Microeconomía II

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Microeconomía II 
 
Profesor: Francisco Da Silva 
Vicente García Casassus 
vsgarcia@uc.cl 
 
 
 
Índice 
Economía de Intercambio 2 
Economía con Producción 25 
Juegos de Información Completa 32 
Juegos de Información Incompleta 45 
 
 
 
 
 
 
 
Este material está basado principalmente en los libros: Microeconomía, Vial y Zurita, Intermediate 
Microeconomics, Varian, Hal., A Primer in Game Theory, Gibbons, R. y Microeconomic Theory, 
Oxford. 
Las palabras subrayadas corresponden a conceptos nuevos. 
Más material en: https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M 
mailto:vsgarcia@uc.cl
https://drive.google.com/drive/folders/0Bx20jJIsUiAOU1RTUFg2QlU3V2M
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Economía de Intercambio 
- Una economía suele buscar poder llevar a un equilibrio, dado que este corresponde al estado 
de mayor eficiencia posible, sin embargo, pueden existir distintos tipos de equilibrio dentro de 
una vasta economía. 
- Se conoce como equilibrio parcial al estado donde sólo uno de los mercados que componen la 
economía se encuentra en equilibrio. Es decir, sólo hay un mercado donde el precio y la 
cantidad transada corresponde a la intersección de las curvas de oferta y demanda. 
- El óptimo de eficiencia sería que en todos los mercados hubiese equilibrio, en otras palabras, 
que haya equilibrio general. No obstante, este estado no se suele encontrar frecuentemente en 
la realidad. 
- Dentro de las economías de intercambio hay distintos procesos, pero todas tienen en común las 
siguiente: 
1- Producción de bienes. 
2- Transacción. 
3- Consumo. 
4- Muerte. 
- Analizaremos una por una. Para ello tenemos que partir de los casos más básicos, una economía 
donde sólo hay dos consumidores (1 y 2), dos bienes (x e y) y, por lo tanto, sólo dos mercados 
(mercado donde se transa x y el mercado donde se transa y). 
- Además, asumimos que cada agente tiene una producción/dotación fija. Dicha dotación inicial 
es representada como (𝐱 �̅�, 𝐲�̅�) y a la dotación final, es decir, la canasta o cantidad de bienes que 
se consume en un determinado periodo, como (𝐱𝐢, 𝐲𝐢). 
- Finalmente, asumiremos que cada agente tiene una función de utilidad o preferencias dada e 
invariable, la cual gira en torno a la dotación final del individuo. Ui (xi, yi) = xi + yi, por ejemplo. 
- Dadas estas condiciones se deben cumplir los siguientes tres supuestos: 
1- Ui (xi, yi) > 0. Las funciones de utilidades son estrictamente crecientes. 
2- Ui (𝐱𝐢, 𝐲𝐢) es continua, nunca discreta. 
3- Ui (xi, yi) es diferenciable en todos sus puntos. 
- El tercer supuesto implica que no trabajaremos con funciones de utilidad para bienes 
complementarios. Ui (xi, yi) = min(xi, yi) es una función que no es diferenciable en todos sus 
puntos, no es estrictamente creciente y da paja hacer algo tan específico. 
- El primer supuesto se rige bajo la noción de que consumir más siempre es mejor, pero si 
aumento la cantidad del bien x que voy a consumir y bajo la cantidad del bien y ¿estoy mejor o 
peor? 
- Ciertamente hay canastas de bienes que entregan el mismo nivel de utilidad. Por ejemplo, si 
U1(x1, y1) = x1 + y1, entonces las canastas (5, 5), (6, 4), (10, 0), (1, 9), etc. Entregan el mismo nivel 
de utilidad, Ui (xi, yi) = 10. 
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- Esto significa que, para un nivel de utilidad dado (�̅�) hay un conjunto de indiferencia (I) que 
nos entrega un mismo nivel de utilidad. Matemáticamente, esto último se representa de la 
siguiente manera: 
IU̅,i = {(xi, yi) ϵ ℝ2+ tal que Ui (xi, yi) = U̅} 
- Dado que las funciones de utilidad son estrictamente crecientes, no puede haber dos canastas 
distintas con mismo �̅� y una dotación igual. Es decir, no puede ocurrir que: 
 
U̅ = U(xA, yB) = U(xA, yC) con yB ≠ yC 
 
- Por lo tanto, para cada xi sólo existe un yi tal que Ui (𝐱𝐢, 𝐲𝐢) = �̅�. 
- Las curvas de indiferencia (CI) o “curvas de preferencia” se definen como el conjunto de puntos 
en el espacio de canastas para los que un determinado nivel de utilidad (�̅�) se mantiene 
constante. 
- Es decir, para todos los puntos pertenecientes a una misma curva, el consumidor no tiene 
preferencia por la combinación representada por uno sobre la combinación representada por 
otro. Matemáticamente: 
CIU̅,i
 (xi) → Ui (xi, CIU̅,i
 (xi)) = U̅ 
- Apliquémoslo en un ejemplo, si U1 = x1 + y1, entonces CIU̅,i
 (xi) = y1 = U̅ – x1. Dado que es 
estrictamente creciente y continua, la CI debe ser decreciente y continua. En un gráfico: 
 
 
- La forma que tiene la curva de indiferencia dependerá de la forma de la función de utilidad. 
1- U es estrictamente cuasi-cóncava, CI es convexa. 
2- U es estrictamente cuasi-convexa, CI es cóncava. 
3- U es lineal, CI es lineal. 
- Las representaciones gráficas de las curvas de indiferencia son: 
 
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- ¿Cómo verificamos la “forma” que tiene una curva de indiferencia? Por medio de la derivada 
parcial de la función de utilidad. Veamos los pasos a seguir: 
1- Calcular la tasa marginal de sustitución (TMS) de la función de utilidad: 
TMSi = – 
𝑑Ui 
𝑑xi
𝑑Ui
𝑑 yi
 = – 
U′x
U′y
 
 
2- Evaluar si la TMS es creciente o decreciente, es decir: 
𝑑TMSi 
𝑑xi
 = 
𝑑TMSi(xi,CIU̅,i (xi)) 
𝑑xi
 + 
𝑑TMSi(xi,CIU̅,i (xi)) 
𝑑yi
 * CI’(Xi) 
3- Calcular la derivada con respecto a x: 
𝑑TMSi 
𝑑xi
 <> 0 
4- Calcular la derivada con respecto a y: 
𝑑TMSi 
𝑑yi
 <> 0 
- La forma de la función de utilidad y de la curva de indiferencia dependerán de si la TMS es 
creciente o decreciente (si el paso 2 nos da algo positivo o negativo). Como somos buenos para 
buscar atajos, aquí mostramos uno. 
- Ya sabemos que la curva de indiferencia es decreciente (ya que la función de utilidad siempre 
es creciente) podemos obtener tres posibles casos, los cuales dependen sólo del paso 3 y 4: 
1- La derivada parcial es positiva, es decir: 
Si 
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢 
𝒅𝐱𝐢
 > 0 y 
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢 
𝒅𝐲𝐢
 < 0, entonces la función de utilidad es estrictamente cuasi cóncava 
y la curva de indiferencia es convexa. 
2- La derivada parcial es negativa, es decir: 
 Si 
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢 
𝒅𝐱𝐢
 < 0 y 
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢 
𝒅𝐲𝐢
 > 0, entonces la función de utilidad es estrictamente cuasi convexa 
y la curva de indiferencia es cóncava. 
3- La derivada parcial es cero, es decir: 
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Si 
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢 
𝒅𝐱𝐢
 = 0 y 
𝒅𝐓𝐌𝐒𝐢 
𝒅𝐲𝐢
 = 0, entonces la función de utilidad es lineal y la curva de indiferencia 
es lineal. 
- Como bien dijimos, la asignación, inicial o final, de un agente se podía representar como (xi̅, yi̅) 
y (xi, yi), respectivamente. Pero esto es para ver las dotaciones de cada agente por separado, si 
quisiésemos ver las dotaciones todas juntas usamos la notación A(x1̅, y1̅, x2̅̅̅, y2̅̅̅) para la dotación 
inicial del agente 1 y agente 2. También se usa la notación A(x1, y1, x2, y2) para ver el consumo 
final de cada agente. 
- Se considera que una asignación (A) es factible sí y sólo sí: 
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 < 𝐱𝟏̅̅ ̅ + 𝐱𝟐̅̅ ̅ = �̅� 
𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 < 𝐲𝟏̅̅ ̅ + 𝐲𝟐̅̅ ̅ = �̅� 
- Esto quiere decir que una asignación puede ser eficiente incluso si hay desperdicio. 
- Esto quiere decir que la cantidad demandada por un bien debe ser igual a la cantidad ofrecida 
del bien, no puede haber desperdicios. No puede haber desperdicios ya que de lo contrario 
no se cumpliría el supuesto de “consumir más siempre es mejor”. 
- Las asignaciones se pueden representar en una caja de Edgeworth. La caja de Edgeworth es un 
instrumento gráfico utilizado para representar y analizar el intercambio de dos bienes entre dos 
individuos. Se utiliza para mostrar la eficiencia enel intercambio. 
- La caja de Edgeworth permite representar las canastas factibles de consumo y las preferencias 
de dos consumidores, proporcionando una descripción completa de las características 
económicamente relevantes de ambos. Veamos cómo se representa A(x1̅, y1̅, x2̅̅̅, y2̅̅̅) en una caja 
de Edgeworth: 
 
- ¿Cómo se interpreta? Las esquinas inferior izquierda y superior derecha son los “puntos de 
vista” que tiene cada agente de su propia curva de indiferencia. Por ejemplo, supongamos que 
hay dos agentes, Ana (A) y Elena (E), las dos tienen preferencias cuasi-cóncavas: 
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- Como Elena es nuestro “agente 2” damos vuelta su gráfico: 
 
 
- Y ahora los unimos para formar la caja de Edgeworth: 
 
- Se conoce a la eficiencia de Pareto como el estado donde ninguno de los agentes puede estar 
mejor sin que los demás estén peor. ¿Cómo se aplica a las economías de intercambio? Hay 
asignaciones que “Pareto dominan” a otras. 
- Extrayendo el concepto de Pareto, una asignación A Pareto domina a una asignación B si los 
dos agentes están mejor en la asignación A. Si uno está mejor en la A mientras que el otro está 
mejor en la B, entonces ninguna Pareto domina a la otra. 
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- De manera más formal, dada una asignación A( x1
A, y1
A , x2
A, y2
A ) y una asignación 
B(x1
B, y1
B, x2
B, y2
B), A Pareto domina a B si se cumplen estas dos condiciones: 
U1(𝐱𝟏
𝐀, 𝐲𝟏
𝐀) > U1(𝐱𝟏
𝐁, 𝐲𝟏
𝐁) 
U2(𝐱𝟐
𝐀, 𝐲𝟐
𝐀) > U2(𝐱𝟐
𝐁, 𝐲𝟐
𝐁) 
- Se habla de dominancia estricta si al menos una de las condiciones es estricta, es decir, si una 
de las dos ecuaciones tiene > en vez de >. 
- Una asignación que no es Pareto dominada por ninguna otra se conoce como una asignación 
Pareto eficiente. Por lo tanto, una asignación es Pareto eficiente si: 
1- Es factible (demanda de bienes debe ser igual a la suma de dotaciones iniciales. 
2- No hay otra asignación que la domine. 
- Una asignación es “Pareto segura” si, para todas las funciones de utilidad posibles, un agente 
no puede estar mejor y el otro no puede estar peor. Sólo existen dos puntos y son los orígenes 
de la caja de Edgeworth, asignaciones de consumo: A(0, 0, x2̅̅̅, y2̅̅̅) y A(x1̅, y1̅, 0, 0). 
- Antes mencionamos que hay casos donde una asignación no puede Pareto dominar a otra 
porque los agentes están mejor en una, pero no en la otra. Estas dos asignaciones, en caso de 
ser Pareto eficientes, serían parte del conjunto de Pareto, es decir, parte del conjunto de 
asignaciones eficientes. 
- ¿Cómo encontrarlas? Veamos el siguiente ejemplo: 
 
- A medida que la curva de indiferencia de Ana se mueve hacia la derecha y hacia arriba, su 
utilidad aumenta. En el caso de Elena, su utilidad aumenta mientras más cerca esté de O1. 
Analicemos cada uno de los puntos: 
1- Puntos G: Ana estaría mejor en el punto G que en el punto I ya que su curva de indiferencia 
estaría en un mayor nivel. Elena también prefiere el punto G a los puntos I ya que también 
tendría una mayor utilidad. Ergo, el punto G Pareto domina a los puntos I. 
2- Puntos J: Para llegar a este punto las dos curvas de indiferencia tendrían que “bajar de nivel” 
por lo que Ana y Elena estarían peor. Punto G sigue siendo el que domina. 
3- Punto H: Se puede aplicar el mismo análisis que para el punto J. 
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4- Punto K: Si Ana alcanza el punto K estaría mejor que en el punto G, pero Elena estaría peor. 
Por lo tanto, el punto G no domina al K, pero el K tampoco domina al G. 
5- Punto L: Si Elena alcanza el punto L estaría mejor que en el punto G, pero Ana estaría peor. 
Por lo tanto, el punto G no domina al L, pero el L tampoco domina al G. 
- Aplicando la lógica de los primeros tres puntos, se estará más cerca de la asignación Pareto 
eficiente a medida que disminuya la distancia entre las curvas de indiferencia. ¿Cuál es el punto 
donde la distancia es la menor? En la tangencia de las curvas. 
- Si realizamos esto para todas las posibles curvas de indiferencia de cada agente llegaríamos a: 
 
- El conjunto de Pareto es toda la línea negra dentro de la caja. En nuestros ejercicios del curso 
no tenemos conjuntos de Pareto en forma de culebra, pero me dio paja buscar uno que fuese 
recto. No obstante, perfectamente podemos encontrarnos conjuntos de Pareto cóncavos o 
convexos. Para ello revisar ayudantía 2 del 2018-2. 
- Ojo, como veremos más adelante, el método de encontrar el conjunto de Pareto por medio 
de igualación de TMS’s sirve sólo si las funciones de utilidad de los dos agentes son cuasi-
cóncavas. 
- Luego de igualar las tasas marginales de sustitución, se despeja y1d y el consumo final del agente 
dos se deja en función del consumo del agente uno. Luego se traza el conjunto de Pareto en la 
caja. 
- Hay que tener en cuenta que los puntos del conjunto de Pareto deben ser interiores, es decir, 
los bordes y las esquinas no cuentan bajo esta condición. Sin embargo, habíamos mencionado 
que los extremos (los orígenes de la caja de Edgeworth) son eficientes siempre, por lo que 
técnicamente también se consideran en el conjunto de Pareto. 
- Veamos un ejemplo, sea Ui = xiyi + yi, ¿cuál es el conjunto Pareto eficiente? 
1- Verificamos que las funciones de utilidad sean cuasi-cóncavas: 
 TMSi = – 
𝑑Ui 
𝑑xi
𝑑Ui
𝑑 yi
 = – 
U′x
U′y
 = – 
yi
xi + 1
 
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9 
 
𝑑TMSi 
𝑑xi
 = – 
𝑑 
yi
xi + 1
𝑑xi
 = 
yi
(xi + 1)2
 > 0 
𝑑TMSi 
𝑑yi
 = – 
𝑑 
yi
xi + 1
𝑑yi
 = – 
1
xi + 1
 < 0 
 
La función de utilidad es cuasi-cóncava, por lo que podemos igualar TMS’s. 
 
2- Igualamos las TMS’s: 
y1
x1 + 1
 = 
y2
x2 + 1
 
 
3- Dejamos el consumo del agente 2 en función del consumo del agente 1. ¿Cómo se hace 
esto? Sabemos que se debe cumplir que la demanda es igual a la oferta, es decir: 
 
x1 + x2 = x̅ 
 
y1 + y2 = y̅ 
 
Dejamos el consumo del agente 2 en función del agente 1: 
x2 = x̅ – x1 
 
y2 = y̅ – y1 
Reemplazamos: 
y1
x1 + 1
 = 
y̅ – y1
x̅ – x1 + 1
 
4- Despejamos y1d: 
y1(x̅ - x1 + 1) = (y̅ - y1)(x1 + 1) 
y1 = x1 
y̅
x̅ + 2
 + 
y̅
x̅ + 2
 
5- La graficamos en la caja de Edgeworth: 
La mejor forma es preguntarse ¿qué valor toma y1 cuando x1 es 0? ¿Y cuándo x1 es �̅�? 
Si x1 = 0 → y1 = 
y̅
x̅ + 2
 Si x1 = x̅ → y1 = 
y̅(x̅ + 1)
x̅ + 2
 ~ y̅ 
 
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10 
 
 
- Como se puede ver, la recta no va de extremo a extremo. A pesar de que se había dicho que el 
conjunto de Pareto correspondía sólo a asignaciones interiores, en casos así, los bordes 
ennegrecidos también son parte del conjunto de Pareto. 
- Antes habíamos dicho que la igualación de TMS’s sólo se puede hacer si las funciones de utilidad 
son cuasi-cóncavas, entonces ¿qué se hace en los otros casos? 
- Veamos primero el caso en que las TMS’s son lineales. Sea Ui = αixi + βiyi, la tasa marginal de 
sustitución de cada agente será: 
TMSi = – 
αi
βi
 
- Sólo habrá tangencia de TMS’s si: 
TMS1 = – 
α1
β1
 = – 
α2
β2
 = TMS2 
- En dicho caso, el conjunto de Pareto será toda la caja. ¿Por qué? Porque las curvas de 
indiferencia son las mismas en todos los puntos. Supongamos que 
αi
βi
 = 1, la representación 
gráfica sería: 
 
- Haciéndolo esto para cada nivel de utilidad, para todas las curvas de indiferencia de los agentes 
llegamos a: 
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11 
 
 
- En cambio, si las TMS’s son distintas, en particular si se cumple que TMS1 < TMS2, el conjunto 
de Pareto es el borde derecho e inferior de la caja. Por ejemplo, TMS1 = -10 y TMS2 = -0,1: 
 
- Como se puede ver, el punto G Pareto domina al F y el punto H domina al punto G. El único 
punto eficiente sería el gráfico de la izquierda. Ahora, si hacemos esto para más pares de curvas 
de indiferencia obtenemos el gráfico de la derecha: 
 
- Por lo tanto, el conjunto de Pareto es el borde inferior y el derecho: 
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12 
 
 
- Análogamente, cuando TMS1 > TMS2, el conjunto de Pareto es el borde izquierdo y superior 
de la caja: 
 
-Ahora analizaremos el caso en que las dos funciones de utilidad son cuasi-convexas. 
Recordemos que la curva de indiferencia de una función de utilidad cuasi-convexa se vería como 
en el cuadro izquierdo. Por lo tanto, la tangencia de dos curvas de indiferencia convexas en la 
caja de Edgeworth se vería como la caja de la derecha: 
 
- Como se puede ver, el punto G Pareto domina al punto F ya que ambos agentes estarían mejor 
en dicha asignación. Esta es la razón por la cual no podemos usar la tangencia de las tasas 
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marginales de sustitución y la razón por la cual es tan importante determinar qué forma 
tienen las funciones de utilidad antes de partir haciendo ejercicios. 
- El conjunto eficiente se encontrará en los bordes donde se corten las curvas de indiferencia, por 
lo tanto, hay dos posibles conjuntos de Pareto: El borde inferior más el derecho o el borde 
superior más el izquierdo: 
 
- Para determinar qué bordes son hay que pensar “para un mismo nivel de utilidad, ¿deberé 
consumir más x o y en los extremos?” En el gráfico de la izquierda, se puede ver que el agente 
1 (azul) consume menos x que y en los bordes. 
- Por ejemplo, sea la función de utilidad Ui = 2x2 + y2. Para saber qué borde es conjunto de Pareto 
usemos un nivel de utilidad dado, 50. ¿Cuánto hay que consumir de un solo bien? Comparemos: 
Consumo sólo X Consumo sólo y 
50 50 
2(X)2 + (0)2 2(0)2 + (Y)2 
 2(5)2 + (0)2 2(0)2 + (√50)2 
 (5, 0) (0, √50) 
- Gráficamente: 
 
- Como se puede ver, hay que consumir menos de x, ergo, el borde inferior de la caja será parte 
del conjunto de Pareto. 
- Ahora, dado que sabes y podemos distinguir qué asignaciones son eficientes, ¿cuál se elige? 
Dada las dotaciones iniciales, se puede transar en el mercado para así poder conseguir 
aquellas canastas que maximicen la utilidad de cada agente. Dicha asignación es: 
 
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E*[x1(Px
∗), y1(Py
∗), x2(Px
∗), y2(Py
∗)] = E*[x1
∗, y1
∗, x2
∗, y2
∗] 
- ¿Cómo se encuentran los precios de equilibrio? Se debe cumplir: 
 
x1(Px
∗, Py
∗) + x2(Px
∗, Py
∗) = x1̅ + x2̅̅̅ = x̅ 
y1(Px
∗, Py
∗) + y2(Px
∗, Py
∗) = y1̅ + y2̅̅̅ = y̅ 
 
- Asumimos que no somos tomadores de precio, es decir, dado que estamos en una economía 
de sólo dos personas, nuestra decisión de comprar y vender afecta los precios. Por lo tanto, el 
equilibrio es: 
E*[x1
d, y1
d, x2
d, y2
d), (Px
∗, Py
∗)] 
- Pero los agentes no pueden llegar y consumir como se les plazca, deben hacerlo en torno a su 
dotación inicial, es decir, tienen una restricción de presupuesto o restricción presupuestaria 
(𝐈i). Esta es tal que: 
Ii = Px * x̅i + Py * y̅i 
 
- El hecho de que un agente no puedo consumir por sobre su restricción presupuestaria significa 
que: 
Px * �̅�i + Py * �̅�i < Px * xi + Py * yi 
- Cada agente maximiza su utilidad dada su demanda por bienes (x
1
d, y
1
d), restringido por su 
presupuesto: 
Máx Ui(xi
d, yi
d); Px * xi + Py * yi = Px * x̅i + Py * y̅i 
- Además, como nuestras decisiones de consumo afectan el mercado, podemos decir que nuestro 
consumo dependerá de la relación que haya entre los precios, para ello denotaremos P = 
𝐏𝐱
𝐏𝐲
. 
Esto deja el problema de maximización como: 
Máx Ui(𝐱𝐢
𝐝, 𝐲𝐢
𝐝); s.a Pxi + yi = P�̅�i + �̅�i 
- Veamos el siguiente ejemplo: 
 
Roger y Juan son famosos jugadores de tenis, ambos naufragaron en una isla desierta y su 
único pasatiempo es jugar al tenis. En la isla se pueden encontrar dos tipos de golpes, Saque 
(x) y Volea (y). Las dotaciones son las siguiente: W1(x̅1,y̅1) = (30,10) y W2(x̅2,y̅2) = (10,25). 
Encontrar la función de demanda de cada individuo y el precio relativo de equilibrio si las 
funciones de utilidad son: Roger: U1(x, y) = 0,25logx1 + 0,75logy1. Juan: U2(x, y) 2x20,4y20,6. 
 
- Primero, vemos la forma de las funciones de utilidad: 
 
TMS1 = – 
y1
3x1
 TMS2 = – 
2y2
3x2
 
TMS1y = – 
1
3x1
 TMS1x = 
y1
3x12
 TMS2y = – 
2
3x2
 TMS2x = 
2y2
3x22
 
 
VGC 
 
15 
 
- Dado que en ambos casos se tiene que TMSiy < 0 y TMSix > 0, se puede decir que las dos funciones 
de utilidad son cuasi-cóncavas. A lo que viene que hay que resolver el siguiente sistema de 
ecuaciones: 
 
- Aplicando para el agente 1: 
y1
3x1
 = P 
Px1 + y1 = 30P + 10 
- Como recomendación, siempre dejar el lado de la dotación inicial intacta. Ahora, buscamos 
y1d y x1d: 
 
 
- Estas serán las demandas siempre y cuando: 
 
y1d = 
3(30P + 10)
4
 > 0 x1d = 
30P + 10
4P
 > 0 
 
 P > - 
1
3
 P ϵ (-∞, -
1
3
) U (0, ∞) 
 
- Como sólo nos importan los precios positivos: 
 P > 0 P > 0 
- Es decir, las demandas siempre serán positivas. 
Como la relación de precios siempre va a ser positiva entonces no hay problema, los problemas 
parten si la relación de precios debe ser mayor que una constante positiva, pero eso lo 
veremos en el siguiente ejercicio. 
- Ahora debemos hacer el mismo procedimiento para el agente 2: 
2y2
3x2
 = P 
Px2 + y2 = 10P + 25 
- Ahora, buscamos y2d y x2d: 
 
2y2
3
 = Px2 y2= 
3
2
Px2 
 
2y2
3
 + y2 = 10P + 25 Px2 + 
3
2
Px2 = 10P + 25 
 
VGC 
 
 
16 
 
 y2d = 
3(10P + 25)
5
 x2d = 
2(10P + 25)
5P
 
 
- Comprobamos que estas sean las demandas para todos los posibles precios: 
 y2d = 
3(10P + 25)
5
 > 0 x2d = 
4P + 10
P
 > 0 
 P > -2,5 P ϵ (-∞, -2,5) U (0, ∞) 
 
- Las demandas siempre serán positivas. 
- Ahora hay que encontrar el equilibrio en los dos mercados, esto se puede hacer de dos 
maneras. La primera es encontrar el precio relativo de equilibrio en un mercado y luego 
reemplazarlo en el otro para comprobar que se cumpla el equilibrio, o bien, buscar el 
equilibrio en el segundo mercado y asegurarse de que el precio de equilibrio sea el mismo que 
en el primero: 
 
 x1d + x2d = x̅ y1d + y2d = y̅ 
 
30P + 10
4P
 + 
16P + 40
4P
 = 40 
3(30P + 10)
4
 + 
3(10P + 25)
5
 = 35 
 
46P + 50 = 160P 
45P + 15
2
 + 
12P + 30
2
 = 35 
 
 P* = 
25
57
 P* = 
25
57
 
 
- La segunda opción habría sido invocar la Ley de Walras. Esta ley nos dice que en una economía 
con n mercados, si n - 1 de los mercados están en equilibrio, obligatoriamente el enésimo 
mercado también lo estará. La demostración matemática es: 
 
Px xid (P) + Py yid(P) = Px x̅i + Py y̅i 
 
Px [x1d (P) + x2d (P)] + Py [y1d(P) + y2d(P)] = Px (x̅1 + x̅2) + Py (y̅1 + y̅2) 
 
- Si hay (Px*, Py*), hay equilibrio en el mercado X, por lo tanto, hay equilibrio en el mercado Y, es 
decir, si se cumple que: 
Px [x1d (P) + x2d (P)] = Px (x̅1 + x̅2) 
- Entonces: 
Px [x1d (P) + x2d (P)] + Py [y1d(P) + y2d(P)] = Px (x̅1 + x̅2) + Py (y̅1 + y̅2) 
Px (x̅1 + x̅2) + Py [y1d(P) + y2d(P)] = Px (x̅1 + x̅2) + Py (y̅1 + y̅2) 
Py [y1d(P) + y2d(P)] = Py (y̅1 + y̅2) 
- Hay que destacar una diferencia entre el método de análisis que se emplea para encontrar el 
conjunto de Pareto y el equilibrio de mercado. Para ello supongamos que tenemos la siguiente 
función de utilidad: 
U1 = x1 + y1 + αx2 + βy2 
VGC 
 
17 
 
- Para el conjunto de Pareto podemos decir que x2 está en función de x1, es decir, x2 = x̅ –x1. En 
otras palabras, x2 es una variable de decisión (lo que consume la otra persona depende de mí). 
- Cuando se estudia el equilibrio a uno no le interesa lo que consuma el otro, mi demanda 
dependerá sólo de mí y de nadie más. El hecho de que la combinación de demandas sea posible 
es otro tema. Por lo tanto, en esta función de utilidad x2 funciona como una constante, no una 
variable de decisión. 
- Antes habíamos mencionado que las demandas no presentaban problemas siempre y cuando 
los precios fuesen mayores que algo negativo, veamos qué pasa si no se cumple esto: 
 
El Chino Ríos y Nicolás Massú son famosos jugadores de tenis, ambos naufragaron en una 
isla desierta y su único pasatiempo es jugar al tenis. En la isla se pueden encontrar dos tipos 
de golpes, Saque (x) y Volea (y). Las dotaciones son las siguiente: W1(x̅1,y̅1) = (30,10) y 
W2(x̅2,y̅2) = (10,25). Encontrar la función de demanda de cada individuo y el precio relativo 
de equilibrio si las funciones de utilidad son: Chino Ríos: U1(x, y) = x1 y1 + 15x1. Massú: U2(x,y) 
x20,2y20,8. 
 
- Repetimos los mismos pasos que antes: 
TMS1 = – 
y1 + 15
x1
 TMS2 = – 
y2
4x2
 
 TMS1y = – 
15
x1 
 TMS1x = 
y1 + 15
x12
 TMS2y = – 
1
4x2
 TMS2x = 
y2
4x22
 
 
- Las funciones de utilidad son cuasi-cóncavas. Ahora resolvemos las demandas de cada agente a 
partir del sistema de ecuaciones: 
 
- Aplicando para el agente 1: 
y1 + 15
x1
 = P 
Px1 + y1 = 30P + 10 
- Ahora, buscamos y1d y x1d: 
 y1 + 15 = Px1 y1= Px1 – 15 
 
 y1 + 15 + y1 = 30P + 10 Px1 + Px1 – 15 = 30P + 10 
 
 y1d = 
30P − 5
2
 x1d = 
30P + 25
2P
 
 
- Estas serán las demandas siempre y cuando: 
 
y1d = 
30P − 5
2
 > 0 x1d = 
30P + 25
2P
 > 0 
 
VGC 
 
 
18 
 
 P > 
1
6
 P ϵ (-∞, - 
5
6
) U (0, ∞) 
 
- Esa será la demanda de y1 siempre y cuando el precio sea mayor que 1/6, ¿qué pasa si el precio 
es menor que eso? El agente 1 no consumiría del bien y. Por lo tanto, tenemos una demanda 
por tramos: 
 
- ¿De dónde sale la demanda por tramos de x1? En caso de que el precio sea menor a 1/6, 
demandaremos y1 = 0, esto quiere decir que ya no nos regimos por la tangencia entre la TMS 
y la razón de precios, sino que sólo por la restricción presupuestaria, es decir: 
Px1 + y1 = 30P + 10 
- Dado que y1 = 0: 
Px1 = 30P + 10 
 
x1d = 
30P + 10
P
 
- Recién ahora podemos hacer el cálculo para el agente 2: 
y2
4
 = Px2 y2= 4Px2 
 
y2
4
 + y2 = 10P + 25 Px2 + 4Px2 = 10P + 25 
 
 y2d = 8P + 20 x2d = 
2P + 5
P
 
 
- Comprobamos que estas sean las demandas para todos los posibles precios: 
 y2d = 8P + 20 > 0 x2d = 
2P + 5
P
 > 0 
 P > -2,5 P ϵ (-∞, -2,5) U (0, ∞) 
 
- Ambas demandas siempre serán positivas. 
- Ahora pasamos al equilibrio. A diferencia de antes, como nos enfrentamos a un caso donde hay 
demandas por tramos, el equilibrio dependerá del precio relativo crítico: 
- Si P > 1/6 
y1d + y2d = 
30P − 5
2
 + 8P + 20 = 35 → 23P = 17,5 → P* = 
17,5
23
 > 
1
6
. Existe un equilibrio. 
- Si P < 1/6 
VGC 
 
19 
 
y1d + y2d = 8P + 20 = 35 → P* = 
15
8
. Como el precio de equilibrio no cumple la condición, entonces 
no hay un equilibrio con P < 
1
6
. 
- ¿Cómo se hace para las funciones de utilidad lineales? La canasta que se elija dependerá de la 
relación que haya entre la TMS y la ratio de precios: 
 
- A partir de estos gráficos, podemos construir las demandas por bienes, para ello hay que 
recordar que la restricción presupuestaria es Pxi + yi = P�̅�i + �̅�i: 
 
 
- Luego, habría que determinar el equilibrio en cada uno de los intervalos de precio. Por ejemplo, 
supongamos que TMS1 = -1 y que TMS2 = -2, habría que revisar el equilibrio para: 
P < 1 
P = 1 
1 < P < 2 
2 = P 
2 < P 
- Para ver un ejemplo más concreto ir a ayudantía 4, ejercicio 1)b). 
- Finalmente, tenemos el caso de las funciones de utilidad cuasi-convexas, como vimos antes, 
con curvas de indiferencia cóncavas no se puede trabajar con la tangencia ya que se alcanzan 
mayores niveles de utilidad si la curva de indiferencia se sigue desplazando. 
- Para cuando tenemos la restricción presupuestaria sucede algo similar, veamos las canastas de 
consumo para las distintas curvas de indiferencia: 
VGC 
 
 
20 
 
 
- Es decir, puedo preferir consumir sólo X, sólo Y o tener la opción de elegir entre los dos, ojo, 
elegir entre los dos, no elegir una combinación lineal. 
- A diferencia de los casos anteriores, que veíamos la forma de la curva de indiferencia por medio 
de las tasas marginales de sustitución, en este caso no se puede aplicar. Entonces, ¿cómo vemos 
en cuál de los tres casos estamos? Reemplazando en la función de utilidad misma. Por ejemplo: 
 
Supongamos que en una economía hay dos hermanos con funciones de utilidad muy 
parecidas, estas son: U1 = 2x12 + y12, U2 = x22 + 2y22. ¿Cuáles son sus demandas si las 
dotaciones de cada uno es Wi(x̅i,y̅i) = (20,10)? 
 
- Hay que encontrar la ratio de precios crítica que hace que un agente prefiera entre consumir 
sólo de un bien o sólo de otro. Para ello hay que verificarlo simplemente por medio de las 
funciones de utilidad. Antes que nada, hay que verificar que la función de utilidad sea cuasi-
convexa, pero me da lata demostrar que lo son, por lo que asumiremos que hice la 
demostración: 
 
Consumo sólo X → U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) Consumo sólo Y → U1(0, Px̅1 + y̅1) 
 
U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) = 2(
Px̅1 + y̅1
P
)2 + 02 U1(0, Px̅1 + y̅1) = 2*0
2 + (Px̅1 + y̅1)
2 
 
 U1= 2(
20P + 10
P
)2 U1 = (20P + 10)2 
 
- ¿Con que relación de precios prefiero consumir sólo X? 
2(
20P + 10
P
)2 > (20P + 10)2 
 
2
P2
 > 1 
 
√2 > P 
- Esto nos deja con que las demandas del agente 1 es: 
 
VGC 
 
21 
 
 
- Haciendo lo mismo para el agente 2: 
Consumo sólo X → U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) Consumo sólo Y → U1(0, Px̅1 + y̅1) 
 
U1(
Px̅1 + y̅1
P
, 0) = (
Px̅1 + y̅1
P
)2 + 2*02 U1(0, Px̅1 + y̅1) = 0
2 + 2(Px̅1 + y̅1)
2 
 
 U1= (
20P + 10
P
)2 U1 = 2(20P + 10)2 
 
- ¿Con que relación de precios prefiero consumir sólo X? 
(
20P + 10
P
)2 > 2(20P + 10)2 
 
1
P2
 > 2 
 
√2
2
 > P 
- Esto nos deja con que las demandas del agente 2 es: 
 
 
 
- Ahora hay que revisar los posibles equilibrios: 
 
P < 
√2
2
: y1d + y2d = 0. No hay demanda, pero la oferta es �̅� = 20. Por lo tanto, no hay equilibrio. 
 
P = 
√2
2
: x1d + x2d = 
20P + 10
P
 + 
20P + 10
P
 = 40 → P* = 0. O bien, x1d + x2d = 
20P + 10
P
 = 40 → P* = 0,5. En 
ambos casos P* ≠ 
√2
2
. Por lo tanto, no hay equilibrio. 
 
VGC 
 
 
22 
 
√2
2
 < P < √2: x1d + x2d = x1d = 
20P + 10
P
 = 40 → P* = 0,5 ∉ (
√2
2
 , √2). Por lo tanto, no hay equilibrio. 
 
√2 = P: x1d + x2d = x1d = 
20P + 10
P
 = 40 → P* = 0,5 ≠ √2. Por lo tanto, no hay equilibrio. 
 
√2 < P: x1d + x2d = 0. No hay demanda, pero la oferta es �̅� = 40. Por lo tanto, no hay equilibrio. 
 
- Ahora bien, no es necesario que los dos agentes tengan funciones de utilidad iguales, puede haber 
mezclas entre las que acabamos de ver. En ese caso, hay que tratarlas por separadas y luego 
revisar los posibles equilibrios en los rangos dentro de las ratios de precio crítico.- El primer teorema fundamental del bienestar establece que cualquier situación de equilibrio 
general walrasiano es Pareto eficiente con funciones de utilidad son crecientes. Formalmente, el 
teorema puede ser propuesto de la siguiente manera: Si las preferencias locales se satisfacen 
inicialmente y si la relación entre compras, bienes y precios (x*, y*, P) establece un equilibrio 
competitivo, entonces (x*, y*) es una distribución óptima en el sentido de Pareto. 
- Una asignación es de equilibrio si U1(xz, yz) < U1(xE,yE) y que U2(xw, yw) < U2(xE, yE). Esto se cumple ya 
que no existe alguna asignación que deje a ambos agentes mejor que en la asignación E. 
 
- Por otro lado, si consideramos que la asignación E es la de equilibrio, por definición es preferida por 
sobre la asignación V ya que de lo contrario V sería la asignación de equilibrio. 
- Supongamos que Ui = xiyi, y que la dotación inicial es (4, 6, 6, 4). El conjunto de Pareto es: 
. 
y1
x1
 = 
y2
x2
 
 
 
y1
x1
 = 
y̅ – y1
x̅ – x1
 
 
y1(x̅ - x1) = (y̅ - y1)x1 
. 
y1(x̅ - x1) + y1x1 = y̅ x1 
 y1 = x1 
y̅ 
x̅ 
 = x1 
- Gráficamente: 
https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_general
https://es.wikipedia.org/wiki/Equilibrio_general
https://es.wikipedia.org/wiki/Preferencia
VGC 
 
23 
 
 
- ¿Puede el equilibrio ser una asignación A(4, 4, 6, 6)? No, ya que la relación de precio sería igual 
a infinito. El único equilibrio posible es E(5, 5, 5, 5) ya que es una asignación eficiente y es 
consistente con la relación de precio igual a 1. El precio es igual a uno ya que P = TMS. Como 
las TMS siempre están sobre la curva y = x, TMSi = 
y1
x1
 = 1. 
- Este análisis se puede aplicar para todas las dotaciones posibles y de todas formas se llegará a 
que el equilibrio está en E. 
- El primer teorema fundamental del bienestar también implica que los posibles equilibrios sólo 
se pueden encontrar en el conjunto de Pareto. 
- El segundo teorema fundamental del bienestar nos dice que cualquier asignación eficiente 
puede ser alcanzada por un equilibrio competitivo, dados los mecanismos de mercado que 
conducen a la redistribución. 
- Si la función de utilidad es creciente, cuasi-cóncava y continua, entonces si una asignación 
eficiente A es interior, existen transferencias que hacen que A sea una asignación de equilibrio. 
- Es importante recordar que el criterio de Pareto no nos permite ordenar las distintas 
asignaciones que pertenecen al conjunto de Pareto: todas ellas son eficientes, pero no podemos 
decir si unas son más o menos preferidas por la sociedad. 
- Si la sociedad tiene una asignación preferida, es difícil argumentar que dicha asignación no 
pertenecerá al conjunto de Pareto: sería posible aumentar la utilidad de al menos uno de los 
agentes sin disminuir la utilidad del otro. 
- Supongamos que tenemos una dotación inicial D y una asignación preferida A que puede ser 
alcanzada como asignación de equilibrio en una economía competitiva: 
VGC 
 
 
24 
 
 
- Haciendo una redistribución de riqueza (D → D’) que puede hacer una autoridad (el Estado, por 
ejemplo), se puede alcanzar la asignación de equilibrio A (que es la preferida) en vez de la 
asignación B, que habría sido la asignación de equilibrio sin la redistribución de riqueza. 
- Este teorema es importante porque permite una separación de las cuestiones de eficiencia y 
distribución. Aquellos que apoyan la intervención gubernamental pedirán por tanto políticas de 
redistribución de la riqueza. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
VGC 
 
25 
 
Economía con Producción 
- Antes veíamos equilibrio general con intercambio donde a cada agente se le otorgaba una 
dotación inicial con la cual podían transar y que una autoridad puede redistribuir. Si embargo, 
en la vida real las dotaciones son un output, es decir, son el fruto de una producción. 
- Parecido a la materia vista antes, habrá una dotación inicial, pero de inputs (factores de 
prodición), que para nuestro ejercicio serán una dotación inicial de trabajo (L) y capital (K). 
Ambos agentes dedican distintas cantidades de sus factores de producción para producir del 
bien x o del bien y. 
- La cantidad de bienes que va a producir cada gente y cuánto va a consumir para uno se 
determinará al final en el equilibrio. Para ello, asumiremos la asignación de consumo a partir 
de los inputs que se dedican a cada bien y el consumo que tiene cada agente, de forma genérica: 
 
A(L1X, K1X, L1Y, K1Y, L2X, K2X, L2Y, K2Y, x1, y1, x2, y2) 
- La función de producción de la economía también se puede escribir de manera generalizada: 
 
F*(L1X + L2X, K1X + K2X) = x 
 
F*(L1Y + L2Y, K1Y + K2Y) = y 
 
- Una asignación será factible sí y sólo sí: 
 
L1X + L1Y < �̅�1 L2X + L2Y < �̅�2 
K1X + K1Y < �̅�1 K2X + K2Y < �̅�2 
𝐱𝟏 + 𝐱𝟐 < F
x(Lx, Kx) 𝐲𝟏 + 𝐲𝟐 < F
y(Ly, Ky) 
 
- Es decir, si no se usan más factores de producción que los otorgados inicialmente y que lo 
demandado no sea mayor que lo producido/ofrecido. 
- Una asignación será eficiente sí y sólo sí es factible y si no hay alguna otra asignación factible 
que la Pareto domine, es decir, los mismos requerimientos que en la primera parte del curso. 
- ¿Por qué no puede haber desperdicio en los factores de producción para que la asignación sea 
eficiente? Esto se debe a que, si no se usan todos los recursos, entonces no se obtendrá el 
máximo nivel de producción posible o, al menos, no se produce todo lo que se puede producir, 
esto implicar que no se consumiría todo lo que se puede consumir. Ergo, hay alguna otra 
asignación que entre una mayor utilidad que la dada, es decir, otra asignación que la domine. 
- Al igual que antes, deberemos establecer ciertos supuestos, todas las funciones de producción 
y la función de utilidad son crecientes con respecto a sus inputs. 
- Veamos el siguiente ejemplo. Para ser originales, digamos que las dotaciones iniciales de cada 
input es 10. Una asignación eficiente podría ser: 
 
 
- ¿Qué otra asignación sería eficiente? Dado que no conocemos las funciones de utilidad, no 
podemos decir que una asignación es eficiente sólo por el consumir más de un bien y menos de 
VGC 
 
 
26 
 
otro. Lo que hay que hacer es modificar los inputs de modo que no se modifiquen los outputs. 
Por ejemplo: 
 
E’(6, 5, 4, 5, 4, 5, 6, 5, x1, y1, x2, y2) 
 
- ¿A qué se debe esto? Inicialmente teníamos en la asignación E: 
 
L1X + L1Y = 5 + 5 < L̅1 = 10 L2X + L2Y = 5 + 5 < L̅2 = 10 
 
K1X + K1Y = 5 + 5 < K̅1 = 10 K2X + K2Y = 5 + 5 < K̅2 = 10 
 
x1 + x2 < F
x(5 + 5, 5 + 5) y1 + y2 < F
y(5 + 5, 5 + 5) 
 
- Luego, en la asignación E’ tenemos: 
 
L1X + L1Y = 6 + 4 < L̅1 = 10 L2X + L2Y = 4 + 6 < L̅2 = 10 
 
K1X + K1Y = 5 + 5 < K̅1 = 10 K2X + K2Y = 5 + 5 < K̅2 = 10 
 
x1 + x2 < F
x(6 + 4, 5 + 5) y1 + y2 < F
y(4 + 6, 5 + 5) 
 
- Como se puede ver, se mantienen los inputs agregados de las funciones de producción (10), 
pero se modifica el aporte individual que realiza cada agente en dicho input. 
- ¿Cómo verificamos la “forma” que tiene una función de producción? Al igual que antes: 
1- Calcular la tasa marginal de sustitución técnica (TMST) de la función de producción: 
TMSTx = – 
𝑑Fx 
𝑑Lx
𝑑Fx
𝑑 Kx
 = – 
F′L
F′K
 
- Es como si L fuese el x y K fuese y. 
- Supondremos que las funciones de producción son positivas, pero decrecientes, es decir: 
 
2- Calcular la derivada con respecto al trabajo: 
𝑑TMSTx 
𝑑Lx
 > 0 
 
3- Calcular la derivada con respecto al capital: 
𝑑TMSTx 
𝑑Kx
 < 0 
 
- Dada la caja de Edgeworth, podemos resumir una dotación como: 
A(LX, KX, LY, KY, x1, y1, x2, y2) 
- Gráficamente: 
VGC 
 
27 
 
 
- También podemos hacer una caja para el caso de la producción,para ello debemos encontrar 
la TMST de cada bien e igualarlos: 
 
VGC 
 
 
28 
 
 
- Si hacemos esto para cada nivel de TSMT obtendríamos algo así: 
 
- Lo que para la caja de Edgeworth en consumo conocíamos como el contrato/conjunto de 
Pareto, para la caja de producción se conoce como la frontera de posibilidades de producción 
(FPP). 
- Las esquinas no necesariamente son eficientes a diferencia de la caja de Edgeworth ya que en 
(�̅�, �̅�, 0, 0) sólo produzco del bien y. Si Ui = xiyi entonces la utilidad sería igual a cero. Por lo 
tanto, se debe cumplir una tercera condición: 
𝐝𝐅𝐱 
𝐝𝐋𝐱
 
𝐝𝐔𝐢 
𝐝𝐱𝐢
 = 
𝐝𝐅𝐲 
𝐝𝐋𝐲
 
𝐝𝐔𝐢 
𝐝𝐲𝐢
 
- Un tipo de utilidad ajustada por producción. Si se diese que esta ecuación en verdad es una 
inecuación, sea el caso de: 
𝑑𝐹𝑥 
𝑑Lx
 
𝑑Ui 
𝑑xi
 > 
𝑑𝐹𝑦 
𝑑Ly
 
𝑑Ui 
𝑑yi
 
VGC 
 
29 
 
- Esto querría decir que se está consumiendo poco x, lo que nos llevaría a consumir más de este 
bien. Mientras mayor sea el consumo de x, menor será la utilidad marginal que esta entrega. 
UMgX se achica hasta alcanzar la igualdad. 
- Otra forma de escribirlo sería: 
𝒅𝐔𝐌𝐠𝐗 
𝒅𝐔𝐌𝐠𝐘
 = TMS1 = TMTL 
- Donde: 
TMTL = - 
𝒅𝑭𝒚 
𝒅𝐋𝐲
𝒅𝑭𝒙 
𝒅𝐋𝐱
 = - 
𝑭′𝑳𝒚 
𝑭′𝑳𝒙
 
- Dadas las primeras dos condiciones también tenemos: 
 
TMTL = TMS1 = TMTK 
 
- Esto se debe a que se cumpliría que TMSTL = TMSTK. 
- Veamos el siguiente ejemplo: Ui = √𝑥𝑖𝑦𝑖, F 
x = Lx β Kx 1-β, F y = Ly β Ky 1-β con β ϵ (0, 1). ¿Cuál asignación 
sería eficiente de modo que se cumpla que U2 = �̅�2? 
- Tenemos que TMSi = - 
𝑦𝑖 
𝑥𝑖
, es estrictamente cuasicóncava así que todo bien. Luego las TMST: 
TMSTx = - 
𝑑Fx 
𝑑Lx
𝑑Fx
𝑑 Kx
 = - 
𝛽 𝐾𝑥 
(1−𝛽)𝐿𝑥
 TMSTy = - 
𝑑Fy 
𝑑Ly
𝑑Fy
𝑑 Ky
 = - 
𝛽 𝐾𝑦 
(1−𝛽)𝐿𝑦
 
- Es estrictamente cuasicóncava así que todo sigue bien. Ahora, hay que revisar TMS1 = TMS2, 
TMSTx = TMSTy, TMS1 = TMTL. Eficiencia de consumo, eficiencia en producción y eficiencia mixta, 
respectivamente. Estos pasos siempre se deben hacer: 
1- TMS1 = TMS2 → - 
𝑦1 
𝑥1
 = - 
𝑦2 
𝑥2
 → y1 = 
�̅� 
�̅�
 x1 
2- TMSTx = TMSTy → - 
𝛽 𝐾𝑥 
(1−𝛽)𝐿𝑥
 = - 
𝛽 𝐾𝑦 
(1−𝛽)𝐿𝑦
 → 
𝐾𝑥 
𝐿𝑥
 = 
𝐾𝑦 
𝐿𝑦
 → 
𝐾𝑥 
𝐿𝑥
 = 
𝐾 − 𝐾𝑥 
�̅� − 𝐿𝑥
 → Kx = 
𝐾 
�̅�
 Lx 
3- TMS1 = TMSL → - 
𝑦1 
𝑥1
 = - 
𝐹′𝐿𝑦 
𝐹′𝐿𝑥
 → 
𝑦1 
𝑥1
 = 
β(
𝐾𝑦 
𝐿𝑦
)1−𝛽 
β(
𝐾𝑥 
𝐿𝑥
)1−𝛽
 = (
𝐾𝑦 
𝐿𝑦
𝐿𝑥 
𝐾𝑥
)1−𝛽 = 11-β → y1 = x1 
- Siempre hay que tratar de meter el resultado de una ecuación dentro de otra. Dado que x1 = 
y1, x2 = y2, se debe cumplir que Fx = Fy. Es decir: 
Lx β Kx 1-β = Ly β Ky 1-β 
- Reemplazando Kx = 
𝐾 
�̅�
 Lx, → Ky = 
𝐾 
�̅�
 Ly, llegamos a la conclusión de que Lx = Ly y que Kx = Ky. Por 
tanto: 
VGC 
 
 
30 
 
Lx = Ly = 
�̅� 
2
 
Kx = Ky = 
𝐾 
2
 
- Aplicando esto en la función de utilidad llegamos a que U2 = √𝑥2𝑦2 = √𝑥2𝑥2 = x2 = y2 = �̅�2 
- Dado que x1 + x2 = Fx: 
x1 = Fx – x2 = Lx β Kx 1-β – x2 = Lx β Kx 1-β – �̅�2 = (
�̅� 
2
)
𝛽
 (
�̅� 
2
)
1−𝛽
 – �̅�2 = y1 
- Las empresas suelen buscar maximizar sus ganancias, supongamos que ahora nuestra 
economía tiene dos empresas, x e y, que (sorprendentemente) producen los bienes x e y, 
respectivamente. Los mismos agentes son dueños de las empresas, cada uno posee un 
porcentaje αi,x de la empresa x y un porcentaje αi,y de la empresa y. 
- Supondremos que la empresa vende todo lo que produce, no mantiene inventario. Por lo tanto, 
se cumple que el beneficio de la empresa x es: 
πx = Px Fx (Lx, Kx) – wLLx – wKKx = Px XS – wLLx – wKKx 
- A partir de ello obtenemos las CPO: 
 
[Lx]: Px FxL (Lx, Kx) – wL = 0 
[Kx]: Px FxK (Lx, Kx) – wK = 0 
 
- De aquí saldrán las demandas por bienes. Dado lo anterior se debe cumplir que: 
 
TMSTx = - 
𝑑Fx 
𝑑Lx
𝑑Fx
𝑑 Kx
 = - 
PxwL 
PxwK
 = - 
wL 
wK
 TMSTy = - 
𝑑Fy 
𝑑Ly
𝑑Fy
𝑑 Ky
 = - 
PywL 
PywK
 = - 
wL 
wK
 
- Por lo tanto: 
TMSTx = - 
𝐰𝐋 
𝐰𝐊
 = TMSTy 
- Desde el punto de vista del agente tenemos él busca maximizar su propia utilidad, sin embargo, 
la restricción presupuestaria no es la misma que antes, ahora hay que considerar (por la parte 
de los ingresos del agente) lo que le entra por arrendar los factores de producción y las 
ganancias que obtiene por la empresa, considerando su participación en ella. Es decir, 
maximiza: 
 
Ui(xi, yi) s.a. Px xi + Py yi < wL �̅�i + wK �̅�i + αi,x πx + αi,y πy 
 
- Al resolver TMSi = -P y reemplazar en la RP obtenemos xid e yid. 
- Lo único que nos falta es la oferta de factores productivos, la que es: 
LiS = �̅�i 
KiS = 𝐾i 
 
- El equilibrio se obtendrá por medio de: 
E[(L1x, K1x, L1y, K1y, L2x, K2x, L2y, K2y, x1, y1, x2, y2)*,(wL, wK, P)*] 
VGC 
 
31 
 
- Donde los asteriscos implican que corresponden a los óptimos, es decir, las demandas óptimas. 
- Aquí aprovecho de dejar las ecuaciones más importantes: 
 
�̅� = Lx + Ly = (L1x + L2x) + (L1y + L2y) = �̅�1 + �̅�2 
�̅� = Kx + Ky = (K1x + K2x) + (K1y + K2y) = �̅�1 + �̅�2 
�̅�i = Lxi + Lyi 
�̅�i = Kxi + Kyi 
x1 + x2 = XD = XS = Fx 
y1 + y2 = YD = YS = Fy 
TMS1 = TMS2 → Eficiencia de Consumo 
TMSTx = TMSTy → Eficiente en Producción 
TMS1 = TMTL → Eficiencia Mixta 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Juegos de Información Completa 
- A los juegos o a las loterías se les conoce como prospects. Es una situación en la que unos 
jugadores toman decisiones estratégicas. Estas decisiones estratégicas generan pagos a los 
jugadores, los resultados pueden generan beneficios o pérdidas. 
- Cada jugador tiene un espacio de acción o conjunto de estrategias (Si) disponibles. Todos los 
juegos poseen tres elementos básicos: jugadores, estrategias y pagos. 
- El objetivo de la Teoría de Juegos es determinar la estrategia óptima (Δi) para cada jugador. 
- Una estrategia es una regla o un plan de acción para enfrentar un juego, la estrategia óptima 
para un jugador es aquella que maximiza el pago esperado. Se asume que los jugadores son 
racionales. 
- Un juego se representa por medio de una matriz de pagos donde las acciones del primer 
jugador están presentadas en la primera columna y las acciones del segundo en la primera 
fila. Se conoce como estrategia pura cuando la probabilidad de un jugador de elegir una 
determinada acción es 1. Nosotros trabajaremos sólo con este tipo de estrategia. 
- Veamos el siguiente ejemplo: 
 
Cuando salió la Wii, Nintendo monopolizó el mercado de las consolas con sensores de 
movimiento ya que era la única que lo tenía. Sony, al ver que los ingresos de Nintendo 
aumentaban en gran cantidad, tuvo que evaluar si desarrollar o no desarrollar un sensor de 
movimiento para el PS3. Ante esta situación, Nintendo se vio obligada a determinar si fijar 
los precios (no todos podrían acceder al Wii) o saturar el mercado (venderlo barato para que 
todos tenga la Wii y nadie quiera el PS3), para esto habría que tener un nivel de producción 
bajo o alto, respectivamente. 
 
- La siguiente matriz de pagos describe la situación estratégica en la que se encontraban Nintendo 
y Sony. 
 
Sony/Nintendo Producción Baja Producción Alta 
Desarrollar 3, 3 1, 5 
No Desarrollar 0, 10 0, 8 
 
- Los valores en cada celda hacen referencia a la “magnitud del beneficio” que percibiría cada 
empresa, la empresa buscará elegir aquella opción que le dé mayor beneficio dada la elección 
de la competencia. 
- Esta es la representación de un juego simultáneo, es decir, ambos eligen al mismo tiempo y 
sin saber qué es lo que va a hacer el otro jugador. Lo único que se sabe es el beneficio que le 
traería a cada uno cada estado. 
- A partir de la información que nos entrega el beneficio de cada jugador en cada estado nos 
permitirá encontrar la estrategia que maximiza la utilidad esperada de un jugador en función 
de lo que cree que su oponente hará. 
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- Desde el punto devista de Nintendo: Comenzará haciendo una conjetura sobre lo que Sony va 
a hacer, dada esa conjetura, Nintendo jugará su mejor jugada posible. Por ejemplo, si espero 
que Sony decida desarrollar entonces lo mejor que puede hacer es tener una producción alta. 
- Desde el punto de vista de Sony: Comenzará haciendo una conjetura sobre lo que Nintendo va 
a hacer, luego jugará su mejor jugada posible. Si espera que Nintendo tenga una producción alta 
entonces lo mejor que puede hacer es desarrollar. Supongamos que la conjetura de Nintendo 
es correcta y que elige la mejor jugada, en este caso no tiene sentido que Nintendo cambie lo 
que está haciendo, dado que está haciendo lo mejor que puede para responder a Sony. 
- De igual manera, si la conjetura de Sony es correcta, elige la mejor respuesta, no tiene sentido 
que Sony cambie de acción. 
- Sólo cuando un agente realiza una conjetura equivocada entonces tendrá que cambiar de 
acción. 
- Si no hay que hacer un cambio de acción entonces los agentes se encuentran en un equilibrio 
de Nash. Este equilibrio se cumple cuando: 
1- Cada jugador elige la mejor respuesta a sus conjeturas. 
2- Las conjeturas de todos los jugadores son correctas. 
- Una estrategia dominante es aquella que siempre se elegirá independiente de lo que elija el 
otro jugador. Como se ve en el gráfico de más abajo, Sony tiene estrategia dominante y 
Nintendo no. 
- Un equilibrio de Nash puede definirse como una situación en la que ningún agente puede 
ganar por desviarse unilateralmente, es decir, si el otro agente no cambia su acción. 
- O bien, más formalmente, un equilibrio de Nash es un perfil de estrategias con la propiedad de 
que ningún jugador quiere cambiar unilateralmente su decisión, esto es, un par de estrategias 
(posiblemente mixtas) (a*, b*) tal que: 
U1 (a*, b*) > U1 (a’, b*) 
U2 (a*, b*) > U2 (a*, b’) 
- O, equivalentemente: 
a* ∈ argmáx U1 (a, b*) 
b* ∈ argmáx U1 (a*, b) 
- A continuación, se presenta la matriz de pagos a partir de las conjeturas hechas por cada 
empresa y el equilibrio de Nash. 
 
VGC 
 
 
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- “Si Sony elige desarrollar (D), yo elegiré producir en alta capacidad (A), y si no (N) elijo baja 
capacidad”. 
- “Si Nintendo elige producir a alta capacidad (A) voy a desarrollar (D) y si no (B), de igual manera 
voy a desarrollar (D).” 
- Sin embargo, puede haber juegos donde no existe un equilibrio de Nash, pongamos el ejemplo 
del “cachipún”. Como todos los eventos tienen igual probabilidad de suceso, no va a haber un 
único posible resultado ya que, en caso de perder, habrá un incentivo a desviarse 
unilateralmente para así “ganar”. 
- Una estrategia dominada es aquella que en todos los casos es peor que otra(s). En el juego 
discreto es fácil darse cuenta, si hay una estrategia dominante entonces habrá una estrategia 
dominada. Esto es verdadero para un juego discreto de 2x2. ¿Qué ocurre si hay más variables 
de decisión? 
 
J1/J2 L M R 
T 1, 0 1, 2 0, 1 
B 0, 3 0, 1 2, 0 
 
- Como podemos ver, no hay estrategia dominante. ¿Hay alguna estrategia dominada? Sí, el 
jugador dos nunca elegirá optar por R, por lo que uno puede reducir el cuadro de estrategias 
a: 
 
J1/J2 L M 
T 1, 0 1, 2 
B 0, 3 0, 1 
 
 
- Ahora, ¿hay estrategias dominantes? Sí, sabemos que el jugador uno siempre elegirá optar 
por T, es decir, la estrategia B es una estrategia dominada. Por lo tanto, se puede eliminar de 
nuestra matriz de pagos: 
 
J1/J2 L M 
T 1, 0 1, 2 
 
- ¿Sigue habiendo una estrategia dominante? Ahora el jugador dos tiene una estrategia 
dominante y una dominada, por lo que se puede volver a reducir la matriz: 
 
J1/J2 M 
T 1, 2 
 
 
- Aquí se llega al equilibrio por eliminación sucesiva de estrategias dominadas (EESEED), el cual 
es (T, M). 
- Las estrategias no siempre son elegir uno u otro, sino que se puede elegir “entre medio”, es 
decir, existen las estrategias continuas. ¿Cómo se ven las estrategias dominantes y dominadas 
para este caso? 
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- Si S1 ϵ [0, 1] y S2 ϵ [0, 1], el beneficio está dado por las decisiones (Δi) de cada agente Fi(Δ1, Δ2) = 
–(Δ1 + Δ2)2. Por condición de primer orden tenemos que cada uno va a elegir de modo que Δ1 = 
Δ2. ¿Hay alguna estrategia dominante? No. Si Δ1 = 0, Δ2 = 0, si Δ1 = 1, Δ2 = 1. Como se puede ver, 
tampoco hay estrategia dominada. 
- ¿Qué pasa si hay un único cambio, S2 ϵ [0, 2]? Sigue sin haber una estrategia dominante, pero 
el jugador dos tiene estrategias dominadas, nunca elegirá Δ2 ϵ ]1, 2], por lo que todas esas 
estrategias son dominadas. 
- El equilibrio también puede encontrarse utilizando las funciones de reacción (Ri(Δk)], es decir, 
la mejor respuesta a partir de lo que decidió hacer el otro jugador. 
- En otras palabras, es la acción que maximiza el pago del jugador, dada la acción del otro jugador. 
El equilibrio será el lugar donde se cruzan las funciones de reacción. 
- Los elementos necesarios para poder determinar el resultado del juego son: 
1- Jugadores. 
2- Acciones. 
3- Pagos (beneficios). 
4- Secuencia del juego (¿Quién elige primero? ¿Eligen al mismo tiempo?) 
5- Estructura de la información: ¿Qué información poseen los jugadores al momento de tomar 
acción? 
 
- Un juego secuencial es aquel donde un jugador elige antes que otro, las estrategias pueden ser 
discretas o continuas, veamos el primer caso. 
 
Una pareja está decidiendo qué harán el sábado en la noche, él tiene muchas ganas de ir a ver la 
pelea del siglo entre Floyd “Money” Mayweather contra Manny Pacquiao. A ella no le gusta 
mucho la idea y le propone ir a la ópera a ver “El cisne negro”. Supongamos que ella elige primero, 
¿cómo se puede representar el juego si es que hacemos una elección secuencial? Supongamos 
que si toman decisiones opuestas cada uno recibe cero, pero si eligen boxeo, él recibe 2 y ella 1. 
Lo opuesto pasa con la ópera. 
 
 
- El juego secuencial se representaría como: 
 
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- Como se puede ver, en este caso hay tres subjuegos, uno por cada cuadrado que hay. 
- Por lo tanto, ¿cuáles son las variables de decisión? Ella puede elegir entre boxeo u ópera, pero 
él debe elegir entre boxeo y ópera dado que ella elige boxeo, o debe elegir entre boxeo u 
ópera dado que ella eligió ópera, es decir: 
S1 (B, O) S2 (bb, bo, ob, oo) 
- Las decisiones de la persona dos puede ser un poco difícil de entender. El caso de S2(bb) nos 
quiere decir que si S1 = B, S2 = b. Si S1 = O, S2 = b. Para el caso de S2(bo) tenemos que si S1 = B, 
S2 = b, si S1 = O, S2 = o. Para el caso de S2(ob) tenemos que si S1 = B, S2 = o, si S1 = O, S2 = b. 
- Esto se puede resumir en la matriz de pago como: 
 
 
J1/J2 
 
bb bo ob oo 
 
B 
 
(1, 2) (1, 2) (0, 0) (0, 0) 
> 
O 
 
(0, 0) (2, 1) (0, 0) (2, 1) 
 
- Entonces, ¿Cuáles son los equilibrios de Nash? Con esta matriz de pagos hay 3 equilibrios de 
Nash de estrategias puras (B, bb), (O, bo) y (O, oo). Para encontrar el equilibrio hay que intentar 
resolverlo como si fuese un juego simultáneo. Veamos cada caso particular: 
 
1- (B, bb): Si ella anticipara que él irá al boxeo independientemente del lugar que ella le 
indique, ella preferiría también ir al boxeo. A su vez, si ella va al boxeo, él prefiere también 
ir al boxeo, de esta forma los dos obtienen algo de beneficio. 
2- (O, bo): Si ella anticipara que él iría adonde ella le diga, entonces la decisión depende sólo 
de ella, por lo que prefiere la ópera. 
3- (O, oo): Si ella anticipara que él iría a la ópera independientemente de lo que ella le diga, 
entonces ella preferiría ir a la ópera. A su vez, si ella va a la ópera, él prefiere también ir a la 
ópera. 
 
- ¿Son los equilibrios razonables? No. Veamos el primer caso, digamos que ella no cree en la 
promesa de (bb) ya que, en caso de que ella elija ópera, él puede elegir entre beneficiarse (elegir 
ópera) o no tener ningún beneficio (boxeo). Como quiere tener cierto beneficio elegiría ópera, 
por lo que su promesa de siempre elegirboxeo se podría considerar como una promesa que no 
vale mucho (suponiendo que él es un ente racional). La amenaza no es creíble. 
- Lo mismo ocurre si él es un sumiso y dice que sí o sí irá a la ópera, ¿qué ocurriría si ella decide 
ir al boxeo? Su promesa también sería poco creíble ya que, si él opta por ir a la ópera, ninguno 
se beneficiará. Por lo tanto, la promesa es poco creíble. 
- Esto nos deja con la estrategia (O, bo), donde él va a donde ella vaya ya que de esta forma sí o 
sí los dos se verán beneficiados. Esta elección corresponde a un equilibrio perfecto en subjuegos 
(EPSJ). Es decir, es un perfil de estrategias con la propiedad de que ningún jugador quiere 
cambiar unilateralmente su estrategia, y en que cada parte de cada estrategia es una mejor 
respuesta en su respectivo nodo. 
- Para juegos simultáneos, el equilibrio perfecto equivale al equilibrio de Nash, en subjuegos es 
lo mismo que el equilibrio encontrado por inducción hacia atrás. ¿En qué consiste esto último? 
- Empezamos viendo al último jugador (él), y vemos cuál es su mejor respuesta para cada posible 
caso, estos son: boxeo si ella dice boxeo, y ópera si no. 
VGC 
 
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- Para ello hay que resolver cada subjuego de manera individual, de abajo hacia arriba. En el 
subjuego azul podemos ver que él elegiría Boxeo ya que le entregar mayor utilidad que la 
Ópera(2 vs 0). En el subjuego rojo, sin embargo, él elige la Ópera (1 vs 0). Finalmente, en el 
subjuego morado, ella ya sabe qué elegirá él en cada caso, dado lo anterior, ella elige la Ópera 
(2 vs 1). Gráficamente: 
 
 
 
- En este caso el EPSJ es (O, bo). El resultado es que los dos van a la Ópera. El equilibrio se 
refiere al conjunto de estrategias mientras que el resultado es el conjunto de acciones finales. 
- Cabe resaltar que en el caso de juego simultáneo también hay una representación extensiva. 
Para ello, “conectamos” con una línea punteada todos los nodos en los cuales el jugador 
considera posible encontrarse, por ejemplo: 
 
 
 
- Así, en la primera versión del juego, en que él no sabe qué decisión tomará ella, los dos nodos 
en que él debe escoger le parecen uno solo: es el mismo conjunto de información. En todos 
los nodos dentro de un conjunto de información, el jugador sabe lo mismo y tiene las mismas 
acciones disponibles. El jugador sabe en qué conjunto de información se encuentra, pero no 
en qué nodo particular. 
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38 
 
- En resumen, si hay una línea u óvalo segmentado que envuelve los nodos de decisión, es que 
estamos frente a un juego simultáneo. 
- A diferencia de antes, los conjuntos de decisiones ahora son: 
 
S1 (B, O) S2(b, o) 
 
- Esto se debe a que la decisión del jugador dos ya no está ligado a lo que elegirá la jugadora 1. 
El jugador dos elegirá boxeo o la ópera, ya no tendrá que tomar una decisión a partir de lo que 
decidió la jugadora 1 (bb, ob, bo, oo). 
- Las funciones de reacción no necesariamente deben ser discretas, también pueden ser 
continuas, un ejemplo de un ejercicio sencillo sería: 
 
Tony y Stark (i = 1, 2) están trabajando en un proyecto de investigación para desarrollar un traje 
exoesquelético militar, cada uno debe decidir cuantas horas a la semana dedicar al proyecto (xi). 
La cantidad de la investigación depende del número de horas totales dedicadas al proyecto. Si la 
utilidad neta de cada jugador es Fi(x1, x2) = x1 + x2 + x1x2 – xi2. ¿Cuál es el equilibrio de Nash? 
 
- Cada jugador buscará poder maximizar su utilidad por medio de su función de reacción. Para 
ello usaremos la condición de primer orden: 
[x1] = 1 + x2 – 2x1 = 0 
[x2] = 1 + x1 – 2x2 = 0 
 
- Despejando llegamos a que: 
 
x1R (x2) = 0,5 + 0,5x2 
x2R (x1) = 0,5 + 0,5x1 
 
- Resolvemos el equilibrio al reemplazar una en otra: 
 
x1 = 0,5 + 0,5(0,5 + 0,5x1) = 0,5 + 0,25 + 0,25x1 
x1 = 1 = x2 
 
- Notemos que, en este ejemplo, la situación de los dos jugadores es simétrica porque tienen 
las mismas funciones de utilidad y costo. En este caso podemos anticipar que habrá un 
equilibrio de Nash simétrico (ENS), es decir, un equilibrio en el que los dos jugadores eligen el 
mismo nivel para su acción: x1* = x2*. 
- Ahora haremos un cambio de enfoque. Antes suponíamos que todos los jugadores contaban 
con la misma información al momento de jugar. Ahora incorporaremos la posibilidad de que 
exista información asimétrica: la posibilidad de que uno o más jugadores desconozca 
información relevante acerca del juego que sí es conocida por otro jugador. 
- La asimetría en la información se puede deber a la incapacidad de uno o más jugadores de 
observar la acción que otro jugador llevó a cabo en alguna etapa anterior del juego. En ese 
caso, decimos que existe un problema de información imperfecta o riesgo moral. 
- Otra forma de información asimétrica es la que surge por la incapacidad de uno o más 
jugadores de observar características importantes de sus oponentes. Ese es el caso de un 
problema de información incompleta o selección adversa, el que será abordado más adelante. 
- En presencia de riesgo moral no es claro cuál será la productividad marginal del trabajador, 
ya que su esfuerzo no es directamente observable o verificable. 
VGC 
 
39 
 
- En esta parte analizaremos cómo el diseño de diferentes formas de pago, o contratos, puede 
modificar el resultado de la interacción entre un principal (dueño de la empresa, en esta 
aplicación) y un agente o delegado (trabajador) en un ambiente con incertidumbre en que no 
es posible hacer un contrato en que el pago al delegado sea contingente en su nivel de esfuerzo 
debido a que éste no es verificable. 
- En otras palabras, analizaremos cómo el diseño del contrato puede afectar el nivel de esfuerzo 
que el trabajador escoge y, por tanto, su productividad marginal. 
- Un empleado puede escoger rechazar el contrato o hacer un esfuerzo (alto o bajo, eH o eL). lo 
que afecta en los resultados (alto o bajo, �̅� o y). Un contrato puede realizarse sobre el esfuerzo 
y los resultados o sólo en los resultados. Esto se debe a que el esfuerzo no siempre es 
verificable. 
- Si el nivel de esfuerzo es alto, hay una probabilidad PH de que los resultados sean altos y una 
probabilidad 1 – PH de que los resultados sean bajos. Análogamente, si el nivel de esfuerzo es 
bajo, hay una probabilidad PL de que los resultados sean altos y una probabilidad 1 – PH de 
que los resultados sean bajos. Esto siempre que PH > PL. 
- Podríamos diseñar el contrato para un empleador neutral al riesgo a partir del esfuerzo del 
empleado. Si el empleado hace un esfuerzo e, el pago esperado que recibirá el 
principal/empleador: 
Pe[�̅� – w(e, �̅�)] + (1 – Pe)[y – w(e, y)] 
 
- Por otro lado, el empleado/agente es averso al riesgo, por lo que su pago para un nivel de 
esfuerzo dado sería: 
Pe U(w(e, �̅�)) + (1 – Pe) U(w(e, y)) – G(e) 
 
- A partir de ello sabemos que U’ > 0 y que U’’ < 0. Además, G(eL) < G(eH). Mientras más esfuerzo 
hago, mayor es mi costo. 
- Un ejemplo de contrato ofrecido por el principal sería: 
w(eH, �̅�) = 10 
w(eH, y) = 9 
w(eL, �̅�) = 8 
w(eL, y) = 7 
- Para dicho contrato, el agente podría elegir esforzarse harto, poco o simplemente rechazar. 
Por lo que, por cada contrato, hay un subjuego. Si hay infinitos contratos, la cantidad de 
subjuegos son infinito + 1. 
- Si hacemos inducción hacia atrás, ¿Qué elegirá el agente? 
 
 
Siendo UH = PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) 
VGC 
 
 
40 
 
 UL = PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) 
 
- Siendo �̅� la máxima utilidad que puede conseguir el agente haciendo cualquier otra cosa que 
trabajar para el empleador. Emprender, buscar trabajo en algún otro lado, hacer nada, etc. 
- Como sabemos, el equilibrio perfecto en subjuegos se describe como (Δ1*, Δ2*). Por lo tanto, 
ahora hay que ver qué hace el principal, hay que considerar que el principal sabe que el agente 
rechazará algunos contratos, se esforzará poco en algunosy se esforzará mucho en el resto. A 
raíz de esto, el principal clasifica cada contrato según estos criterios y luego busca el mejor 
contrato posible en cada criterio. 
- En el caso de los contratos rechazados, siempre le pagará cero al agente ya que no se llega a 
ningún acuerdo. 
- En el caso en que yo (como principal) quiero que el agente se esfuerce poco, mi utilidad se 
maximiza bajo: 
 
Máx π = PL[�̅� – w(eL, �̅�)] + (1 – PL) [y – w(eL, y)] 
 
- Pero esto se encuentra restringido por las condiciones impuestas por el agente, es decir, la 
maximización del principal se ve sujeta a la restricción a la compatibilidad de incentivos (CI) y 
a la restricción de participación (RP): 
 
PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) > PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) 
PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) > �̅� 
 
- Veamos cómo se resuelve este problema. Esto nos deja las CPO como: 
[w(eH, �̅�)]: - λI PH U’[w(eH, �̅�)] = 0 
[w(eH, y)]: - λI PH U’[w(eH, y)] = 0 
[w(eL, �̅�)]: - PL + λI PLU’[w(eL, �̅�)] + λPPLU’[w(eL, �̅�)] = 0 
[w(eL, y)]: - (1 - PL) + λI PLU’[w(eL, y)] + λP (1 - PL) U’[w(eL, y)] = 0 
 
- Donde λI corresponde al precio sombra de la restricción de incentivos y λP al de participación. 
- Al resolver las primeras dos CPO, obtenemos que λI = 0, es decir, la restricción de compatibilidad 
de incentivos no está activa, se podría eliminar. Reemplazando esto en la tercera y cuarta CPO 
llegamos a que: 
PL = λPPLU’[w(eL, �̅�)] 
1 - PL = λP (1 - PL) U’[w(eL, y)] 
 
- Trabajando en ambas llegamos a que: 
1 = λPU’[w(eL, �̅�)] 
1 = λP U’[w(eL, y)] 
 
- Por tanto: 
U’[w(eL, �̅�)] = U’[w(eL, y)] = U’[w*] 
 
- Para todo λP > 0 se cumple que la restricción de participación se cumple con igualdad. Por tanto: 
 
PL U(w(eL, y̅)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) > u̅ 
VGC 
 
41 
 
U[w*] – G(eL) = u̅ 
w* = U-1[G(eL) + �̅�] 
 
- Es decir, al agente se le pagará un salario w* para que sí o sí haga un esfuerzo bajo. Y ¿cómo 
nos aseguramos de que sólo haga esfuerzo bajo? Se le comunica al agente que, si llega a hacer 
un esfuerzo distinto al esfuerzo bajo, se le pagará un salario menor. ¿Cuál es el menor salario 
que se le puede pagar en dicho caso? Cero. 
- Entonces el salario óptimo al inducir esfuerzo bajo es: 
 
- Otra forma de verlo es que al agente se le diga que independiente de cuánto se esfuerce, se le 
pagará lo mismo. Dadas esas condiciones, si independiente de lo que hagas te pagarán lo mismo 
¿quién querría esforzarse más que el mínimo? 
- Esto nos deja que, para cuando se induce un esfuerzo bajo la utilidad del empresario y del 
agente son: 
PL[�̅� – w*)] + (1 – PL) [y – w*] 
 
PL U(w*) + (1 – PL) U(w*) – G(eL) > �̅� 
 
- Ahora veremos el caso en el que se busca inducir que el agente haga un esfuerzo alto. 
- En el caso de los contratos que hacen que el agente se esfuerce alto tenemos que el principal 
maximiza su utilidad cuando: 
 
Máx π = PH[�̅� – w(eH, �̅�)] + (1 – PH) [y – w(eH, y)] 
 
- Pero esto se encuentra restringido por las condiciones impuestas por el agente, incentivos y 
participación: 
UH > �̅� > UL 
 
PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) > PL U(w(eL, �̅�)) + (1 – PL) U(w(eL, y)) – G(eL) 
 
PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) > �̅� 
 
- Veamos cómo se resuelve este problema. Esto nos deja las CPO como: 
[w(eH, �̅�)]: - PH + λI PH U’[w(eH, �̅�)] + λPPHU’[w(eL, �̅�)] = 0 
[w(eH, y)]: - (1 – PH) + λI PHU’[w(eL, y)] + λP (1 – PH) U’[w(eL, y)] = 0 
[w(eL, �̅�)]: λI PLU’[w(eL, �̅�)] = 0 
[w(eL, y)]: λI PLU’[w(eL, y)] = 0 
 
- Al resolver la tercera y cuarta, obtenemos que λI = 0, es decir, la restricción de compatibilidad 
de incentivos no está activa, se podría eliminar. Reemplazando esto en la primera y segunda 
CPO llegamos a que: 
VGC 
 
 
42 
 
PH = λPPHU’[w(eL, �̅�)] 
1 – PH = λP (1 – PH) U’[w(eL, y)] 
- Trabajando en ambas llegamos a que: 
1 = λPU’[w(eH, �̅�)] 
1 = λP U’[w(eH, y)] 
 
- Por tanto: 
U’[w(eH, �̅�)] = U’[w(eH, y)] = U’[w*] 
 
- Para todo λP > 0 se cumple que la restricción de participación se cumple con igualdad. Por tanto: 
 
PH U(w(eH, �̅�)) + (1 – PH) U(w(eH, y)) – G(eH) > �̅� 
U[w*] – G(eH) = �̅� 
w* = U-1[G(eH) + �̅�] 
 
- Como podemos ver, llegamos a la misma conclusión para cuando queremos inducir un esfuerzo 
bajo, para asegurarnos de que el agente haga un esfuerzo alto se le dice que sólo se le pagará 
el salario óptimo si realiza dicho esfuerzo. En caso contrario, se le pagará una cifra tal que se 
desincentive el desviarse, por lo general este pago sería igual a 0). 
- Entonces el salario óptimo es: 
 
- Nuevamente, por lo general trabajamos con que el salario que se le pagaría en caso de que el 
agente se desviase es cero. 
- Podemos concluir que el pago que se le hará al agente sólo dependerá de su esfuerzo y no del 
resultado, esto se debe a que el agente no puede controlar el resultado. Se le pagará un monto 
óptimo siempre y cuando haga el esfuerzo que se le exige. 
- ¿Por qué se le exigiría que se esfuerce poco? Bien se puede dar que el aporte que haga el agente 
a la empresa al esforzarse más no sea tan grande, al menos no alcanza a compensar el costo 
que le implica a él esforzarse más. 
- Veamos el caso donde el esfuerzo no es verificable. Este es exactamente lo mismo que antes, 
sólo que el salario dependerá sólo de los resultados. En caso de que quisiésemos inducir 
esfuerzo bajo resolvemos el problema: 
 
Máx π = PL[�̅� – w(�̅�)] + (1 – PL) [y – w(y)] 
 
- Al igual que antes esto se encuentra restringido por las condiciones impuestas por el agente, λI 
y λP: 
 
PL U(w(y̅)) + (1 – PL) U(w(y)) – G(eL) > PH U(w(y̅)) + (1 – PH) U(w(y)) – G(eH) 
VGC 
 
43 
 
PL U(w(y̅)) + (1 – PL) U(w(y)) – G(eL) > u̅ 
 
- Veamos cómo se resuelve este problema. Esto nos deja las CPO como: 
[w(�̅�)]: - PL + λI(PL U’[w(�̅�)] – PH U’[w(�̅�)]) + λPPL U’[w(�̅�)] = 0 
[w(y)]: -(1 - PL) + λI((1 - PL) U’[w(y)] – (1 – PH) U’[w(y)]) + λP(1 - PL) U’[w(y)] = 0 
 
- Resolviendo para λI = 0 tenemos: 
 
PL = λPPL U’[w(�̅�)] 
1 - PL = λP(1 - PL) U’[w(y)] 
U’[w(�̅�)] = U’[w(y)] 
 
- Este caso de maximización de un problema “relajado” (sólo con la restricción de participación, 
λI = 0) llegamos a la conclusión que w(�̅�) = w(y) = U-1[G(eL) + �̅�]. Una vez encontrada la solución 
se reemplaza en la restricción de incentivos y vemos que se cumple. Para cuando se induce 
esfuerzo bajo la restricción siempre se cumple. 
- Lamentablemente, eso no pasa para cuando se induce el esfuerzo alto. El tema es que ahora 
tenemos que la restricción de incentivos está activa ya que, ante un mismo salario constante e 
invariable, siempre preferiré esforzarme bajo. Por tanto, se violaría la restricción de 
incentivos. Hay buscar el beneficio que recibe el agente lo deje indiferente en ambos casos. 
- Entonces, ambas restricciones están activas, se tienen igualdad. Dos ecuaciones y dos 
incógnitas (salarios para resultados buenos y malos). Se resuelve por sistema de ecuaciones y 
se obtienen los salarios óptimos. 
 
- ¿Qué ocurre si hay más de dos posibles resultados? Para el caso de contratos que se rechazan 
y para contratos en que se induce esfuerzo bajo no hay cambios ya que en el primer caso no 
se paga nada mientras que en el segundo se paga un salario invariable independiente del 
resultado. Pero para el esfuerzo alto hay cambios. Se plantea el problema: 
Máx π = Σ P(yj|eH)[yj – w(yj)] 
 
- Sujeto a: 
 
Σ P(yj|eH)U[w(yj)] – G(eH) > Σ P(yj|eL)U[w(yj)] – G(eL) 
Σ P(yj|eH)U[w(yj)] – G(eH) > �̅� 
 
VGC 
 
 
44 
 
- A diferencia de antes, tenemos una gran cantidad de salarios, uno por cada posible resultado 
de j, y sólo tenemos dos ecuaciones. Por lo tanto, resolvemos esto por medio de KKT. Esto nos 
deja la siguiente CPO: 
1 = [λI (1 - 
1
L(yj)
) + λP]U’[w(yj)] 
- Donde L(yj) es el ratio de verosimilitud y es igual a 
𝑃(𝑦𝑗|𝑒𝐻)
𝑃(𝑦𝑗|𝑒L)
. 
- A medida que el ratio de verosimilitud aumenta,la utilidad marginal debe disminuir para 
poder mantener la igualdad a la unidad. 
- Como podemos ver, ahora tenemos j CPO (una por cada contrato posible) y dos restricciones. 
Además, tenemos j incógnitas y dos precios sombra. Ahora sí podemos resolver por medio de 
sistemas de ecuaciones. 
- Pongamos el caso en que hay tres posibles resultados, así como muestra la siguiente tabla: 
 
P(yj|e) yL yM yH 
eL 50% 30% 20% 
eH 20% 30% 50% 
 
- Entonces, ¿cuáles son los ratios de verosimilitud? 
L(yL) = 20%/50% = 0,4 
L(yM) = 30%/30% = 1 
L(yH) = 50%/20% = 2,5 
- Por lo tanto, se cumple que los salarios serán: 
 
w(yH) > w(yM) > w(yL) 
 
- Pero no siempre se cumple que el mayor salario va al resultado más alto: 
P(yj|e) yL yM yH 
eL 40% 20% 40% 
eH 20% 30% 50% 
 
L(yL) = 20%/40% = 0,5 
L(yM) = 30%/20% = 1,5 
L(yH) = 50%/40% = 1,25 
- Por lo tanto, se cumple que los salarios serán: 
w(yM) > w(yH) > w(yL) 
 
 
VGC 
 
45 
 
Juegos de Información Incompleta 
- Como ya había mencionado, no siempre se tiene toda la información en la vida real, por lo que 
podemos vernos enfrentados a la problemática de la selección adversa: información 
incompleta. 
- Se introduce un personaje ficticio, la Naturaleza y cuya “función” es actuar como un jugador 
cero, su única decisión es elegir un estado de la naturaleza u otro acorde a una determinada 
probabilidad, es exógeno. 
 
Supongamos que hay un juego de dos periodos, 1 y 2, y hay dos jugadores. El juego consiste 
en una lotería, lotería que se puede realizar en el periodo t = 1 con una probabilidad P y una 
probabilidad (1 – P) en el periodo t=2, la Naturaleza es quien lo determina. El jugador uno 
sólo conoce sus pagos, pero no los pagos del jugador dos. Sin embargo, el jugador dos conoce 
todos los pagos. Ambos juegan al mismo tiempo. 
 
- Las matrices de pagos de los juegos simultáneos serían: 
 
t = 1 J1 |J2 L R 
U 1, 1 0, 0 
D 0, 1 1, 0 
 
t = 2 J1 | J2 L R 
U 1, 0 0, 1 
D 0, 0 1, 1 
 
- La forma extensiva sería: 
 
- Como es un juego simultaneo, da lo mismo en qué orden se pongan los jugadores. Lo 
importante es que el jugador 2, en este caso, es el único que puede ver qué hace la naturaleza. 
Recomiendo usar este tipo de gráfico ya que es más fácil pasar los datos de la tabla. 
- Por lo tanto, las posibles tomas de decisiones son: 
 
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S1 = (U, D) 
S2 = (LL, LR, RL, RR) 
 
- Dado que el jugador 1 no tiene la información completa (no puede observar lo que hace la 
naturaleza) va a elegir sólo Up o Down, sin embargo, el jugador dos puede ver qué es lo que va 
a hacer la naturaleza, por lo que elegirá una estrategia acorde a si el juego se realiza en t=1 o 
t=2. 
- ¿Cómo serían los pagos según las estrategias? Veamos el caso de (U, LR): 
U1 (U, LR) = P*1 + (1-P)*0 = P 
U2 (U, LR) = P*1 + (1-P)*1 = 1 
- La matriz de pagos según estrategia sería: 
 
 LL LR RL RR 
U (1, P) (P, 1) (1 - P, 0) (0, 1 - P) 
D (0, P) (1 - P, 1) (P, 0) (1, 1 - P) 
 
- ¿Cómo encontrar el equilibrio perfecto? Hay que hacerlo por medio del equilibrio de Bayes–
Nash, el equilibrio de Nash del juego ficticio. Se trabaja igual que un juego simultáneo. 
- En este caso, el equilibrio dependerá de los valores que pueda tomar P, según la tabla se ve que 
el jugador 2 siempre elegirá la estrategia LR. El jugador 1 elegirá U si P > 0,5 y elegirá D si P < 
0,5. 
- Si P ϵ ]1/2, 1], el equilibrio Bayes – Nash es (U, LR), si P ϵ (0, 1/2(, el equilibrio BN es (D, LR). 
- Otro caso sería trabajar con los beneficios de las empresas, sea πi = (A – q1 – q2)*qi - Cqi. 
Podríamos suponer que sólo la empresa 1 conoce los costos de las dos empresas, pero la 
empresa 2 sólo conoce sus costos. La naturaleza determinará si el costo marginal de la empresa 
uno será alto o bajo, costo que afectará la cantidad óptima de producción de J1. 
- En el gráfico se ve como si tanto J1 como J2 pueden tomar 5 decisiones de qi, pero la verdad es 
que pueden elegir infinitas cantidades de producción. La diferencia está en que la estrategia 
de J1 dependerá de si el costo es alto o bajo. Por otro lado, como J2 no sabe nada sobre la 
Naturaleza, elegirá una cantidad a producir independiente de cuál sea el estado de la 
Naturaleza. 
- Es decir, la cantidad de estrategias que pueden elegir son S1 = (R x R) = (ΔH, ΔL) y S2 = (R), siendo 
R todos los reales. Esto nos deja con: 
 
U1((ΔH, ΔL), Δ2) = P [(A – ΔH – Δ2)ΔH – CH*ΔH] + (1 – P)[(A – ΔL – Δ2)ΔL – CL*ΔL] 
 
U2((ΔH, ΔL), Δ2) = P[(A – ΔH – Δ2)Δ2 – C2*Δ2] + (1 – P)[(A – ΔL – Δ2)Δ2 – C2*Δ2] 
 
- Aplicando condiciones de primer orden, es decir, (ΔH*, ΔL*) ϵ argmáx U1((ΔH, ΔL), Δ2*): 
 
[ΔH]: A – 2ΔH* - Δ2* - CH = 0 
[ΔL]: A – 2ΔL* - Δ2* - CL = 0 
[Δ2]: P(A – ΔH* - 2Δ2* - C2) + (1 – P)(A – ΔL* - 2Δ2* - C2) = 0 
 
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- Como tenemos tres ecuaciones y tres incógnitas, se puede resolver y encontrar los Δ*, es 
decir, las cantidades óptimas. Esta es una bella forma para complicar de manera innecesaria un 
juego secuencial y continuo. Me dio paja poner los q de J2 al final de cada ramita porque, que 
paja. 
 
 
- Cuando el jugador informado juega primero, se abre la posibilidad de que sus decisiones 
reflejen la información que este posee. Sus decisiones pueden “señalizar” o reflejar su tipo. 
La señalización tiene impacto siempre y cuando hablemos de juegos secuenciales. 
- Un ejemplo sería: 
 
Considere el caso de un consumidor que puede comprar (c) o no comprar (n) un bien durable 
a un productor, el que puede ser de tipo alto (θ1) o bajo (θ2). Un productor de tipo θ1 vende 
un producto uno que falla con una probabilidad de 5%, mientras que uno de tipo θ2 vende 
que falla con probabilidad de 60%. A priori el consumidor cree que enfrenta a un productor 
de tipo θ1 con una probabilidad de 50%. El consumidor valora el bien en $120 si funciona 
VGC 
 
 
48 
 
bien (es decir, si no falla, o si fallando es reparado), y en $50 si falla y no es reparado. El 
precio de venta es de $100, y el costo de producción es de $80 para ambos tipos de 
productor. El productor puede escoger ofrecer el bien con (g) o sin garantía (s). Si ofrece la 
garantía y el producto falla, entonces debe repararlo a un costo de $60. 
 
- El problema se puede representar gráficamente como: 
 
 
 
- El conjunto de estrategias del jugador 1 se mantiene, S1:(ss, sg, gs, gg). Sin embargo, a diferencia 
de antes, las estrategias del jugador 2 cambian ya que el juego es secuencial, S2:(cc, cn, nc, 
nn). 
- Un perfil de estrategias forma parte de un equilibrio bayesiano perfecto (EPB) si y sólo si ningún 
jugador quiere cambiar unilateralmente su estrategia, y cada parte de cada estrategia es una 
mejor respuesta en su respectivo conjunto de información. 
- El sistema de creencias de equilibrio, por otra parte, asigna una probabilidad a cada nodo 
dentro de cada conjunto de información usando la actualización bayesiana de la creencia a 
priori si es posible. 
- Es decir, un equilibrio bayesiano perfecto es un perfil de estrategias y un sistema de creencias, 
tales que: 
1- Cada acción especificada en cada estrategia maximiza la utilidad esperada del jugador que 
decide, condicional en la historia observada y en la estrategia que ocupa el resto. 
2- La probabilidad condicional coincide con la regla de Bayes: 
 
 
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- Donde ai corresponde a las posibles decisiones que tiene el jugador 1. 
- Se conoce como un equilibrio perfecto bayesiano separador si la estrategia es mixta, por 
ejemplo, que J1 elija sg. Un equilibrio perfecto bayesiano agrupador habría sido ss, por ejemplo. 
- Veamos cuál sería la probabilidad de que el jugador 1 eligiese la estrategia sg (elige s cuando el 
tipo es alto, H y elige g cuando el tipo es bajo, L): 
 
Pr (t = H|s) = 
𝐏𝐫(𝐬|𝐭=𝐇) 𝐏𝐫(𝐭=𝐇)
𝐏𝐫(𝐬|𝐭=𝐇) 𝐏𝐫(𝐭=𝐇) + 𝐏𝐫(𝐬|𝐭=𝐋) 𝐏𝐫(𝐭=𝐋)
 
 
- Es decir, cuál es la probabilidad de que el jugador 1 sea de tipo alto dado que