es de tipo A, o con probabilidad
⇡B = 0, 5 si es del tipo B. Si escoge otra carrera, puede obtener una utilidad de uA = 80 si es
del tipo A y u = 50 si es del tipo B, donde la función Bernoulli de cada uno es de la forma
u (w) =
p
w.
Imagine inicialmente que el objetivo de quien diseña el plan de Carrera Docente es minimizar el
costo esperado en pago de salarios.
a) [5 puntos] Indique cuál sería el contrato que se debería ofrecer a quienes escogen pedagogia
si sólo se quisiera atraer a las personas tipo B a esta carrera. Explique brevemente.
b) [5 puntos] Suponga que sólo se quiere atraer a las personas tipo A a la carrera de pedagogía.
Escriba las restricciones de participación y compatibilidad de incentivos correspondientes
a este problema, y muestre que un contrato que ofrece un pago de w1 = 10,000 si obtiene
buenos resultados, y w2 = 0 si tiene malos resultados, sí satisface estas condiciones. Explique
brevemente.
c) [14 puntos] Suponga que se quiere atraer a ambos tipos de personas a la carrera de peda-
gogía.
1) [4 puntos] Muestre que un contrato que ofrece un pago fijo de w = 2500 junto con
otro contrato que ofrece un pago de w1 = 10,000 si obtiene buenos resultados y w2 =
0 si obtiene malos resultados logran este objetivo (con las personas de distinto tipo
autoseleccionándose en los distintos contratos).
2) [10 puntos] Considere un contrato que ofrece un pago fijo de w = 2601 (dejando con
utilidad de 51 a las personas tipo B) junto con otro contrato que ofrece un pago de w1 <
10,000 si obtiene buenos resultados y w2 > 0 si obtiene malos resultados. Encuentre
los valores de w1 y w2 que satisfacen las restricciones de participación y compatibilidad
de incentivos de modo que las personas tipo B se autoseleccionen en el contrato de
pago fijo de w = 2601 y las personas tipo A se autoseleccionen en el contrato de pago
variable, y muestre que hay valores de ↵ para los cuales este par de contratos resulta
mejor (menos costoso en valor esperado) que el par de contratos de la letra a). Explique
brevemente.
d) [6 puntos] Ahora suponga que el objetivo de quien diseña el contrato no es minimizar el
costo esperado, sino maximizar la diferencia entre el beneficio y el costo esperado, donde
1
el beneficio es el nivel de aprendizaje de los alumnos. Suponga que las personas tipo A
logran que los alumnos aprendan más, ¿cómo tendría que ser la diferencia entre el nivel
de aprendizaje de los alumnos para que lo óptimo fuera atraer sólo a personas tipo A a
la carrera de pedagogía, o sólo a los tipo B? ¿Por qué podría ser bueno diseñar un par de
contratos con que se atraiga a ambos tipos de personas? Explique claramente.
2. [10 puntos] Pregunta corta
El humorista Bob Hope decía que un banco es una institución que te presta dinero si tú puedes
probar que no lo necesitas. Por ejemplo, suele poner como condición para entregar un préstamo el
dejar un activo en garantía de un valor mayor que el del préstamo. ¿Puede explicar esta práctica
con un argumento de selección adversa?
3. [30 puntos] Autoselección competitiva
Considere el mercado de seguros automovilísticos, en que un conjunto perfectamente compe-
titivo de compañías de seguros ofrece contratos a un conjunto de clientes potenciales. Considere
a los clientes como idénticos entre sí en todo (valor de la pérdida en caso de accidente o siniestro,
preferencias, valor en riesgo, etc.) salvo en su nivel de riesgo, esto es, en la probabilidad de tener
un accidente. En particular, suponga que hay dos niveles de riesgo, alto (A) y bajo (B), siendo
✓ la fracción de clientes potenciales de riesgo bajo. Un contrato se define por una prima p y
un deducible D, y consiste en una promesa de la compañía de pagar una cifra equivalente a la
pérdida L menos el deducible D en caso de siniestro, y nada en caso contrario.
a) [5 puntos] Explique por qué en equilibrio las compañías cobrarán primas actuarialmente
justas.
b) [4 puntos] Ilustre en un gráfico en el plano (p,D) el conjunto de primas actuarialmente
justas. Explique.
c) [8 puntos] Explique por qué no es de equilibrio una situación en que todas las compañías
ofrecen el mismo contrato.
d) [8 puntos] En el caso de un equilibrio separador, explique detalladamente las características
de los contratos ofrecidos.
e) [5 puntos] ¿Puede describir una situación en la que no exista un equilibrio de Nash? Explique.
2
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 3
Tiempo total: 80 minutos
Puntaje total: 80 puntos
Primera Prueba
1. [20 puntos] Preguntas cortas
Comente las siguientes aseveraciones, fundamentando claramente su respuesta:
a) [10 puntos] Un inversionista debe escoger entre dos proyectos mutuamente excluyentes: el
proyecto A le entregaría un perfil de flujos de UF 100 en el estado 1 y UF 200 en el estado
2, mientras que el proyecto B de UF 200 en el 1 y de UF 100 en el 2. El inversionista le
atribuye al primer estado una probabilidad de ⇡1 = 13 , pero la probabilidad neutral al riesgo
de ese estado es de ⇡̄1 = 23 . Ante esta disyuntiva, el inversionista debería guiarse por sus
propias creencias, escogiendo el proyecto A.
b) [10 puntos] En una economía sin riesgo agregado los precios de equilibrio de los activos no
dependen del grado de aversión al riesgo.
2. [20 puntos] Precios de activos
Considere una economía con dos individuos. Uno de ellos es neutral al riesgo, mientras que el
otro es averso al riesgo. Sus dotaciones (iniciales) de consumo en el estado 1 y 2 respectivamente
son:
A :
�
c̄
A
1 , c̄
A
2
�
= (100, 50)
B :
�
c̄
B
1 , c̄
B
2
�= (100, 50)
Las funciones de utilidad (esperada) de A y B son:
U
A
�
c
A
1 , c
A
2
�
=
1
2
c
A
1 +
1
2
c
A
2
U
B
�
c
B
1 , c
B
2
�
=
1
2
p
c1 +
1
2
p
c2
a) [4 puntos] Explique intuitivamente por qué la asignación inicial no es eficiente.
b) [6 puntos] Imagine que ellos puedieran transar activos puros. ¿Cuál serían los precios y la
asignación de equilibrio de estos activos? Fundamente.
AYUDA: observe que uno de los consumidores no es averso al riesgo.
c) [10 puntos] Suponga en cambio que existen dos activos financieros, el 1 y el 2, cuya dotación
inicial es nula para ambos individuos, y que tienen los siguientes pagos: R =
✓
10 10
10 0
◆
.
¿Qué carteras de estos activos les permitirían a estos individuos alcanzar exactamente el
mismo perfil de consumo que encontró en b)? ¿A qué precios de estos dos activos ellos
demandarían exactamente esas carteras? Explique.
1
3. [40 puntos] Eficiencia
Considere una economía con 125 unidades de capital y 125 de trabajo, en que las funciones
de producción agregadas de los dos bienes que existen están dadas por:
q1 =
⇣p
K1 +
p
L1
⌘2
q2 =
p
K2L2
Hay dos consumidores, A y B, con las siguientes funciones de utilidad:
uA
�
x
A
1 , x
A
2
�
=
q
x
A
1 x
A
2
uB
�
x
B
1 , x
B
2
�
= lnxB1 + lnx
B
2
a) [6 puntos] Encuentre las asignaciones eficientes de insumos a productos (eficiencia produc-
tiva). Explique.
b) [5 puntos] Usando su resultado anterior, explique qué tiene de malo la asignación
(K1, L1,K2, L2) = (100, 25, 25, 100) .
Ilustre su explicación con una caja de Edgeworth.
c) [7 puntos] Encuentre la frontera de posibilidades de producción (o curva de transformación)
de esta economía. Explique por qué es lineal.
d) [5 puntos] Para un nivel arbitrario de disponibilidad de bienes (q1, q2) encuentre las asigna-
ciones eficientes de productos a consumidores (eficiencia en consumo o distributiva). Expli-
que.
e) [5 puntos] Usando su resultado anterior, explique qué tiene de malo la asignación
�
x
A
1 , x
B
1 , x
A
2 , x
B
2
�
= (100, 150, 22, 40,5) .
Ilustre su explicación con una caja de Edgeworth.
f ) [7 puntos] Encuentre las asignaciones de insumos a productos y de productos a consumidores
que no admiten mejoras paretianas (eficiencia mixta). Explique.
g) [5 puntos] Usando su resultado anterior, encuentre la frontera de posibilidades de utilidad, es
decir, el borde superior del conjunto de pares (uA, uB) que son posibles de alcanzar con los
recursos y tecnologías disponibles. Muestre entonces que ya sea escogiendo una asignación
ineficiente de insumos entre sectores (como en b)), o una asignación ineficiente de bienes
entre consumidores (como en e)), se obtiene un resultado por debajo de la frontera de
utilidad.
2
✓1) ✓2) ✓1
✓2
✓1
G
S
(17, 20)
(0, 0)
(20, 17)
(0, 0)
(�16, 20)
(0, 0)
(20,�22)
(0, 0)
x1 = 10,000
x2 = 100
x1 x2
e = A e = B
e = A e = B
Pr (x1|e)
Pr (x2|e)
u (w) =
( p
w � c e = A
p
w e = B
u = 10
c
Instituto de Economía
Pontificia Universidad Católica de Chile
Primer semestre de 2010
EAE 211 B - sección 2
Tiempo total: 120 minutos
Puntaje total: 100 puntos
Examen Final
1. [30 puntos] Preguntas cortas
a) [10 puntos] Abstrayéndose de los problemas de selección adversa y de riesgo moral, y usando
un enfoque de equilibrio general, responda:
i En una economía cerrada, ¿cree Ud. que es más fácil que se desarrolle un mercado de
seguros contra accidentes automovilísticos, o uno contra catástrofes naturales (como
terrremotos)? ¿Por qué? (AYUDA: riesgo agregado).
Si el riesgo es completamente diversificable, entonces un contrato de seguro no tiene
más costo para el vendedor que el valor esperado de la pérdida. En cambio, si el riesgo no
es diversificable, entonces el vendedor tiene que asumir el riesgo residual de cada prima.
En el caso de las catástrofes naturales, las pérdidas están muy correlacionadas, mientras
que en el caso de los accidentes automovilísticos, las pérdidas son más independientes.
ii ¿Cambiaría su respuesta si la economía fuera abierta? Explique.
Sí: las pérdidas de un desastre natural en una región geográfica son diversificables en
el contexto internacional.
b) [10 puntos] Al diseñar un contrato para inducir esfuerzo alto de un delegado, una mayor
utilidad de reserva del delegado afectará la restricción de participación, pero no la restricción
de compatibilidad de incentivos. Luego, si aumenta la utilidad de reserva (de un agente
averso al riesgo) aumentarán w1 y w2 (es decir, aumentará el pago en ambos estados), pero
no cambiará la diferencia entre ellos. Comente, fundamentando.
c) [10 puntos] El teorema de Rybcszynski muestra que en una economía abierta, un cambio en
la dotación de factores no afectará ni la asignación de recursos ni los precios de equilibrio.
Comente, fundamentando.
2. [17 puntos] Cambiando las reglas de la negociación
Dos personas deben negociar para repartirse una torta de tamaño 1. El primero de ellos (ju-
gador 1) empieza, haciendo una oferta x = (x1, x2). El otro (jugador 2) puede aceptar la oferta,
caso en que cada jugador i obtiene una fracción x
i
de la torta, o rechazarla y hacer una con-
traoferta y = (y1, y2), que a su vez el jugador 1 puede aceptar (recibiendo una fracción yi dela
torta cada jugador i) o rechazar. Un pedazo de tamaño k en el período t es valorado en �t
i
k en
t = 0, con �
i
2 (0,5, 1). Luego, una oferta x aceptada en t = 0 es valorada en (x1, x2) en t = 0,
mientras que una contraoferta y aceptada en t = 1 es valorada en (�1y1, �2y2) en t = 0. En caso
en que ninguna oferta sea aceptada, ambos obtienen un pago de 0.
a) [5 puntos] Indique cuál sería el equilibrio perfecto en subjuegos (EPS) de este juego. Explique
cuidadosamente.
Respuesta:
Inducción hacia atrás: El J1 acepta cualquier contraoferta; el J2 anticipa esto y ofrece (0, 1)
valorada en (0, �2) en t = 0; el J1 anticipa que el J2 no aceptará nade menos conveniente
que ello, y por eso ofrece (1� �2, �2)
1
b) [12 puntos] Suponga que aparece un tercer individuo que pone las reglas de la negocia-
ción. Él quiere inducir con dichas reglas que el bien se reparta equitativamente (es decir,
que cada uno obtenga 0,5). Para ello, suponga que este individuo dice que en caso que el
acuerdo no sea inmediato (es decir, en caso que el jugador 2 rechace la oferta x), se pier-
de una parte ⇡ de la torta, de modo que una contraoferta y aceptada es valorada sólo en
(�1 (1� ⇡) y1, �2 (1� ⇡) y2) en t = 0.
i [8 puntos] ¿Cuál debe ser el valor de ⇡ que debe imponer para lograr su objetivo de
reparto equitativo? ¿Cómo depende su respuesta del valor de �1 y �2 y por qué? Explique
cuidadosamente.
Respuesta:
Inducción hacia atrás: El J1 acepta cualquier contraoferta; el J2 anticipa esto y ofrece
(0, 1) valorada en (0, �2 (1� ⇡)) en t = 0; el J1 anticipa que el J2 no aceptará nada
menos conveniente que ello, y por eso ofrece (1� �2 (1� ⇡) , �2 (1� ⇡)). Para reparto
equitativo: �2 (1� ⇡) = 0,5 ) ⇡ =
⇣
1� 0,5
�2
⌘
Mientras más chico �2, menor ⇡. Esto, porque mientras menor es �2 más le da el J2 al
J2, y menos tiene que interferir el tercero.
El valor de �1 no afecta porque empieza el J2.
ii [4 puntos] Suponga que este tercer individuo podría elegir el orden en que se lleva a cabo
el proceso de negociación. Si él quiere elegir un ⇡ lo más bajo posible, ¿cuál de los dos
jugadores tendría que empezar haciendo la primera oferta? Explique cuidadosamente.
Respuesta:
Si cambia el orden, tendríamos ⇡ =
⇣
1� 0,5
�1
⌘
. El ⇡ más bajo sería con el �
i
menor.
Entonces, si �1 es menor debe empezar el J2 y viceversa.
3. [28 puntos] Un bien transable y otro no transable
Considere una economía compuesta por dos sectores, 1 y 2, y dos consumidores, A y B. Las
preferencias de los consumidores A y B se representan mediante las siguientes funciones de uti-
lidad:
A : u (x1, x2) = x
0,8
1 x
0,2
2 ,
B : u (x1, x2) = x
0,2
1 x
0,8
2 .
La tecnología de cada sector se representa mediante las siguientes funciones de producción:
q1 = K,
q2 = L.
Es decir, elsector 1 usa sólo el factor K, y el sector 2 sólo el factor L (ambos sectores con
rendimientos constantes a escala).
Por otra parte, el bien producido en el sector 1 es transable, y se puede comprar o vender en el
mercado internacional al precio p⇤1, mientras que el bien 2 no es transable internacionalmente.
a) [6 puntos] Muestre que las demandas agregadas por los bienes 1 y 2 respectivamente se
pueden escribir como:
X1 = 0,8
w
L
L
A
+ w
K
K
A
p1
+ 0,2
w
L
L
B
+ w
K
K
B
p1
X2 = 0,2
w
L
L
A
+ w
K
K
A
p2
+ 0,8
w
L
L
B
+ w
K
K
B
p2
,
donde w
L
y w
K
son los precios de los factores L y K respectivamente, mientras que L
i
y
K
i
son las dotaciones de L y K del individuo i.
Respuesta:
2
Consumidor A:u1
u2
=
0,8x�0,21 x
0,2
2
0,2x0,81 x
�0,8
2
= 4x2
x1
= p1
p2
) x1p1 = 4x2p2.
En RP: x1p1 + x2p2 = 5x2p2 = m ) x2 = 0,2m
p2
Similarmente para B : x2 = 0,8m
p2
Los niveles de ingreso son m
i
= w
L
L
i
+ w
K
K
i
b) [4 puntos] Muestre que los costos marginales o costos unitarios en los sectores 1 y 2 son:
c1 = wK ,
c2 = wL.
Respuesta:
Las demandas condicionadas son K⇤ = q1 y L⇤ = q2, con costos totales wKq1 y wLq2
c) [8 puntos] Suponga que L
A
= L
B
= K
A
= K
B
= 1. Encuentre el equilibrio walrasiano
en esta economía (niveles de producción, consumo, uso de factores y precios de equilibrio).
Explique cuidadosamente.
Respuesta:
p1 = wK = p⇤1
p2 = wL
2 = 0,2wL+wK
p2
+ 0,8wL+wK
p2
= wL+wK
p2
= 1 + p
⇤
1
p2
) p2 = p⇤1
Producción de ambos bienes: 2
Demanda de ambos bienes: X1 = wL+wK
p
⇤
1
= 2 = X2
d) [10 puntos] Suponga ahora que la dotación de capital de A aumenta al doble, de modo que
L
A
= L
B
= K
B
= 1 y K
A
= 2.
i [6 puntos] Encuentre los nuevos precios de equilibrio, y explique por qué el cambio en
la dotación de K no afecta el precio de K ni el precio del bien que lo utiliza en su
producción, pero sin embargo sí afecta el precio de L y del bien que utiliza L en su
producción.
Respuesta:
p1 = wK = p⇤1
p2 = wL
2 = 0,2wL+2wK
p2
+ 0,8wL+wK
p2
= wL
p2
+ (0,4 + 0,8) wK
p2
= 1 + 1,2p
⇤
1
p2
) 1 = 1,2p
⇤
1
p2
) p2 =
1,2p⇤1
En el mercado del bien 2 afecta por el lado de la demanda: A es más rico, demanda
más del bien, y como la oferta no ha cambiado (porque la dotación de L está fija) se
va a precio. El mercado del bien 1 es el mercado internacional (y por lo tanto w
K
no
puede cambiar).
ii [4 puntos] ¿Se importa o exporta del bien 1? Compare con el caso antes calculado (con
K
A
= 1) y explique intuitivamente a qué se deben estos resultados. Respuesta:
No se exporta ni importa (por Ley de Walras, exceso de demanda nulo en el sector 2
implica producción interna igual a consumo interno en el sector 1).
3
4. [25 puntos] La realidad del pavo
En esta pregunta todos los jugadores son pavos reales (miembros de la especie pavo cristatus).
La naturaleza hace al macho fuerte o débil con iguales probabilidades. Al macho –sin importar
su tipo– le gusta aparearse por sobre todas las cosas. Desafortunadamente para él, sin embargo,
es la hembra la que decide si se aparean o no. La hembra, por su parte, prefiere aparearse con
un macho fuerte, porque éste tiene mejores posibilidades que uno débil de cuidarla a ella y a sus
crías. Sin embargo, ella no puede distinguir al fuerte del débil; en cambio, la única información
que tiene al momento de decidir es el tamaño de la cola de su (siempre dispuesto) pretendiente.
El macho, entonces, escoge el tamaño de su cola; sí, imagine para los propósitos de esta pregunta
que el macho puede escoger tener una cola larga o una corta. La cola larga, sin embargo, es
costosa porque debilita al macho y lo hace más vulnerable frente a los depredadores.
En particular, la hembra obtendría 8 utiles si se apareara con un macho fuerte de cola corta; 6
utiles si se apareara con un macho fuerte de cola larga; 0 utiles si no se aparea; �6 utiles si se
apareara con un débil de cola corta, y �8 utiles si se apareara con un débil de cola larga. El
macho, por su parte, gana 8 utiles si se aparea, 0 utiles si no se aparea, y el número de utiles que
pierde al escoger una cola larga depende de su tipo: al macho fuerte le cuesta 6 utiles, mientras
que al macho débil le cuesta 10 utiles. Esta información se resume en la siguiente figura:
Naturaleza
Macho
Macho
(8, 8)
(0, 0)
(2, 6)
(�6, 0)
(8,�6)
(0, 0)
(�2,�8)
(�10, 0)
Fuerte 50%
Débil 50%
Corta
Larga
Corta
Larga
Aparea
No
Aparea
No
Aparea
No
Aparea
No
HembraHembra
Este juego tiene 3 equilibrios de Nash en estrategias puras, como se puede apreciar en la matriz
de pagos:
AA AN NA NN
LL 0,�1 0,�1 �8, 0 �8, 0
LC 5, 0 1, 3 1,�3 �3, 0
CL 3, 0 �1,�4 �1, 4 �5, 0
CC 8, 1 0, 0 8, 1 0, 0
a) [3 puntos] Explique por qué los pagos de las estrategias (LC,NA) son (1,�3).
Las estrategias LC y NA conjuntamente conducen al resultado FLN, con probabilidad 50 %
y pagos (�6, 0), y al resultado DCA, con pagos (8,�6). Luego, la utilidad esperada de cada
jugador es: 12 (�6, 0) +
1
2 (8,�6) = (1,�3).
b) [8 puntos] Muestre que existe un equilibrio bayesiano perfecto en que la cola larga se ocupa
como señal de fortaleza.
4
Hay que verificar que el EN (LC,AN) es bayesiano perfecto. Primero observamos que la
estrategia LC es separadora, por lo que el desinformado infiere perfectamente el tipo:
Pr (F |L) = Pr (L|F ) Pr (F )
Pr (L|F ) Pr (F ) + Pr (L|D) Pr (D)
=
1⇥ Pr (F )
1⇥ Pr (F ) + 0⇥ Pr (D) = 1
Similarmente, Pr (F |C) = 0. Luego, cuando la hembra observa L escoge A porque la utilidad
es de 6, mayor que 0, la utilidad de N. Cuando observa C, en cambio, infiere que el macho
es débil y escoge N obteniendo un pago de 0, mayor que el de la alternativa, -6.
Dada la estrategia de la hembra, el macho fuerte prefiere la cola larga porque consigue
aparearse, obteniendo un pago de 2, mayor que el de no aparearse a consecuencia de escoger
la cola corta, que paga 0. Por su parte, el macho débil obtendría �2 si escogiera la cola
larga: el beneficio de aparearse no es tan grande como el costo de la cola larga.
c) [10 puntos] Observe que existen dos equilibrios de Nash en que ambos tipos de macho
escogen una cola corta. ¿Qué creencias fuera del equilibrio harían que cada uno de estos
equilibrios de Nash fuera también un equilibrio bayesiano perfecto?
Los equilibrios referidos son (CC,AA) y (CC,NA). En ambos, el macho escoge la cola corta
y la hembra se aparea con el macho si éste escogió la cola corta. La diferencia entre ambos
equilibrios es lo que la hembra haría si se encontrara con un macho de cola larga; en el
primer equilibrio se aparearía con él, en el segundo no. Para juzgar la racionalidad de esta
decisión debemos ver si maximiza o no su utilidad esperada; sin embargo, tratándose de
una creencia fuera de la trayectoria de equilibrio, la regla de Bayes no define la inferencia
racional. Llamémosle q a la probabilidad de fuerte dado larga: q = Pr (F |L). Entonces, para
la hembra aparearse es mejor que no hacerlo si: q6 + (1� q) (�8) � 0, es decir, si q � 814 .
Por lo tanto, (CC,AA; q) es un EBP si y sólo si q 2
⇥
0, 814
⇤
; y (CC,NA; q) es un EBP si y
sólo si q 2
⇥
8
14 , 1
⇤
.
d) [4 puntos] Muestre que el perfil de estrategias (CL, NA) es un óptimo de Pareto y que, sin
embargo, no es un equilibrio de Nash. Comente.
Recuerde que un perfil de estrategias es óptimo en el sentido de Pareto si no existe otro
que deje a ambos débilmente mejor y a nadie peor. Los óptimos de Pareto son:
Estrategias Pagos
(CC,AA) y (CC,NA) 8,1
(LC,AN) 1,3
(CL,NA) -1,4
Todo el resto de los perfiles de estrategia es dominado por alguno de estos. En (CL,NA)
la hembra obtiene el mayor pago posible, porque siendo CL una estrategia separadora, ella
puede aparearse con el fuerte y además, él no incurre en el costo de la cola larga. Sin
embargo, esto no es de equilibrio porque el débil paga el costo de la cola larga sin producir
ningún beneficio para sí mismo (aunque claramente sí para la hembra y para el fuerte). La
estrategia de la hembra induciría entonces al débil a escoger la cola corta.5