Clase_1-4

Vista previa del material en texto

Minicurso: Funciones reales
Claudio Rivera
Facultad de Matemática
27 de enero de 2018
Funciones Exponenciales
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0
x = 1
x = 2
x = 3
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1
x = 2
x = 3
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2
x = 2
x = 3
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2
x = 3
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4
x = 3
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1 12
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1 12 2
x = −2
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1 12 2
x = −2 14
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1 12 2
x = −2 14 4
x = −3
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1 12 2
x = −2 14 4
x = −3 18
�
Funciones Exponenciales
Se define la función exponencial en base a definida para todos los números reale x como
f(x) = ax
para todo a > 0 y a 6= 1.
Función exponencial
Ejemplo.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = 0 1 1
x = −1 12 2
x = −2 14 4
x = −3 18 8
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −2 14 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
�
Ejemplo. Trace la gráfica de cada función haciendo una tabla de puntos.
1. f(x) = 2x 2. g(x) =
(
1
2
)x
Solución.
f(x) = 2x g(x) =
(
1
2
)x
x = −3 18 8
x = −214 4
x = −1 12 2
x = 0 1 1
x = 1 2 12
x = 2 4 14
x = 3 8 18
2
4
6
8
1 2 3-1-2-3
� y = 2x
� y =
(
1
2
)
x
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
�
1
y = ax, a > 1
x → −∞ ⇒ y → 0
x → ∞ ⇒ y → ∞
1
y = ax, 0 < a < 1
x → −∞ ⇒ y → ∞
x → ∞ ⇒ y → 0
Gráficas de funciones exponenciales
Ejercicio. Trazar la gráfica de g(x) = 5− 2x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 2x, usando
transformaciones de funciones.
Ejercicio. Trazar la gráfica de g(x) = 5− 2x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 2x, usando
transformaciones de funciones.
Solución.
Ejercicio. Trazar la gráfica de g(x) = 5− 2x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 2x, usando
transformaciones de funciones.
Solución.
2
4
-2
-4
y = 2x
Ejercicio. Trazar la gráfica de g(x) = 5− 2x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 2x, usando
transformaciones de funciones.
Solución.
2
4
-2
-4
y = 2x
2
4
-2
-4
y = 2x+1
Ejercicio. Trazar la gráfica de g(x) = 5− 2x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 2x, usando
transformaciones de funciones.
Solución.
2
4
-2
-4
y = 2x
2
4
-2
-4
y = 2x+1
2
4
-2
-4
y = −2x+1
Ejercicio. Trazar la gráfica de g(x) = 5− 2x+1 a partir de la gráfica de f(x) = 2x, usando
transformaciones de funciones.
Solución.
2
4
-2
-4
y = 2x
2
4
-2
-4
y = 2x+1
2
4
-2
-4
y = −2x+1
2
4
-2
-4
y = 5 − 2x+1
Constante de Euler
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b b b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b b b b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b b b b
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b b b be
Constante de Euler
n
(
1 +
1
n
)n
1 2
10 2,59374
100 2,70481
1,000 2,71692
10,000 2,71815
100,000 2,71827
1,000,000 2,71828
1 10 102 103 104 105 106
1
2
3
b
b
b b b b be
e ≈ 2,7182818284590423536
La función exponencial natural es la función
f(x) = ex
siendo e la constante de Euler. Esta función es también conocida como la función expo-
nencial.
Función exponencial natural
� y = e
x
� y = e
−x
Funciones Logaŕıtmicas
Las funciones exponenciales son uno a uno, con dominio (−∞,∞) y recorrido (0,∞).
1
g(x) = ax, a > 1
1
g(x) = ax, 0 < a < 1
Luego se puede definir una función inversa f : (0,∞) → (−∞,∞) que satisface la relación
f(g(y)) = y ⇐⇒ g(f(x)) = x
f(ay) = y ⇐⇒ af(x) = x
NotaNota
Sea a un número real positivo con a 6= 1. La función logaritmo con base a, que deno-
taremos loga, se define por la relación
loga(a
y) = y ⇐⇒ aloga(x) = x
Función logaritmo
Sea a un número real positivo con a 6= 1. La función logaritmo con base a, que deno-
taremos loga, se define por la relación
loga(a
y) = y ⇐⇒ aloga(x) = x
Función logaritmo
Si y = loga(x), la definición anterior se puede escribir
y = loga(x) ⇐⇒ ay = x
NotaNota
Ejemplo. Calcular
1. log2(8) 2. log10(0,01) 3. log9(3)
�
Ejemplo. Calcular
1. log2(8) 2. log10(0,01) 3. log9(3)
�
Ejercicio. Calcular
1. log3 (81) 2. log5 (0,04) 3. log4(8)
P1. loga(1) = 0 P2. loga(a) = 1 P3. loga(a
x) = x P4. aloga(x) = x
Propiedades del Logaritmo
P1. loga(1) = 0 P2. loga(a) = 1 P3. loga(a
x) = x P4. aloga(x) = x
Propiedades del Logaritmo
Ejemplo. Calcular el valor de la siguientes expresión
log3(9)− log4(2) + log10(10)
�
P1. loga(1) = 0 P2. loga(a) = 1 P3. loga(a
x) = x P4. aloga(x) = x
Propiedades del Logaritmo
Ejemplo. Calcular el valor de la siguientes expresión
log3(9)− log4(2) + log10(10)
�
El logaritmo con base 10 será denominado logaritmo común y se denota omitiendo la
base
log(x) = log10(x)
Logaritmo común
L1. loga(AB) = loga(A) + loga(B)
L2. loga
(
A
B
)
= loga(A)− loga(B)
L3. loga
(
AC
)
= C loga(A)
Leyes del Logaritmo
L1. loga(AB) = loga(A) + loga(B)
L2. loga
(
A
B
)
= loga(A)− loga(B)
L3. loga
(
AC
)
= C loga(A)
Leyes del Logaritmo
Ejemplo. Use las leyes de los logaritmos para calcular
1. log4(2) + log4(32) 2. log3(162)− log3(2)
�
L1. loga(AB) = loga(A) + loga(B)
L2. loga
(
A
B
)
= loga(A)− loga(B)
L3. loga
(
AC
)
= C loga(A)
Leyes del Logaritmo
Ejemplo. Use las leyes de los logaritmos para calcular
1. log4(2) + log4(32) 2. log3(162)− log3(2)
�
Ejercicio. Use las leyes de los logaritmos para calcular
log2(160)− log2(5)
log6(18) + log6(2)
Ejemplo. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log3
(
x4y5
8
)
�
Ejemplo. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log3
(
x4y5
8
)
�
Ejercicio. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log
(
x2y√
z
)
Ejemplo. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log3
(
x4y5
8
)
�
Ejercicio. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log
(
x2y√
z
)
Ejemplo. Use las leyes del logaritmo para combinar la siguiente expresión
1
2
log2(x+ y)− 3 log2(y) + 4 log2(z)
�
Ejemplo. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log3
(
x4y5
8
)
�
Ejercicio. Use las leyes del logaritmo para expandir la siguiente expresión
log
(
x2y√
z
)
Ejemplo. Use las leyes del logaritmo para combinar la siguiente expresión
1
2
log2(x+ y)− 3 log2(y) + 4 log2(z)
�
Ejercicio. Use las leyes del logaritmo para combinar la siguiente expresión
2(log5(x) + 2 log5(y)− 3 log5(z) + 1)
Gráfica del logaritmo
1
1
y = ax
a > 1
1
1
y = ax
0 < a < 1
Gráfica del logaritmo
1
1
y = ax
a > 1
1
1
y = ax
0 < a < 1
Gráfica del logaritmo
y = log
a
(x)
1
1
y = ax
a > 1
y = log
a
(x)
1
1
y = ax
0 < a < 1
Gráfica del logaritmo
El logaritmo con base e es denominado logaritmo natural y se denota ln, vale decir
ln(x) = loge(x)
Logaritmo natural
1
Gráfica del logaritmo natural: y = ln(x)