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Apuntes Mecánica de Sólidos 146 CAPÍTULO 7 BARRA CURVA SOMETIDA A FLEXIÓN 7.1 Flexión en viga curva Fig. 7- 1 Deformación en una viga curva. 𝜀𝑥 = 𝐵𝐵′ 𝐴𝐵 = 𝑦 · ∆𝜑 𝑟𝑛 − 𝑦 · ∆𝜃 = ∆𝜑 ∆𝜃 · 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 𝜎𝑥 = 𝐸 · 𝜀𝑥 = 𝐸 · 𝑦 · ∆𝜑 𝑟𝑛 − 𝑦 · ∆𝜃 = 𝐸 · ∆𝜑 ∆𝜃 · 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 Condiciones de equilibrio: 1. Equilibrio de Fuerzas 𝐹𝑥 = 0 → 𝜎𝑥 𝑑𝐴 𝐴 = 0 𝐸 · ∆𝑦 ∆𝜃 · 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 0 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 0 (7. 01) En la ecuación 7.01, es la condición que determina la ubicación de la línea neutra. Apuntes Mecánica de Sólidos 147 2. Equilibrio de Momentos 𝑀𝑧 = 0 → 𝑀𝑓 − 𝑀𝑓 𝑖 = 0 𝑀𝑓 = 𝜎𝑥 · 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 𝑀𝑓 = 𝐸 · ∆𝑦 ∆𝜃 · 𝑦2 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 Fig. 7- 2 Esfuerzos en una viga curva. La integral: 𝑦2 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 𝑟𝑛 · 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 − 𝑦 𝑑𝐴 = 𝐴 𝑟𝑛 · 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 Como 𝑦 𝑟𝑛−𝑦 𝐴 𝐴 = 0 𝑦2 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 𝐴 · 𝑒 Así: 𝑀𝑓 = 𝐸 · ∆𝑦 ∆𝜃 · 𝐴 · 𝑒 → 𝐸 · ∆𝑦 ∆𝜃 = 𝑀𝑓 𝐴 · 𝑒 Y 𝜎𝑥 = 𝑀𝑓 𝐴 · 𝑒 · 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 (7. 02) Apuntes Mecánica de Sólidos 148 Distribución 𝜎𝑥 = 𝑀𝑓 𝐴 · 𝑒 · 1 𝑟𝑛 𝑦 − 1 𝑦 = 1 → 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝑀 · 1 𝐴 · 𝑒 · 𝑟𝑖 𝑦 = −2 → 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = − 𝑀 · 2 𝐴 · 𝑒 · 𝑟𝑒 Fig. 7- 3 Distribución de esfuerzos. Cero especial Si ≪ 𝑟𝑔 → ≪ 𝑟𝑛 ∴ 𝑦 ≪ 𝑟𝑛 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 0 → 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 0 Cuando se da la condición geométrica 𝑦 ≪ 𝑟𝑛 , se puede considerar que la línea neutra coincide con la línea centroidal y puede utilizarse sin mucho error la fórmula de flexión de barras rectas (ecuación 5.5 del capítulo 5). Ejemplo 1: Determinar la ubicación de la línea neutra de una sección rectangular: 𝑦 𝑟𝑛 − 𝑦 𝑑𝐴 𝐴 = 0 Cambio de variables 𝑣 = 𝑟𝑛 − 𝑦 → 𝑦 = 𝑟𝑛 − 𝑣 Apuntes Mecánica de Sólidos 149 𝑟𝑛 − 𝑣 𝑣 𝑑𝐴 𝐴 = 0 𝑟𝑛 𝑣 𝑑𝐴 𝐴 = 𝑑𝐴 𝐴 𝑟𝑛 𝑏 𝑣 𝑑𝑣 𝑣 = 𝐴 = 𝑏 · 𝑟𝑛 = ln 𝑟𝑒 𝑟𝑖 En general: 𝑟𝑛 = 𝐴 𝑑𝐴 𝑣𝐴 (7. 03) Perfil Área 𝒅𝑨 𝒗 𝑨 𝑏 · (𝑟𝑒 − 𝑟𝑖) 𝑏 · ln 𝑟𝑒 𝑟𝑖 Apuntes Mecánica de Sólidos 150 𝑏 2 · (𝑟𝑒 − 𝑟𝑖) 𝑏 · 𝑟𝑒 (𝑟𝑒 − 𝑟𝑖) · ln 𝑟𝑒 𝑟𝑖 − 𝑏 𝜋𝐶2 2𝜋 · 𝑟 − 𝑟 2 − 𝐶2 𝜋ab 2𝜋 · 𝑏 𝑎 · 𝑟 − 𝑟 2 − 𝑎2
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