Practica2-A

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Universidad de Concepción
Facultad de Ciencias F́ısicas y Matemáticas
Departamento de Matemática
Práctica 2: Cálculo III
Problema 1. Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
xy2
x4 + y4 + |x| + 2x+ 3y + 1 , (x, y) �= (0, 0)
a , (x, y) = (0, 0)
a) Determinar, si es posible, el valor de a que hace que f sea continua en R2.
b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? ¿En (1, 1)?.
c) Calcular, si existe,
∂f
∂û
(0, 0), û = (a, b), ‖û‖ = 1.
d) Encontrar, si es posible, la buena aproximación af́ın de f en (0, 0) y (1, 1).
Problema 2. Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
y2 + xy
x− y , x �= y
0 , x = y
a) Determinar el subconjunto de R2 más grande donde f es continua.
b) Calcular, si existen,
∂f
∂x
(0, 0),
∂f
∂y
(0, 0),
∂f
∂x
(a,−a) y ∂f
∂y
(a, a), para a �= 0.
c) ¿Es f diferenciable en (0, 0)? ¿En (a, a), a �= 0? ¿En R2 − {(x, x) : x ∈ R}?.
d) Determinar el subconjunto de R2 más grande donde f es de clase C1.
Problema 3. Sea f : R2 → R definida por:
f(x, y) =
⎧⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
x3 + 2y5
x2 + y4
, (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
Mostrar que f es continua en (0, 0) y que f no es diferenciable en (0, 0). Además, si û = (a, b) es una
dirección en R2, calcular
∂f
∂û
(0, 0), cuando exista. Finalmente, determinar el subconjunto de R2 más grande
donde f es de clase C1.
Para trabajar en la casa
1. Determinar si las siguientes funciones son continuas en (0, 0). Determinar además si las derivadas
parciales de primer orden de ellas existen en (0, 0) y además si ellas son diferencianbles en el mismo
punto. En f), r > 0 es un parámetro.
a) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
x2y
x2 + y2
, (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
b) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
y3 sin x3
x4 + y4
, (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
c) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
sin
√|xy|
y2 + |x|1/2
, (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
d) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
x2y
x2 + y2 + |x| , (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
e) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
xy
x2 + |y| +
sin |x|
x
, x �= 0
y + 1 , x = 0
f ) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
|x|r+1 y
|x|+ |y| , (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
g) f(x, y) =
⎧⎨
⎩
xy2
x2 − xy + y2 , (x, y) �= (0, 0)
0 , (x, y) = (0, 0)
h) f(x, y, z) =
⎧⎨
⎩
sin (xyz)
x2 + y2 + z2
, (x, y, z) �= (0, 0, 0)
1 , (x, y, z) = (0, 0, 0)
2. Sea f : Rn → R una función. ¿Verdadero o falso?
a) Si
∂f
∂û
(x0) existe en toda dirección û, entonces f es diferenciable en x0.
b) Para calcular la derivada direccional de f en x0, es mejor usar la fórmula
∂f
∂û
(x0) = ∇f (x0) · û
que la definición.
c) Si f es diferenciable en x0 y ∇f (x0) �= θ, la mı́nima derivada direccional de f en x0 ocurre en
la dirección de −∇f (x0) y su valor es −‖∇f (x0)‖.
d) Siempre es posible construir una buena aproximación o plano tangente para f en x0 ∈ D (f).
Viernes 29 de Agosto de 2014.
ECV/ecv.