Apunte Saavedra

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 Mecánica de fluidos Prof. Claudio Saavedra
1.Fluido y sus propiedades
1.1- El fluido como medio continuo
Es usual estudiar los fenómenos asociados al movimiento de fluidos, desde el punto de vista
macroscópico aplicando las leyes de la mecánica de Newton. Si bien, se sabe que la materia se
encuentra estructurada en forma molecular, y que gran parte del espacio que ella ocupa
corresponde al vacío , en este curso líquidos y gases serán considerados como un medio
continuo. En este contexto se tomará como referencia una partícula de fluido con un volumen
tal que contenga un gran número de moléculas, de este modo las variaciones aleatorias de sus
propiedades serán despreciables.
En el caso de un gas, la hipótesis de medio continuo es una aproximación razonable si las
dimensiones lineales del elemento de volumen más pequeño que se considera son mayores que
el camino libre recorrido por las moléculas. Por ejemplo, para el aíre en condiciones normales
el recorrido libre de las moléculas es de aproximadamente de 1.0x 10 -4 mm, por lo que si el
volumen de la partícula es él de un cubo que tenga diez veces este valor (1.0x 10 -3 mm) , éste
contendrá alrededor de 30 millones de moléculas.
Siguiendo con el ejemplo, si ahora se trata de estudiar el comportamiento del aire atmosférico a
gran altura, la suposición de medio continuo no es aplicable ya que aumenta el recorrido libre
de las moléculas y disminuye la concentración de éstas, por lo que el problema se debe
solucionar desde un punto de vista microscópico.
En el caso de líquidos, debido a que el recorrido libre de las moléculas es más pequeño y su
concentración es mayor, es más valedera la suposición de medio continuo,
1.2-Propiedades físicas de líquidos y de gases
Cuando una fuerza es aplicada a un sólido, éste experimenta una deformación, si ésta
desaparece cuando la fuerza se deja de aplicar, entonces se habla de una deformación elástica,
si en cambio ella permanece se dice que la deformación es plástica.
Los fluidos tienen en cambio un comportamiento muy diferente, ya que su deformación
aumenta en forma continua y sin límites: se dice que ellos escurren cuando quedan expuestos a
la acción de una fuerza, aún siendo ésta muy pequeña.
Con el fín de distinguir entre un medio sólido y otro medio fluido, se examinará la respuesta de
cada uno a la aplicación de una fuerza de corte.
En la figura nº1 se muestra una barra sólida, que tiene uno de sus extremos unido en forma
rígida a una superficie y el otro está libre. Al aplicar un torque T al extremo libre, la barra
experimenta una torsión, hasta alcanzar una posición de equilibrio, la deformación será elástica
si no se ha sobrepasado el límite elástico del material. Por lo que, cuando se deja de aplicar el
torque la barra recupera su forma original. Sí se sobrepasa el límite elástico, entonces la barra
se deforma plasticamente, y no recuperará su foma original.
2
En la figura nº2 se muestra dos cilindros concéntricos, el interior está fijo y el exterior puede
girar, con un medio fluido (por ej. agua, aceite) entre ellos . Al aplicar un torque al cilindro
exterior, el fluido es incapaz de alcanzar una posición de equilibrio, por lo que el cilindro
exterior girará con una cierta velocidad angular, cuya magnitud dependerá del torque aplicado
y de las propiedades del fluido. Lo anterior implica que un fluido no puede resistir una fuerza
de corte, sin experimentar una deformación continua.
Existe sí una diferencia en cuanto al comportamiento físico de líquidos y gases, que se
manifiesta en la capacidad de expandirse y comprimirse, y que es una medida de la resistencia
del fluido al cambio de su volumen.
Los líquidos se caracterizan por ser fuertemente incompresibles, en cambio los gases son
altamente compresibles.
El estudio de fluidos incompresibles en condiciones estáticas se conoce como hidrostática,
cuando la densidad no puede considerarse constante bajo condiciones estáticas, como en el
caso de un gas, se denomina como aerostática.
1.2.1-Densidad de un fluido
La densidad de una partícula de fluido se define como la razón entre la masa " dm" de todas
las moléculas y el volumen " dV" en el cual están contenidas.
Desde el punto de vista macroscópico, cuando el fluido es considerado como un medio
continuo, la densidad se debe poder expresar en cada instante de tiempo como una función de
posición continuamente derivable
 Cuando coexisten dos fluidos inmiscibles, la interfase corresponde a una superficie donde la
densidad cambia en forma discontinua, sin embargo a cada lado de ella, la densidad debe variar
en forma continua y ser continuamente derivable.
1.2.2-Compresibilidad
Si se tiene un número fijo de partículas de una determinada materia, entonces la masa
correspondiente permanecerá invariable, por lo que se puede obtener una relación entre el
volumen V ocupado y la densidad ρ y los cambios correspondientes
dV
dm=ρ
),( trρρ =
A
B
 B"
T
La línea AB, debido
a la deformación
cambia a AB"
Figura nº1
Cilindro interior fijo
 Cilindro exterior movil
Capa de fluido que se
deforma continuamente
Torque aplicado
Figura nº2
3
si la materia queda expuesta a cambios de temperatura y de presión, entonces se producirán
cambios en el volumen que ocupa, cuya magnitud dependerá de su naturaleza; y por lo
tanto,según las relaciones anteriores, también se producirán cambios en su densidad.
Se puede plantear que el cambio relativo del volumen ocupado por una determinada materia es
función de los cambios de la presión y de la temperatura, así como del tipo de material.
Entonces para un material dado, se tendrá:
Con lo que se obtiene:
El coeficiente de compresibilidad isotérmico KT (Pa-1) se define como:
El coeficiente térmico de expansión β (K) se define:
Expresando el cambio de densidad en función de los coeficientes anteriores, se obtiene:
Si la compresión ocurre en forma lenta, entonces es posible que el flujo de calor por
conducción permita que la temperatura no cambie, por lo que el cambio de densidad se puede
relacionar con el cambio de presión como sigue:
Si la expansión ocurre por un aumento de la temperatura, sin que se produzcan cambios en la
presión, el cambio de la densidad se puede obtener como:
V
dVd
VddVVm −=→=+=
ρ
ρρρρ 0
dT
T
V
V
dp
p
V
VV
dV
pT





∂
∂+



∂
∂= 11
p
K
p
V
V
K T
T
T perfectogaspara
11 =→



∂
∂−=
T
perfectogaspara
T
V
V p
11 =→




∂
∂= ββ
dpK
d
T=ρ
ρ
dTdpK
V
dVd
T βρ
ρ −=−=
dT
d β
ρ
ρ −=
( )TpV ,φ=
4
Si el cambio de densidad ocurre en forma rápida y reversible,no existiendo por lo tanto
transferencia de calor con su ambiente, entonces se puede plantear para un proceso isentrópico:
Para la mayoría de los líquidos existe muy poca diferencia entre KS y KT .
Cuando un fluido escurre, si la densidad de la partícula es independiente de la presión, osea
se dice que el escurrimiento es incompresible, pero esto no significa que la densidad sea
constante, ya que ella podría variar con la temperatura o la concentración.
En el caso de los líquidos se puede despreciar el efecto de la presión sobre su densidad, por lo
que el escurrimiento de líquidos se considera como incompresible.
En el caso de los gases, puede ocurrir que el efecto de su compresibilidad sea importante sobre
el escurrimiento, una manera de cuantificarlo es comparando la predicción de la razón de dos
presiones.
Para esto se considerará el frenado de una corriente gaseosa cuya velocidad disminuye de C1
m/s a 0m/s, aumentando el valor de la presión "p1" cuando está en movimiento a "p2" cuando
está detenido para flujo como incompresible y para flujo como compresible.
Aplicando la 1ª ley (conservación de la energía) se tiene:
Como parámetro o número adimensional, se usará al número de Mach, "M" definido como la
razón entre la velocidad del gas "C"y la velocidad de propagación del sonido "a" en el gas.
Se sabe que para un gas perfecto, la velocidad del sonido depende de la temperatura "T", de laconstante "R" y del coeficiente "k" (razón entre calores o capacidades específicos) del gas
T
V
p
ss KC
C
KperfectogasparadpKd =→=
ρ
ρ
0=∂∂ pρ
∫ ∫=+
1
0
2
0
2
1
2 ρρ
dpdpC
P1
C1
P2
C2=0
Frenado de un gas
5
Para caso incompresible (densidad independiente de la presión) se obtiene:
Para caso compresible (densidad y presión están relacionadas) se obtiene para proceso
isentrópico.
Cuando los resultados de la razón de presiones calculados según las dos expresiones anteriores
son semejantes, entonces, el efecto de la compresibilidad se puede despreciar, y considerar el
escurrimiento como "flujo incompresible".
Esto se puede observar en la figura nº3, que indica idénticos resultados (error inferior a 0.1%)
hasta para un número de Mach inferior a 0.3.
 Figura nº3
Entonces para flujo de gases, éste se considerará incompresible si el número de Mach es
inferior a 0.3, lo que ocurre para la mayoría de las aplicaciones industriales
1.2.3-Tensión superficial y capilaridad
Ambos fenómenos físicos son característicos de los líquidos cuando se producen interfaces
entre: líquido/gas , líquido/sólido y líquido/líquido, y se deben a la existencia de dos tipos de
fuerzas:
- fuerzas de cohesión: fuerzas de atracción entre moléculas de la misma naturaleza
- fuerzas de adhesión : fuerzas de atracción entre moléculas diferentes
efecto de la compresibilidad
1
1,2
1,4
1,6
1,8
2
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
nº de Mach
ra
zó
n 
de
 
pr
es
io
ne
s
incompresible
compresible
11
1
1
1 : kRTacona
C
M ==



 += 21
1
2
2
1 Mk
p
p
( )1
2
1
1
2
2
11
−



 −+=
kk
Mk
p
p
6
En un líquido, aquella moléculas que están en su interior, están sometidas a fuerzas de
atracción en todas direcciones, por lo que la fuerza resultante es nula. En cambio áquellas
ubicadas en la superficie, están sometidas a una fuerza resultante hacia el interior del líquido,
por lo que se requiere hacer un trabajo para trasladar una molécula desde el interior a la
superficie.
En la superficie libre del líquido, las fuerzas cohesivas hacia el interior son mayores que las
fuerzas adhesivas hacia el gas localizado por encima, por lo que la superficie tiene un
comportamiento similar al de una membrana elástica. Como resultado aparece una tensión
superficial, que explica que una gota de líquido tienda a tomar la forma esférica.
Para una gota de líquido,según figura nº4,
despreciando el efecto del peso, se tiene que existe
un equilibrio entre la fuerza resultante de la
presión interna "pi" y la fuerza resultante de la
tensión en la superficie de la gota "σ".
Para:
 - agua en contacto con aíre σ = 0.073 N/m
 - mercurio en contacto con aíre σ = 0.514 N/m
Una gota de agua de 0.5mm de radio, podría resistir una presión interna máxima de 292 Pa
Otros valores de tensión superficial, para: benceno 0.024 N/m , etanol 0.023 N/m.,
1.2.4-Capilaridad
La relación entre la fuerza de cohesión del líquido y la fuerza de adhesión del líquido a las
paredes de un sólido puede originar los siguientes casos:
- el líquido asciende, moja las paredes de un tubo, si la adhesión es mayor que la cohesión
- el líquido no moja las paredes de un tubo, sí la cohesión es mayor que la adhesión
en la figura nº5, se muestra como un líquido asciende por el interior de un tubo, producto de la
capilaridad, como resultado de dos fuerzas en equilibrio: la tensión superficial y el peso.
Fuerza tensión superficial = σ π d cosθ
Fuerza peso = π d2 h ρ g / 4
Para agua / vidrio θ = 0
 σ
 p i
Figura nº 4
o
iooi R
pRRp σπσπ 2022 =→=+−
 θ
 d
h
Figura nº5
gd
h
ρ
θσ cos4=
7
2.- Campo de velocidad de un sólido rígido y de un fluido
2.1- sólido rígido
Cuando un cuerpo sólido rígido está en movimiento, existe una relación definida y simple entre
las velocidades de las diferentes partículas del cuerpo, por ejemplo:
- si el sólido se traslada, todas las partículas se mueven con la misma velocidad
- si el sólido rota alrededor de un eje, las velocidades de las partículas dependen en forma
lineal de la distancia al eje de rotación.
2.2 -Movimiento de las partículas de un fluido
Como las partículas no están rigidamente unidas unas a otras, el movimiento relativo se hace
más complejo, por lo que para describir completamente el movimiento de un fluido, es
necesario tener información sobre el movimiento de cada una de sus partículas.
En el caso de un cuerpo rígido, basta con conocer el movimiento de un número discreto de
partículas para describir el movimiento del conjunto.
2.3- El campo de velocidades
La velocidad de cada una de las partículas de un fluido se puede describir en función de la
posición que ella tiene en el campo de velocidad y del tiempo.
Empleando las coordenadas cartesianas y las componentes de la velocidad según cada
dirección, se tiene:
Existen dos alternativas para aplicar las ecuaciones anteriores al movimiento de un fluido:
a)- definir un volumen de control fijo en el espacio, en función de las coordenadas x,y,z que
también están fijas. Así, es posible establecer las velocidades de las partículas que pasan por
las posiciones espaciales ya definidas, en cualquier instante de tiempo; procedimiento conocido
como método de Euler.
V
V
V
V
V
u = ω r
Traslación
rotación
Figura n° 6
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxfw
tzyxfv
tzyxfu
wkvjuiV
=
=
=
++=
r
8
kdzjdyidxrd ˆˆˆ ++=r
X
Y
Z
dx
dy
dz
A
B
C
D
Figura n° 8
 E
kdz
z
w
jdz
z
v
idz
z
u
dz
z
V
VV
kdy
y
w
jdy
y
v
idy
y
u
dy
y
V
VV
kdx
x
w
jdx
x
v
idx
x
u
dx
x
V
VV
VVVVVVVV
AE
AD
AC
AEADACAB
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
)()()(
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂=−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂=−
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
∂
∂=−
−+−+−=−
r
rr
r
rr
r
vr
rrrrvrrr
b)- definir la posición x,y,z de la partícula en cualquier instante de tiempo,método de Lagrange.
2.4- Aceleración de una partícula y gradiente de la velocidad
Definida en función del campo de velocidades, la aceleración queda como sigue:
Donde:
- el término entre parentesis corresponde a la aceleración convectiva o de transporte, es la tasa
temporal de cambio de la velocidad debida al cambio en la posición.
- el término restante representa la tasa de cambio del campo de velocidad en el tiempo.
La figura n° 8, muestra un cubo que tiene por aristas las distancias diferenciales dx, dy y dz , y
partículas A,B,C,D y E, ubicadas en los vertices.El movimiento relativo entre dos partículas de
fluido B y A separadas por la distancia
se puede expresar en función del movimiento relativo entre las partículas C y A, D y A, E y A
 Ro (xo,yo,zo)
V=f (Ro,t)
Método de Lagrange
V=f (x,y,z,t)
Figura n° 7
Vo
Método Euler
t
V
z
Vw
y
Vv
x
Vua
kwjviuVy
t
z
w
t
y
v
t
x
ucon
t
V
t
z
z
V
t
y
y
V
t
x
x
V
dt
tzyxVd
a
∂
∂+


∂
∂+
∂
∂+


∂
∂=
++=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂+
∂
∂
∂
∂==
rrrr
r
r
rrrrr
r
ˆˆˆ:
),,,(
9
44444 344444 21444444 3444444 21
r
rotacionalotorbellinotensorndeformaciódevelocidadtensor
z
v
y
w
z
u
x
w
y
w
z
v
y
u
x
v
x
w
z
u
x
v
y
u
z
w
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
y
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
x
u
V






















∂
∂−
∂
∂




∂
∂−
∂
∂




∂
∂−
∂
∂




∂
∂−
∂
∂





∂
∂−
∂
∂




∂
∂−
∂
∂
+


















∂
∂




∂
∂+
∂
∂




∂
∂+
∂
∂




∂
∂+
∂
∂
∂
∂




∂
∂+
∂
∂





∂
∂+
∂
∂




∂
∂+
∂
∂
∂
∂
=∇
0
0
0
2
1
2
2
2
2
1
en las expresiones anteriores aparece el gradiente de la velocidad, tensor de 2°orden con nueve
componentes.
el tensor gradiente velocidad se puede descomponer en dos tensores: el tensor simétrico
"velocidad de deformación" y el tensor anti-simétrico "rotacional o torbellinos", como sigue:
donde ∇V* es eltensor transpuesto, quedando el tensor:
2.4.1-Tensor velocidad de deformación
el tensor velocidad de deformaciòn contiene la informaciòn respecto a la velocidad de
deformaciòn normal (elongaciòn / contracciòn) y a la velocidad de deformaciòn angular de un
fluido
a) velocidad de deformaciòn normal:las elongaciones de tres segmentos infinitesimales de
longitudes dx, dy, dz en las direcciones x,y,z ; por unidad de longitud original es la velocidad
de deformaciòn normal (tèrminos de la diagonal principal del tensor velocidad de deformación)
z
w
z
v
z
u
y
w
y
v
y
u
x
w
x
v
x
u
V
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=∇
r
[ ] [ ]**
2
1
2
1 VVVVV
rrrrr
∇−∇+∇+∇=∇
z
w
y
v
x
u
zzyyxx ∂
∂=
∂
∂=
∂
∂= εεε &&&
 X
Y
 Z
 dx
 dy
dz
O A A´
 B
B´
dx
 dy
 O A´A
 dx
 dz
 C
C´
Figura nº 9
10
En la figura anterior se muestra la deformaciòn normal de un conjunto de partículas de fluido
de forma cúbica con aristas dx,dy,dz.
- el trazo OA se deforma a OA´ ya que el extremo O tiene una velocidad "u" y el extremo A
tiene una velocidad "u+ (∂u /∂x) dx"
despues de un tiempo dt, la elongación es la diferencia de lo que avanza A y O
sí el fluido es incompresible, entonces como el cambio neto de volumen debe ser cero, la suma
de las velocidades de deformación normales también debe ser nula, osea:
b) velocidad de deformación angular
las otras componentes del tensor velocidad de deformación, corresponden a la velocidad de
deformación angular:
en la figura nº10, se muestra la deformación angular que experimenta un ángulo recto OB-
OA,al cambiar al ángulo OB´-OA´, de lados dx y dy, asociado a un conjunto de partículas del
fluido que se mueve.
El trazo OA de longitud dy se deforma a OA´ ya que el punto O tiene como una componente
de su velocidad a la velocidad "u" y su extremo A tiene como velocidad a " u + (∂u / ∂y) dy".
Luego transcurrido un tiempo "dt", el punto A avanza más que O, desplazándose hasta A´.
lo mismo ocurre entre el extremo O y el B del trazo de longitud "dx" generándose las
siguientes deformaciones angulares y velocidades de deformación angulares.
x
u
dx
esndeformaciódevelocidadlaydt
x
u
dx
eselongaciónla
dxdt
x
uudtdtdx
x
uu
xx
xx
xx
xx
xx
∂
∂==
∂
∂=∆=
∂
∂=−




∂
∂+=∆
εε
ε
&
.
0=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂
z
w
y
v
x
u
A
A´
O B
B´
dx
dy
Figura nº 10
 dφ1
dφ2




∂
∂+
∂
∂==




∂
∂+
∂
∂==




∂
∂+
∂
∂==
x
w
z
u
y
w
z
v
y
u
x
v
xzzx
zyyz
yxxy
φφ
φφ
φφ
&&
&&
&&
11
x
v
y
u
yxxy ∂
∂+
∂
∂===+ φφφφ &&& 21
Y
X
Z dzz
vv
∂
∂+
dz
z
uu
∂
∂+
dx
x
ww
∂
∂+
dy
y
w
w
∂
∂+
dy
y
uu
∂
∂+
dx
x
vv
∂
∂+
v→
v→
u
u
Figura nº 11
↑
w
↑
w
Por lo que la velocidad con que se deforma el ángulo AOB es:
2.4.2- El tensor torbellinos o rotacional
Los términos de este tensor, fuera de la diagonal, representan la rotación como cuerpo sólido
de un elemento de fluido. Sí este tensor es nulo, entonces no existe rotación como sólido. Para
el caso de un fluido, las velocidades de rotación se definen como el promedio de las
velocidades angulares de dos segmentos lineales mutuamente perpendiculares. Tomando como
positivo el sentido de giro antihorario.
Entonces se tiene:
De acuerdo con la figura nº11 se puede observar que:
En el plano yz:
- el trazo horizontal debido a la diferencia de velocidades que tienen sus extremos según la
x
v
dt
d
dt
x
v
dx
vdtdtdx
x
v
v
dd
y
u
dt
d
dt
y
u
dy
udtdtdy
y
u
u
dd
∂
∂==
∂
∂=
−




∂
∂+
=≈
∂
∂==
∂
∂=
−



∂
∂+
=≈
2
222
1
111
tg
tg
φφφφ
φφφφ
&
&




∂
∂−
∂
∂=




∂
∂−
∂
∂=



∂
∂−
∂
∂=
y
u
x
v
x
w
z
u
z
v
y
w
zyx 2
1
2
1
2
1 ωωω
12
dirección z, tiende a girar en el sentido anti-horario con la velocidad angular +∂w / ∂y
- el trazo vertical tiende a girar en el sentido horario con la velocidad angular -∂v / ∂y
por lo que de acuerdo con la definición, la velocidad angular del conjunto de partículas de
fluido es:
en el plano xy:
- el trazo que está en la dirección x, tiende a girar en el sentido anti-horario con la velocidad
angular +∂v /∂x
- el trazo que está en la dirección y tiende a girar en el sentido horario con la velocidad
angular -∂u / ∂y
por lo que en este plano la velocidad angular de rotación es:
en el plano zx
- el trazo que está en la dirección z tiende a girar en el sentido anti-horario con la velocidad
angular +∂u / ∂z
- el trazo que está en la dirección x tiende a girar en el sentido horario con la velocidad
angular -∂w / ∂x
por lo que en este plano la velocidad angular de rotación es:
por lo tanto el tensor rotacional o torbellino tiene como componentes a las velocidades
angulares, como se indica a continuación:
El vector asociado al tensor rotacional o torbellino es el vector velocidad angular:




∂
∂−
∂
∂=
z
v
y
w
x 2
1ω




∂
∂−
∂
∂=
y
u
x
v
z 2
1ω





∂
∂−
∂
∂=
x
w
z
u
y 2
1ω
0
0
0
xy
xz
yz
VRotacional
ωω
ωω
ωω
−
−
−
=
r
kji zyx ˆˆˆ ωωωω ++=
r
13
rotación
dz
dy
dx
x
v
y
u
x
v
y
u
dz
dy
dx
y
w
z
v
x
w
z
u
y
w
z
v
x
v
y
u
x
w
z
u
x
v
y
u
dz
dy
dx
z
w
y
v
x
u
Aw
v
u
Bw
v
u
y
w
z
v
z
u
x
w
y
w
z
v
z
u
x
w
angularndeformacióelongacióntraslación






























∂
∂−
∂
∂−




∂
∂−
∂
∂




∂
∂−
∂
∂









∂
∂−
∂
∂−

































































































∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
−
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+=
0
0
0
2
1
0
0
0
2
1
00
00
00
2.4.3-Rotor de la velocidad:
El rotor de la velocidad , está relacionado con el tensor rotacional y con la velocidad angular de
un fluido, ya que se tiene:
Las componentes del rotor corresponden al doble de las componentes de la velocidad angular
definidas anteriormente, osea, se tiene:
El análisis del movimiento relativo entre dos partículas "A" y "B" indica que para un
fluido se puede producir una traslación, una rotación, una deformación angular y una
deformación lineal




∂
∂−
∂
∂+



∂
∂−
∂
∂+



∂
∂−
∂
∂=
∂
∂
∂
∂
∂
∂=×∇=
y
u
x
v
k
x
w
z
u
j
z
v
y
w
i
wvu
zyx
kji
VVrotor ˆˆˆ
rr
ωωωω r
rr
2ˆ2ˆ2ˆ2 =++=×∇= kjiVVrotor zyx
 Traslación + Rotación + Deformación angular + Elongación
 Figura n° 12
14
y
u
x
v
z ∂
∂−=
∂
∂=ω
Algunos casos típicos
-a) sólo rotación (en el plano xy) → ωz ≠ 0
entonces :
- para velocidad de deformación angular nula:
 
-para velocidad de elongación nula:
reemplazando en la expresión que define la velocidad angular wz se obtiene:
- b) sólo deformación angular en el plano xy
para rotación nula se tiene:
para velocidad de elongación nula se tiene:
luego para velocidad de deformación angular finita se tiene:
- c) sólo velocidad de elongación en el plano xy
rotación nula y velocidad de deformación nula
x
v
y
u
x
v
y
u
∂
∂−=
∂
∂→=
∂
∂+
∂
∂ 0
y
v
x
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂→=
∂
∂+
∂
∂ 0




∂
∂−
∂
∂=
y
u
x
v
z 2
1ω
y
u
x
v
y
u
x
v
z ∂
∂=
∂
∂→=



∂
∂−
∂
∂= 0
2
1ω
00 ≠
∂
∂=
∂
∂→≠
∂
∂+
∂
∂
x
v
y
u
x
v
y
u
y
v
x
u
y
v
x
u
∂
∂−=
∂
∂→=
∂
∂+
∂
∂ 0
000 =
∂
∂=
∂
∂≠
∂
∂≠
∂
∂
x
v
y
u
y
v
x
u
15
3.-Fuerzas y esfuerzos
Existen dos tipos de fuerza que pueden actuar sobre los fluidos:
3.1- las fuerzas de cuerpo, que actúan sobre la materia sin requerir de un contacto directo, son
proporcionales a la masa. Entre las fuerzas de cuerpo están la fuerza de gravedad (el peso),
fuerza electromagnética,etc.Cuando se analiza un volumen de control Vo de fluido, si f
representa la fuerza de cuerpopor unidad de masa y ρ la densidad del fluido, entonces la fuerza
de cuerpo que actúa sobre el fluido encerrado en el volumen de control vale:
:
Donde f tiene las dimensiones de una aceleración (aceleración de gravedad para la fuerza
peso)
Cuando el movimiento del fluido se describe en un sistema de referencia no inercial, las
fuerzas ficticias de D'Alambert también se pueden considerar como fuerzas de cuerpo, y en
este caso f queda representada por la aceleración del fluido.
3.2- Fuerzas de superficie: éstas se originan por la interacción directa entre las moléculas de
un fluido, y también por contacto con la superficie de un sólido.
Es común expresar estas fuerzas en función del tensor esfuerzo σ
Este se define como una fuerza por unidad de área, por lo que tiene dos direcciones asociadas:
una relativa a la fuerza y la otra a la normal al área. En un sistema de referencia cartesiano
existirán nueve combinaciones posibles entre las componentes de la fuerza y las componentes
del área. El esfuerzo se puede representar por un tensor de 2º orden, con componentes del tipo
σij
Donde:
 i: identifica la dirección de la normal al área sobre la cual actúa la
componente el esfuerzo
 J: identifica la dirección de la componente del esfuerzo
Teniendo en cuenta que de las 9 componentes, 3 corresponden a las componentes normales y 6
corresponden a las tangenciales, se usará la siguiente simbología:
σ : esfuerzo normal a la superficie sobre la que actúa, positivo cuando corresponde a tracción
τ : esfuerzo tangencial a la superficie sobre la que actúa, también conocido como esfuerzo de
corte o de cizalle
∫= Vo dVfF ρ
rr Vo
dVfρ
r
Figura nº 13F
r
16
En forma matricial el tensor esfuerzo se escribe como sigue; y en la figura nº 15 se puede
observar un paralelepipedo infinitesimal de aristas dx = dy = dz sobre el que actúan las 9
componentes del tensor esfuerzo
 
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σττ
τστ
ττσ
σ =
3.3- Simetría del tensor esfuerzo: fluido no polar
 Un fluido no polar es aquel que no puede transmitir momento proveniente de los esfuerzos,
aplicando el teorema del momento cinético a una partícula de fluido se puede demostrar que:
 σij = σji
según la 2ª ley de Newton aplicada a un medio continuo (placa de espesor unitario, en el plano
xy), se tiene:
 )( cmr
dt
dM
rrr ×=
donde el momento de las fuerzas que actúan es Mz y el momento de inercia es Jz
dt
dJM zz
ω=
con:
12
22 yx
mJ z
∆+Λ= yxm ∆∆= ρ 
dt
dyx
yxM z
ωρ
12
22 ∆+∆∆∆=
el momento de las fuerzas superficiales es, según se puede observar en la figura nº15
 
2
2
2
2
x
y
y
xM xyyxz
∆∆+∆∆−= ττ
luego para que dw/ dt sea cero, en la expresión siguiente:
 σxx
 σxx
σyy
σyy
σzz
 σzz
 τzx
τzy
 τyz
τyx
 τxz
τzy
τxz
τzx
τyz
 τyx
τxy
 τxy
X
Y
Z
Figura nº 14
17
 
dt
dyxxyyx
ωρττ )
12
()( 22 ∆+∆=+−
se debe cumplir que:
nota: se han despreciado las contribuciones de aquellos términos de 2ºorden, incluido el peso
 
dy
y
yx
yx ∂
∂
+
τ
τ
yxτ
xyτ
dx
x
xy
xy ∂
∂
+
τ
τ
dx
 dy
Figura nº 15
Esto implica que el tensor esfuerzo para un fluido no polar es simétrico y tiene sólo seis
componentes independientes:
- a) las tres componentes de la diagonal que representan los esfuerzos normales:
 σnn : [σxx σyy σzz ]
nota: la suma de cualquier conjunto de esfuerzos normales ortogonales en un punto(se conoce
como traza del tensor), tiene un valor único independiente de la orientación de los ejes x,y,z .
El esfuerzo normal promedio se conoce como esfuerzo volumétrico σ
Como el esfuerzo volumétrico no tiene propiedades direccionales es una cantidad escalar.
Relación entre la presión termodinámica, que es un concepto de equilibrio, con el esfuerzo, que
es un concepto no restringido a una condición de equilibrio, la equivalencia entre presión
termodinámica y el esfuerzo normal es:
 σ−=p
yxxy ττ =
[ ]zzyyxx σσσσ ++= 3
1
18
- b) las tres componentes fuera de la diagonal que representan los esfuerzos tangenciales, los
que apuntan desde y hacia las esquinas ( ver figura nº15):
 τij : [τ xy τ xz τ yz ]
3.4- Relaciones termodinámicas aplicadas en fluidos en movimiento:
Las relaciones termodinámicas fueron establecidas para sistemas en equilibrio, en dinámica de
fluidos los sistemas termodinámicos considerados son partículas de fluido en movimiento. Por
lo que la condición de equilibrio en este caso se obtiene sólo cuando los procesos moleculares
que se desarrollan al interior de la partícula , lo hacen en una escala de tiempo que es muy
pequeña comparada con la de los cambios a nivel macroscópico. Según la teoría cinética, el
equilibrio de un nuevo estado se establece después de una decena de colisiones
intermoleculares. Si durante este período de tiempo se producen cambios a nivel macroscópico,
entonces no se logra la condición de equilibrio. La experiencia muestra que salvo algunos
casos extremos (gases de densidad muy baja, velocidades y temperaturas de flujo muy altas) es
válido aplicar las relaciones para equilibrio termodinámico.
4.- Esfuerzo y deformación
La ciencia que estudia como responden los materiales a un esfuerzo aplicado se conoce como
reología, conocida también como la ciencia de la deformación y del flujo de materia.
Los materiales en estado sólido pueden tener, desde el punto de vista de su deformación
frente a la aplicación de un esfuerzo, un comportamiento elástico lineal, elástico no lineal o
elastoplástico.
Los materiales en estado de fluido, pueden tener un comportamiento viscoelástico, osea,
exhiben un comportamiento simultáneo de fluido viscoso y de un sólido elástico.
4.1- Modelos matemáticos para fluidos inelásticos
El comportamiento elástico de muchos fluidos (incluidos aquellos del rubro alimentos) es tan
pequeño, que en la mayoría de los casos se modelan como fluidos viscosos.
Un modelo general para un fluido viscoso que relaciona el esfuerzo con la velocidad de
deformación es el de Herschel-Bulkley
Donde:
K es un coeficiente de consistencia
n es un índice
σo esfuerzo de fluencia, representa el esfuerzo necesario para producir el inicio del
escurrimiento
Los fluidos inelásticos pueden tener un comportamiento viscoso dependiente del tiempo o
invariable en el tiempo
( ) onndeformacióvelK σσ += .
19
4.1.1-- Comportamiento dependiente del tiempo
fluidos inelásticos con comportamiento dependiente del tiempo se explica por cambios en la
estructura del material, en cambio para fluidos viscoelásticos el efecto del tiempo sobre la
deformación se debe a que la respuesta a un esfuerzo no es instantánea, y no está asociada a
cambios en la estructura del material.
Los fluidos inelásticos dependiente del tiempo se clasifican en:
a) thixotrópicos: áquellos cuya viscosidad dinámica decrece con el tiempo, cuando se le
aplican esfuerzos cortantes ej: pinturas
b) rheopécticos: áquellos cuya viscosidad dinámica aumenta en el tiempo al aplicarles
esfuerzos cortantes, ej: algunas suspensiones en agua.
4.1.2- Fluidos no dependientes del tiempo
a)fluidos newtonianos
Todos los gases y la mayoría de los líquidos que tienen una formula molecular simple y bajo
peso molecular como: el agua, benceno, alcohol etílico, cloroformo, hexano, y la mayoría de
las soluciones de moléculas simples, tienen una relación lineal entre el esfuerzo y la velocidad
de deformación, (para régimen laminar de escurrimiento).Estos fluidos son conocidos como
Newtonianos, y el coeficiente de proporcionalidad , corresponde a una propiedad del fluido,
conocida como viscosidad dinámica.
µ viscosidad dinámica (Pa- s)
también se emplea la viscosidad cinemática, definida como la razón entre la viscosidad
dinámica y la densidad del fluido, como se indica.
b)Fluidos no newtonianosEn su mayoría son mezclas complejas, pastas, gels, polímeros, etc. se distinguen:
- b1) plásticos de Bingham: resisten pequeños esfuerzos, pero luego fluyen si el esfuerzo
aumenta ej: pasta dental, pulpas
thixotrópicos
rheopecticos
tiempo
Viscosidad aparente
Figura nº 16
)( ndeformaciódevelocidadµτ =
)/(cos 2 smcinemáticaidadvis==
ρ
µγ
20
- b2) pseudo plásticos: la mayoría de los no-newtonianos pertenecen a este grupo, que se
caracteriza porque la viscosidad decrece con el aumento del gradiente de la velocidad, ej:
polímeros,sangre.
- B3) fluidos dilatantes: la viscosidad aumenta con el aumento del gradiente de la velocidad,
no son fluidos comunes, algunas suspensiones actúan así.
4.2- Viscosidad del fluido
Cuando un fluido está en reposo, en cualquier punto de éste, y para cualquier superficie que lo
rodea existe una fuerza que es normal a ella. Esta fuerza es de compresión y no de tracción, y
cuando se expresa por unidad de superficie se conoce como presión, (generalmente se le llama
presión hidrostática).Una condición característica de la estática de fluidos es la ausencia de
fuerzas tangenciales sobre cualquier superficie de referencia que se defina en torno a un
punto.
Las fuerzas tangenciales que aparecen cuando existen gradientes de velocidades en el fluido, se
originan por la fricción interna ligadas a una propiedad de los fluidos reales llamada
viscosidad (resistencia a escurrir, su recíproco es la fluidez).
Otro efecto de la viscosidad, es la adherencia a las fronteras sólidas, cuando el fluido escurre.
Sí las dimensiones lineales del flujo a lo largo de la pared son mucho más grandes que las
dimensiones moleculares que caracterizan al flujo, entonces la velocidad del fluido relativa a la
pared es nula. Este hecho impone condiciones de borde en la solución de las ecuaciones de
flujo para fluido viscoso, sin embargo en el caso del flujo de un fluido ideal no-viscoso, se
admite por razones matemáticas la existencia de una velocidad relativa tangencial no nula.
Existe una clase importante de flujos para los cuales, en una gran parte del campo de
velocidades las fuerzas tangenciales son prácticamente despreciables con relación a las fuerzas
normales (de presión). En estas regiones es posible considerar el escurrimiento como no
viscoso. Esto permite introducir en la teoría el concepto de fluido ideal, sin roce interno y
que sería no viscoso.
dilatante 
newtoniano 
Plástico de Bingham 
Velocidad de deformación 
 esfuerzo 
Figura n° 17 
 
Pseudo plástico 
21
La hipótesis del fluido ideal fue introducida por Euler (1707-1783), en cuya época se estudiaba
principalmente el escurrimiento del aire y del agua, fluidos que se caracterizan por tener una
baja viscosidad.
Este acercamiento teórico no era capaz de dar una explicación sobre algunos fenómenos
importantes generados directamente o indirectamente por la viscosidad del fluido, como ser la
pérdida de carga en un conducto, la separación del flujo alrededor de un obstáculo, y el empuje
de un cuerpo en movimiento. En un nivel de aplicación se trabajaba con leyes empíricas.
En lo que respecta a la teoría, una formulación rigurosa de la influencia de la viscosidad sobre
el comportamiento del escurrimiento, basada sobre las interacciones moleculares fue
presentada en 1822 por Navier. Algunos años después Stokes, llegó a la misma formulación
por otro camino diferente. Las ecuaciones que representaban la teoría de Navier-Stokes ,
fueron muy difíciles de solucionar, hasta que Prandtl, mostró que las fuerzas generadas por la
viscosidad , cuando ellas son pequeñas comparadas con las fuerzas de presión , sólo pueden
afectar al escurrimiento dentro de una capa de fluido y en el sillage de un obstáculo.
4.3- Distribución del esfuerzo en un punto de un fluido (equilibrio local de los esfuerzos)
Si se considera un pequeño volumen de fluido, se puede establecer que el elemento de volumen
está en equilibrio producto de la acción de las fuerzas de cuerpo, de inercia y de superficie que
actúan sobre él.
Sin embargo cuando el volumen considerado se reduce a un punto, las fuerzas de cuerpo e
inerciales, que son proporcionales al volumen, disminuyen más rápido que las fuerzas de
superficie, que son proporcionales al área.
De lo anterior se puede deducir que un fluido está en equilibrio local ( en un punto) debido al
equilibrio local de los esfuerzos.
Cada elemento de fluido queda sometido a esfuerzos provenientes del resto del fluido que lo
encierra. Los esfuerzos normales existen, esté el fluido en movimiento o en reposo, pero los
esfuerzos tangenciales ocurren sólo si el fluido está en movimiento. Este hecho distingue a los
fluidos de los sólidos, cuando la materia está en este estado puede ejercer esfuerzos de cizalle
estando en reposo, en cambio líquidos y gases nó.
Se considerará dos situaciones para el análisis local de los esfuerzos:
4.3.1- sólo existen esfuerzos normales, los esfuerzos tangenciales son nulos debido a que:
a1) el fluido está en reposo,
a2) el fluido se mueve como un sólido (no existe deslizamiento entre una capa y otra de fluido
a3) el fluido se mueve pero se considera como un fluido ideal con viscosidad nula.
A partir del balance de las fuerzas normales de superficie que actúan sobre el volumen
infinitesimal de fluido que se muestra en la figura nº18 se puede establecer que la distribución
de los esfuerzos normales en un punto del fluido es esférica, esto significa que su magnitud es
la misma en todas las direcciones, por lo tanto el esfuerzo normal se reduce a un escalar, y el
tensor esfuerzo se acostumbra a representar como:
pI−=σ
22
kAjAiAA zzzyyyxxxnnn σσσσ ++=
r
donde p es un escalar, que corrientemente se asocia con la presión, I es el tensor identidad y el
signo - se debe a que el esfuerzo normal que ejerce el resto del fluido sobre el volumen de
control sólo puede ser de compresión.
Para demostrar que la distribución de esfuerzos normales en un punto, es esférica considerese
el pequeño volumen de control limitado por cuatro superficies planas.
- La superficie frontal (plano ABC en la figura 18) equivale a la sumatoria de las áreas
lateralesAOC, BOC y ABO, osea:
multiplicando la ecuación anterior por la presión p, se obtiene:
- de la condición de equilibrio de las fuerzas superficiales (resultan del producto del esfuerzo
normal por el área de la superficie sobre la que actúa), se obtiene:
al restar las dos ecuaciones anteriores y considerando que el sentido de la presión es de
compresión y que el esfuerzo normal s nn es de tracción, se obtiene:
la expresión anterior confirma que la distribución del esfuerzo normal en torno a un punto de
un fluido es esférica, por lo que no depende de la orientación y se puede considerar como un
escalar.
4.3.2- fluido en movimiento
Un fluido en movimiento se deforma de modo continuo, es así como durante su escurrimiento
puede experimentar una deformación volumétrica y una deformación angular, además puede
rotar. En este caso más que la deformación, interesa la velocidad con que ésta se produce.
Z 
X 
Y 
A 
B 
C 
O 
sxx 
 szz 
 syy 
snn 
An 
Ax 
Ay 
Az 
Figura n° 18 
p 
 
kAjAiAA zyxn ++=
r
kpAjpAipAAp zyxn ++=
r
pzzyyxxnn −==== σσσσ
23
Conocido el campo de velocidades, osea la distribución espacial de las velocidades del fluido
asociada a cada posición, se puede obtener el gradiente de la velocidad.
Cuando un fluido viscoso está en movimiento, la distribución del esfuerzo normal en torno a
un punto, no es uniforme, por lo que se define un esfuerzo promedio. Este tiene las
características de un escalar y se asocia con la presión, como ya se mencionó.
Según la proposición de Stokes, la presión en un punto se define como el promedio de los
esfuerzos normales sobre tres planos de referencia mutuamente ortogonales, osea :
Nota: en la mayoría de los casos de importancia práctica, la variación de los esfuerzos
normales con la dirección es pequeña, y es particularmente pequeña en el caso de flujos
paralelos a una fronterasólida.
Componentes del esfuerzo normal:
El esfuerzo normal está constituído por dos términos:
a) la "presión estática" que existiría si el fluido no fuera viscoso
b) un esfuerzo normal adicional , que existe en cualquier fluido viscoso en movimiento, y que
es generado por los esfuerzos de cizalle viscoso; este esfuerzo adicional se conoce también
como presión viscosa..
Para encontrar la expresión del esfuerzo normal adicional producto del cizalle viscoso, es
conveniente analizar lo que ocurre en planos a 45º de inclinación..Con este fín, se consideran
elementos de fluido no polar, de forma prismática, suficientemente pequeños, de modo que las
fuerzas superficiales estén localmente en equilibrio. Como se indicó anteriormente las fuerzas
proporcionales al volumen (peso e inerciales) son de 2º orden, por lo que se pueden despreciar
frente a las de origen superficial, cuando el volumen tiende a un punto.
[ ]zzyyxxp σσσ ++−= 3
1
vzzzzvyyýyvxxxx ppp σσσσσσ +−=+−=+−=
Del equilibrio de fuerzas que actúan sobre el conjunto de partículas que se muestra a
continuación , figura 19, se obtiene:
 Plano xy Plano yz Plano zx
xxσ yyσ zzσ
yyσ zzσ xxσxyτ
xyτ yzτ zxτ
zxτyzτ
´
xyτ
´
yzτ ´
zxτ
Figura nº 19
 dL dL dL
dy
 dz dx
dx dzdy
24
La figura anterior, muestra la sección de un elemento prismático de fluido en el plano xy, con
un espesor unitario según la dirección z, y lo mismo ocurre en los planos yz , y zx.
τ'xy, τ`yz, τ'zx representan los esfuerzos cortantes que actúan sobre las caras inclinadas a 45º,
haciendo el balance de fuerzas según la dirección de la diagonal, se tiene:
reemplazando en la ecuación de Stokes que define el esfuerzo promedio se obtiene:
ecuaciones que muestran que los esfuerzos normales se originan por la presión "p",
generalmente conocida como presión estática y por una presión que proviene del cizalle
viscoso.
4.4- Relación esfuerzo de cizalle velocidad de deformación
Se aplicará la proposición de Newton para relacionar los esfuerzos de cizalle con las
velocidades de deformación angulares: "el esfuerzo es proporcional a la velocidad de
deformación, siendo para ecurrimiento laminar, la viscosidad dinámica la constante de
proporcionalidad"
4.4.1- esfuerzos de corte en planos principales y velocidades angulares de deformación
relacionando el tensor esfuerzo cortante con el tensor velocidad de deformación angular, se
obtiene:
'
'
'
'
2
2
2
:
2:
0º45cosº45cos
zxxxzz
yzzzyy
xyyyxx
xyxxyy
obtienese
dxdLdzdydxcon
dLdydx
τσσ
τσσ
τσσ
τσσ
=−
=−
=−
===
=+−
[ ]
[ ]
[ ]''
''
''
3
2
3
2
3
2
zxyzzz
yzxyyy
xyzxxx
p
p
p
ττσ
ττσ
ττσ
−−−=
−−−=
−−−=




∂
∂+
∂
∂==




∂
∂+
∂
∂==




∂
∂+
∂
∂==
z
u
x
w
y
w
z
v
x
v
y
u
xzzx
zyyz
yxxy
µττ
µττ
µττ
25
4.4.2-esfuerzos de corte en planos a 45º respecto a planos principales, y velocidades de
deformación angulares,
La causa de estos esfuerzos y deformación provienen de la aplicación de esfuerzos normales en
las caras principales.
Para determinar las velocidades de deformación por cizalle se analiza lo que ocurre en un
elemento de fluido según los planos xy, yz, zx.
A continuación se plantea lo que ocurre en el plano xy, calculando la velocidad de deformación
angular correpondiente al ángulo GHE, primero por efecto de la velocidad de dilatación lineal
en la dirección x y luego por efecto de la velocidad de dilatación lineal en la dirección y (ver
figura nº 20
La figura 20 muestra un elemento de fluido, que en el plano xy tiene la forma de un cuadrado
ABCD (con lados iguales dx=dy) y que está sometido a esfuerzos normales en la dirección
"y". Para evaluar lo que ocurre en planos a 45º, se ha dibujado un cuadrado rotado "EFGH" que
queda expuesto a la acción de los esfuerzos de cizalle según se indica en la figura.El efecto de
los esfuerzos de cizalle es producir una deformación del cuadrado a E'FG'H
 La velocidad de deformación por cizalle a 45º (EF,FG,GH,HE) debido a la velocidad de
deformación lineal en la dirección x, implica que el punto E se desplace hasta E' y G a G'. Lo
anterior hace que el ángulo GHE cambie a G'HE', la diferencia entre ellos corresponde a la
deformación angular
En el triángulo EPE':
En el triángulo HEP:
Por lo tanto el ángulo PHE vale:
La deformación angular por cizalle es el doble del valor anterior , por lo que la velocidad de
deformación es
Y
X
A B
 C D
G'
E'
 H
 F
G E
P
Figura nº 20
dxdt
x
uEP
∂
∂=
2
1
dxHE 2=
dt
x
u
HE
EP
PHEángulo
∂
∂==
2
1
xu ∂∂
26
En la dirección y, la velocidad de deformación angular es en el sentido contrario y vale:
Luego la relación esfuerzo - velocidad de deformación es:
Aplicando el procedimiento anterior para determinar la deformación en los otros dos planos de
referencia, se obtiene:
Reemplazando los resultados anteriores, en las ecuaciones de los esfuerzos normales, se
obtiene:
El término entre paréntesis representa la dilatación volumétrica del fluido, y si éste es
incompresible su valor es cero.
yv ∂∂




∂
∂−
∂
∂=
y
v
x
u
xy µτ '




∂
∂−
∂
∂=




∂
∂−
∂
∂=
y
u
z
w
z
w
y
v
zx
yz
µτ
µτ
'
'




∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+−=




∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+−=




∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−
∂
∂+−=
z
w
y
v
x
u
z
w
p
z
w
y
v
x
u
y
vp
z
w
y
v
x
u
x
up
zz
yy
xx
µµσ
µµσ
µµσ
3
2
2
3
22
3
22