Ayudantía 1 Enunciado

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EAS200a - Probabilidad y Estad́ıstica
Mart́ın Rafols
Carlos Fardella - Javiera Tapia - Victoria Van Vabel
Primer Semestre 2020
Ayudant́ıa 1
: , 1
Ayudant́ıa 1
Repaso Matemática
Igualdades
(a + b)n =
n∑
k=0
(
n
k
)
ak bn−k ;
∞∑
k=x
φk =
φx
1− φ
si |φ| < 1;
∞∑
k=0
λk
k!
= exp(λ);
∞∑
x=0
(
x + k − 1
k − 1
)
φx =
1
(1− φ)k
si 0 < φ < 1 y k ∈ N
Propiedades función Γ(·)
(1) Γ(k) =
∫ ∞
0
uk−1 e−u du; (2) Γ(a + 1) = a Γ(a);
(3) Γ(n + 1) = n!, si n ∈ N0 (4) Γ(1/2) =
√
π;
: , 2
Ayudant́ıa 1
Ejercicios Matemáticos
Resuelva o Muestre:
1.
∞∑
n=0
3
2n
2.
∫
2x + 1
(x + 5)3
3.
∫
3x2
5x3 + 1
dx
4.
n∑
k=1
p (1− p)k−1 = 1− (1− p)n, con 0 < p < 1.
5.
∫ +∞
0
x · λ e−λ x dx = 1
λ
, con λ > 0.
6.
∫ ∞
0
x · θ
2
1 + θ
(1 + x)e−θxdx =
θ + 2
θ(θ + 1)
, con θ > 0
: , 3
Ayudant́ıa 1
Ejercicio 1 - Probabilidad y Álgebra de Eventos
Considere los eventos (o sucesos) A, B y C contenidos en un mismo espacio
muestral S . Usando propiedades y/o axiomas demuestre paso a paso, lo
siguiente:
(a) Si P(A ∪ B) = P(A ∩ B), entonces P(A) = P(B).
(b) P(Ac ∩ Bc) = 1− P(A)− P(B) + P(A ∩ B).
(c) P(A∪B ∪C ) = P(A) +P(B) +P(C )−P(Ac ∩B ∩C )−P(A∩Bc ∩
C )− P(A ∩ B ∩ C c)− 2P(A ∩ B ∩ C ).
: , 4
Ayudant́ıa 1
Ejercicio 2 - Probabilidad y Álgebra de Eventos
En una ciudad se publican tres periódicos (A, B y C ) con ĺıneas editoriales
distintas. Una encuesta de opinión, entrego los siguientes porcentajes
I El 10% declara leer el periódico A.
I El 20% declara leer el periódico B.
I El 30% declara leer el periódico C .
I El 5% declara leer el periódico A y además el B.
I El 3% declara leer el periódico A y además el C .
No se registraron casos, que leyeran los periódicos B y C , por tener públicos
objetivos totalmente distintos. Justificando cada una de sus afirmaciones
y utilizando la información de la encuesta como probabilidades teóricas.
: , 5
Ayudant́ıa 1
...Ejercicio 2 - Probabilidad y Álgebra de Eventos
Calcule:
(a) La probabilidad que un habitante de la ciudad lea los tres periódicos.
(b) La probabilidad que un habitante de la ciudad lea el periódico A y al
menos uno de los otros dos.
(c) La probabilidad que un habitante de la ciudad solo lea uno de los tres
periódicos.
: , 6