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Opciones y Futuros
Tasas de Interés
David Buchuk
Escuela de Administración UC
Primer Semestre, 2020
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Tipos de Tasas de Interés
• Treasury rates: tasa de los bonos que emite un gobierno para
financiarse en su moneda local.
• LIBOR (London Interbank Offered Rate): es una tasa de corto
plazo para prestamos no garantizados entre bancos (AA). Existe
para diferentes monedas y plazos (hasta 1 año).
• Overnight Rate: es la tasa para prestamos o depósitos que ban-
cos realizan al ajustar al final de cada d́ıa su reservas de capital
en el banco central (encaje).
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Tipos de Tasas de Interés
• Repo rate: tasa de contratos de recompra garantizados (repo o
repurchase agreement). En estos contratos una entidad vende un
activo (Ej: T-bills) con la promesa de comprarlo de vuelta a un
precio más alto.
• Swap rate: es la tasa fija en un contrato swap en el que se
intercambia una tasa fija por una tasa flotante.
• OIS rate (overnight indexed swap rate): tasa swap de con-
tratos overnight indexed swaps que intercambian tasa fija por la
overnight rate promedio durante un peŕıodo (tasa flotante).
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Tasa Libre de Riesgo
• A pesar del bajo riesgo de default y liquidez de los bonos del tesoro
de US, la treasury rate no se usa como tasa libre de riesgo en la
valoración de derivados en la práctica.
• Producto de algunas ventajas tributarias y regulación especial, la
treasury rate es considerada artificialmente baja.
• Inversionistas usan en la práctica:
• LIBOR antes del 2007.
• OIS después del 2007.
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Tasas Cero Cupón
• Llamaremos B(t,T ) al precio en t de un bono cero-cupón que
paga un único flujo de $1 en T .
0 1 2 ... t ... T
B(0,T ) B(t,T ) $1
• Llamaremos tasa cero cupón (o tasa spot) a la TIR (yield o yield-
to-maturity) de un bono cero cupón con vencimiento en T .
• Matemáticamente:
R(t,T ) = − lnB(t,T )T − t
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Curva de Tasas Cero Cupón (Yield Curve)
• Representa el conjunto de tasas cero cupón como función de su
vencimiento.
• Se conoce también como la “estructura de tasas de interés”.
• Ejemplo:
Vencimiento (T ) B(t,T ) R(t,T )
0.5 0.97 6.09%
1 0.93 7.26%
1.5 0.88 8.52%
2 0.82 9.92%
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Curva de Tasas Cero Cupón (Yield Curve)
T
Tasa Cero Cupón
0.5 1 1.5 2
5%
10%
• En la práctica la curva de tasas puede ser plana, creciente o de-
creciente.
• La forma de la curva de tasas puede capturar varios factores:
• Expectativas del mercado acerca de las tasas futuras.
• Premios por riesgo.
• Oferta y demanda de los bonos cero cupón subyacentes.
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Valoración de Bonos
• Para calcular el precio de un bono con cupones, descontamos cada
flujo a su tasa cero cupón correspondiente.
• En nuestro ejemplo, el precio teórico de un bono con vencimiento
en 2 años, con un principal (valor carátula) de $100, y que paga
cupónes semestrales del 6% es:
3 e−0.0609×0.5 + 3 e−0.0726×1 + 3 e−0.0852×1.5 + 103 e−0.0992×2 = $92.8
o equivalentemente:
3× B(0,0.5) + 3× B(0,0.5) + 3× B(0,1.5) + 103× B(0,2) = $92.8
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Valoración de Bonos
• La TIR (yield-to-maturity) de un bono con cupones es la tasa de
descuento que hace el valor presente del bono igual a su precio de
mercado.
• Supongamos que $92.8 es el precio de mercado del bono, entonces,
podemos encontrar la TIR:
3 e−y×0.5 + 3 e−y×1 + 3 e−y×1.5 + 103 e−y×2 = $92.8
⇒ y = 0.0982 = 9.82%
• La tasa par de un bono es la tasa cupón que hace que el precio
bono sea igual su valor carátula.
c
2 e
−0.0609×0.5 +
c
2 e
−0.0726×1 +
c
2 e
−0.0852×1.5 +
(
100 + c2
)
e−0.0992×2
= $100
⇒ c = $10⇒ Tasa par es: 10%
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Tasas Cero-Cupón desde Bonos con Cupones
• Varias metodoloǵıas permiten encontrar las tasas cero-cuón a par-
tir de los precios de bonos con cupones.
• Consideremos los siguientes bonos:
Principal ($) Vencimiento (años) Tasa Cupón (%) Precio ($) TIR (%)
100 0.25 0 99.6 1.6032
100 0.50 0 99.0 2.0101
100 1.00 0 97.8 2.2246
100 1.50 4 102.5 2.2819
100 2.00 5 105.0 2.4092
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Tasas Cero-Cupón desde Bonos con Cupones
• El método bootstrap calcula las tasas cero-cupón recursivamente
a partir de bonos con cupones comenzando desde los vencimientos
más cortos.
• Los tres primeros bonos del ejemplo son cero-cupón, entonces sus
TIR son las tasas cero-cupón.
• El cuarto bono tiene cupones y vence en 1.5 años, entonces, pode-
mos extraer la tasa cero cupón a 1.5 años de este bono:
2e−0.020101×0.5 + 2 e−0.022246×1 + 102 e−R(0,1.5)×1.5 = $102.5
⇒ R(0,1.5) = 0.022844 = 2.2844%
• El quinto bono tiene cupones y vence en 2 años, entonces, pode-
mos extraer la tasa cero cupón a 2 años de este bono:
2.5e−0.020101×0.5 + 2.5 e−0.022246×1+
2.5 e−0.022844×1.5 + 102.5 e−R(0,2)×2 = $105.0
⇒ R(0,2) = 0.024164 = 2.4164%
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Tasas Cero-Cupón desde Bonos con Cupones
Vencimiento (años) Tasa Cero Cupón
0.25 1.6032
0.50 2.0101
1.00 2.2246
1.50 2.2844
2.00 2.4164
T
Tasa Cero Cupón
0.5 1 1.5 2
1%
2%
3%
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Tasas Forward
Tasas Forward
Las tasas forward son las tasas de interés cero cupón impĺıcitas en la
curva de tasas cero cupón para peŕıodos de inversión en el futuro.
• Ejemplo:
Vencimiento (años) Tasa Cero Cupón
1 3.0
2 4.0
3 4.6
4 5.0
5 5.3
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Tasas Forward
• ¿Cuál es la tasa de interés impĺıcita para una inversión durante el
peŕıdo comprendido entre el último d́ıa del año 1 y el último d́ıa
del año 2?
0 1 2 3 4 5
¿f (0, 1, 2)?3%
4%
• Esta debe ser la tasa para el segundo año que combinada con el
3% del primer año resulta en la tasa de 4% del peŕıdo completo
de dos años.
e0.03×1 ef (0,1,2)×1 = e0.04×2
f (0,1,2) = 0.04× 2− 0.03× 11 = 0.05 = 5%
• ¡La tasa entre 0 y 2 es el promedio de la tasa entre 0 y 1 y la tasa
entre 1 y 2!
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Tasas Forward
• En general, si en t conocemos R(t,T1) y R(t,T2), entonces la tasa
de interés forward observada en t para el peŕıodo entre T1 y T2
es:
f (t,T1,T2) =
R(t,T2)× (T2 − t)− R(t,T1)× (T1 − t)
(T2 − T1)
• En función de los precios de los bonos:
f (t,T1,T2) = −
1
(T2 − T1)
ln
(
B(t,T2)
B(t,T1)
)
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Tasas Forward
• Si puedo invertir y endeudarme a las tasas cero cupón de la tabla
anterior, ¿como puedo invertir a la tasa forward entre 3 y 4?
• Me endeudo en $100 por 3 años al 4.6%.
• Invierto los $100 por 4 años al 5%.
0 1 2 3 4 5
+100 −100e0.046×3
−100 +100e0.05×4
El resultado es:
• Un flujo igual a cero hoy.
• Un flujo negativo de −100e0.046×3 = −$114.80 en t = 3.
• Un flujo positivo de +100e0.05×4 = +$122.14 en t = 4.
$114.80ef (3,1)×1 = $122.14 ⇒ f (0,3,4) = ln
(
$122.14
$114.80
)
= 6.2%
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Forward Rate Agreement (FRA)
Forward Rate Agreement
Es un contrato OTC que fija la tasa de interés que será válida para
invertir o endeudarse por un cierto monto principal y para un cierto
peŕıodo en el futuro.
• En la práctica, el contrato se liquida en efectivo por diferencia con
respecto a una tasa de referencia.
• La mayoŕıa de los FRA usan LIBOR como tasa de referencia:
• Si tenemos exposición a LIBOR, podemos eliminar este riesgo
tomando una posición en un FRA sobre LIBOR.
• En Chile la tasa de referencia es, en general, la TAB (Tasa Ac-
tiva Bancaria) a 90 d́ıas, que calcula diariamente la Asociación de
Bancos e Instituciones Financieras de Chile.
• La posición larga en un FRA se compromete a endeudarse a la
tasa fijada para un peŕıodo en el futuro (paga tasa fFRA).
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Forward Rate Agreement (FRA)
• Podemos entender un FRA como el intercambio de una tasa fija
por una tasa flotante.
• Ejemplo:
• Supongamos hoy (1 de enero) sabemos que en 5 meses más (1 de
junio) necesitaremos endeudarnos en $100 millones por un peŕıodo
de 3 meses (hasta 1 de septiembre).
• El banco nos ofrece un FRA, 5× 8, por 100 millones, con LIBOR
de referencia, a una tasa de 6% (compuesta trimestral).
• En 5 meses más (settlement date) LIBOR de 3 meses resulta ser
8% (compuesta trimestral).
• Entonces, al final del octavo mes recibo un flujo:
$100,000,000× (0.08− 0.06)× (92/360) = $511,111.11
• Algunos FRA pagan elflujo en el settlement date, descontándose
el flujo a la tasa de mercado:
$500,000
(1 + 0.08× 92/360) = $500,871.08
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Forward Rate Agreement (FRA)
• En general, el flujo que recibe en la fecha T2 la posición larga en
un FRA, por un principal LN , para el peŕıdo entre T1 y T2 es:
LN × [R(T1,T2)− fFRA]× (T2 − T1)
(Este flujo es conocido T1).
• En algunos casos, se paga el flujo descontado en T1:
LN × [R(T1,T2)− fFRA]× (T2 − T1)
[1 + R(T1,T2)(T2 − T1)]
• Es común usar la convención actual/360 para medir el tiempo y
tasas compuestas con una frecuencia correspondiente al largo del
peŕıodo al cual se aplican.
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Valor de un FRA
• Cuando se fija la tasa al comienzo del contrato, se hace de manera
que el valor del contrato sea cero.
• ¿Cuál debe ser la tasa fijada por el contrato fFRA?
• Si tomamos una posición larga en el contrato FRA para las fechas
T1 y T2, y al mismo tiempo hoy nos endeudamos hasta T1 e
invertimos hoy hasta T2, tenemos los siguientes flujos:
t = 0 T1 T2
Largo FRA ($1) $0 +1 −efFRA(T2−T1)
Deuda T1 +e−R(0,T1)T1 −1 0
Inversión T2 −e−R(0,T1)T1 0 +e−R(0,T1)T1+R(0,T2)T2
Total: 0 0
{
+e−R(0,T1)T1+R(0,T2)T2 − efFRA(T2−T1)
}
• El flujo total en T2 es cero cuando fFRA = f (0,T1,T2).
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Valor de un FRA
• En t = 0, cuando se inicia el contrato, fFRA = f (0,T1,T2), en-
tonces el valor del contrato es cero.
• Para encontrar el valor de un contrato en una fecha t posterior
debemos formar un portafolio de dos FRA’s:
• posición larga en FRA que promete pagar la tasa fijada inicialmente
fFRA,
• posición corta en FRA que promete pagar la tasa forward actual
f (t,T1,T2).
• Como el valor hoy del segundo FRA es cero, el valor del portafolio
es el valor del contrato FRA a la tasa fijada inicialmente, fFRA.
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Valor de un FRA
• El flujo que paga este portafolio en T2 es:
{LN [R(T1,T2)− fFRA] (T2 − T1)}︸ ︷︷ ︸
FRA tasa inicial
−{LN [R(T1,T2)− f (t,T1,T2)] (T2 − T1)}︸ ︷︷ ︸
FRA tasa forward actual
= LN [f (t,T1,T2)− fFRA] (T2 − T1)
• Este flujo es conocido hoy, entonces podemos encontrar el valor
del FRA (que es igual al valor del portafolio) descontanto a la tasa
libre de riesgo:
VFRA = LN × [f (t,T1,T2)− fFRA]× (T2 − T1) e−r(T2−t)
• ¡Se puede valorar el contrato asumiendo que la tasa de refe-
rencia observada en T1 será la tasa forward para ese peŕıodo!
• La tasa libre de riesgo que usamos para descontar no es necesa-
riamente la tasa de referencia del contrato FRA.
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Valor de un FRA
• Continuando con el ejemplo:
• supongamos que el 1 de febrero, la tasa forward para el peŕıodo
entre 1 de junio y 1 de septiembre es 7%,
• y la tasa libre de riesgo cero cupón para flujos del 1 de septiembre
es 3%.
• El valor de la posición larga en el FRA es:
VFRA = $100,000,000× (0.07− 0.06)× (92/360) e−0.03×(7/12)
= $251,122.24
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Futuros de Tasa de Interés
• Son los contratos transados en bolsa equivalentes a los FRA.
• Son contratos estandarizados, se liquidan diariamente a través de
una clearing house, y requieren cuenta de margen.
• El activo subyacente es un bono (Ejemplo: Trasury Bond) y pueden
terminar en entrega f́ısica o con liquidación en efectivo.
• En general, para futuros sobre Treasury Bonds, durante el mes de
entrega existen varios posibles bonos que clasifican para ser en-
tregados, la parte corta entonces puede elegir el bono más barato
(cheapest-to-deliver bond).
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Futuros de Tasa de Interés
• Ejemplo: precios al 22 de Junio 2020 en CME:
El precio del 2-year T-Note Futures está expresado al octavo de 1/32 de dolar
más cercano por $100 de principal. Ejemplo: 110’106 = 110 10.62532 = $110.3320.
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Opciones y Futuros
Swaps
David Buchuk
Escuela de Administración UC
Primer Semestre, 2020
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Swaps
Swaps
Es un contrato OTC en el que las partes se comprometen a intercambiar
flujos en el futuro en una serie de fechas prefedinidas.
• Distintos tipos de swaps:
• Swaps de tasa de interés.
• Swaps de monedas.
• CDS (Credit Default Swaps).
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Swap de Tasa de Interés Plain Vanilla
• En un swap de tasa de interés plain vanilla una parte se compro-
mete a pagar intereses periódicos sobre un monto nocional a una
tasa fija predeterminada por un peŕıdo de tiempo.
• La contraparte del contrato paga a cambio intereses periódicos
sobre el mismo monto nocional a una tasa flotante (variable) de
referencia por el mismo peŕıodo de tiempo.
• La tasa de interés de referencia más usada como tasa variable en
estos contratos es LIBOR.
Floating
Rate Payer
Fixed
Rate Payer
Tasa Fija
Tasa Variable
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Swap de Tasa de Interés Plain Vanilla
Ejemplo:
• Fixed Towers y Floating Cruisers entran en un Swap que se inicia
el 1 de enero de 2020.
• El monto nocional del contrato es $100 millones.
• Fixed Towers (fixed-rate payer) se compromete a pagar a Floating
Crusiers una tasa de interés fija de 3% al año.
• Floating Cruisers (floating-rate payer) se compromete a pagar a
Fixed Towers a cambio la tasa LIBOR de 6 meses.
• El contrato especifica pagos semestrales y la tasa fija de 3% es
compuesta semestralmente.
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Swap de Tasa de Interés Plain Vanilla
Floating
Cruisers Co.
Fixed
Towers Inc.
3%
LIBOR
• Asumamos que el d́ıa en que comienza el contrato swap, la tasa
LIBOR de 6 meses es 2.20%.
• El primer flujo que recibe Fixed Towers es el 1 de junio de 2020:
Flujo neto = $100,000,000× 0.0222︸ ︷︷ ︸
Flujo Variable Recibido
− $100,000,000× 0.032︸ ︷︷ ︸
Flujo Fijo Pagado
= −$400,000
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Swap de Tasa de Interés Plain Vanilla
• Los flujos de Fixed Towers durante la vida del swap son los sigu-
ientes:
Fecha LIBOR Flujo Variable Flujo Fijo Flujo
(%) Recibido Pagado Neto
1 Enero 2020 2.20
1 Junio 2020 2.80 +1.10 −1.50 −0.40
1 Enero 2021 3.30 +1.40 −1.50 −0.10
1 Junio 2021 3.50 +1.65 −1.50 +0.15
1 Enero 2022 3.60 +1.75 −1.50 +0.25
1 Junio 2022 3.90 +1.80 −1.50 +0.30
1 Enero 2023 +1.95 −1.50 +0.45
• El monto nocional de $100,000,000 nunca es intercambiado.
• En cada fecha de pago, la tasa variable se fija 6 meses antes de
ser pagada (el 1 de junio de 2020 se paga un flujo de acuerdo a
la tasa LIBOR observada el 1 de enero de 2020).
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Swaps: Transformar un Pasivo o Activo
• Fixed Tower podŕıa usar el Swap para transformar la naturaleza
de un pasivo de tasa flotante a tasa fija:
Floating
Cruisers Co.
Fixed
Towers Inc.
3%
LIBOR
LIBOR+0.1%
• Fixed Tower podŕıa usar el Swap para transformar la naturaleza
de un activo de tasa fija a tasa variable:
Floating
Cruisers Co.
Fixed
Towers Inc.
3%
LIBOR
2.7%
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Ventajas Comparativas
¿Por qué los swaps son tan populares?
• Ventajas comparativas:
• Una compañ́ıa podŕıa recibir un tratamiento más favorable en un
mercado respecto de otro.
• Ejemplo: una compañ́ıa podŕıa tener una ventaja para endeudarse
en tasa fija y querer endeudarse a tasa variable, o al revés.
• El swap le sirve para tomar la deuda en el mercado que más le
conviene y luego transformar la naturaleza del pasivo.
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Ventajas Comparativas
Ejemplo:
• Dos compañ́ıas AAACorp y BBBCorp desean endeudarse en $10
millones por 5 años.
• AAACorp desea endeudarse a tasa variable indexada a LIBOR y
BBBCorp desea endeudarse a tasa fija.
• Las tasas ofrecidas son:
Tasa Fija Tasa Flotante
AAACorp 4.0% LIBOR a 6 meses −0.1%
BBBCorp 5.2% LIBOR a 6 meses +0.6%
• AAACorp tiene una ventaja comparativa en tasa fija: paga una
tasa fija 1.2% más baja que BBBCorp, comparada con una ventaja
de sólo 0.7% en tasa variable.
• BBBCorp tiene, entonces, una ventaja comparativa en tasa va-
riable: una tasa variable sólo 0.7% más alta que AAACorp, com-
parada con una diferencia de 1.2% en tasa fija.
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Ventajas Comparativas
• La ventaja que se puede lograr usando un swap es una reducción
de 0.5%(= 1.2%− 0.7%) en la tasa de endeudamiento.
• Si repartimos la mitad de esta ganancia a cada parte:
AAACorp BBBCorp
4.35%
LIBOR
4% LIBOR+0.6%
• Si la transacción es intermediada por una institución financiera,
una posibleestructura seŕıa la siguiente:
AAACorp InstituciónFinanciera BBBCorp
4.33%
LIBOR
4.37%
LIBOR
4% LIBOR+0.6%
• Aqúı, AAACorp y BBBCorp reducen su costo de endeudamiento
en 0.23% y la Institución Financiera se gana el 0.04% restante.
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Ventajas Comparativas
• ¿Por qué el spread que paga AAACorp y BBBCorp podŕıa ser
distinto en mercados de tasa fija y mercados de tasa variable?
• Los contratos en distintos mercados pueden ser distintos (¿distinto
plazo?).
• La tasa variable es en general una tasa de corto plazo y la tasa
fija del swap podŕıa ser de largo plazo.
• Puede que sea más probable que AAACorp pague su deuda de
corto plazo que su deuda de largo plazo.
• Además, se está asumiendo que BBBCorp puede seguir endeudan-
dose a tasa variable durante la vida del swap.
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Valoración de Swaps de Tasa de Interés
• La tasa fija de un contrato swap se elige de forma de que el con-
trato tiene un valor igual a cero al inicio.
• Posteriormente, al cambiar los valores de las tasas de mercado el
valor del swap puede hacerse positivo o negativo.
• Flujos:
• al inicio el primer flujo de un swap es conocido y depende el valor
de la tasa variable de mercado en ese momento,
• cada uno de los otros flujos es equivalente al flujo de un contrato
FRA donde se intercambia la tasa variable por la tasa fijada por
el swap.
t = 0 t = 1 t = 2 t = 3
LN × LIBOR0 LN × LIBOR1 LN × LIBOR2
LN × Rswap LN × Rswap LN × Rswap
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Valoración de Swaps de Tasa de Interés
• Podemos valorar un swap de tasa de interés de la misma forma
en que valoramos un contrato FRA, asumiendo que el swap es un
portafolio de contratos FRA.
⇒ ¡Podemos asumir que la tasa variable que se pagará en
el futuro es la actual tasa forward!
• Procedimiento de valoración flujos a tasa variable:
1) Calcular las tasas forward para cada tasa LIBOR asociada a los
pagos futuros.
2) Calcular los flujos variables asumiendo que la tasa variable pagada
será igual a la actual tasa forward.
3) Descontar todos los flujos a la tasa libre de riesgo.
• El valor del swap para el fixed rate payer será: Vswap = VFloat−VFix
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Valoración de Swaps de Tasa de Interés: Ejemplo
• Tiempo atrás se inició un swap con pagos semestrales, tasa fija
de 3% anual (compuesta semestral) y tasa variable LIBOR de 6
meses (compuesta semestral).
• El valor nocional es $100,000 y al contrato le quedan 15 meses de
vida.
• La tasa LIBOR fijada 3 meses atrás para el siguiente pago del swap
es 2.9%.
• La estructura de tasas LIBOR y OIS (tasa libre de riesgo conti-
nuamente compuesta) es actualmente:
Vencimiento
(T en meses) LIBOR (%) OIS (%)
3 2.0 1.5
6 3.0 2.5
9 4.0 3.5
12 4.5 4.0
15 5.0 4.5
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Valoración de Swaps de Tasa de Interés: Ejemplo
t = 0 t = 0.25 t = 0.75 t = 1.25
LN ×
0.029
2 LN ×
f (0,0.25,0.75)
2 LN ×
f (0,0.75,1.25)
2
LN ×
0.03
2 LN ×
0.03
2 LN ×
0.03
2
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Valoración de Swaps de Tasa de Interés: Ejemplo
• Calculamos el valor de los pagos a tasa variable:
1) Las tasas forward son: f (0,0.25,0.75) = 2.5037% y f (0,0.75,1.25) =
3.2546%
2) Flujos variables son: $1,450.00, $1,251.85, y $1,251.85.
3) El valor de los flujos a tasa variables es:
VFloat = 1,450e−0.015×0.25 + 1,251.85e−0.035×0.75 + 1,627.30e−0.045×1.25
= $4, 202.28
• Calculamos el valor de los pagos a tasa fija:
VFix = 1,500
[
e−0.015×0.25 + e−0.035×0.75 + e−0.045×1.25
]
= $4, 373.48
• El valor del swap para quien paga tasa fija es:
Vswap = VFloat − VFix
= $4, 202.28 − $4, 373.48
= −$171.19
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