Taller 1 y 2 (largo)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemática
PIMU A
Minicurso: Álgebra y Funciones
Resumen: Los ejercicios de este documento evalúan los contenidos vis-
tos en las clase 1 y 2.
Copyright c⃝ 2017
Actualizado el: 15 de Enero de 2017
2
Escritura
1. El número π se escribe pi
2. La expresión x2 se escribe x^2
3. La expresión |x| se escribe |x|
4. La expresión
√
x se escribe sqrt(x)
5. El intervalo cerrado [0, 1] se escribe [0,1]
6. El intervalo abierto (1, 3) se escribe (1,3)
7. El intervalo
(
−∞, 1
2
]
se escribe (-inf,1/2]
8. El intervalo (−∞,∞) se escribe (-inf,inf)
9. El conjunto (−3,−1] ∪ (4,∞) se escribe (-3,-1]U(4,inf)
10. El conjunto {2} ∪ (3, 4] se escribe [2,2]U(3,4]
3
Considere la desigualdad
−2 < x ≤ 1
1. Exprese la desigualdad en notación de intervalo.
Respuesta.
2. Determine la gráficas que representa el intervalo.
Respuesta.
0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3
0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3
Pregunta 1
4
Represente la región achurada en notación de intervalo.
0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3
Solución.
Pregunta 2
5
Represente la región achurada en notación de intervalo.
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
Solución.
Pregunta 3
6
Represente la región achurada en notación de intervalo.
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
Solución.
Pregunta 4
7
Represente la región achurada en notación de intervalo.
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
Solución.
Pregunta 5
8
El conjunto solución de la inecuación
8x− 5 ≤ 6x+ 9
está dado por
[7,∞)
(−∞, 7]
(7,∞)
(−∞, 7)
Pregunta 6
9
El conjunto solución de la inecuación
2x− 5 < 2(x+ 1) + x
está dado por
(−∞,−6)
(−6,∞)
(−∞,−7)
(−7,∞)
Pregunta 7
10
El conjunto solución de la inecuación
−1 < 2x− 5 < 7
está dado por
(2, 7/2)
(−∞, 6) ∪ (2,∞)
(2, 6)
(−∞, 2) ∪ (7/2,∞)
Pregunta 8
11
El conjunto solución de la inecuación
−2 < 8− 2x ≤ −1
está dado por
[9/2, 5)
(−∞, 9/2) ∪ (5,∞)
(−∞, 9/2] ∪ (5,∞)
(9/2, 5]
Pregunta 9
12
¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene por conjunto solución la región achurada que se presenta
en la imagen?
0 1 2 3-1-2-3-4-5-6-7
x < −4
x > −4
x ≤ −4
x ≥ −4
Pregunta 10
13
El conjunto solución de la inecuación
x2 + 5x+ 15 ≥ 2x2 − 2x− 3
está dado por
(−∞,−2] ∪ [9,∞)
[−9, 2]
(−∞,−9] ∪ [2,∞)
[−2, 9]
Pregunta 11
14
El conjunto solución de la inecuación
2− x < x2 < x+ 2
está dado por
(1, 2)
(0,∞)
(−∞, 0)
(−∞, 1) ∪ (2,∞)
Pregunta 12
15
El conjunto solución de la inecuación
(x+ 2)(x− 1)(x− 3) ≤ 0
está dado por
[−2, 1] ∪ [3,∞)
(−∞,−2] ∪ [3,∞)
(−∞, 1] ∪ [3,∞)
(−∞,−2] ∪ [1, 3]
Pregunta 13
16
El conjunto solución de la inecuación
16x ≤ x3
está dado por
(−∞,−4] ∪ [0, 4]
[−4, 4]
[−4, 0] ∪ [4,∞)
(−∞,−4] ∪ [4,∞)
Pregunta 14
17
¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene por conjunto solución la región achurada que se presenta
en la imagen?
0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3
(x+ 1)(x+ 4) > 0
(x− 1)(x− 4) < 0
(x− 1)(x− 4) > 0
(x+ 1)(x+ 4) < 0
Pregunta 15
18
El conjunto solución de la inecuación
x− 3
x+ 1
≥ 0
está dado por
[3,∞)
(−1, 3]
(−∞,−1)
(−∞,−1) ∪ [3,∞)
Pregunta 16
19
El conjunto solución de la inecuación
2x+ 1
x− 1
≥ 1
está dado por
(−∞,−2] ∪ (1,∞)
[−2, 1)
[−2,∞)
(−∞,−1/2] ∪ (1,∞)
Pregunta 17
20
El conjunto solución de la inecuación
x+
2
x
≥ 3
está dado por
(−∞, 1] ∪ [2,∞)
(0, 1] ∪ [2,∞)
[1, 2]
(−∞, 0) ∪ [1, 2]
Pregunta 18
21
¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene por conjunto solución la región achurada que se presenta
en la imagen?
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
x− 3
x+ 1
≤ 0
x− 3
x+ 1
≥ 0
x+ 1
x− 3
≤ 0
x+ 1
x− 3
≥ 0
Pregunta 19
22
Resolver las siguientes inecuaciones, expresando su resultando en notación de intervalos.
1. 4− 3x ≤ −(1 + 8x) R.-
2. 3x2 − 3x < 2x2 + 4 R.-
3. (x− 5)(x− 2)(x+ 1) > 0 R.-
4.
4x
2x+ 3
> 2 R.-
5.
x
x+ 2
≤ x R.-
6. x4 ≥ x2 R.-
Pregunta 20
23
Las instrucciones en una botella de medicina indican que la botella debe conservarse a una temper-
atura entre 5◦C y 30◦C. ¿Qué intervalo de temperaturas corresponde en una escala Fahrenheit?
Nota. La relación entre grados Celcius C y grados Fahrenheit F es C = 59 (F − 32).
Solución.
Los grados Fahrenheit F es deben estar en el intervalo:
Pregunta 21
24
Una compañ́ıa de telefońıa ofrece dos planes de llamadas de larga distancia.
Plan A: $4000 por mes más $150 por minuto.
Plan B: 1000 por mes más $300 por minuto.
¿Para cuántos minutos de llamadas de larga distancia seŕıa financieramente ventajoso el Plan B?
Solución.
El conjunto de minutos de llamadas en que la larga distancia del Plan B es financieramente
ventajoso está dado por el conjunto:
Pregunta 22
25
En la cercańıa de una fogata, la temperatura T
en ◦C a una distancia de x metros del centro de
la fogata está dada por
T =
600000
x2 + 300
¿A qué intervalo de distancia desde el centro de
la fogata la temperatura es menor a 500◦C?
Solución.
Pregunta 23
26
Se puede demostrar que si una pelota es lan-
zada verticalmente hacia arriba con una veloci-
dad inicial de 8m/seg desde lo alto de un edi-
ficio de 64 metros de alto, entonces su altura h
sobre el suelo t segundos después será
h = 64 + 8t− 8t2
¿Durante qué intervalo de tiempo estará la
pelota al menos a 16 metros sobre el suelo?
Solución.
Pregunta 24
27
Un gran estanque es abastecido de peces. La población P de peces está modelada con la fórmula
P = 3t+ 10
√
t+ 140
donde t es el número de das desde que los peces fueron introducidos en el estanque. ¿A partir de
qué d́ıa la población de peces será al menos de 228?
Solución.
A partir del d́ıa:
Pregunta 25
28
El conjunto solución de la inecuación
|3x− 2| > 5
está dado por
(−7/3, 7/3)
(−∞,−7/3) ∪ (7/3,∞)
(−1, 7/3)
(−∞,−1) ∪ (7/3,∞)
Pregunta 26
29
El conjunto solución de la inecuación
|8x− 3| < 13
está dado por
(−5/4, 2)
(−∞,−5/4) ∪ (2,∞)
(−2, 2)
(−∞,−2) ∪ (2,∞)
Pregunta 27
30
El conjunto solución de la inecuación
8− |2x− 1| ≥ 6
está dado por
(−∞,−1/2] ∪ [3/2,∞)
[−1/2, 3/2]
[−1, 3]
(−∞,−1] ∪ [3,∞)
Pregunta 28
31
¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene por conjunto solución la región achurada que se presenta
en la imagen?
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
|x− 2| ≥ 3
|x− 2| ≥ 6
|x+ 2| ≥ 3
|x+ 2| ≥ 6
Pregunta 29
32
¿Cuál de las siguientes inecuaciones tiene por conjunto solución la región achurada que se presenta
en la imagen?
0 1 2 3 4 5 6 7-1-2-3
|x− 1| < 4
|x− 1| < 2
|x+ 1| < 4
|x+ 1| < 2
Pregunta 30
33
Resolver las siguientes inecuaciones, expresando su resultando en notación de intervalos.
1. 12 |x| ≥ 1 R.-
2. |x+ 1| ≤ 1 R.-
3. |8x+ 3| > 12 R.-
4. 3− |2x+ 4| ≤ 1 R.-
Pregunta 31
34
Resolver las siguientes inecuaciones, expresando su resultando en notación de intervalos.
1.
∣∣∣∣x+ 9x
∣∣∣∣ < 10 R.-
2.
√
2− |x| < x R.-
Pregunta 32
35
El promedio de estatura de hombres adultos es de 158.2 cent́ımetros y 95% de ellos tiene una
estatura h que satisface la siguiente desigualdad∣∣∣∣h− 158.22.9
∣∣∣∣ ≤ 2
Determine las estaturas h que satisfacen la desigualdad anterior.
Solución.
El conjunto de los h que satisfacen la desigualdad es:
Pregunta 33
36
Determine una función f , en la variable x, que realice la siguiente operación
“sumar 3, luego multiplicar por 2”
Solución.
f(x) =
Pregunta 34
37
Determine una función f , en la variable x, que realice la siguiente operación
“restar 5, elevar al cuadrado, luego multiplicar por 3”
Solución.
f(x) =
Pregunta 35
38
Cuál de los siguientes enunciados mejor representa la función
f(x) = (x− 1)2 + 2
Solución.
Restar 1, sumar 2, luego elevar al cuadrado.
Sumar 2, restar 1, luego elevar al cuadrado
Elevar al cuadrado, restar 1, luego sumar 2
Restar 1, elevar al cuadrado, luego sumar 2.
Sumar 2, elevar al cuadrado, luego restar 1
Elevar al cuadrado, sumar 2, luego restar 1
Pregunta 36
39
Complete la siguiente tabla sabiendo que f(x) = |2x+ 3|
x y
-3
-2
0
1
3
Pregunta 37
40
Evalúe las siguientes funcionesen los valores indicados.
1. f(x) = x3 + 2x
• f(−2) = • f
(
1
3
)
= • f (0.2) =
2. f(x) = 2x+ 1
• f(−2) = • f(a+ 1) = • f(b− 12 ) =
3. f(x) =
1− x
1 + x
• f
(
1
2
)
= • f (a− 1) = • f
(
1
a
)
=
Pregunta 38
41
Evalúe la función definida por tramos en los valores indicados.
f(x) =
{
x2 x < 0
x+ 1 x ≥ 0
• f(−3) = • f(0) = • f(2) = • f(5) =
Pregunta 39
42
Evalúe la función definida por tramos en los valores indicados.
f(x) =

3x x < 0
x+ 1 0 ≤ x ≤ 3
(x− 3)2 x > 3
• f(−5) = • f(0) = • f(3) = • f(6) =
Pregunta 40
43
Determine el dominio de las siguientes funciones.
1. f(x) = x2 + 1 Dom(f) =
2. f(x) =
1
x− 3 Dom(f) =
3. f(x) =
x+ 2
x2 − 1 Dom(f) =
4. f(x) =
√
x− 5 Dom(f) =
5. f(x) =
√
x
x2 − 2x− 8 Dom(f) =
Pregunta 41
44
Determine el dominio de las siguientes funciones.
1. f(x) =
√
2x2 + x− 1 Dom(f) =
2. f(x) =
√
4− x√
x2 − x− 2
Dom(f) =
3. f(x) =
√
x√
1− |x|
Dom(f) =
4. f(x) =
1√
x2 + |x| − 2
Dom(f) =
Pregunta 42
45
En una cierta ciudad la velocidad máxima permitida en autopista es de 130 kilómetros/hora y la mı́nima
es 80. La multa F por violar los ĺımites es $3000 por cada kilómetro arriba del máximo o bajo el mı́nimo.
1. Si x es la velocidad a la cuál una persona está viajando, complete las expresiones que definen a F
como una función por partes.
F (x) =

si 0 < x < 80
si 80 ≤ x ≤ 130
si x > 130
2. Calcular
(a) F (60) = (b) F (100) = (c) F (160) =
Pregunta 43
46
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) = −x+ 3?
-1
-2
-3
-1-2-3
-1
-2
-3
1 2 3
1
2
3
1 2 3
1
2
3
-1-2-3
Pregunta 44
47
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) =
√
x+ 2?
1
2
1 2-1-2
1
2
1 2 3 4 5
1
2
3
1 2 3
-1
-2
1 2 3 4 5
Pregunta 45
48
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) = 4− x2?
2
2 4-2-4
2
4
-2
1 2-1-2
2
1 2-1-2
2
4
-2
2 4-2-4
Pregunta 46
49
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) = x2 − 2x?
1
-1
-2
1-1-2
1
2
-1
1-1-2
1
-1
-2
1 2-1
1
2
-1
1 2-1
Pregunta 47
50
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) = x+ |x|?
1
2
-1
1 2-1-2
1
-1
-2
1 2-1-2
1
2
-1
1 2-1-2
1
-1
-2
1 2-1-2
Pregunta 48
51
¿Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) = |2x− 2|?
1
2
3
-1-2-3
1
2
3
1 2-1
1
2
3
1-1-2
1
2
3
1 2 3
Pregunta 49
52
Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) =
{
3 x < 2
x− 1 x ≥ 2
1
2
3
1 2 3 4-1
1
2
3
1 2 3 4-1
1
2
3
-1
-2
1 2 3 4-1
1
2
3
-1
-2
1 2 3 4-1
Pregunta 50
53
Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) =
{
x x ≤ 0
x+ 1 x > 0
1
2
-1 1 2-1-2
1
2
-1 1 2-1-2
1
2
3
-1
-2
1 2-1-2
1
2
3
-1
-2
1 2-1-2
Pregunta 51
54
Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) =
{
1− x2 x ≤ 2
x x > 2
2
4
-2
-4
1 2 3 4
2
4
-2
-4
1 2 3 4
2
-2
-4
-6
1 2 3 4
2
-2
-4
-6
1 2 3 4
Pregunta 52
55
Cuál de las siguientes gráficas representa la función f(x) =
{
x2 |x| ≤ 1
2 |x| > 1
2
1 2-1-2
2
1 2-1-2
2
1 2-1-2
2
1 2-1-2
Pregunta 53
56
La gráfica corresponde a una función definida por tramos. Determine una fórmula para la función
en la forma indicada.
2
-2
2-2
f(x) =

si x < −2
si − 2 ≤ x ≤ 2
si x > 2
Pregunta 54
57
La gráfica corresponde a una función definida por tramos. Determine una fórmula para la función
en la forma indicada.
2
-2
2-2
f(x) =

si x ≤ −1
si − 1 < x ≤ 2
si x > 2
Pregunta 55
58
Determine cuál(es) de las siguientes gráficas corresponde a la gráfica de una función. Puede marcar más
de una opción.
Pregunta 56
59
Determine cuál(es) de las siguientes gráficas corresponde a la gráfica de una función. Puede marcar más
de una opción.
Pregunta 57
60
Determine el dominio y recorrido de la función que se presenta en la gráfica.
2
-2
2-2
Solución.
• Dominio: • Recorrido:
Pregunta 58
61
Determine el dominio y recorrido de la función que se presenta en la gráfica.
2
-2
2-2
Solución.
• Dominio: • Recorrido:
Pregunta 59
62
Determine cuál(es) de las siguientes ecuaciones define a y como función de x.
x2 + 2y = 4 x = y2
x+ y2 = 9 x2y + y = 1
2|x|+ y = 0 x = y3
Pregunta 60
63
Determine cuál(es) de las siguientes ecuaciones define a y como función de x.
3x+ 7y = 21 x2 + (y − 1)2 = 4
x2 + y = 9
√
x+ y = 12
2x+ |y| = 0 x = y4
Pregunta 61
64
Determine una función f cuya gráfica sea una recta que pasa por los puntos (−2, 1) y (4,−6).
Solución.
f(x) =
Pregunta 62
65
Determine una función f cuya gráfica sea la mitad inferior de la circunferencia x2 + y2 = 9
Solución.
f(x) =
Pregunta 63
	sqIDeqSqBn1: 
	obj.eqSqBn1.1: 
	obj.eqSqBn1.2: 
	obj.eqSqBn1.3: 
	obj.eqSqBn1.4: 
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	sqIDP16: 
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	sqIDP16: 
	obj.P16.60: 
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	sqIDP3: 
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	obj.P8.78: 
	corr.P8.78: 
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