PROBLEMAS_RESUELTOS_DE_TRANSFERENCIA_DE

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Universidad Técnica de Oruro
Facultad Nacional de Ingeniería
Ingeniería Mecánica-Electromecánica
POR:
Univ. ERWIN A. CHOQUE CONDE
PROBLEMAS RESUELTOS
DE TRANSFERENCIA DE
CALOR
Octubre-2007
ORURO BOLIVIA
T
k
g
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T
q
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Univ. Erwin Choque Conde Página 1
INDICE
PROBLEMAS RESUELTOS
Transferencia de calor en régimen permanente………………………………….…….…….…….2
Sistemas con generación interna……………………………………………………….….…………14
Espesor técnico económico……………………………………………………………………………31
Aletas…………………………………………………………………………………………….…………40
Flujo bidimensional…………………………………………………………………….……….………..52
Conducción en régimen transitorio………………………………………………………….………..55
Convección………………………………………………………………………………………..……….62
Intercambiadores………………………………………………………………………………..….…….70
Radiación…………………………………………………………………………….………………..……86
ANEXOS
Anexo A. FORMULARIO………………………………………………………….…103
Anexo B. TABLAS Y GRAFICAS
B.-1 TABLA 1. ……………………….……………….………………. 106
B.-2 GRAFICA 1. PARA PLACAS…………………….………….….107
B.-3 GRAFICA 2. PARA CILINDROS………………….…………….108
B.-4 GRAFICA 3. PARA ESFERAS…………………………………..109
Anexo C. PROPIEDADES DE LOS MATERIALES……………………...………..110
Anexo D. UNIDADES Y TABLAS DE CONVERSIÓN Y EQUIVALENCIA……..138
Anexo E. BIBLIOGRAFÍA:……………………………………………………………156
Univ. Erwin Choque Conde Página 2
PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR
Transferencia de calor en régimen permanente
1. Se determina que el flujo de calor a través de una tabla de madera de 50[ mm ] de espesor es de 40[
2/ mW ] cuyas temperaturas sobre la superficie interna y externa son 40 y 20ºC respectivamente ¿Cuál
es la conductividad térmica de la madera?
DATOS:
2. Compare las velocidades de transferencia de calor a través de una muestra de madera de pino blanco
cuando la transferencia es transversal a la fibra y cuando es paralela a la fibra. La conductividad
térmica para el primer caso es 0.15 CmW º/ y para el segundo caso 0.35 CmW º/ .
SOLUCIÓN Para:
Pino transversal
Pino paralelo
Existe mayor transferencia de calor con el pino de fibra en paralelo
3. Un chip cuadrado isotérmico tiene un ancho w=5[ mm ] de lado y esta montado en un sustrato de
modo que sus superficie lateral e inferior están bien aisladas, mientras que la superficie frontal se
expone a la corriente de un fluido refrigerante a 15ºC. A partir de consideraciones de confiabilidad,
la temperatura del chip no debe exceder de 85ºC. Si el fluido refrigerante es aire y el coeficiente de
convección correspondiente es h=200 CmW º/ 2 a) ¿Cuál es la potencia máxima admisible del
chip? b) Calcule y elabore una gráfica de la potencia admisible como función de h para el rango
200<h<2000 CmW º/ 2 .
DATOS:
SOLUCIÓN a) El área de transferencia
La potencia máxima admisible
b)
Q
T1
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L
T2 40C Qa 40
W
m
2
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km
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3
4
W/m2
ºC
W Qad h( )
h
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4. Un fluido refrigerante de una unidad de refrigeración construida de acero (k=40 CmW º/ ) con
diámetro externo de 1.5 m espesor de ¼¨ y 2 m de altura, debe ser mantenido a una temperatura
constante de -16ºC El tanque esta localizado en un ambiente de aire acondicionado a 22ºC y esta
aislado con 2´´ de poliestireno (k=0.026 CmW º/ ) cuya temperatura externa debe ser mantenida
constante e igual a 21ºC. El operador a notado que hubo un aumento de temperatura en el ambiente,
debido a un defecto del termostato del aire acondicionado, ocasionando una variación de 10ºC en la
temperatura de la superficie externa del aislamiento térmico Calcule: a) La razón de variación de T.C.
a través del tanque b) El espesor del aislante para las nuevas condiciones ambientales.
DATOS:
El diámetro interno del tubo
Se desprecia el espesor del tubo
El área media logarítmica del aislante
El calor para las nuevas condiciones
b) El espesor del aislante requerido
De
et
Lt
Ti
Tw1
Tw2
eais
Ti 16Ck 40
W
m C
Tw1 21CDe 1.5m
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kais 0.026
W
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Am1
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ln 1
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Am1 9.74048m
2
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Tw1 Ti Q1ais 184.4555W
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Am1 kais
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Q2ais Q1ais
Q1ais
Q% 27.02703 %
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Q1ais
1 en 6.51109 cm
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5. Se conecta un resistor eléctrico a una batería, como se muestra en el esquema. Después de una
breve fluctuación transitoria, la resistencia toma una temperatura de estado estable casi uniforme
de 95 ºC, mientras que la batería y los alambres de conexión permanecen a la temperatura
ambiente de 25ºC No tome en cuenta la resistencia térmica eléctrica de los alambres de conexión.
a) Si se disipa energía eléctrica de manera uniforme dentro del resistor, que es un cilindro de
diámetro D=60 mm y longitud Lr=25 mm . a) Cuál es la velocidad de generación de calor
volumétrica g 3/ mW b) Sin tener en cuenta la radiación del resistor. ¿Cuál es el coeficiente de
convección que debería tener para evacuar todo el calor?
DATOS:
La velocidad de transferencia de calor
El volumen de la resistencia El área de T.C. por convección
La generación volumétrica
El coeficiente de convección
6. Se requiere calcular la pérdida de calor de un hombre en un ambiente donde la temperatura de la pared
es 27ºC y del ambiente es de 20ºC si el ser humano tiene una temperatura superficial de 32ºC y un
coeficiente de transferencia de calor por convección entre el hombre y el ambiente y emisividad de 3
CmW º/ 2 y =0.9 respectivamente, se sabe que un ser humano normal tiene una superficie corporal de
1.5m2, despreciar la resistencia térmica de la ropa. Calcular también la energía perdida en 24hr.
+
-
V=24V
I=6A
T
h
aire
resistor
V1 24V Lr 25mm
I1 6A Dr 60mm
Tw 95C
T 25C
Qtr V1 I1 Qtr 144W
Vcil 4
Dr
2
Lr Vcil 7.06858 10
5
m
3
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2
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2
gvol
Qtr
Vcil
gvol 2.03718 10
6 W
m
3
htr
Qtr
Atr Tw T
htr 198.42694
W
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2
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Tw 27 273( )K hh 3
W
m
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td 24hr
T 20 273( )K
0.9 5.67 10
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Th 32 273( )K Ah 1.5m
2
Qh Ah hh Th T Qh 54W
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Tw
4
Qr 42.37919W
Qtot Qh Qr Qtot 96.37919W
E Qtot td E 1.98891 10
6
cal
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7. Una sonda interplanetaria esférica de 0.5 m de diámetro contiene dispositivos electrónicos que
disipan 150W la superficie de la sonda tiene una emisividad de 0.2 y la sonda no recibe radiación
de otras superficies como por ejemplo del Sol. a) ¿Cuál es la temperatura de la sonda si la del
ambiente es de 25ºC? b) Si en la superficie exterior de la sonda varia la emisividad en el rango de
9.02.0 graficar la temperatura de la sonda en función de la emisividad.
DATOS:
El área de la sonda
La variación de la temperatura
8. Se quiere diseñar un calentador de 10[ KW ] usando alambre de Ni - Cr (Nicrom). La temperatura
máxima de la superficie del Nicrom será 1650 ºK y la temperatura mínima del aire circundante es
370K. La resistividad del Nicrom es 110 cm* y la energía para el calentador está disponible a
12 voltios. a) ¿Qué diámetro de alambre se requiere si el calentador usa un solo trozo de 0.6 m de
longitud? b) ¿Qué longitud de alambre debería tener para un calibre de 14 (BWG 14. d = 0.083
lgp ) c) Qué coeficiente de convección debería tener el ambiente para evacuar todo el calor en
ambos casos.
DATOS:
Dso 0.5m 5.67 10
8 W
m
2
K
4 1
0.2
T 273 25( )K Qsonda 150W
As 4
Dso
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2
As 0.7854m
2
Qsonda 1 As Tw
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4
1
4
Tw 396.54913K
Tw( )
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T
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1
4
0.2 0.22 0.9
0.2 0.4 0.6 0.8 1
320
340
360
380
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Tw( )
T
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aire
NICROM
V=12V
D
L O1650K
Ncal 10 10
3
W
Tn 1650K
To 370K
110 10 6 cm
Vn 12V
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La potencia
a)
b)
c)
9. Dos ambientes A y B de grandes dimensiones están separadas por una pared de ladrillo k=1.2
CmW º/ de 12 cm de espesor y de emisividad superficial de 0.78 la temperatura externa del
ladrillo en el ambiente B es de 120ºC y la temperatura del aire y sus alrededores del mismo
ambiente es de 30ºC la transferencia de calor por convección libre del ambiente B es de 20
CmW º/ 2 encontrar la temperatura de la superficie interna del ladrillo en el ambiente A.
DATOS:
SOLUCIÓN:
Por balance de energía
Calor por Conducción =Calor por Convección + Calor por Radiación
Ncal Vn I
Vn
2
Rn
Vn
2
At
L
Vn
2
d
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La 0.6m da
Ncal 4 La
Vn
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Vn
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Lb 4.56965 cm
ha
Ncal
La da Tn To
ha 542.5542
W
m
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Lb db Tn To
hb 25813.38996
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m KTB 273 120( )K
0.78
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5.67 10 8
W
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4
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4
L
k
TB
TA 641.22126K TA 368C
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10. Una casa tiene una pared compuesta de madera (Lm=10 mm , k=0.109 CmW º/ ), aislante de
fibra de vidrio (Lf=100 mm , k=0.035 CmW º/ ) y tablero de yeso (Ly=20 mm , k=0.814 CmW º/
), como se indica en el esquema. En un día frió de invierno los coeficientes de transferencia de
calor por convección son hi=60 CmW º/ 2 y he=30 CmW º/ 2 el área total de la superficie es de
350 2m si el aire interior se mantiene a 20ºC a) Determine una expresión simbólica para la
resistencia térmica total de la pared, incluyendo los efectos de convección interior y exterior para
las condiciones establecidas. b) Determine la expresión para la perdida de calor a través de la
pared. c) Grafique la potencia disipada en función del tiempo. d) Calcule la energía calorífica
transmitida del interior al exterior para un día. Si las condiciones mas realistas en las que el aire
exterior se caracteriza por una temperatura que varia con el día (tiempo), de la forma:
httsenKT e 120)24
*2
(*5255)( Si t hr y T K
httsenKT e 2412)24
*2
(*11273)( Si t hr y T K
DATOS:
Madera
Fibra de vidrio
Yeso
a)
b) La transferencia de calor
10mm 100mm 20mm
iT
eT
m
ad
er
a
fibra de vidrio
yeso
ho hi
hi 60
W
m
2
K
Atrf 350m
2
T i 273 20( )K
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W
m
2
K
km 0.109
W
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kf 0.035
W
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ky 0.814
W
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km Atrf
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Ly
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t1( ) 273K 5 sin
2
24 hr
t1 K t1 0hr 0.1hr 12hr
Ttar t2( ) 273K 11 sin
2
24 hr
t2 K t2 12hr 13hr 24hr
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1
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Lm
km Atrf
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Ly
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1
he Atrf
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c)
d) Energía diaria que pierde
11. Por un tubo de material (AISI 304) de 2” de diámetro interior y ½” de espesor, circula vapor a 5 Bar
y esta expuesto al medio ambiente de 30ºC con un coeficiente de convección de 10 CmW º/ 2 ,
calcular el flujo de color por la tubería por metro de longitud.
DATOS:
Del material (AISI 304)
Área interna del tubo
Área externa del tubo
El área media logarítmica del tubo
El calor transmitido
0 4 10
4
8 10
4
260
265
270
275
280
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0 4 10
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Q 289.03011W
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12. Una mezcla química se almacena en un contenedor esférico (k=50 CmW º/ ) cuyo radio exterior
es de 208 mm y un espesor de 20 mm . En la pared interna de la esfera la temperatura se
mantiene constante a 150ºC. Calcular la transferencia de calor si este esta expuesto al medio
ambiente de 15ºC y un h=12.25 CmW º/ 2 . Se propone cubrir con una capa de aislante “lana de
vidrio” de espesor 10 mm para reducir las perdidas de calor; en que porcentaje disminuye la T.C.
con el aislante. DATOS:
El área interna de la esfera
El área externa de la esfera
ó interna del aislante
El área externa del aislante
El área media cuadrática de la esfera
El área media cuadrática del aislante
a) Esfera sin aislante
b) Esfera con aislante
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T
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W
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W
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W
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Reais Riais eais Reais 0.218m
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2
Ai 0.44415m
2
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2
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2
Aeais 0.5972m
2
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2
Amais 4 re Reais Amais 0.56981m
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Q1
%Q 73.80215 %
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13. Dos varillas de cobre largas de diámetro D=10 mm , L=70 mm cada una, se sueldan juntas
extremo con extremo; la soldadura tiene un punto de fusión de 650°C. Las varillas están en aire a
25°C con un coeficiente de convección de10 CmW º/ 2 . ¿Cuál es la potencia mínima de entrada
necesaria para efectuar la soldadura?
DATOS:
14. Las temperaturas de la superficie interior y exterior de una pared plana de 0.60 m de espesor se
mantienen constantes a 773 K y 323 K, respectivamente. El material de la pared tiene
conductividad calorífica que varía linealmente con la temperatura, de acuerdo con la expresión k =
0.116[0.454 + 0.002T] CmW º/ . Determinar: a) La transferencia de calor b) Demuestre que a la
transferencia de calor será el mismo cuando la conductividad térmica es calculada a la temperatura
media aritmética de la pared. c) Grafique la distribución de temperatura y la conductividad térmica
en función de la distancia.
DATOS:
a)
b)
D
L
h
T
L
Tf
dv 10mm Lv 70mm
Tf 650C ha 10
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W
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T1 T2( ) Qtra1 134.85 W
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c) La distribución de temperatura y la conductividad
15. Algunas secciones de una tubería que transporta combustóleo están soportadas por barras de
acero (k=61 CmW º/ ) de 0.005 2m de sección transversal. En general la distribución de
temperatura a lo largo de las barras es de la forma: 2*10150100)( xxxT donde T esta en
grados Celsius y “x” en metros. Calcule el calor que pierde de la tubería a través de cada barra.
Para el flujo máximo
16. Un cono truncado solidó tiene una sección transversal circular, y su diámetro esta relacionado con
la coordenada axial mediante una expresión de la forma de 2/3* xaD donde 2/1.1 ma la
superficie lateral esta bien aislada, mientras que la base pequeña se encuentra en x1=0.0075 m y
tiene una temperatura de 100ºC y la base mayor se encuentra a x2=0.225 m y una temperatura
de 20ºC. a) Hallar el flujo de calor b) Derive una expresión para la distribución de temperatura T(x)
c) graficar la distribución de temperatura, si el cono es de aluminio (k=240 CmW º/ ).
DATOS:
Incógnitas
a) T (x)
b) Q
x T( )
At o
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T
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La ecuación de conducción
a)
...1 )
... 2)
b) De la ecuación 2
c)
17. Hallar la distribución de temperatura, el flujo de calor y el área media de una esfera hueca de radio interno
R1 y externo R2, cuyas temperaturas interna y externa son T1 y T2 respectivamente.
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2
2
2
2
xx
TTka
Q Q 2
a
2
k
T2 T1
1
x2
2
1
x1
2
Q 1.69835W
Tkx
xa
Q
**
**
*4
32
T
T
x
x Tkxa
Q
1122
)(*
**)2(
*4
)1(*)
11
(
*
*2
2
1
22
TTk
xxa
Q
T x( ) T1
2 Q
k a
2
1
x
2
1
x1
2
x 0.0075m 0.01m 0.225m
0 0.1 0.2 0.3
0
20
40
60
80
100
T x( )
x
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
0
1 2
2 x
T
x
xx xx
T
r *02
Univ. Erwin Choque Conde Página 13
La distribución de temperatura es:
El calor transferido es:
El área media es:
18. En el cubo interior de10 cm de lado de plastoform con un espesor de 10 cm se introduce trozos
de hielo con una masa total de 1 kg , después de 45 min , se pudo observar que una parte del
hielo se fusiona y se extrae un volumen de agua de 30ml.¿Calcular la conductividad térmica del
aislante (plastoform) y el coeficiente de T.C. por convección externo del cubo, considerando que la
temperatura en la superficie exterior se mantiene a una temperatura de 13ºC.
DATOS:
La masa del hielo convertido en agua
El calor transmitido por el aislante al hielo
El área variable respecto a la coordenada "x"
x
r
C
x
T
2
1
2
1
)( C
r
C
T r
12
1
1
1)( TCR
C
T Rrr
)21(
2*1*)21(
1
RR
RRTT
C
22
2
1
2)( TCR
C
T Rrr )21(
2*)21(
12
RR
RTT
TC
1
)21(
2*)21(
)12(*
2*1*)21(
)( TRR
RTT
RRr
RRTT
T r
22
2
2 ))12(*
2*1*)21(
(***4**)(* RrRr RRr
RRTT
rk
r
T
rAkQ
W
RR
TT
RRkQ
)12(
)21(
*2*1***4
Am
R2 R1
r
1
A r( )
d
R2 R1
R1
R2
r
1
4 r
2
d
R1 R2
1
4
1
R2
1
R1
4 R1 R2
w
w
w
Two 13 273.15( )Kwo 10cm
Toi 273.15Keo 10cm
Lo wo 2 eo Lo 0.3m h2o 1000
kg
m
3
mh 1kg
tf 45min Lfo 80000
cal
kg
LoWo
Two
Toi
X
L
Tx
Ax
e o
Vh2o 30 10
6
m
3
T 15 273.15( )K
mo h2o Vh2o mo 0.03kg
Qo
mo Lfo
tf
Qo 3.7216W
Ax wo
Lo wo
eo
x
2
Univ. Erwin Choque Conde Página 14
Para el área media se tiene la siguiente formula
El área total de transferencia
El calor por conducción
La conductividad del aislante
El coeficiente de convección
Am
eo
x
1
Ax
d
Am Lo wo Lo
x
1
Ax
d
eo
Lo wo Lo
Am 0.06m
2
AmT 6 Am AmT 0.36m
2
Q ko Am
Tw To
eo
ko
Qo eo
AmT Two Toi
ko 0.07952
W
m K
hc
Qo
6 Lo Lo T Two
hc 3.44593
W
m
2
K
Univ. Erwin Choque Conde Página 15
Q. r( )
Q.
d
d
Q.r r
Q.r
d
d
dr
Q.z z
Q.z
d
d
dz
Eentra Egenerado Esale Ealmacenado
Eentra Qr Q Qz
Esale Qr r
Qr
d
d
dr Q
r( )
Qd
d
d Qz z
Qz
d
d
dz
Eentra Esale r
Qr
d
d
dr
r( )
Qd
d
d
z
Qz
d
d
dz
Q k A
dT
dx
Qr kr dz d r( )( )
dT
dr
kr r dz d
dT
dr r
Qr
d
d r
kr r dz d
dT
dr
d
d
Q k dr dz( )
dT
d
k dz dr
dT
d r( )
Qd
d r( )
k dz dr
dT
d
d
d
Qz kz dr d r( )( )
dT
dr
kz r dr d
dT
dz z
Qz
d
d z
kz r dr d
dT
dz
d
d
Univ. Erwin Choque Conde Página 16
Reemplazamos estas ecuaciones en la ecuación b)
.... c)
.... d)
.... e)
Las ecuaciones c),d) y e) reemplazamos en la ecuación a) y dividiendo entre ( )
Entonces la ecuación general de la conducción para flujo cilíndrico es:
La ecuación de difusión de Fourier:
La ecuación de Poissón:
La ecuación de La place:
20. Una pared plana de 10 cm de espesor (K=19 CmW º/ ) genera calor en su interior a la rapidez de
0.41 3/ mMW . La superficie interna de la pared esta perfectamente aislado y la superficie externa
se expone a un ambiente a 89ºC. El coeficiente de convección entre la pared y el ambiente es de
570 CmW º/ 2 calcule la distribución de temperatura, y la temperatura máxima.
DATOS
Incógnita
T (x)
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas rectangulares i=0 , q=x
- con generación de energía
Eentra Esale r
kr r
dT
dr
d
d
dz d( ) dr k
dT
d
d
d
dz dr d
z
kz
dT
dz
d
d
dr d dz
Egenerado Vg d g dr d r( ) g r dr d dz
Ealmacenado m Cp T V Cp T r dr d dz( ) Cp
dT
d
r k dr d dz
k kr kz k
1
r r
r
dT
dr
d
d
1
r
2
dT
d
d
d z
dT
dz
d
d
g
k
Cp
dT
d
1
r r
r
dT
dr
d
d
1
r
2 2
Td
d
2
2
z
Td
d
2 g
k
Cp
dT
d
g 0
1
r r
r
dT
dr
d
d
1
r
2 2
Td
d
2
2
z
Td
d
2
Cp
dT
d
dT
d
0
1
r r
r
dT
dr
d
d
1
r
2 2
Td
d
2
2
z
Td
d
2 g
k
0
g 0
dT
d
0
1
r r
r
dT
dr
d
d
1
r
2 2
Td
d
2
2
z
Td
d
2
0
h
T
L
Q=0
g
k
L 10cm g 0.41 10
6 W
m
3
k 19
W
m C
T 89C
h 570
W
m
2
C
Univ. Erwin Choque Conde Página 17
SOLUCIÓN:
........ 1)
Por la condición de frontera de segunda clase
Por la condición de frontera de tercera clase
Calor generado = Calor por convección
Se reemplaza en la ecuación 1
La temperatura máxima es cuando x=0
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
0
1 0
0 k
g
x
T
x
xx
0
k
g
x
T
x
x
k
g
x
T
x
k
g
x
T
1Cx
k
g
x
T
xCx
k
g
T 1 xCx
k
g
T 1
2*1
*2
2
)( CxCxk
g
T X
0101
)(
)0( Cxk
g
f
x
xT
x C1 0
hg QQ
)T)((*** LXxTAhVg )2
*2
(**** 2 TCL
k
g
AhLAg
T
k
Lg
h
Lg
C
*2
** 2
2
T
k
Lg
h
Lg
x
k
g
T X *2
**
*2
2
2
)(
T
h
Lg
xL
k
g
T X
*
*
*2
22
)(
T
h
Lg
L
k
g
T XX
*
0*
*2
22
0)(
Tx0
g
2 k
L
2 g L
h
T Tx0 268.82456 C
Univ. Erwin Choque Conde Página 18
21. Una varilla larga de acero inoxidable de 20 mm *20 mm de sección transversal cuadrado, esta
aislado en tres de sus lados y se mantiene a una temperatura de 400ºC en el lado restante.
Determínese la temperatura máxima en la varilla cuando esta conduciendo una corriente de 1000
Amperios. La conductividad térmica y eléctrica del acero inoxidable se puede suponer que es de
46 CmW º/ y 1.5E4 1cm y se puede despreciar el flujo de calor en la varilla.
DATOS:
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas rectangulares i=0 , q=x
- con generación de energía
Incógnita:
SOLUCIÓN:
El área transversal
La resistencia
El calor generado
El calor generado por unidad de volumen
De la Ecuación general de la conducción
........ 1)
Por la condición de frontera de segunda clase
Por condición de frontera de primera clase
En la ecuación 1)
La temperatura máxima es cuando x=0 :
I
a
a
L
WT
a 20mm I 1000 A
ke 1.5 10
4 1
cmkt 46
W
m C Tw 400C
L 1m
Tmax º
C
( )
At a a At 0.0004 m
2
R
1
ke
L
At
R 0.00167
G I
2
R G 1666.66667 W
g
G
V
g
G
At L
g 4.16667 10
6 W
m
3
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
0
ke
g
x
T
x
2*1
*2
2
)( CxCxkt
g
T X
0101
)(
)0( Cxkt
g
f
x
xT
x C1 0
2
*2
2
)( Cakt
g
TT waXX wTakt
g
C 2
*2
2
T x( )
g
2 kt
a
2
x
2
Tw x 0m 0.001 m 0.02m
0 0.01 0.02
400
405
410
415
420
T x( )
x
Tmax
g
2 kt
a
2
Tw Tmax 418.11594 C
Univ. Erwin Choque Conde Página 19
22. Una pared plana de dos materiales, A y B, la pared del material A tiene una generación de calor
uniforme g=2.1E6 3/ mW kA=65 CmW º/ y un espesor LA=50 mm . El material B de la pared
no tiene generación y su kB=150 CmW º/ y el espesor LB=20 mm . La superficie interior del
material A esta bien aislada mientras que la superficie exterior del material B se enfría con un flujo
de agua con CT º30 y h=5000. CmW º/ 2 . a) Dibuje la distribución de temperatura que existe
en el compuesto bajo condiciones de estado estable, b) Determinar la temperatura To de la
superficie aislada c) Calcule la temperatura T2 de la superficie enfriada.
DATOS:
Incógnitas:
a) T(x)
b) To
c) T2
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas rectangulares i=0 , q=x
- con generación de energíaSOLUCION:
De la Ecuación general dela conducción en la pared plana se tiene
Por la condición de frontera de segunda clase
Por condición de frontera de primera clase
El volumen de la placa generada
Balance de energía
h
LA
g
k
LB
KA KB
2
T
Q=0
T
1
T
g 2.1 10
6 W
m
3
A 1m
2
LB 20mm
KA 65
W
m C
T 30C
LA 50mm
KB 150
W
m C
h 5000
W
m
2
C
2*1
*2
2
)( CxCxK
g
T
A
X
0101
)(
)0( CxK
g
f
x
xT
A
x C1 0
2
*2
2
1)( CLK
g
TT A
A
aXX 1
2
*2
2 TL
K
g
C A
A
Vvol LA A Vvol 0.05 m
3
Qg Qk Qh
g Vvol A h T2 T T2
g LA
h
T T2 51 C
g Vvol
KB A
LB
T2 T1 T1
g LA LB
KB
T2 T1 65 C
Univ. Erwin Choque Conde Página 20
La temperatura máxima
23. Graficar la distribución de temperaturas donde en una placa formada de un material de
conductividad 30 CmW º/ de 20 mm de espesor, en el que se genera calor a una rapidez de
5*E7 3/ mW . La placa esta refrigerada por ambos lados con agua en un lado a 60ºC y en el otro a
90ºC con un coeficiente de traspaso de calor de 8500 CmW º/ 2 y 7900 CmW º/ 2 en uno y otro
lado respectivamente. Calcule también la temperatura máxima y su posición.
DATOS:
La solución general es:
TA x1( )
g
2 KA
LA
2
x1
2
T1 x1 0mm 0.1mm50mm
TB x2( ) T1
g LA
KB
x2 LA x2 50mm 55mm70mm
0 0.02 0.04 0.06
50
100
150
TA x1( )
TB x2( )
x1 x2
x1 0 TA x1( ) 105.38462 C
T
T2
T1
2
T 1
h1
h2
L
x
p
kp 30
W
m C T 2 90C
Lp 20mm
h1 8500
W
m
2
Cgp 5 10
7 W
m
3
h2 7900
W
m
2
CT 1 60C
2
x
Td
d
2 gp
kp
0
x
Td
d
gp
kp
x C1 T
gp
2 kp
x
2
C1 x C2
Univ. Erwin Choque Conde Página 21
Por condiciones de frontera de primera clase:
x 0
kp x
Td
d
h1 T 1 T x( ) kp C1 h1 T 1 C2
x Lp
kp x
Td
d
h1 T x( ) T 2 kp
gp Lp
2 kp
C1 h1
g Lp
2
2 kp
C1 Lp C2 T 2
C1
T 1 T 2
gp Lp
2
2 kp
gp Lp
h2
kp
h1
kp
h2
Lp
C1 17927.97457
C
m
C2
kp C1
h1
T 1 C2 123.2752 C
T x( )
gp x
2
2 kp
C1 x C2 x 0mm 1mm20mm
0 0.01 0.02
120
140
160
180
200
220
T x( )
x
x
Td
d
g
k
x C1 0 x
C1 kp
gp
x 0.01076 m
T x( ) 219.69889 C
Univ. Erwin Choque Conde Página 22
24. Un alambre de cobre de 1 mm de diámetro esta uniformemente aislado con un material plástico
de forma que el diámetro externo del conductor aislado es de 3 mm el conductor esta expuesto a
un ambiente de 38ºC. El coeficiente de transmisión de calor desde la superficie exterior del plástico
a los alrededores es de 8.5 CmW º/ 2 a) Cuál es la máxima corriente que en régimen estacionario
puede conducir este alambre sin que sobrepase en ninguna parte del plástico el limiten de
operación que es de 93ºC? las conductividades caloríficas y eléctricas se suponen constantes para
el cobre y son 377 CmW º/ y 5.7E5 1cm respectivamente, para el plástico kp=0.35 CmW º/
b) Cual es el flujo de calor c) Grafique la distribución de temperatura.
DATOS:
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas cilíndricas i=1 , q=r
- con generación de energía
El área transversal
El área de transferencia de calor por convección
El área media logarítmica del aislante
De la ecuación general de la conducción
Para nuestras condiciones
Q
h
d=1mm
D=3mm
Tw1
kais
Kcu
T
T2
d 1mm
Lcu 1m
D 3mm
T 38C eais
D d
2
h 8.5
W
m
2
C
eais 0.001 m
Tw1 93C kais 0.35
W
m C
kcu 377
W
m C
cu 5.7 10
5 1
cm
Atcu 4
d
2
Atcu 7.85398 10
7
m
2
Ae D Lcu Ae 0.00942 m
2
Amais
Lcu D d( )
ln
D
d
Amais 0.00572 m
2
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
0
1 1
1 k
g
r
T
r
rr
Tr
g r
2
4 k
C1 ln r( ) C2
Univ. Erwin Choque Conde Página 23
Por las condiciones de frontera
Balance energético
De la siguiente relación
La distribución de temperatura
La generación interna es:
a) Calor transferido
b) La distribución de temperatura
El área media variable
0
1
*2
0*
0
)(
)0(
C
k
g
r
rT
r C1 0
Qgeneracio Qconduccion Qconveccion
2
*4
)2/(*
2)(
2
)2/( Ck
dg
TrT dr C2
g d
2
8 k
T2
Tr
g
4 kcu
d
2
2
r
2
T2 0 r
d
2
Qconduccion Qconveccion
kais Amais
eais
Tw1 T2 Ae h T2 T
T2
kais Amais Tw1 h Ae T eais
h Ae eais kais Amais
T2 90.88355 C
Qgeneracion Qconduccion
g Vvol I
2
R h Ae T2 Tw1 I
h Ae cu Atcu T2 T
Lcu
I 13.772 A
g
I
2
cu Atcu
2
g 5.39412 10
6 W
m
3
Qk
kais Amais
eais
Tw1 T2 Qk 4.23653 W
Qh Ae h T2 T Qh 4.23653 W
Qg g Atcu Lcu Qg 4.23653 W
T1 r1( )
g
4 kcu
d
2
2
r1
2
Tw1 r1 0mm 0.1mm0.5mm
Am
2 Lcu
ln
2 r
d
r
d
2
Univ. Erwin Choque Conde Página 24
25. Considere un tubo solidó largo, aislado en radio externo r2 y enfriado en el radio interior r1 con
generación uniforme de calor g 3/ mW dentro del solidó de k CmW º/ . a) Encontrar la distribución
de temperatura b) T máximo c) La rapidez de transferencia de calor por unidad de longitud del tubo.
Si por el interior circula agua a T y “h”.
DATOS
Incógnitas
a) T (x)
b) T max=T2
c)
d)
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas cilíndricas i=1 , q=r
- con generación de energía
De la Ecuación general de la conducción para pared cilíndrica
.......1 )
Por la condición de frontera de segunda clase
T2 r2( ) Tw1
g Atcu
2 kais
ln
2 r2
d
r2 0.5mm 0.6mm1.5mm
0 5 10
4
1 10
3
1.5 10
3
90
91
92
93
94
T1 r1( )
T2 r2( )
r1 r2
h
T
R
ro
T2
T1
ais
lan
teQ
R m( )
g
W
m
3r m( ) k
W
m C
T1
Q
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
0
1 1
1 k
g
r
T
r
rr
1
2
* 2
C
k
rg
r
T
r
Tr
g r
2
4 k
C1 ln r( ) C2
0
1
2
*
1
)(
)( R
C
k
Rg
f
r
rT
Rr
C1
g R
2
2 k
Univ. Erwin Choque Conde Página 25
Por la condición de frontera de tercera clase
Calor generado = calor por convección
En ecuación 1
a)
b)
c)
d)
26. Un recipiente a presión de un reactor nuclear se puede trazar en forma aproximada como una gran
placa de espesor L, la superficie interior de la placa en x=0 esta aislada, la superficie exterior en
x=L se mantiene a una temperatura uniforme T2; el calentamiento de la placa por rayos gama se
puede representar por un termino de generación de la forma de xJegxg *0 *)( donde 0g y J son
constantes y “x” se mide desde la superficie aislada interior. Encontrar: a) Distribución de la
temperatura T(x), b) temperatura de la superficie aislada c) Determinar el flujo de calor en x=L.
DATOS:
T2 L
Incógnitas
a) T (x)
b) T 1
c)
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas rectangulares i=0 , q=x
- con generación de energía
hg QQ
)T)((*** rorrTAhVg
)2)ln(*
2*4
(**2**)(* 0
2
2
00
2
0
2 TCr
k
gR
r
k
g
LrhLrRg
Tr
k
gR
r
k
g
rh
rRg
C )ln(*
2*4**2
)(
2 0
2
2
0
0
2
0
2
Tr
k
gR
r
k
g
rh
rRg
r
k
gR
k
gr
rT )ln(*
2*4**2
)(
)ln(*
24
)( 0
2
2
0
0
2
0
222
Trr
k
g
rh
rRg
r
r
k
gR
rT )(
*4**2
)(
)ln(*
2
)( 220
0
2
0
2
0
2
TRr
k
g
rh
rRg
r
R
k
gR
TT Rr )(*4**2
)(
)ln(*
2
max2 220
0
2
0
2
0
2
T
rh
rRg
Trr
k
g
rh
rRg
r
r
k
gR
T rr
0
2
0
2
2
0
2
0
0
2
0
2
0
0
2
**2
)(
)(
*4**2
)(
)ln(*
2
1
0
)1(****2*)1(* 01 TTLrhTThAQh
)( 20
2 rRg
L
Qh )( 20
2 rRg
L
Qg
)( 20
2 rRg
L
Qko
´
o
´
xJegxg *0 *)(
X
L
Q=0
T2
T1
0g J
Q
Univ. Erwin Choque Conde Página 26
... 1)
Para calcular C1 y C2 aplicamos condiciones de frontera
Por la condición de frontera de segunda clase
Por condición de frontera de primera clase
En la ecuación 1
b) Temperatura máxima
c) El flujo de calor
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11 0
k
g
x
T
x
x
ke
eg
x
T xJ*0 * 1
*
* *0 C
Jk
eg
x
T xJ
xC
Jk
eg
T
xJ
)1
*
*
(
*
0 2*1
*
*
2
*
0
)( CxCJk
eg
T
xJ
x
01
*
*
01
)( 0*0
)0( CJk
eg
f
x
xT J
x Jk
g
C
*
1 0
2*1
*
*
2
*
0
2)( CLCJk
eg
TT
LJ
LXX LJk
g
Jk
eg
TC
LJ
*
**
*
2 0
2
*
0
2
L
Jk
g
Jk
eg
Tx
Jk
g
Jk
eg
T
LJxJ
x ***
*
*
**
* 0
2
*
0
2
0
2
*
0
)(
2
0)*(
2
*
0
)( 1*
*
1
*
*
T
L
x
Jk
Lg
e
Jk
eg
T xLJ
LJ
x
2
0*
2
0
2
0)0*(
2
*
0
)( *
*
1
*
0
1
*
*
1
*
*
T
Jk
Lg
e
Jk
g
T
LJk
Lg
e
Jk
eg
T LJLJ
LJ
oxx
kJ
g
e
kJ
g
Ak
kJ
g
e
kJ
g
Ak
x
T
AkQ LJLx
xJ
Lx **
(**
**
(**** 0*00*0
LJe
J
g
A
Q *0 1
Univ. Erwin Choque Conde Página 27
27. Se genera calor en el interior de una partícula esférica de catalizador debido a una reacción
química. La partícula, de 8 mm dediámetro, tiene conductividad térmica igual a 0.003
Kscmcal **/ , y tiene temperatura superficial de 300 °C. La generación de calor decrece
linealmente hacia el centro de la partícula debido al decrecimiento en la cantidad de material que
reacciona (mayor camino de difusión). La generación está dada por
3
*5.67
cm
cal
R
r
g Suponga
que la generación de calor se balancea exactamente con las pérdidas convectivas en la superficie.
Determine la distribución de temperaturas y la temperatura máxima. El catalizador tiende a perder
actividad por encima de los 700 °C; ¿Excede esta temperatura?
DATOS:
Incógnitas
T (x)
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas esféricas i=2, q=r
- con generación de energía
Por condiciones de frontera
La temperatura máxima está en el centro de
la esfera
T2
g=67.5R/r[cal/m3]
R
kpr 0.003
cal
cm sC
dpr 8mm R
dpr
2
R 0.004 m
Twe 300C M 67.5
cal
cm
3
s
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
2
1
**12
* 3
)( Cr
C
kR
rM
T
pr
x
0
)(
)0(rx
xT C1 0
weRrX TT )(
C2
M R
3
12 R kpr
Twe
T r( )
M
12 R kpr
R
3
r
3
Twe r 0mm 0.6mm4mm
0 2 10
3
4 10
3
300
400
500
600
T r( )
r
Tmax
M R
3
12 R kpr
Twe
Tmax 600 C
Tmax 700C
Univ. Erwin Choque Conde Página 28
28. Encontrar la distribución de temperatura y el flujo de calor en estado estable de una esfera hueca
de radio interior “a” y de radio exterior “b” cuya conductividad térmica es constante “k” y en la que
se genera calor a una tasa de 2* rcg 3/ mW a la superficie limite en r=a se mantiene a una
temperatura uniforme Ta. La superficie en r=b disipa calor por convección (cuyo coeficiente es h)
,hacia el medio de temperatura T .
DATOS:
C a b Ta h
Incógnitas
a) T (x)
b)
Condiciones
- régimen permanente
- coordenadas esféricas i=2, q=r
- con generación de energía
.......... 1)
Por condición de frontera de primera clase
...... 2)
Realizamos balance térmico en r=b
....3 )
De ecuaciones 1 y 2
....4 )
La distribución de temperatura será:
Th
a
b
xJegxg *0 *)(
Ta
Q
T
Q
T
k
g
q
T
q
qq
i
i
11
r
k
rC
r
T
r
4
2 *
k
rC
r
T
r
rr
2
2
2
*1
2
3 1
*5
*
r
C
k
rC
r
T
1
*5
* 52 C
k
rC
r
T
r
r
r
C
k
rC
T
2
3 1
*5
* 2
1
*2
*20
* 4
C
r
C
k
rC
Tr
1
4 1*2
20
*
2 T
a
C
k
aC
C2
1*2
20
* 4
1)( Ca
C
k
aC
T
ar
T r
brconveccion
porsale
Q
br
conduccionporQ
.
. )T(*)(*
br
Th
brx
T
k r
k
C b
3
5 k
C1
b
2
h
C b
4
20 k
2
C1
b
C2 T C2
k
h
C b
3
5 K
C1
b
2
C b
4
20 k
2
C1
b
T
C1
b
3
C
5 h
C
20 k
b
4
a
4
T1 T
2
a
2
b
k
h b
2
2
1
*2
*20
* 4
C
r
C
k
rC
Tr
Univ. Erwin Choque Conde Página 29
29. Determinar el radio critico de aislamiento de una esfera hueca (conductividad k) de radio exterior r=b
y interior r=a si el coeficiente de convección exterior es de h y la temperatura en r=b es T1y la del
medio ambiente es de T
El área media cuadrática del aislante
El área externa
Por el teorema de Máximos y Mínimos
30. Se desea aislar térmicamente un tubo por el que circula vapor de agua saturado, con el objeto de
evitar en lo posible pérdidas de calor y condensaciones. El material aislante tiene conductividad
calorífica k=0.41 CmhrkJ º*/ . y la temperatura de los alrededores permanece constante e igual
a 293 K . Si el coeficiente de transmisión de calor externo para todo el tubo aislado puede
suponerse independiente del diámetro externo del mismo. a) Es posible que en algún momento el
incremento de espesor del aislante aumente las pérdidas de calor b) Grafique el flujo de calor en
función del espesor del aislante c) Calcule el radio critico de aislamiento d) El caudal de calor
máximo perdido con el espesor crítico. Haga un gráfico de espesor contra flujo de calor. Datos:
Tvap H2O = 393 K. Diámetro externo del tubo 0.01 m coeficiente externo h=41.87
CmhrkJ º*/ 2 Desprecie la resistencia de la pared del tubo.
a) El espesor del aislante define el flujo de calor como también su conductividad y el coeficiente
de T.C. por convección
El área media logarítmica de aislamiento (para un cilindro)
DATOS
T2
ri
re=Rcrit
h
T Amais Ae Ai 4 ri re
Ae 4 re
2
Q
T2 T
Rt 0 Rais Rh
Q
T
r
kais Amais
1
Ae h
T
re ri
kais 4 ri re
1
4 re
2
h
4 kais T
re ri
ri re
kais
h re
2
re
Qd
d
4 kais T
re ri
ri re
kais
h re
2
re ri re ri ri
re
2
ri
2
2
kais
h re
3
0
1 2
kais
h re
0 rcrit re 2
kais
h
de 0.001m Lw 1m
h 41.87 10
3 J
hr m
2
CT1 20Cre
de
2
Tsat 120Ckas 0.41 10
3 J
hr m Cre 0.0005 m
Amais
2 L rais re
ln
rais
re
Univ. Erwin Choque Conde Página 30
El área externa para la transferencia de calor por convección
El flujo de calor
b)
c) El radio crítico de aislamiento
d) El calor máximo
Ae 2 L rais
Q
T
r
kas Amais
1
Ae h
Q rais
Tsat T1 2 Lw kas h rais
h rais ln
rais
re
kas
rais 0m 0.001 m 0.04m
0 0.01 0.02 0.03 0.04
5
10
15
20
Q rais
rais
rcrit
kas
h
rcrit 0.00979 m
Qmax
Tsat T1 2 L kas h rcrit
h rcrit ln
rcrit
re
kas
Qmax 18.00334 W
Univ. Erwin Choque Conde Página 31
31. Para demostrar la conveniencia de aislar las conducciones de vapor, se hizo circular vapor por un
tubo desnudo de 1´´ y 1 metro de longitud, y posteriormente por el mismo recubierto de una capa
de aislante de 20 mm de espesor, obteniéndose los datos siguientes:
Tubo desnudo Tubo aislado
Peso del condensado 160 hrg / 43.8 hrg /
Presión de vapor (Sobre presión) 63.5 mmHg 63.5 mmHg
Temperatura de la superficie del tubo 102ºC 102ºC
Temperatura de la superficie del aislante --- 39ºC
Temperatura del aire 37.5ºC 30.5ºC
Calor latente de condensación 2251.7 kgkJ / 2251.7 kgkJ /
Titulo del vapor 99% 99%
Determínese:
a) El porcentaje de ahorro de calor obtenido con el aislante.
b) El coeficiente de convección del tubo desnudo
c) El coeficiente de convección para el tuvo aislado
La conductividad térmica del aislante.
a)
Para el tubo desnudo
Para el tubo aislado
b)
c)
d)
ESPESOR ÓPTIMO TÉCNICO ECONÓMICO DE AISLAMIENTO
md 0.160
kg
hr
ma 0.0438
kg
hr
d 1in
Tw 102C Tw1 39C Lt 1m
T d 37.5C T a 30.5C eais 20mm
Xv 0.99 hfg 2251.7 10
3 J
kg
Qdes md hfg Xv Qdes 99.0748 W
Qais ma hfg Xv Qais 27.1217 W
Q%
Qdes Qais
Qdes
Q% 72.625 %
Qdes hdesAdes T hdes
Qdes
d Lt Tw T d
hdes 19.2495
W
m
2
C
Qais hdesAdes T hais
Qais
d 2 eais Lt Tw1 T a
hais 15.53
W
m
2
C
Qais k Am
T
aais
Am
2 eais Lt
ln 1 2
eais
d
Am 0.1329 m
2
kais
Qais eais
Am Tw Tw1
kais 0.0648
W
m C
Univ. Erwin Choque Conde Página 32
32. Para efectuar un determinado aislamiento térmico pueden emplearse dos tipos de aislante ambos
disponibles en planchas de 2 cm de espesor. El aislante A cuesta 26 2/ mSus y su conductividad
térmica es de 0.04 CmW º/ , el aislamiento B cuesta 40 2/ mBs y su conductividad térmica es
k=0.03 CmW º/ se supone que la temperatura en ambas caras será de 500ºC y 40ºC y los dos
materiales son capaces de resistir estas temperaturas. Bajo esta hipótesis determinar a) El
espesor optimo técnico económico del aislante a) A b) B c) El aislante mas conveniente. Se
supone en todos los casos un año laboral de 340 días al año de 24 horas día, el combustible
cuesta 3.9Bs el millón de kilojulios. El aislante se cambiara cada 15 años para ambos casos.
DATOS:
Incógnitas:
a)
b)
Aislante más económico
c)
a) SOLUCION:
Para el aislante A)
Costo fijo
Costo variable
El costo total será:
b) Para el aislante B)
Costo fijo
Costo variable
eais 0.02m A 1m
2
T1 500C T2 50C
etecA
etecB
Q kais Aais
T
n eais
CfA
n Cua A
a
n 26 1
15
1.733 n
Bs
a
ño
CvA Q E kA AA
T
n eA
0.04
J
m sC
1 m
2 500C 40C
n 0.02m
3.9Bs
10
6
kJ
3600 s
1h
24h
dia
340dia
a
ño
CvA
105.401
nB
Bs
a
ño
CTA CfA CvA CTA 1.733 nA
105.401
nA
Bs
a
ño
n
CTA
d
d
0
105.401
nA
2
1.7333 0 nA 7.798 etecA nA eais 8 0.02 0.16 m
nA 8
CfB
n Cub A
a
n 40 1
15
2.666 n
Bs
a
ño
CvB Q E kB AB
T
n eB
0.03
J
m sC
1 m
2 500C 40C
n 0.02m
3.9Bs
10
6
kJ
3600 s
1h
24h
dia
340dia
a
ño
CvB
79.05
nB
Bs
a
ño
Univ. Erwin Choque Conde Página 33
El costo total será:
c) El costo totalserá:
El aislante mas económico es "A" CTA=27.039Bs/año
33. El aislamiento térmico de un horno cúbico de dimensiones exteriores de 1*1*1 m deberá ser
construido utilizando placas de 1” se espesor de aislante, lana de vidrio k=0.04 CmW º/ , cuyo
precio es de 8.7 2/ mSus , el costo de mano de obra es de 1 2/ mSus y mantenimiento es de 0.3
2/ mSus . Las temperaturas de trabajo están fijadas en 400ºC y 50ºC en la cara interna y externa
respectivamente. El aislante tiene una vida útil de 5 años para un trabajo de 24 horas al día y 300
días al año. El horno es calentando eléctricamente cuyo costo es de 0.059 kWhus/$ . ¿Cuál es el
numero de capas de aislante que UD. Colocaría?
El área total de transferencia
El costo total unitario
El costo fijo
El calor transferido
El costo variable
CTB CfB CvB CTB 2.66 nB
79.05
nB
Bs
a
ño
n
CTB
d
d
0
79.05
nB
2
2.666 0 nB 5.4449 etecB nB eais 5 0.02 0.1m
CTA 1.733 8
105.401
8
CTA 27.039
Bs
a
ño
CTB 2.66 5
79.05
5
CTB 29.11
Bs
a
ño
400ºC
50ºC
aislante
n
1’’
w 1m
Tw1 400Ceaisl 1in
Tw2 50C
klvid 0.04
W
m C a 5a
ños
24
hr
diaCu 8.7
Sus
m
2
300
dia
a
ño
Cmo 1
Sus
m
2
0.059
Sus
kW hrCm 0.3
Sus
m
2
Atr 6 w
2
Atr 6 m
2
CuT Cu Cmo Cm CuT 10
Sus
m
2
Cf
n CuT Atr
a
Cf 12 n
Sus
a
ño
Q
Atr klvid
n eaisl
Tw1 Tw2 Q
3307.08
n
W
Cv Q E Cv
3307.08 W
n
0.059Sus
kW hr
24
hr
1dia
300dia
1a
ño
58.5354
n
Sus
a
ño
Univ. Erwin Choque Conde Página 34
El costo total
El número de capas optimo
El costo total será
El área el espesor técnico económico
34. Calcular el calor trasferido a través de una pared de un horno de 9´´, cuya temperatura interna y
externa de las paredes son 980ºC y 198ºC respectivamente. La pared tiene una conductividad de
0.667 CmW º/ . Se adiciona a la pared externa 0.3”de un aislante k=0.04 CmW º/ que reduce la
perdida de calor en un 20%. Si el costo del aislante es de 1.37$us/pie cuadrado instalado. Que
tiempo será necesario para pagar el aislamiento. Tomar una operación del horno de 24 horas al día
y 175 días al año, el costo de la energía es de 0.23$us el millón de kJ.
DATOS:
CALCULAR:
a) (tiempo para pagar)
El calor sin aislante es :
El calor con aislante es :
El costo fijo es:
Costo variable
Para calcular el tiempo a pagar:
Entonces
CT Cv Cf CT
58.5354
n
12 n
Sus
a
ño
n
CT
d
d
0 n
58.5354
12
n 2.2086 n 2 capas
CT
58.5354
n
12 n CT 53.2677
Sus
a
ño
eopt n eaisl eopt 0.0508 m
Aais 1m
2
L 9in
T1 980C T2 198C
kpared 0.667
W
m C
%perd 20%
CU 1.37
Sus
ft
2
Q1 kpared Aais
T1 T2
L
Q1 2281.6885 W
Q2 0.8 Q1 Q2 1825.3508 W
Cf
CU Aais
a
14.74655 1
a
14.74655
a
Sus
a
ño
CV Qaurrado Q1 Q2 456.337 W
Sus
a
ño
CV 456.337
J
s
0.23Sus
10
6
kJ
3600 s
1hr
24hr
dia
175dia
a
ño
1.5869
CF CV
14.74655
a
1.5868 a
14.74655
1.5869
9.292a
ños
Univ. Erwin Choque Conde Página 35
35. Calcular el espesor más económico para aislar una tubería de 200. mm de diámetro interior y
36.5 mm de espesor, que conduce vapor a 300ºC, empleando aislante de amianto (k=0.053
CmW º/ ), el material aislante estará protegido con chapa de aluminio de 0.6 mm de espesor y
el conducto esta en un ambiente a una temperatura promedio de 20ºC. A continuación se
muestran los costos estimados para la instalación del aislante:
Espesor del aislante
mm
Costo del material
aislante
m/$
Costo del aluminio
m/$
Costo de mano de obra
m/$
50 2274 1035 1380
60 2762 1107 1476
75 3249 1179 1572
90 4383 1269 1692
100 5460 1360 1810
El costo de la producción de vapor es de 1.5 $ por cada 4118 kJ y el ciclo de trabajo es de 7920
añohoras/ . Se estima que los coeficientes del lado del vapor y en la superficie exterior estarán en el
orden de los 349 y 11.63 CmW º/ 2 respectivamente. La vida útil del aislante es aproximadamente 5
años.
DATOS:
El calor:
El área interna del tubo
El área interna del aislante
El área externa del aislante
El área media del aislante
El flujo de calor:
El costo variable
El costo fijo
dt 200mm ka 0.053
W
m C
h1 349
W
m
2
C
a 5.yr
et 36.5mm
T2 20C h2 11.63
W
m
2
C
Lt 1m
T1 300C
Q
T1 T2
1
h1 Ain
eais
kais Am
1
h2 Aex
Ain L dt Ain 0.1436 m
2
Ainais Lt dt 2 et Ainais 0.8577 m
2
Aex L dt 2 et 2 eais
Am
2 L eais
ln 1
2 eais
dt 2 et
Q
T1 T2
1
h1 L dt
eais
kais1 2 L( )
ln 1
2 eais
dt 2 et
1
h2 L dt 2 et 2 eais
Cv Q E E
1J
1s
1.5Sus
4118 10
3
J
3600 s
1hr
7920 hr
yr
E 10.3856
Sus
yr
Cf
Cu Ainais
a
Univ. Erwin Choque Conde Página 36
a) Para el espesor de:
El costo unitario
El espesor más económico es el aislante que tiene como espesor de 90mm
36. En una instalación de compresión de una industria 3000 hrkg / de vapor saturado a 10 Bar
(Tsat=179ºC) circula por un tubo de acero k=40 CmW º/ de 2” de diámetro externo y 0.2” de
espesor y tiene una longitud de 72 m . El aislamiento de la línea de vapor debido a las
condiciones del local es sustituido anualmente. Se sabe que la instalación trabaja 5000 horas por
año y la temperatura externa del aislante debe ser mantenida a 30ºC tomando la previsión del
cambio de aislante en el momento, se tiene en existencia en el mercado solamente dos tipos de
aislante : a) Lana de vidrio en capas de 3” de espesor y 80 cm de longitud k=0.04 CmW º/ y un
costo de 10 Sus la capa b) Lana mineral en capas de 2” de espesor y 90 cm de longitud,
k=0.025 CmW º/ y un costo de 13 Sus la capa. El costo de energía es 1kJ=0.001672$us
calcular: El aislante mas adecuado y el numero de capas a ser comprado Nota: las capas de
aislante tienen un ancho requerido para envolver el tubo.
DATOS:
El área media logarítmica del tubo
eais 50mm Cmat 2274
Sus
m
Cal 1035
Sus
m
Cmh 1380
Sus
m
Cu Cmat Cal Cmh Cu 4689
Sus
m
Cf
Cu Ainais
a
Cf 804.3087
Sus
a
ño
Q50
T1 T2
1
h1 L dt
eais
kais L 2 L( )
ln 1
2 eais
dt 2 et
1
h2 L dt 2 et 2 eais
Q50 260.62 W
Cv Q50 10.3856( ) Cv 2706.695
Sus
a
ño
etub
eais
a 1.a
ño
ktub 40
W
m C
Ltub 72m etub 0.2in
de 2in
di de 2 etub di 0.0406 m
Amed
Ltub de di
ln
de
di
Amed 10.2989 m
2
Univ. Erwin Choque Conde Página 37
Aislante A)
Área media logarítmica del aislante
Aislante B) El área enésima del aislante
La transferencia de calor es:
Costo variable
PARA EL AISLANTE A)
El costo variable para el aislante A)
kaislA 0.04
W
m C
eaislA 3in
Amaisl
2 n Ltub eaisl
ln 1
2 n eais
de
m
2
CuA 10
Sus
m
2
kaislB 0.025
W
m C
An Ltub de 2 eaisl n 1( ) m
2
eaislB 2in
CuB 13
Sus
m
2
Q
T
etub
Amed ktub
n eais
Amaisl kaisl
T
etub
Amed ktub
1
2 Ltub kaisl
ln 1
2 n eais
de
W
Cv Q
J
s
0.001672 Sus
1 kJ
3600 s
1 h
5000 h
1 a
ño
Q 30.096
Sus
a
ño
QA
T1 T2
etub
Amed ktub
1
2 Ltub kaislA
ln 1
2 nA eaisA
de
179 30
1.2331 10
5
0.05526 ln 1 3 n( )
CvA
179 30
1.2331 10
5
0.05526 ln 1 3 n( )
30.096
4484.304
1.2331 10
5
0.05526 ln 1 3 n( )
Sus
a
ño
CfA
CuA A n( )
a
10 Ltub
1
de 2 eaislA n 1( ) 2261.94671 0.0508 0.1524 n 1( )[ ]
Sus
a
ño
n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año)
1 1944,68843 58527,343 114,906892 114,906892 58642,2499
2 1385,48812 41697,6504 459,627569 574,534462 42272,1848
3 1170,89409 35239,2285 804,348247 1378,88271 36618,1112
4 1051,13576 31634,9819 1149,06892 2527,95163 34162,9335
5 972,42247 29266,027 1493,7896 4021,7412 33287,768
6 915,671965 27558,0635 1838,51028 5860,25151 33418,315
7 872,246162 26251,1205 2183,23095 8043,48247 34294,6029
Univ. Erwin Choque Conde Página 38
PARA EL AISLANTE B)
El costo variable para el aislante B)
El aislante mas económico es B) lana mineral con 5 capas
37. Un horno semiesférico esta construido con ladrillo refractario cuyo radio externo es 0.5m se aísla
con un material k=0.04 CmW º/ de 2.54 cm de espesor cuyo costo unitario es de 4200.
2/ mSus Hallar el espesor optimo técnico económico si el horno es calentado eléctricamente
con un costo de 0.68 kWhus/$ el aislamiento tiene un tiempo de vida de 5 años, el trabajo del
horno es de 24 horas al día y 300 días al año, la temperatura externa del ladrillo es400ºC y la
externa del aislante tiene que ser tal que no sea un peligro para los trabajadores.
No es peligroso
El área interna del aislante
El área enésima de una semiesfera
El área externa del aislante
El área media cuadrática del aislante
QB
T1 T2
etub
Amed ktub
1
2 Ltub kaislB
ln 1
2 nA eaisB
de
179 30
1.2331 10
5
0.08842 ln 1 3 n( )
CvB
179 30
1.2331 10
5
0.08842 ln 1 3 n( )
30.096
4484.304
1.2331 10
5
0.08842 ln 1 3 n( )
Sus
a
ño
CfB
CuB A n( )
a
13 Ltub
1
de 2 eaislB n 1( ) 2940.53072 0.0508 0.1016 n 1( )[ ]
Sus
a
ño
n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año)
1 1215,44865 36580,1424 149,378961 149,378961 36729,5214
2 865,928135 26060,9732 448,136882 597,515842 26658,489
3 731,802294 22024,3218 746,894803 1344,41065 23368,7325
4 656,951564 19771,6143 1045,65272 2390,06337 22161,6776
5 607,7549 18290,99 1344,411 3734,474 22025,47
6 572,285352 17223,5 1643,16857 5377,64258 22601,1425
7 545,143947 16406,6522 1941,92649 7319,56907 23726,2213
r0 0.5m eais 2.54cm
kais 0.04
W
m C Cu 4200
Sus
m
2
T1 400C
T2 50C
Aiais 2 ro
2
m
2
A1 2 r0
2
A2 2 r0 eais
2
Aiais 2 ro n eais
2
m
2
A3 2 r0 2eais
2
.
Amaisl Aiais Aeais 2 ro
2
n ro eaisAn 2 r0 n 1( )eais
2
Univ. Erwin Choque Conde Página 39
El espesor óptimo es:
Q
T
n eais
kais Amaisl
T1 T2 2 kais ro
2
n ro eais
n eais
87.96459
9.84252
n
0.5
W
Cv Q
k W hr
k hr
0.68Sus
k W hr
24hr
dia
300dia
a
ño
4.896 Q
Sus
a
ño
Cf
Cu A n( )
a
Cu
a
2 r0 n 1( ) eais
2
5277.87566 0.5 n 1( ) 0.0254[ ]
2
n Q(W) Cv(Sus/año) Cf(Sus/año) Cfac(Sus/año) CT(Sus/año)
1 909,775531 4454,261 1319,46892 1319,46892 5773,72992
2 476,87891 2334,7992 1456,932 2776,4009 5111,2001
3 332,58004 1628,31188 1601,2053 4377,60624 6005,91812
4 260,430604 1275,06824 1752,28871 6129,89495 7404,96319
eopt n eais 2 0.0254 0.0508 m
Univ. Erwin Choque Conde Página 40
38. Un horno semiesférico esta construido con ladrillo refractario cuyo radio externo es 0.5m se aísla
con un material k=0.04 CmW º/ de 2.54 cm de espesor cuyo costo unitario es de 4200. 2/ mSus
Hallar el espesor optimo técnico económico si el horno es calentado eléctricamente con un costo de
0.68 kWhus/$ el aislamiento tiene un tiempo de vida de 5 años, el trabajo del horno es de 24
horas al día y 300 días al año, la temperatura externa del ladrillo es 400ºC y la externa del aislante
tiene que ser tal que no sea un peligro para los trabajadores.DATOS:
CALCULAR:
Q (W)?
El área transversal
Perímetro de la aleta
La relación "m": Longitud corregida:
El área de cada aleta es:
El rendimiento de la aleta
El calor para cada aleta
El calor para el total de las aletas
39. De una pared sobre sale una varilla de cobre larga y delgada de k=200 CmW º/ y diámetro de 0.5
lgp . El extremo de la varilla que esta en contacto con la pared se mantiene a 358ºC. La
superficie lateral disipa calor por convección al aire que se encuentra a 25ºC cuyo coeficiente de
transferencia de calor es 15 CmW º/ 2 determinar a) Distribución de temperatura b) La tasa de
flujo de calor que disipa desde la varilla hacia el aire que rodea. c) Que largo deben tener las
varillas para suponer longitud infinita. DATOS:
SUPERFICIES ALETADAS
T
h
n 8 Tw 340K
L 40mm
T 300K
t 0.4mm
hamb 8
W
m
2
KH 3mm
k 175
W
m K
At t H At 1.2 10
6
m
2
P 2 H t( ) P 0.0068 m
Lc L
t
2
Lc 0.0402 mm1
hambP
k At
m1 16.095
1
m
Aal 2 H Lc 2 L t Aal 2.732 10
4
m
2
tanh m1 Lc
m1 Lc
0.8804
Qalt Aal hamb Tw T Qalt 0.077 W
Qtalt n Qalt Qtalt 0.6158 W
T
hL
D
T1
T1 358Ck 200
W
m C
T 1 25C
D 0.5in
h 15
W
m
2
C
Univ. Erwin Choque Conde Página 41
Perímetro de la aleta
El área transversal
La constante m
El modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta
Una de las soluciones es:
Por condición de frontera
Por otra condición (varilla larga)
a) La distribución de temperatura
b)
c)
P D P 0.0399 m
At 4
D
2
At 1.2668 10
4
m
2
ma
h P
k At
ma 4.8603
1
m
2
x
x( )d
d
2
ma
2
x( ) 0 x( ) T x( ) T 1
x( ) T x( ) T 1 C1 e
ma x
C2 e
ma x
T x( ) C1 e
ma x
C2 e
ma x
T 1
1211
*0
2
*0
110)( ** TCCTeCeCTT
aa mm
XX
x T( ) T 1
1
*
2
*
1)( ** TeCeCTT
aa mm
XX C1 e
ma C2
e
ma
0 C1 0
C2 T1 T 1
T x( ) T1 T 1 e
ma x
T 1 x 0m 0.1m 2m
0 0.5 1 1.5 2
0
100
200
300
400
T x( )
x
Q h P k At T1 T 1 Q 41.0044 W
tanh ma Lc 0.99 L
tanh 0.99( )
1
ma
L 0.5445 m
Univ. Erwin Choque Conde Página 42
40. Una barra de acero hexagonal k=40 CmW º/ es de 3 cm de lado y 23 cm de longitud esta
siendo probado para futuras aplicaciones como aleta. La base de la barra de acero se mantiene a
90ºC El otro extremo esta completamente aislado. Aire se hace circular perpendicularmente al eje
de la barra a una velocidad de 5 sm/ a una temperatura de 27ºC con un coeficiente de
convección de 20 CmW º/ 2 . El calor específico del acero es de 0.56 CkgkJ º/ calcular: a) La
distribución de temperatura b) La eficiencia de la barra y c) El flujo de calor a través de las
paredes laterales de la barra.
DATOS:
El perímetro de la aleta
El área transversal es:
El área de la aleta
a)
b)
41. En un proceso químico la transferencia calorífica de una superficie al agua se aumenta mediante
cierto numero de aletas finas de aluminio k=204 CmW º/ cada uno con espesor de 2 mm y una
longitud de 50 mm se cubre a la aleta metálica con una capa de plástico k=0.5 CmW º/ de 0.1
mm de espesor, para impedir la ionización del agua los extremos de las aletas están encajados
en una superficie aislada la temperatura de la base en la aleta es de 80ºC, la temperatura media
del agua es de 20ºC y un coeficiente de transferencia de calor entre el agua y el revestimiento de
plástico es de 0.2 CmW º/ 2 . Determinar a) La distribución de temperatura en la aleta b) La
temperatura en la extremidad de la aleta c) La eficiencia de la aleta d) El calor de transferencia.
DATOS:
T
h
a
L
k 40
W
m C T 27 C
a 3cm h 20
W
m
2
C
L 23cm
Tw 90C
P 6 a P 0.18 m
at
3
2
a
2
3 at 0.0023 m
2
mh
h P
k at
mh 6.204
1
m Aal P L Aal 0.0414 m
2
tanh L mh
L mh
0.6244
Qdis Aal h Tw T Qdis 32.5735 W
eis 0.1mm H 1mk 204
W
m C
Tw 80C
t 2mm
T 20C
L 50mm
ham 0.2 10
3 W
m
2
C
kis 0.5
W
m C
Univ. Erwin Choque Conde Página 43
Aplicamos la analogía eléctrica
Equivalencia
El área transversal de la aleta
Perímetro de la aleta
La constante
Modelo matemático de la distribución de temperatura en una aleta
Una de las soluciones es:
Por condición de frontera
Por otra condición (extremo adiabático)
a) La distribución de temperatura
b)
c)
d)
1
hT
eais
kais
1
ham
hmod
1
eis
kis
1
ham
hmod 192.30769
W
m
2
C
Atra H t Atra 0.002 m
2
Pv 2 t H( ) Pv 2.004 m
mv
hmod Pv
k Atra
mv 30.7339
1
m
2
x
x( )d
d
2
mv
2
x( ) 0 x( ) T x( ) T1
x( ) T x( ) T C1 e
mv x
C2 e
mv x
T x( ) C1 e
mv x
C2 e
mv x
T
wXX TT 0)( C1 C2 Tw T
0LXx
T
C2
Tw T
e
2 mv L
1
C2 57.3469 CC1 C2 e
2 mv L
C1
Tw T
e
2 mv L
1
e
2 mv L
C1 2.6531 C
T x( ) C1 e
mv x( )
C2 e
mv x
T x 0m 0.005 m 0.05m
0 0.02 0.04 0.06
40
50
60
70
80
T x( )
x
x L T x( ) 44.6696 C
v
tanh mv L
mv L
v 0.5932
Qvr hmod Pv k Atra Tw T tan mv L Qvr 2.2053 10
4
W
Univ. Erwin Choque Conde Página 44
42. Una varilla de diámetro D=25 mm y conductividad térmica k=60 CmW º/ sobresale
normalmente de la pared de un horno que esta a 200ºC y esta cubierta de un aislante de espesor
200 mm . La varilla esta soldada a la pared del horno y se usa como soporte para cargar cables
de instrumentación. Para evitar que se dañen los cables, la temperatura de la varilla en la
superficie expuesta, To debe mantenerse por debajo de un limite de operación especifico
Tmax=100ºC. La temperatura del aire ambiental es 25ºC, y el coeficiente de convección es h=15
CmW º/ 2 . a) Derive la expresión de temperatura. b) Calcular el flujo de calor.
DATOS:
El área transversal de la varilla
El calor transferido por conducción de la varilla será:
Perímetro de la aleta
La constante
Modelo matemático de la distribución de temperatura en unaaleta
Una de las soluciones es:
Por condición de frontera
Por otra condición (extremo adiabático)
hr
T
Lais Lv
T1w
T2w
Kv
1aislante
Dv 25mm T2w 100C
T1 25C
kv 60
W
m C
hr 15
W
m
2
C
T1w 200C Lv 0.3m
Laisl 200mm
Atv 4
Dv
2
Atv 4.9087 10
4
m
2
Qkv
Atv kv
Laisl
T1w T2w Qkv 14.7262 W
Pv Dv Pv 0.0785 m
mr
hr Pv
kv Atv
mr 6.3246
1
m
2
x
x( )d
d
2
mr
2
x( ) 0 x( ) T x( ) T1
x( ) T x( ) T1 C1 e
mr x
C2 e
mr x
T x( ) C1 e
mr x
C2 e
mr x
T1
wXX TT 20)( C1 e
mr Laisl
C2 e
mr Laisl
T2w T1
0LvXx
T
C1 0 C2 T2w T1 e
mr Laisl
Univ. Erwin Choque Conde Página 45
a) La distribución de temperatura será:
b) El calor transferido por la aleta
43. Un tubo de acero k=45. CmW º/ de 2” de diámetro exterior mediante la superficie de la pared
exterior a 100ºC se propone aumentar la rapidez de transferencia de calor por medio de la adición
de 12 aletas longitudinales de 2.5 mm de espesor y 20 mm de longitud a la superficie exterior
del tubo. El aire circundante se encuentra a 25ºC y el coeficiente de transferencia de de calor es de
25 CmW º/ 2 calcular el incremento de calor.
DATOS:
El área de transferencia de
calor sin aletas
El calor transferido sin aletas
Longitud corregida
El área de las aletas
T1 x1 T1w
Qkv
kv Atv
x1 x1 0m 0.1mm 0.2m
T2 x2 T2w T1 e
mr Laisl x2
T1 x2 0.2m 0.21m 0.7m
0 0.2 0.4 0.6 0.8
0
50
100
150
200
T1 x1
T2 x2
x1 x2
Qah hr Pv kv Atv T2w T1 tanh mr Lv Qah 13.356 W
T
h
L
t
ta 2.5mmka 45
W
m C
La 20mm
de 2in
T 1 25C
Tw 100C
ha 25
W
m
2
C
Na 12
Ha 1m
Atra de Ha Atra 0.1596 m
2
Qsa Atra ha Tw T 1 Qsa 299.2367 W
Lce La
ta
2
Lce 0.0213 m
Aa Na 2 Ha Lce Aa 0.51 m
2
Univ. Erwin Choque Conde Página 46
El área libre de aletas
El área total
El área transversal de la aleta
El perímetro de la aleta
La relación
El rendimiento de la aleta
El rendimiento al área ponderada
El calor transferido por las aletas
El calor transferido por la superficie
libre de aletas
El calor transferido total
Otro método para el calor transferido
44. A la superficie exterior de un tubo de 32 mm de diámetro exterior se fijan aletas longitudinales de
sección transversal rectangular. El tubo y las aletas tienen una conductividad de 200 CmW º/ las
aletas tienen un espesor de 3 mm y 6.6 mm de longitud. La relación de superficie de aletas a la
superficie total de transferencia de calor es del 70% los coeficientes de transferencia de calor de
los fluidos interior y exterior son hi=49 CmW º/ 2 y he=4.9 CmW º/ 2 . Determinar el flujo de calor
por metro de longitud de tubo cuando la diferencia de temperatura entre los fluidos interior y
exterior es de 90ºC (Despreciar la resistencia del tubo).
Longitud corregida
Ala de Ha Na ta Ha Ala 0.1296 m
2
ATa Aa Ala ATa 0.6396 m
2
At1 Ha ta At1 0.0025 m
2
Pa 2 Ha ta Pa 2.005 m
mal
ha Pa
ka At1
mal 21.1082
1
m
a
tanh mal Lce
mal Lce
a 0.9379
'a 1
Aa
ATa
1 a 'a 0.9505
Qa a Aa ha Tw T 1 Qa 896.8913 W
QLa Ala ha Tw T 1 QLa 242.9867 W
QTT Qa QLa QTT 1139.878 W
QaT 'a ATa ha Tw T 1 QaT 1139.878 W
%Q
QaT Qsa
Qsa
%Q 280.92854 %
H
Lt
T 90C Lf 6.6mm he 4.9
W
m
2
Cd 32mm Aa
AT
0.7
Hf 1m
kf 200
W
m C
hi 49
W
m
2
C
tf 3mm
Lc Lf
tf
2
Lc 0.0081 m
Univ. Erwin Choque Conde Página 47
El área de las aletas
El área libre de aletas
El área total
El número de aletas
El área interna
El área total
El perímetro de la aleta
El área transversal de la aleta
La relación
El rendimiento de la aleta
El rendimiento referido al área global externa
El calor transferido
45. Se considera un tubo calefactor de 2” de diámetro interior y 1/8” de espesor donde circula agua por el
interior y el tubo es de cobre k=380 CmW º/ se propone aumentar la transferencia de calor entre el
agua y el medio ambiente (Ti-Te=100ºC) para el cual se propone aumentar aletas de cobre en el tubo
solo en el interior, solo en el exterior, en ambos lados. Las aletas son longitudinales y rectangulares de
1.27 mm de espesor, 10 mm de longitud y espaciados 12.7 mm entre centros. ¿Cuál es el
porcentaje de aumento de transferencia de calor que se puede lograr poniendo en la tubería con aletas
en a) Lado del agua b) Lado de aire c) Ambos lados de la tubería?. Se pueden tomar los coeficientes
del lado del aire y del agua a 11.39 y 255.15 CmW º/ 2 respectivamente.
La aleta
DATOS:
Longitud corregida
Perímetro de la aleta
he
hi
t
L Aa N 2 H Lc
Ala d Hf N tf Hf
AT Aa Ala
Aa
0.7
N
0.7 d Hf
2 0.3 Lc Hf 0.7 tf Hf
N 10.1109
N 10
Ala d Hf N tf Hf Ala 0.0705 m
2
Ai d Hf Ai 0.1005 m
2
Aa N 2 Hf Lc Aa 0.162 m
2
AT Aa Ala AT 0.2325 m
2
Pf 2 Hf tf Pf 2.006 m
Atf Hf tf Atf 0.003 m
2
mf
he Pf
kf Atf
mf 4.0475
1
m
f
tanh mf Lc
mf Lc
f 0.9996
'f 1
Aa
AT
1 f 'f 0.9998
Qf
T
1
hi Ai
1
'f AT he
Qf 83.2658 W
di 2in t 1.27 mm
L 10mm
et
1
8
in
Lc L
t
2
Lc 0.0106 mH 1m
de di 2 et
de 0.0571 m
Univ. Erwin Choque Conde Página 48
El área transversal
El área interna y externa sin aletas
El calor transferido sin aletas
a) Aletas en el interior del tubo (agua)
Para el número de aletas en el interior
Área de las aletas interiores:
Área libre de aletas interior
El área total de transferencia de calor interno
Entonces la constante:
La eficiencia de la aleta interior:
Eficiencia ponderada al área interior
El calor transferido con aletas internas
b) Aletas en el exterior del tubo (aire)
Para # aletas en el exterior
Área de las aletas exteriores
Área libre de aletas "exterior"
S 12.7 mm
P 2 H t( ) P 2.0025 m
T 100C
k 380
W
m C
hag 255.15
W
m
2
C
hair 11.39
W
m
2
C
At t H At 0.00127 m
2
Ai di H Ai 0.1596 m
2
Ae de H Ae 0.1795 m
2
Qsa
T
1
hag Ai
1
hair Ae
Qsa 194.7195 W
L
t
hi
he
ni S di
ni
di
S
ni 12.5664 ni 13
Aai ni 2 H Lc Aai 0.2765 m
2
ALai di H ni t H ALai 0.1431 m
2
Ati Aai ALai Ati 0.4196 m
2
mi
hag P
k At
mi 32.5383
1
m
i
tanh mi Lc
mi Lc
i 0.9619
'i 1
Aai
Ati
1 i 'i 0.9749
Qai
T
1
'i Ati hag
1
hair Ae
Qai 200.5686 W
he
hi
t
L
ne S de
ne
de
S
ne 14.1372 ne 14
Aae ne 2 H Lc Aae 0.2978 m
2
ALae de H ne t H ALae 0.1618 m
2
Univ. Erwin Choque Conde Página 49
El área total de transferencia de
calor externo
Entonces la constante ¨m¨ en las aletas
exteriores
La eficiencia de la aleta exterior
Eficiencia ponderada al área exterior
El calor transferido con aletas externas
c) El calor transferido con aletas internas y externas
a)
b)
c)
46. Un calentador de aire consiste en un tubo de acero (20 CmW º/ ), con radios interno y externo
r1=13 mm y r2=16 mm , respectivamente y ocho aletas longitudinales fabricadas integralmente,
cada una de espesor t =3 mm . Las aletas se extienden a un tubo concéntrico, que tiene radio
r3=40 mm y aislado en la superficie externa. Agua a temperatura iT =90ºC fluye a través del
tubo interno, mientras que aire 0T =25ºC fluye a través de la región anular formada por el tubo
concéntrico más grande. a) Si hi=5000 y ho=200 ¿Cuál es la transferencia de calor por unidad de
longitud? DATOS:
Ate Aae ALae Ate 0.4595 m
2
me
hair P
k At
me 6.8748
1
m
e
tanh me Lc
me Lc
e 0.9982
'e 1
Aae
Ate
1 e 'e 0.9988
Qae
T
1
Ai hag
1
'e Ate hair
Qae 463.3276 W
he
t
L
L
t
hi
Qaie
T
1
'i Ati hag
1
'e Ate hair
Qaie 497.8759 W
Q i
Qai Qsa
Qsa
Q i 3.0039 %
Q e
Qae Qsa
Qsa
Q e 137.9462 %
Q ie
Qaie Qsa
Qsa
Q ie 155.6888 %
iT
hi
0T
ho
r1
r2
r3
kn 20
W
m C
T i 90C
r1 13mm T o 25C
r2 16 mm
hi 5000
W
m
2
Cr3 40mm
t 3mm ho 200
W
m
2
C
Hi 1m
Ln r3 r2 Ln 0.024 mn 8
Univ. Erwin Choque Conde Página 50
El área interna
El área media del tubo
El perímetro de la aleta
El área transversal de la aleta
El área de la aleta
El área libre de la aleta
El área total de transferencia de
calor
Entonces la constante "m" en las aletas
exteriores
La eficiencia de la aleta
Eficiencia al área ponderada
El calor transferido con aletas externas
47. Se calienta agua sumergiendo tubos de cobre con pared delgada de 50 mm de diámetro en un
tanque y haciendo pasar gases calientes de combustión (Tg=750K)a través de los tubos. Para
reforzar la transferencia de calor al agua, se insertan en cada tubo cuatro aletas rectas de sección
transversal uniforme, para formar una cruz. Las aletas tienen un espesor de 5 mm y también
están fabricadas de cobre (k=400 CmW º/ ). Si la temperatura de la superficie de tubo es
Ts=350K y el coeficiente de convección del lado del gas es hg=30 CmW º/ 2 , ¿Cuál es la
transferencia de calor al agua por metro de longitud del tubo?
DATOS:
La longitud de la aleta
Ai 2 r1 Hi Ai 0.0817 m
2
Am
2 Hi r2 r1( )
ln
r2
r1
Am 0.0908 m
2
Pn 2 Hi t( ) Pn 2.006 m
At Hi t At 0.003 m
2
An 2 n Hi Ln An 0.384 m
2
ALa 2 r2 Hi n t Hi ALa 0.0765 m
2
Atn An ALa Atn 0.4605 m
2
mn
ho Pn
k n At
mn 81.772
1
m
al
tanh mn Ln
mn Ln
al 0.4898
'al 1
An
Atn
1 al 'al 0.5746
Qa
T i T o
1
Ai hi
r2 r1
Am kn
1
'al Atn ho
Qa 2826.601 W
H
D
hg
Tg
Ts
t
Dg 50mm Hg 1m
Tg 750K Ts 350K
tg 5mm
hg 30
W
m
2
Kkt 400
W
m K
Lg
Dg tg
2
Lg 0.0225 m
Univ. Erwin Choque Conde Página 51
Área libre de aletas
El calor transferido del área
libre de aletas
Área de las aletas
El perímetro de la aleta
El área transversal de la aleta
Entonces la constante m
La eficiencia de la aleta
El calor transferido por las aletas
Otro método
El calor total será:
ALa Dg Hg 4 tg Hg ALa 0.1371 m
2
Qla ALa hg Tg Ts Qla 1644.9556 W
Aag 4 2 Hg Lg Aag 0.18 m
2
Pal 2 Hg tg Pal 2.01 m
Aat tg Hg Aat 0.005 m
2
mg
hg Pal
kt Aat
mg 5.4909
1
m
g
tanh mg Lg
mg Lg
g 99.4943 %
Qal g Aag hg Tg Ts Qal 2149.077 W
Qal1 4 hg Pal kt Aat tanh mg Lg Tg Ts Qal1 2159.8224 W
Qt Qla Qal1 Qt 3804.778 W
Univ. Erwin Choque Conde Página 52
FLUJO BIDIMENSIONAL
48. Un conducto hueco de sección transversal cuadrada de dimensiones internas de 10*10 cm esta
construido con ladrillo de k=0.21 CmW º/ con un espesor de 10 cm . En condiciones de equilibrio
la temperatura interna y externa es de 300ºC y 30ºC respectivamente. Estimar la perdida de calor a
través del conducto.
DATOS:
En el nodo 1
En el nodo 2
En el nodo 3
La solución de las tres ecuaciones es:
El calor que entra en la pared
El calor que sale de la pared
49. Hallar el flujo de calor de una chimenea cuyo interior fluye gases de combustión de tal manera que
en el interior tiene 371ºC y la superficie exterior esta a 38ºC las dimensiones de la chimenea es de
60*30 cm y el espesor es de 30 cm esta construido de ladrillo de conductividad k=1.2 CmW º/ .
DATOS:
El área
1
2
3
300ºC
30ºC
2
5cm
10cm
10cm
Tw1 300C
Tw2 30C
kL 0.21
W
m C
x 5cm x y
30 300 2 T2 4 T1 0
T1 30 T1 T3 4 T2 0
2 30 2 T2 4 T3 0
T1 153.75 C T2 142.5 C T3 86.25 C
QZe 8kL
Tw1 T1
2
Tw1 T2 QZe 387.45
W
m
QZs 8kL
T1 Tw2
2
T2 Tw2 T3 Tw2 QZs 387.45
W
m
1
2
3
371ºC
38ºC
2
15cm
60cm
45 6 5
30cm
T1w 371C kc 1.2
W
m C
T2w 38C y 15cm
Q
n
k A
T
x
A x y
Q
Z
n
k T( )
Univ. Erwin Choque Conde Página 53
Analizando en el nodo 1
Resolviendo estas ecuaciones se tiene:
Analizando en el nodo 2
Analizando en el nodo 3
Analizando en el nodo 4
Analizando en el nodo 5
Analizando en el nodo 6
El calor que entra al conducto
El calor que sale del conducto
50. Una chimenea de sección cuadrada de 20 cm *20 cm esta construida con ladrillo k=0.81 CmW º/
de 10 cm de espesor, los gases de la chimenea mantiene la temperatura interior de la chimenea a
280ºC el exterior esta compuesto a un ambiente cuya temperatura es de 23ºC y un coeficiente de
convección de 10 CmW º/ 2 . Encontrar el flujo de calor a través de la chimenea.
DATOS:
Nodo 1
Nodo 5
Nodo 2
Nodo 6
Nodo 3
Nodo 4 Nodo 7
2 T2 38 371 4 T1 0
T1 190.69 C
T1 371 38 T3 4 T2 0
T2 176.88 C
T2 T4 2 38 4 T3 0 T3 107.84 C
T4 178.48 CT3 T5 371 38 4 T4 0
T5 197.06 C
T4 T6 371 38 4 T5 0
T6 200.72 C
2 T5 371 38 4 T6 0
QZi 4kc
T1w T1
2
T1w T2 T1w T4 T1w T5
T1w T6
2
QZi 3532.2
W
m
QZe 4kc
T1 T2w
2
T2 T2w 2 T3 T2w T4 T2w T5 T2w
T6 T2w
2
QZe 3531.864
W
m
1
2
3
280ºC
2
T
h4
5
6
7
w 10cm
k 0.81
W
m C
Tw1 280C
T 23C
h 10
W
m
2
C
2 T2 280 T4 4 T1 0
2 T2 T4 T6
2 h w
k
T 2
h w
k
2 T5 0
T1 T5 T3 280 4 T2 0
2 T3 T5 T7
2 h w
k
T 2
h w
k
2 T6 02 T6 2 T2 4 T3 0
T6 T6
2 h w
k
T 2
h w
k
1 T7 02 T1 2 T5
2 h w
k
T 2
h w
k
2 T4 0
Univ. Erwin Choque Conde Página 54
Resolviendo estas ecuaciones
El calor que entra en la pared
El calor que sale de la pared
51. Determine el flujo de calor por unidad de profundidad en el segmento circular de la figura siguiente.
Supóngase que la conductividad térmica del material es de 0.7 CmW º/ . Una de las superficies es
isotérmica y las otras se encuentran a 100ºC y 25ºC.
DATOS:
Por balance de energía
Condiciones
Para estado estable Su solución Por condiciones de frontera
T1 172.702 C T3 112.0C T5 81.919 C T7 40.607 C
T2 161.566 C T4 87.497 C T6 62.345 C
QeZ k
Tw1 T1
2
Tw1 T2 QeZ 139.38723
W
m
QsZ k
T1 T4
2
T2 T5 T3 T6 QsZ 139.24265
W
m
k 0.7
W
m C
r1 50cm
r2 54cm
T2 100C
Lw 1mT1 25C
Eentra Egenerada Esale Ealmacenada
Eentra Q Egenerada 0 Esale Q Q
d
d
d Ealmacenada m Cp T
Q Q Qd
d
d m Cp T T
dT
d
r r1
V r Lw r1 d
Q k A
dT
dx
k r Lw
dT
r1 d m V
k r Lw
dT
r1 d
d
d
d V Cp
dT
d
r Lw r1 d Cp
dT
d
1
r1
2
k Td
d
d
d
Cp
dT
d
k Td
d
d
d
0 T
C1
k
C2 C2 T1 C1
k
T2 T1( )
T
T2 T1( )
T2
dT
d
T2 T1( )
Q k A
dT
r1 d
k
r1 r2( ) Lw
r1
T1 T2( ) Q k
r1 r2( ) Lw
r1
T1 T2( ) Q 1.3369 W
Univ. Erwin Choque Conde Página 55
CONDUCCIÓN EN RÉGIMEN TRANSITORIO
52. Se tiene una placa de 10 cm de espesor a una temperatura uniforme de 20ºC que se introduce en un
medio a 100ºC adquiriendo instantáneamente esta temperatura. Determinar mediante técnicas
numéricas el tiempo necesario para qué el plano medio den la pieza alcance una temperatura de
60ºC.
DATOS:
En la ecuación general de la conducción para coordenadas rectangulares y sin generación
53. Se hace pasar repentinamente una corriente eléctrica de 5 amperios por un conductor eléctrico de
cobre de 1 mm de diámetro con una temperatura ambiente de 25ºC. Calcule la temperatura de la
superficie del conductor a los 40 s suponiendo que el coeficiente de transferencia de calor es de
25 CmW º/ 2 . Las propiedades del conductor son: k=386 CmW º/ , c=383 CkgJ º/ y =8950
3/ mkg e =1.8E-8 m* .
DATOS:
El número de Biot
Balance de energía en el volumen de control
....1 )
T1
T2
T1
T
dX dX
T1 20C X
10cm
2
T2 100C
6 10
6 m
2
sT 60C
2
x
Td
d
2 1
Td
d 2x
Td
d
2 Ta 2T Tb
X
2
T1 Ta Tb
Ta 2T Tb
X
2
T1 T
X
2
1
Td
d
T1
T
T
1
T1 T
d
0
2
X
2
d
ln
T2 T
T2 T1
2
X
2
X
2
2
ln
T2 T
T2 T1
144.40566 s
d
L
h
T
T
I=5A
k 386
W
m CI 5A
d 1mm Cp 383
J
kg C
T 25C
8950
kg
m
3t 40s
h 25
W
m
2
C
e 1.8 10
8
m
Bi
h
d
2
k
Bi 3.23834 10
5
Bi 0.1
Eentra Egenerado Esale Ealmacenado
0 g V A h T T m Cp
dT
dt
T T
d
dt
dT
dt
g V h A V Cp
dT
dt
d
dt
h A
V Cp
g
Cp
0
Univ. Erwin Choque Conde Página 56
La solución general La solución particular
La solución total
Por condiciones de frontera
La generación de energía por unidad de volumen
54. Una esfera de aluminio k=239 CmW º/ Cp=902 CkgJ º/ y =2700 3/ mkg con un peso de 6
kg y una temperatura inicial de 250ºC, se sumerge bruscamente en un fluido a 25ºC. El
coeficiente de transferencia de calor por convección es 49 CmW º/ 2 . Estime el tiempo requerido
para enfriar el aluminio a 85ºC
DATOS:
El volumen de la esfera El radio de la esfera
Analizamos el número de Biot
La longitud característica para una esfera
Entonces se aplica el método de
resistencia despreciable
g C1 e
h A
Cp V
t
p C2 C3 t
T g p C1 e
h A
Cp V
t
C2 C3 t
o( ) 0 C3 0 C2
g V
h A
C1
g V
h A
T T
g V
h A
g V
h A
e
h A
Cp V
t
g V
h A
1 e
h A
Cp V
t
V
A
4
d
2
L
d h
d
4
g
I
2
e
4
d
2
2
g 7.29513 10
5 W
m
3
T T
g d
4 h
1 e
4 h
Cp d
t
T 30.02396 C
T
hr
2700
kg
m
3
he 49
W
m
2
C
me 6kg
ke 239
W
m CT 25C
Ti 250C Cp 902
J
kg C
Tf 85C
Ve
me
Ve 0.00222 m
3
r
3
3 Ve
4
r 0.08095 m
Bi
he r
ke
Bi 0.0166
Bi 0.1 Lc
r
3
Lc 0.02698 m
Univ. ErwinChoque Conde Página 57
Entonces el número de Biot será:
La difusividad térmica es: El número de Fourrier
La variación de la temperatura en función del tiempo
El tiempo que tardará en llegar a la temperatura "Tf" es:
55. Un alambre de diámetro D=1 mm se sumerge en un baño de aceite de temperatura 25ºC. El
alambre tiene una resistencia eléctrica por unidad de longitud de R=0.01 m/ . Si fluye una
corriente de I=100 Amperios por el alambre y el coeficiente de convección es h=500 CmW º/ 2
¿Cuál es la temperatura de estado estable del alambre? Del tiempo que se aplica la corriente,
¿Cuánto tiempo tarda el alambre en alcanzar una temperatura que esta a 1ºC de distancia del
valor de estado estable? Las propiedades del alambre son c=500 CkgJ º/ y =8000 3/ mkg
k=20 CmW º/
Datos:
Analizamos el número de Biot:
Por balance térmico
Sin considerar la transferencia de calor por radiación y cambio de temperatura en el alambre
Bi
he Lc
ke
Bi 0.00553
ke
Cp
9.81358 10
5 m
2
s
Fo
Lc
2
Tf T
Ti T
e
Bi Fo
Lc
2
Bi
ln
Tf T
Ti T
1772.70783 s
h
I
d
Rl
T.8
RL 0.01 md 1mm T 25C
h 500
W
m
2
C
I 100A
8000
kg
m
3cp 500
J
kg Ck 20
W
m C
Bi h
d( )
4k
Bi 0.00625 0.00625 0.1
d h T T I
2
RL T T
I
2
RL
d h
T 88.66198 C
Egenerado Esale Ealmacenado T T 1C T 87.66198 C
I
2
RL d h T T cp At
dT
d Ti 25C
dT
d
I
2
RL
cp
d
2
4
4 h
cp d
T T T T
I
2
RL
d h
Ti T
I
2
RL
d h
e
4 h
d cp
d cp
4 h
ln
T T
I
2
RL
d h
Ti T
I
2
RL
d h
8.30717 s
Univ. Erwin Choque Conde Página 58
56. Una esfera de vidrio de cuarzo tiene una difusividad térmica de 9.5E-7 sm /2 un diámetro de 2.5
cm y una conductividad térmica de 1.52 CmW º/ . La esfera esta inicialmente a una temperatura
de 25ºC y se somete de repente a un medio de convección a 200ºC. El coeficiente de transferencia
de calor por convección es de 10 CmW º/ 2 . Calcule las temperaturas en el centro y en un radio
de 6.4 mm después de 4 min
DATOS:
La longitud característica para una esfera
Entonces se aplica el método de
resistencia despreciable
Entonces el número de Biot será: El número de Fourier
La variación de la temperatura en función del tiempo
La temperatura será constante en toda la esfera por Bi<0.1
57. Se desea evaluar un tratamiento térmico para un material especial, para tal fin se tiene una esfera
de 5 mm de radio en un horno a 400ºC. Repentinamente se extrae la esfera y se somete a dos
procesos de enfriamiento :
• Si se enfría en aire a 20ºC por un período “ta” hasta que el centro alcanza una
temperatura critica de 335ºC. En este caso, el coeficiente de transferencia de calor es
igual a 10 CmW º/ 2 .
• Después de que la esfera logra esta temperatura critica, se enfría en agua a 20º con un
coeficiente de transferencia de calor igual a 2000 CmW º/ 2 hasta que su centro
alcanza 50ºC. Las propiedades del material son : k=20 CmW º/ , c=1000 CkgJ º/ y
=3000 3/ mkg
a) Calcule el tiempo que debe permanecer la esfera en el aire.
b) Calcule el tiempo que debe permanecer la esfera en el agua.
DATOS:
T
hr
9.5 10
7 m
2
s h 10
W
m
2
Cd 2.5cm
k 1.52
W
m C
4min
T0 25C r
d
2
T 200C r 0.0125 m
Lc
r
3
Lc 0.00417 m Bi
h r
k
Bi 0.08224
Bi 0.1
Bi
h Lc
k
Bi 0.02741 Fo
Lc
2
Fo 13.1328
Tf T
Ti T
e
Bi Fo
Tf T0 T e
Bi Fo
T Tf 77.90664 C
ha hb
r
T1
Tf2T
ta tb
k
Tf
ha 10
W
m
2
C
r 5mm hb 6000
W
m
2
CT1 400C
k 20
W
m CT 20C Tf2 50C
Tf 335C 6.66 10
6 m
2
s
Univ. Erwin Choque Conde Página 59
La longitud característica
El número de Biot
Para el segundo proceso
El número de Biot definido ahora:
En tablas 5.1 de "transferencia de calor de Incropera
" ver anexo
58. Un ladrillo de 9*4.5*2.5 lgp (k=0.8 CmW º/ , =5.11*E-7 sm /2 inicialmente a 21ºC se suspende
verticalmente en un horno grande donde el aire del ambiente se encuentra a 150ºC. Hallar las
temperaturas en los siguientes puntos al finalizar una hora a) Centro del ladrillo b) Cualquier
esquina del ladrillo c) En el centro de la cara 9*4.5 lgp . Para un coeficiente de convección de
6.188 CmW º/ 2 en todas sus caras.
DATOS:
Lc
r
3
Lc 0.00167 m
Bic
ha Lc
k
Bic 0.00083 Bic 0.1
a
Lc
2
Bic
ln
Tf T
T1 T
a 93.8932 sTf T
T1 T
e
Bi Fo
Fo
a
Lc
2
Bic
hb Lc
k
Bic 0.5 Bic 0.1
Bi
hb r
k
Bi 1.5
1 1.1656 C1 1.1441
Fo
1
1
2
ln
1
C1
Tf2 T
Tf T
Fo 1.82979
b Fo
r
2
b 6.86858 s
T
h
2*L1
2*L2
2*L3
X
Y
Z
L1
4.5in
2
L1 0.05715 m
L2
2.5in
2
L2 0.03175 m
L3
9in
2
L3 0.1143 m
Ti 21C k 0.8
W
m C
T w 150C
5.11 10
7 m
2
sh 6.188
W
m
2
C 1hr
Univ. Erwin Choque Conde Página 60
Para la coordenada x Para graficas ver Anexos (Graficas 1
en adelante)
El número de Biot
De graficas
El número de Fourier
Para la coordenada y
De graficas
Para la coordenada z De graficas
a) La temperatura en el centro del ladrillo
b) La temperatura en cualquier esquina
Para
Para
Para
c) La temperatura en el centro de la cara 9*4.5in
Bix
h L1
k
Bix 0.44206 Bix
1
2.26216
Yxo
T 0( ) T w
Ti T w
Yxo 0.85
Fox
L1
2
Fox 0.56324
Biy
h L2
k
Biy 0.24559 Biy
1
4.07189
Yyo
T 0( ) T w
Ti T w
Foy
L2
2
Foy 1.82489 Yyo 0.7
Biz
h L3
k
Biz 0.88411 Biz
1
1.13108
Yzo
T 0( ) T w
Ti T w
Yzo 0.9
Foz
L3
2
Foz 0.14081
T 0 0 0( ) T w
Ti T w
Yxo Yyo Yzo
T 0 0 0( ) Yxo Yyo Yzo Ti T w T w T 0 0 0( ) 80.9205 C
T L1 L2 L3( ) T w
Ti T w
Yx L1( ) Yy L2( ) Yz L3( )
Bix
1
2.26216
Yx L1( ) YxL1 0.83 Yx L1( ) Yxo YxL1 Yx L1( ) 0.7055x
L1
L1
1
Biy
1
4.07189
Yy L2( ) YyL2 0.86 Yy L2( ) Yyo YyL2 Yy L2( ) 0.602x
L2
L2
1
Biz
1
1.13108
Yz L3( ) YzL3 0.67 Yz L3( ) Yzo YzL3 Yz L3( ) 0.603x
L3
L3
1
T L1 L2 L3( ) Yx L1( ) Yy L2( ) Yz L3( ) Ti T w T w T L1 L2 L3( ) 116.96301 C
Yxo 0.85T 0 L2 0( ) T w
Ti T w
Yxo Yy L2( ) Yzo Yy L2( ) 0.602
Yzo 0.9
T xo L2 zo( ) Yxo Yy L2( ) Yzo Ti T w T w T 0 L2 0( ) 90.59163 C
Univ. Erwin Choque Conde Página 61
59. Se tiene un cilindro de longitud 100 mm y de diámetro de 80 mm con una densidad de 7900
3/ mkg con un coeficiente de conductividad 17 CmW º/ y una capacidad especifica de 520
CkgJ º/ y un coeficiente de convección h=450 CmW º/ 2 la temperatura inicial del cilindro es
de 300ºC y del medio ambiente es de 20ºC a) Desarrollar la temperatura en el medio del cilindro
pasado 3.min. b) a 50 mm del punto medio (axial) c) a 20 mm del punto medio (radial) d) a 40
mm y 50 mm del centro. DATOS:
La longitud característica para un cilindro
El número de Biot
La difusividad térmica del cilindro es:
a)
Para el cilindro
Para una placa
b) Para
Grafica 1
para Placas
T
h
2*L
D
r
x Lo
100mm
2
Lo 0.05 m
D 80mm r
D
2
r 0.04 m
k 17
W
m C 7900
kg
m
3
Cp 520
J
kg C
3min
h 450
W
m
2
C T 20C
Ti 300C
T r x( )
Lc
r
2
r
Lo
Lc 0.01429 m
Bi
Lc h
k
Bi 0.37815
k
Cp
4.13827 10
6 m
2
s
T 0 0 3min( ) T 0 0 3min( ) T
Ti T
YoCilind YoPlaca
Lc r Bic
h Lc
k
Bic
1
0.94444 YoCilind 0.465
Fo
Lc
2
Fo 0.46556
Lp
Lo
2
Bip
h Lp
k
Bip
1
1.51111 YoPlaca 0.85
Fo
Lp
2
Fo 1.19182
T 0 0 3min( ) YoCilind YoPlaca Ti T T T 0 0 3min( ) 174.7 C
T 0 40mm3min( ) T 0 L 3min( ) T
Ti T
YoCilind YL.Placa
Bip
1
1.51111
Yx Lo( ) 0.555
x
Lo
Lo
1
YL.Placa YoPlaca Yx Lo YL.Placa 0.47175
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c)
Grafica 2
para cilindros
d)
Grafica 2
para cilindros
Grafica 1
para Placas
T 0 L 3min( ) YoCilind YL.Placa Ti T T 0.65 0.47175 Ti T T
T 0 L 3min( ) 105.85 C
T 20 0 3min( )
T 20 0 3min( ) T
Ti T
Yro.Cilind Yo.Placa
Bic
1
0.94444
Yr ro 0.88
x
r
ro
0.5
Yro.Cilind YoCilind Yr r( ) Yro.Cilind 0.4092
T 20 0 3min( ) Yro.Cilind Yo.Placa Ti T T
T 20 0 3min( ) 156.136 C
T 20 50 3min( )
T 20 50 3min( ) T
Ti T
YrCilind YL.Placa
Bic
1
0.94444
Yr ro 0.88
x
ro
ro
1
YrCilind YoCilind Yr r( ) Yro.Cilind 0.4092
Bip
1
1.51111
Yx Lo( ) 0.55
x
Lo
Lo
1
YL.Placa YoPlaca Yx Lo YL.Placa 0.4675
T 20 50 3min( ) YrCilind YL.Placa Ti T T
T 20 50 3min( ) 76.43 C
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CONVECCION
60. Un tubo metálico de 3 cm de diámetro externo que se encuentra a 160ºC se recubre con un
aislante de conductividad de 0.42 CmW º/ si la temperatura