Tarea 3 Correa, Gellona, Ricke v3

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Gestión de Inversiones EAA306D
Tarea 3
Árboles de Tasas – Modelo Black‐Derman‐Toy
Integrantes: Agustín Correa
Nicolás Gellona
Arturo Ricke
Profesor: Eduardo Walker
Fecha: 23/09/2014
El modelo de Black-Derman-Toy es un modelo binomial de no arbitraje el cual a partir de un árbol de tasas binomial permite describir el movimiento de las tasas de interés cortas, asumiendo que estas siguen un proceso log normal[footnoteRef:1]. Este modelo puede ser utilizado para valorizar bonos o bonos con opciones (como se hará más adelante en este trabajo). [1: Ho and Lee (2004). Financial Modeling. Cap. 5 p.153.] 
A continuación se describirá el procedimiento a seguir para usar este modelo y finalmente responder a las preguntas de valorización. En primer lugar, fue necesario construir el árbol de tasas para los primeros 20 semestres. Para esto, se toma como punto de partida la tasa r a un semestre y se construye las ramas del árbol usando los dos eventos posibles
1. 
2. 
Teniendo los dos eventos, se fija la “rama base” del árbol de la siguiente manera: 
	Donde σ es la volatilidad de la tasa forward para ese periodo y µ es un parámetro de estimación, que es el resultado de la iteración del modelo, sin un significado concreto. Una vez fijada la rama inferior, construimos el resto del árbol usando que viene de la ecuación 1 y 2 mencionadas más arriba. Luego, se procedió a elaborar separadamente un árbol de factores de descuento one-step que nos permitiría valorar bonos cero cupón con vencimientos desde 1 a 10 años. Para cada bono cero cupón se creó un árbol de tasas construido desde atrás hacia adelante partiendo por el pago al final del periodo y luego yendo para atrás siendo los eventos de subida o bajada de la tasa equiprobables. Teniendo todo esto, estábamos en condiciones de ejecutar la minimización de la suma de errores logarítmicos entre el precio estimado con los µ (variable) y el precio real, para finalmente tener el árbol que nos permitiría hacer las valorizaciones de la parte 2.
	El árbol con sus respectivos σ y µ se puede ver a continuación.
Los precios de los cero cupón y los resultados de la minimización se resumen en la siguiente tabla:
	AÑO
	PRECIO CERO
	PRECIO ESTIMADO
	ERROR
	1
	0,9941
	0,9972
	-0,0031
	2
	0,9556
	0,9555
	0,0001
	3
	0,9161
	0,9161
	0,0000
	4
	0,8780
	0,8780
	0,0000
	5
	0,8415
	0,8415
	0,0000
	6
	0,8065
	0,8066
	-0,0001
	7
	0,7730
	0,7729
	0,0001
	8
	0,7409
	0,7410
	-0,0002
	9
	0,7101
	0,7100
	0,0001
	10
	0,6806
	0,6806
	-0,0001
	
	
	suma cuadrados (resultado minimización)
	9,82557E-06
En la siguiente parte del trabajo, se utilizaron los resultados obtenidos para valorizar bonos y opciones. En a) se pidió valorizar un bono con cupones semestrales y tasa de cupón efectiva semestral de 1.8% (3.6324% anual) y pago final de 1000 a 10 años. Para esto, se utilizó un procedimiento similar al que se ejecutó para obtener el precio de los cero cupón anteriormente con la diferencia que ahora a cada periodo se le sumó el cupón de 18 semestral y un pago final de 1000. El precio del bono de estas características es 982,344733. Para obtener el precio del bono, se utiliza el método de stripping, es decir, se descompone el bono en 20 cero cupones y por no arbitraje, el precio debe ser el mismo. 
En la pregunta b) se pidió valorizar un bono rescatable con las mismas características que en a). La característica de ser rescatable le da el derecho al emisor de pagar el principal junto al cupón correspondiente en caso de que las tasas bajen y así el emisor puede financiarse a una tasa más conveniente. Para efectos de este ejercicio, el procedimiento para construir el árbol tiene que considerar este derecho, por lo tanto, el portador pagará 1000 más el cupón correspondiente (18) en el periodo que el precio de mercado del bono supere 1018 debido a la baja de tasas. En el árbol de tasas se agrega la condición de que el precio en cada periodo es el mínimo entre 1018 y el precio de mercado. En este caso se asume que el emisor decide prepagar inmediatamente al llegar a un valor de 1018, aunque en la realidad esto puede no suceder inmediatamente, dependiendo de las expectativas que se tengan sobre la tasas futuras (si se esperan tasas aún menores, el emisor puede decidir posponer el prepago). 
Así, el precio de este bono es 974,513594, siendo menor al del bono anterior. Intuitivamente, el emisor tiene que estar dispuesto a recaudar menos al colocar el instrumento si quiere tener la opción de rescatar para financiarse a una tasa menor. Es decir, la opción tiene un costo. La razón es que se limita la posibilidad de valoración del bono ante caídas en la tasa de interés de mercado a 1018, ya que si el bono toma un valor mayor, es prepagado. De esto se puede inferir que el valor de la opción call implícita es de 7,831139.
Siguiendo la misma línea, se pidió valorizar un bono put‐able con las mismas características de a). En este caso la opción put le da el derecho al portador del bono a venderlo de vuelta al emisor a un precio especificado cuando las tasas suban (el principal más el cupón). De esta forma el procedimiento es similar al de la pregunta b) pero ahora se busca el máximo entre 1018 y el precio de mercado. El precio de este bono es 1044,20032. Inversamente a lo que ocurre anteriormente, quien emite el bono recauda más puesto que la opción put le da un beneficio al comprador y eso se verá reflejado en el precio, por lo que este bono es más caro que en a). Por lo tanto, el valor de la opción put implícita es de 61.855587.
Por último, se utilizó el árbol de tasas para valorizar un crédito el cual consiste en una tasa de 2% a un año y una cota superior de 4,5% para los próximos periodos durante 10 años con cuotas iguales semestrales. Para esto se usó el árbol obtenido en la primera parte y se le cambió las tasas a un año por 2% y para los próximos periodos se le impuso la condición de que la tasa no puede ser superior a 4,5%. Luego se creó un árbol para calcular el monto del préstamo suponiendo que las cuotas eran de 1. Este se hiso de la misma manera que en la pregunta a), yendo desde atrás hacia adelante usando el árbol de factores de descuento. Es de esta forma que se logra calcular que el monto del préstamo es 17,7165. Teniendo esto podemos calcular qué tasa constante debería cobrar si el préstamo fuera a tasa fija. El resultado conseguido es 1,1834% usando la función TIR de Excel para pagos semestrales iguales como flujos positivos y el monto del préstamo como un flujo negativo al comienzo. Para concluir, tenemos que si el préstamo se diera según las tasas del mercado, el valor del crédito es 16,7539 que no es más que la suma del precio de los cero cupón con vencimiento de 1 a 10 años. La diferencia de estas valoraciones nos dan el valor de la opción implícita que es 0,9626 (17,7165 – 16,7539).
SIGMA0,10000,09800,09600,09410,09220,09040,08860,08680,08510,08340,08170,08010,07850,07690,07540,07390,07240,07090,0695
0,51,01,52,02,53,03,54,04,55,05,56,06,57,07,58,08,59,09,510,0
100,1503
9,50,15180,1308
90,14250,13170,1138
8,50,13580,12330,11430,0991
80,12410,11710,10670,09920,0862
7,50,12320,10670,10110,09230,08600,0750
70,11470,10570,09180,08720,07990,07470,0653
6,50,10860,09810,09060,07900,07520,06910,06480,0568
60,09820,09250,08380,07770,06790,06490,05980,05620,0494
5,50,10050,08340,07880,07170,06660,05840,05600,05170,04880,0430
50,07820,08510,07080,06720,06120,05710,05020,04830,04480,04230,0374
4,50,09080,06600,07200,06020,05720,05230,04900,04320,04170,03870,03670,0326
40,06490,07630,05560,06100,05110,04880,04470,04200,03720,03590,03350,03190,0283
3,50,08270,05430,06420,04690,05160,04340,04150,03820,03600,03200,03100,02900,02770,0247
30,06780,06910,04550,05390,03960,04370,03680,03540,03270,03090,02750,02670,02510,02400,0215
2,50,05840,05640,05760,03810,04530,03340,03700,03130,03020,02790,02650,02360,02310,02170,02080,0187
20,08710,04840,04690,04810,03190,03810,02820,03130,02660,02570,02390,02270,02030,01990,01880,01810,01631,50,02330,07190,04010,03900,04010,02670,03200,02380,02650,02260,02190,02040,01950,01750,01720,01630,01570,0141
10,00500,01910,05930,03320,03240,03350,02240,02690,02000,02240,01920,01870,01740,01670,01500,01480,01410,01360,0123
0,50,00100,00410,01570,04890,02750,02700,02800,01880,02260,01690,01900,01630,01590,01490,01430,01290,01280,01220,01180,0107
MU1,00004,56204,20003,42860,61811,07371,13580,73311,31610,81321,21950,93101,05791,01501,03590,97511,06331,02371,04190,9724